2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：模块综合检测-含答案
高中数学选修4-4模块测试题和答案(新课标人教版)
高中数学选修4-4模块测试题和答案（新课标人教版）选修4-4模块模拟检测本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）题号12345678910总分答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）A.①、②、③均是直线B.只有②是直线C.①、②是直线，③是圆D.②是直线，①、③是圆(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移为参数的参数方程是A.B.C.D.3.直线的倾斜角是A.B.C.D.4.圆的圆心到直线的距离为A.B.C.2D.5.若直线与圆相交于B,C两点，则的值为A.B.C.D.6.极坐标方程表示的曲线为A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆7.已知P得极坐标为，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为A.B.C.D.8.极坐标方程分别是和，两个圆的圆心距离是A.2B.C.5D.9.在极坐标系中，曲线关于A.直线对称B.直线对称C.点中心对称D.极点中心对称10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线与曲线相交，则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.直线与曲线的公共点个数是。
12.当取一切实数时，双曲线的中心的轨迹方程为。
13.已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是。
14.若方程与表示同一条直线，则的关系是。
15.若是椭圆的焦点，P为椭圆上不在轴上的点，则的轨迹方程为。
三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程。
17.（本小题满分12分）A,B两点相距12，动点M满足求点M的轨迹的极坐标方程。
18.（本小题满分12分）分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程。
19.（本小题满分12分）如图，设,由内一点M到角的两边的垂线MH、MK,且点H、K为垂足，当四边形OHMK的面积为定植时，试建立适当的极坐标系，求点M的轨迹的极坐标方程，并判断轨迹类型。
高中数学模块综合检测课件1新人教A版选修44
故直线
OP
的平面直角坐标方程为
y＝
3 3 x.
(2)因为直线 l 上两点 M，N 的平面直角坐标分别为(2，0)， (0，2 3 3)，
所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x＋3y－2 3＝0.
又圆 C 的圆心坐标为(2，－ 3)，半径 r＝2，
圆心到直线 l 的距离 d＝|2
3－3 3－2 3＋9
3|＝32<r，故直线
l 与圆 C 相交．
17．(12 分)已知某圆的极坐标方程为 ρ2－4 2ρcos(θ－π4 )＋6 ＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程； (2)在圆上所有的点(x，y)中 x·y 的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为 ρ2－4 2ρ(cos θcos π4 ＋sin θsin
π 4 )＋6＝0，即
ρ2－4ρcos
θ－4ρsin
θ＋6＝0.①
因为 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以①可化为
x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所
求圆的普通方程．设
cos
θ＝
2（x－2） 2
，
sin
θ＝
2（y2－2），所以参数方程为xy＝＝22＋＋
解：由题意，设 A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，C(ρ3，θ
π ＋ 2 )，
D(ρ4，θ＋32π)．
则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)
＝
1－cos
θ
＋
2 1＋cos
θ
＋
2 1＋sin
θ
＋
2 1－sin
θ＝
16
sin 22θ.
∴当
人教A版数学选修4人教版高中数学选修4-4综合测试卷A(含答案)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修4-4综合测试卷A （含答案）一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．将参数方程⎪⎩⎪⎨⎧θθ22sin ＝ ＋ 2 ＝ y x sin (θ 为参数)化为普通方程为( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)2．设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝b y a x (a ＞0，0≤θ≤π)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为θ 1，θ2且x 1＜x 2，则( )．A ．θ 1＜θ2B ．θ 1＞θ2C ．θ 1≥θ2D ．θ 1≤θ23．参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧2＝1＋＝y t t x (t 为参数)表示的曲线是( )． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4．在极坐标系中，点P (ρ，θ)关于极点对称的点的一个坐标是( )． A ．(－ρ，－θ)B ．(ρ，－θ)C ．(ρ，π－θ)D ．(ρ，π＋θ)5．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( )． A ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 21＝3＝B ．⎪⎩⎪⎨⎧y 'y x'x 21＝3＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧'y y 'x x 2＝3＝D ．⎪⎩⎪⎨⎧y 'y x'x 2＝3＝6．圆2＝ ρ(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )． A ．⎪⎭⎫⎝⎛4π 1 ，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π 2 ，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π 2 ，D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛4π 22 ，7．点(ρ，θ )满足3ρ cos 2 θ ＋2ρ sin 2 θ ＝6cos θ ，则 ρ2的最大值为( )． A ．27B ．4C ．29D ．58．极坐标方程 ρ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛θ－4π表示的曲线是( )．A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆9．两圆 ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ 的公共部分面积是( )． A ．4π－21B ．π－2C ．2π－1 D ．2π 10．直线12+=x y 的参数方程是( )．A ．⎪⎩⎪⎨⎧＋1＝＝22t y tx 2(t 为参数)B ．⎩⎨⎧1＋4＝1－2＝t y t x (t 为参数)C ．⎩⎨⎧1－2＝－＝t y t x 1(t 为参数)D ．⎩⎨⎧1＋ sin ＝sin ＝θθ2y x (t 为参数)11．已知过曲线 sin 4＝cos 3＝⎩⎨⎧θθy x (θ 为参数，0≤θ ≤π)上一点P 和原点O 的直线OP 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )． A ．(3，4) B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛512512－－ ，C ．(－3，－4)D ．⎪⎭⎫⎝⎛512512 ，12．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y ＋k x ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ 相交，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜－43B ．k ≥－43C ．k ∈RD ．k ∈R 但k ≠013．当θ∈R 时，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧22＝2cos 3sin 22＝2sin ＋3cos θθθθy －x y x (θ 为参数)表示的图形是( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线14．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 －1＝1＝2t t y tx (t 为参数)所表示的曲线是( )．A B C D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上． 15．已知点A (6，6π)和B (10，6π)，则A ，B 两点间的距离为 ．16．把曲线的极坐标方程 ρ＝tan θ·θcos 1化为直角坐标方程为___________________． 17．过点P (2，4π)并且与极轴垂直的直线方程是 ． 18．在直径为a 的圆上取一定点作为极点O ，自O 到圆心引射线作为极轴．过O 点作圆的弦OP ，并延长OP 到M 点，使|PM |＝a ，当P 点在圆周上移动时，动点M 的轨迹方程是 ．三、解答题：本大题共3小题,共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．在平面直角坐标系中已知点A (3，0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，建立适当的极坐标系求Q 点的轨迹的极坐标方程．20．点P 在椭圆1＝9＋1622x y 上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离21．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ (0＜θ＜2π)，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；x yxy xxyO OOO y(2)过点P(－2，0)作倾斜角为α 的直线l与曲线C相交于A，B两点，证明|PA|·|PB|为定值，并求倾斜角α 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：由于0≤sin 2θ ≤1，故2≤x ≤3， y 代入后移项即为y ＝x －2；从而选C ． 2．B 解析：由x 1＜x 2知a cos θ1＜a cos θ2，而余弦函数在[0，π]是减函数，故θ1＞θ2，． 3．D 解析：y ＝2表示一条平行于x 轴直线，而x ≥2，或x ≤－2，所以表示两条射线． 4．D 解析：关于极点对称即为反向延长，故其坐标为(ρ，π＋θ)． 5．B 解析：把y ＝2sin 3x 化为＝2y sin 3x ，则令y y'＝ 2，3x ＝x'即可．6．A 解析：圆方程可化为ρ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π －θ，故圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4π1 ，．另解：其直角坐标系下的方程是x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222，，故极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4π1 ，．7．B 解析： 由3ρ cos 2 θ ＋2ρ sin 2 θ ＝6cos θ，两边乘 ρ，化为3x 2＋2y 2＝6x ， 解出 y 2＝3x －23x 2代入到x 2＋y 2， 得x 2＋y 2＝－21x 2＋3x ＝－21(x 2－6x ＋9)＋29＝－21(x －3)2＋29． 但因为22233 ＝ x x －y ≥0，可得0≤x ≤2，故当x = 2 时，ρ2＝x 2＋y 2的最大值为4． 8．D 解析：展开后两边同乘 ρ 即知是圆． 9．C 解析：作图可知公共部分是两个四分之一圆重叠部分，恰好是两个四分之一圆面积和减去正方形面积．即2π－1． 1O xy－1(第9题)10．C 解析：变量x ∈R ，故排除A ，D ．而B 中消去参数t 为y ＝2x ＋3，也不符合， 11．D 解析：因为OP 的倾斜角为4π，所以横坐标等于纵坐标，且在第一象限，故选D ． 12．A 解析：因曲线C 是半径为1的圆，圆心(1 ，0)到直线l ：y ＋k x ＋2＝0的距离为1＋ 2 ＋ ＝2k k ||d <1，解得k ＜－43．13．B 解析：把两式分别平方，再相加得1 ＝ 4＋922y x ．14．D 解析：因为变量x ，y 同号且x ≠0，故选D ． 二、填空题15．4．解析：作图可知O ，A ，B 在同一直线上，且A ，B 在O 点同侧，所以|AB |＝10－6＝4．16．2x y =因为ρ＝tan θ·θcos 1＝θθ cos sin 2，ρcos 2 θ＝sin θ，ρ2cos 2 θ＝ρsin θ，故x 2＝y ． 17．ρcos θ＝2．解析：设直线与极轴交点为Q ，M (ρ，θ)为直线上任意一点，∵∠POQ ＝4π， |OP |＝2， ∴|OQ |＝2． 在△MOQ 中，|OQ |＝|OM |cos θ，即 2＝ρcos θ，故所求的直线方程为 ρcos θ＝ 2． 18．ρ＝α(1＋cos θ)．解析：设动点M 的坐标为(ρ，θ)，则P 点为(ρ a ，θ)，已知圆的方程为 ρ＝a cos θ， 因为P 点的圆上，∴|OP |＝a cos θ，即 ρ－a ＝a cos θ，故所求的方程为 ρ＝a (1＋cos θ)． 三、解答题19．解：以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，则P (1，2θ)． ∵S △OQA ＋S △OQP ＝S △OAP ， ∴21·3 ρsin θ＋21 ρsin θ＝21·3·1· sin 2θ， 故 23＝ρcos θ．QAPO(第19题)20．解：设P (4cos θ，3sin θ)，则d ＝5－12sin － cos 1224θθ，即d ＝5－4π cos 21224⎪⎭⎫ ⎝⎛＋θ， 当⎪⎭⎫ ⎝⎛4π cos ＋θ＝－1时，d max ＝512(2＋2)；当⎪⎭⎫ ⎝⎛4π cos ＋θ＝1时，d min ＝512(2－2)．21．解：(1)由ρ＝4cos θ (0＜θ＜2π)得 ρ2＝4ρcos θ，且x ＞0，y ＞0． 所以曲线C 的普通方程为 x 2＋y 2＝4x (y ＞0)，它表示以C (2，0)为圆心、半径为2的圆在x 轴上方的圆弧． (2)解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧ααsin ＝ ＋－t y t x ＝cos 2(t 是参数)，代人x 2＋y 2＝4x (y ＞0)， 化简得t 2－8t cos α＋12＝0， 则|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝12为定值， 结合曲线C 的图象可知，α 为锐角， 又由∆＝16(4cos 2 α－3)＞0， 则cos α＞23， ∴0＜α＜6π． (第21题)B A42OPxy。
2018-2019学年高中数学(人教A版,选修4-4)课时作业【13】及答案
一、选择题1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k 2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列A ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k 2成立B ．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k 2成立 C ．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k 2成立 D ．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k 2成立 【解析】 根据题中条件可知：由f(k)≥k 2，必能推得f(k ＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因为D 中f(4)＝25＞42故可推得k≥4时，f(k)≥k 2，故只有D 正确． 【答案】 D2．(2018·周口检测)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f(n)(n≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项【解析】 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1， ∴共增加2k项． 【答案】 D3．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >m 24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D ．不存在【解析】 令f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，易知f(n)是单调递增的．∴f(n)的最小值为f(2)＝13＋14＝712.依题意712>m24，∴m<14.因此取m ＝13. 【答案】 B4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项1＋B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 【解析】 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】 C 二、填空题5．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________． 【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】 21＋1≥12＋1＋26．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，类似成立的不等式为________．【解析】 由题中已知不等式可猜想： 1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n2－π(n≥3且n ∈N ＋)．【答案】 1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2－π(n≥3且n ∈N ＋)三、解答题 7．试证明1＋12＋13＋…＋1n<2n(n ∈N *)．【证明】 (1)当n ＝1时，不等式成立． (2)假设n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k <2k.那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2＋＋1k ＋1<k ＋＋＋1k ＋1＝2k ＋1.这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知不等式对n ∈N *成立．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)．(1)判断{1S n }是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .【解】 (1)S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，即S n －S n －1＝－2S n S n －1. ∴1S n －1S n －1＝2. 故{1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列．(2)证明：①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，不等式成立．②假设n ＝k(k≥1，且k ∈N *)时，不等式成立，即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k 成立，则当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋1＋2＝12－14[1k －1＋2]＝12－14·k 2＋k ＋1＋2<12－14·k 2＋k ＋2＝12－1＋.即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①，②可知对任意n ∈N *不等式成立．9．已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，且a n ＋1≥f′(a n ＋1)，证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．【证明】 由f(x)＝13x 3－x ，得f′(x)＝x 2－1.因此a n ＋1≥f′(a n ＋1)＝(a n ＋1)2－1＝a n (a n ＋2) (1)当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥2k－1 当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a k (a k ＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1. 又k≥1，∴22k≥2k ＋1，∴n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2k ＋1－1，即不等式成立．根据(1)和(2)知，对∀n ∈N *，a n ≥2n－1成立．教师备选10．(2018·苏州模拟)已知f(x)＝x n－x －nx n ＋x －n ，对于n ∈N ＋，试比较f(2)与n 2－1n 2＋1的大小并说明理由．【解】 据题意f(x)＝x n －x －n x n ＋x －n ＝x 2n－1x 2n＋1＝1－2x 2n ＋1， ∴f(2)＝1－22n ＋1，又n 2－1n ＋1＝1－2n ＋1，∴要比较f(2)与n 2－1n ＋1的大小，只需比较2n 与n 2的大小即可， 当n ＝1时，21＝2＞12＝1， 当n ＝2时，22＝4＝22， 当n ＝3时，23＝8＜32＝9， 当n ＝4时，24＝16＝42， 当n ＝5时，25＝32＞52＝25， 当n ＝6时，26＝64＞62＝36. 故猜测当n≥5(n ∈N ＋)时，2n＞n 2， 下面用数学归纳法加以证明． (1)当n ＝5时，不等式显然成立．(2)假设n ＝k(k≥5且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即2k＞k 2， 则当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＝2·2k ＞2·k 2＝k 2＋k 2＋2k ＋1－2k －1＝(k ＋1)2＋(k －1)2－2＞(k ＋1)2， 即n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n≥5，n ∈N ＋，2n＞n 2成立．综上所述，当n ＝1或n≥5时，f(2)＞n 2－1n 2＋1.当n ＝2或n ＝4时，f(2)＝n 2－1n 2＋1，当n ＝3时，f(2)＜n 2－1n 2＋1.。
2018版数学人教A版选修4-4学案：专项训练4 含答案 精
专项训练4 直线的参数方程一、选择题1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数) D.⎩⎨⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)答案 C2．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线答案 D3．已知直线l 过点P (1,2)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝2＋t(t 为参数)，直线l 与直线2x ＋y －2＝0交于点Q ，则|PQ |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 D4．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin 30°，y ＝t sin 30°(t 为参数)与曲线ρ＝22相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．215B ．27C ．7 2D ．2 6答案 D5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B ，C 两点，它们对应的参数值分别为t 1，t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( ) A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2D.|t 1＋t 2|2答案 B解析 在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B ，C 两点，它们对应的参数值分别为t 1，t 2，则B (a ＋t 1cos θ，b ＋t 1sin θ)，C (a ＋t 2cos θ，b ＋t 2sin θ)，线段BC 的中点M (a ＋t 1＋t 22cos θ，b ＋t 1＋t 22sin θ)，对应的参数值是t 1＋t 22. 6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6 答案 D解析 直线的方程化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ，圆的方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6.二、填空题7．若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．答案 －43解析 由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线的斜率．8．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________. 答案 4 －1解析 将l 1，l 2的方程化为普通方程，得 l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4；l 1⊥l 2⇒(－k2)·(－2)＝－1⇒k ＝－1.9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的公共点的极坐标为________． 答案 (2，π4)解析 曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)的普通方程为x 2＋y 2＝2，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t为参数)的普通方程为x ＋y －2＝0.圆心(0,0)到此直线的距离为d ＝22＝2＝r ，所以直线和圆相切，切点为(1,1)，化为极坐标为(2，π4)．10．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2的交点的直角坐标为________． 答案 (3，1)解析 曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0)，曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点，如图，作PQ 垂直于x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33，所以∠POQ ＝30°.又OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1)．三、解答题11．已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2－t 2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.解 l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22(t2)，y ＝－1＋22(t2)(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎨⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ>0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1. 由参数t ′的几何意义，得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|， ∴|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝14.12．已知直线l 过定点P (3,2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求当|P A |·|PB |的值最小时直线l 的方程．解 设直线l 的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． 由A ，B 是坐标轴上的点知，y A ＝0，x B ＝0， ∴0＝2＋t sin α，即|P A |＝|t |＝2sin α， 0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α， 故|P A |·|PB |＝2sin α·(－3cos α)＝－12sin 2α. ∵90°<α<180°，∴当2α＝270°，即α＝135°时， |P A |·|PB |有最小值．∴直线方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.13．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ， ∴x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)方法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5， 与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.方法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5， 得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0， 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4.∴t 1>0，t 2>0. 又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 四、探究与拓展14．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________． 答案167解析 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋(32t )24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167. 15．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θcos 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，点M (－1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B两点．(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)求|MA |·|MB |的值．解 (1)直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π4)＝－1，曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t代入y ＝x 2，得t 2－32t ＋2＝0，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.。
2018版数学人教A版选修4-4学案：专项训练1 含答案 精
专项训练1 极坐标系一、选择题1．点P 的极坐标为(2，7π4)，则点P 的直角坐标为( )A ．(2，2)B ．(2，－2)C ．(2,2)D ．(－2，2)答案 B解析 x ＝ρcos θ＝2cos7π4＝2，y ＝ρsin θ＝2sin 7π4＝－ 2. 2．在极坐标系中，已知点P 1(6，π4)，P 2(8，3π4)，则|P 1P 2|等于( )A ．9B ．10C ．14D ．2 答案 B解析 |P 1P 2|2＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)＝36＋64－2×6×8×cos π2＝100，∴|P 1P 2|＝10. 3．点P 的直角坐标为(2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π4 B.⎝⎛⎭⎫2，3π4 C.⎝⎛⎭⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎫2，7π4 答案 A解析 ∵ρ＝(2)2＋(2)2＝2，tan θ＝22＝1，点P 在第一象限，θ＝π4.∴极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. 4．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，11π6 B.⎝⎛⎭⎫－2，7π6C.⎝⎛⎭⎫2，－π6D.⎝⎛⎭⎫－2，－11π6 答案 B5．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标的是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝⎛⎭⎫2，－7π6 C.⎝⎛⎭⎫－2，－11π6 D.⎝⎛⎭⎫－2，13π6 答案 B解析 根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2k π＋θ)(k ∈Z )，(－ρ，2k π＋π＋θ)(k ∈Z )在极坐标系中表示同一个点，可知只有⎝⎛⎭⎫2，－7π6与⎝⎛⎭⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标．另外，也可画出点⎝⎛⎭⎫－2，π6在极坐标系中位置，如图所示，对照各选项进行检验．6．在极坐标系中与点A (6，4π3)重合的点是( ) A.⎝⎛⎭⎫6，π3 B.⎝⎛⎭⎫6，7π3 C.⎝⎛⎭⎫－6，π3 D.⎝⎛⎭⎫－6，2π3 答案 C解析 在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫6，4π3重合的点是⎝⎛⎭⎫－6，π3，故选C. 二、填空题7．点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫2，11π6 解析 ∵点M 的直角坐标是(3，－1)，∴在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，ρ＝(3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－13＝－33，又点M 是第四象限的点，∴θ＝11π6.8．在极坐标系中，点(2，π3)到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．答案 19．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程是________． 答案 ρ＝－22cos θ10．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤θ<π2，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________． 答案 (23，π6)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos 2θ＝3，∴cos 2θ＝34.又0≤θ<π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6，∴ρ＝4cos π6＝23，∴交点坐标为(23，π6)．三、解答题11．已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标． (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．解 (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z )．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z )． (2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z )． 12．如果对点的极坐标定义如下：当已知M (ρ，θ)(ρ>0，θ∈R )时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)．例如，点M ⎝⎛⎭⎫3，π3关于极点O 的对称点M ′⎝⎛⎭⎫－3，π3，就是说⎝⎛⎭⎫3，π3＋π与⎝⎛⎭⎫－3，π3表示同一点．已知A 点的极坐标是⎝⎛⎭⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标： (1)ρ>0，－π<θ≤π； (2)ρ<0,0≤θ<2π； (3)ρ<0，－2π<θ≤0. 解 如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即点A 与A ′关于极点O 对称． 由极坐标的定义知，(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A ⎝⎛⎭⎫6，－π3. (2)当ρ<0,0≤θ<2π时，A ⎝⎛⎭⎫－6，2π3. (3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A ⎝⎛⎭⎫－6，－4π3. 13．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，AB ，BC ，CD ，AD 的中点分别为E ，F ，G ，H ，以菱形的中心为极点O 与原点，OA 的方向为极轴方向与x 轴正方向，建立极坐标系与平面直角坐标系，如图，限定ρ≥0，θ∈[0,2π)．(1)求点E ，F ，G ，H 的极坐标与直角坐标； (2)判断四边形EFGH 的形状．解 (1)由于菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，所以OB ＝1，OA ＝3，菱形的顶点的直角坐标分别为A (3，0)，B (0,1)，C (－3，0)，D (0，－1)，所以菱形各边中点的直角坐标分别为 E ⎝⎛⎭⎫32，12，F ⎝⎛⎭⎫－32，12，G ⎝⎛⎭⎫－32，－12，H⎝⎛⎭⎫32，－12，菱形各边中点的极坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫1，π6，F ⎝⎛⎭⎫1，5π6，G ⎝⎛⎭⎫1，7π6，H ⎝⎛⎭⎫1，11π6. (2)由上述菱形各边中点的直角坐标， 得EF →＝H G →＝(－3，0)，EF →∥HG →， 故四边形EFGH 为平行四边形， 又GF →＝(0,1)，GF →·EF →＝0， 故GF →⊥EF →，所以平行四边形EFGH 为矩形． 四、探究与拓展14．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin(θ＋π6)＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.72答案 C解析 曲线ρ＝2cos θ，即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心在(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.15．△ABC 的顶点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫4，4π3，B ⎝⎛⎭⎫6，5π6，C ⎝⎛⎭⎫8，7π6. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵∠AOB ＝4π3－5π6＝π2，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3，∠COA ＝4π3－7π6＝π6.∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝213，|BC |＝|OB |2＋|OC |2－2|OB |·|OC |·cos ∠BOC ＝213＝|AB |，又|AC |＝45－23≠|AB |， ∴△ABC 是等腰三角形． (2)∵S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |·sin ∠BOC ＝123，S △COA ＝12|OC |·|OA |·sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △COA －S △AOB ＝123－4.。
2018_2019学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修4_5
模块综合检测(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2 解析：选C 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23.2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析：选D 因为－1＜b ＜0，所以b ＜b 2＜1. 又因为a ＜0，所以ab ＞ab 2＞a .3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B 至少有一个不大于60°是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°，所以反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60°.4．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2>b 2B.ba<1C ．lg(a －b )>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 解析：选D 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，又a >b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，故选D.5．若a >0，使不等式|x －4|＋|x －3|<a 在R 上的解集不是空集的a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．{1}C ．(1，＋∞)D ．以上均不对解析：选C 函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1， 所以若|x －4|＋|x －3|<a 的解集不是空集，需满足a >1.6．若关于实数x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－1,3)D ．[－1,3]解析：选C |x －1|＋|x －3|的几何意义是数轴上对应的点到1,3对应的两点的距离之和，故它的最小值为2.∵原不等式的解集为∅，∴a 2－2a －1<2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.7．若存在x ∈R ，使|2x －a |＋2|3－x |≤1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(5,7)C ．[5,7]D ．(－∞，5]∪[7，＋∞)解析：选C ∵|2x －a |＋2|3－x |＝|2x －a |＋|6－2x |≥|2x －a ＋6－2x |＝|a －6|， ∴|a －6|≤1，解得5≤a ≤7.8．若直线x a ＋y b＝1过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1解析：选D 因为直线x a ＋yb＝1过点M (cos α，sin α)， 所以cos αa ＋sin αb＝1.由柯西不等式可知⎝⎛⎭⎪⎫cos αa ＋sin αb 2≤(cos 2α＋sin 2α)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2，当且仅当cos αsin α＝1a 1b时等号成立，故1a 2＋1b2≥1.9．已知不等式|y ＋4|－|y |≤2x＋a2x 对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由题意得(|y ＋4|－|y |)max ≤2x＋a2x ，而|y ＋4|－|y |≤|y ＋4－y |＝4，因此2x＋a2x ≥4⇒a ≥[2x (4－2x)]max ，而2x(4－2x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x22＝4，当且仅当2x ＝2，即x ＝1时取等号，所以a ≥4，a min ＝4. 10．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9D ．16解析：选D 因为32＋x ＋32＋y ＝1，所以0<32＋x <1,0<32＋y <1，即x >1，y >1，所以x ＝y ＋8y －1， 所以xy ＝y ＋8y －1·y ＝y 2＋8y y －1＝y －2＋1y －＋9y －1＝(y －1)＋9y －1＋10 ≥2y －9y －1＋10＝16， 当且仅当y ＝4时等号成立．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x ＜3的解集是________________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x ＜3，∴|2x －1|＜3|x |.两边平方得4x 2－4x ＋1＜9x 2， ∴5x 2＋4x －1＞0，解得x ＞15或x ＜－1.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞15. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞12．若x <0，则函数f (x )＝x 2＋1x 2－x －1x的最小值是________．解析：令t ＝x ＋1x，因为x <0，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥2，所以t ≤－2，则g (t )＝t 2－t －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－94，所以f (x )min ＝g (－2)＝4.答案：413．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1. 所以不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案：[1，＋∞)14．设实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋3c ＝4，a 2＋b 2＋c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2， 因为a ＋2b ＋3c ＝4， 故a 2＋b 2＋c 2≥87，当且仅当a 1＝b 2＝c3，即a ＝27，b ＝47，c ＝67时取“＝”．答案：87三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围．解：(1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|－5的图象，可知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a .|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1＋2－x |＝3， ∴－a ≤3， ∴a ≥－3.∴a 的取值范围是[－3，＋∞)．16．(本小题满分12分)设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2<14，b 2<14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 2－a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≥3，解得x ≤－32或x ∈∅或x ≥32.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由题意得，关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋1|≥a 2－a 在R 上恒成立． ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2， ∴a 2－a ≤2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2. ∴实数a 的取值范围是[－1,2]．18．(本小题满分14分)已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N ＋.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2.那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋3<32－12k 2＋1k ＋3.因为f (k ＋1)－g (k ＋1)＜32－12k 2＋1k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1k ＋2＝1k ＋2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1k ＋3＝k ＋3k ＋3－12k 2＝－3k －1k ＋3k 2<0，所以f (k ＋1)<g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N ＋，都有f (n )≤g (n )成立．。
2018-2019学年高中数学(人教A版,选修4-4)课时作业【2】及答案
一、选择题1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为( ) A.25B ．12 C.22 D ．1【解析】 显然x≥0.当x ＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x ＋1≥2x ，∴f(x)≤12. 当且仅当x ＝1时，等号成立，∴f(x)max ＝12. 【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2 B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D ．ab ＜a ＜a ＋b 2＜b 【解析】 取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b.故选B. 【答案】 B3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A ．3B ．4 C.92 D ．112 【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2， ∴y ＝1a ＋4b ＝(1a ＋4b )·＋2＝(12＋b 2a ＋2a b ＋2)≥52＋2b 2a ·2a b ＝92. 当且仅当a ＝23，b ＝43时，等号成立．故选C. 【答案】 C4．(2018·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x(x>0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x 2＋1>1(x ∈R) 【解析】 当x>0时，x 2＋14≥2·x·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x(x>0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 【答案】 C二、填空题5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y)2－xy≥(x＋y)2－＋24＝34(x ＋y)2，∴(x ＋y)2≤43，∴|x ＋y|≤233. x ＋y 的最大值为233. 【答案】 23 3 6．(2018·陕西高考)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn)(bm ＋an)＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab(m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab·mn＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab)＝2(a ＋b)2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”．∴所求最小值为2.【答案】 2三、解答题7．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b.【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y)(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b)2， 当且仅当bx y ＝ay x时取等号． 又(x ＋y)min ＝(a ＋b)2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8，b ＝2. 8．已知a ，b ，c 均是正数，求证： (1)a ＋b 2≤ a 2＋b 22； (2)a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)．【证明】 (1)∵a 2＋b 2≥2ab，∴2(a 2＋b 2)≥(a＋b)2， ∴a 2＋b 22≥＋24.又a>0，b>0，∴a ＋b 2≤ a 2＋b 22. (2)由(1)得a 2＋b 2≥22(a ＋b)． 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c)，c 2＋a 2≥22(a ＋c)． 三式相加得：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)，当且仅当a ＝b ＝c 时，取“＝”号．9．若对任意x>0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 由x>0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立． 又x>0时，x ＋1x ≥2x·1x ＝2， ∴x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号． 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a≥15. 故实数a 的取值范围为[15，＋∞)．教师备选10．某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m ，问d 为多少时，α－β最大？【解】 由题设知d ＝|AB|，得tan α＝H d. 由|AB|＝|AD|－|BD|＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋－d ≤h 2－， 当且仅当d ＝－d， 即d ＝－＝－＝555时，上式取等号．∴当d ＝555时，tan(α－β)最大． 因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2， ∴当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是55 5 m.。
【人教A版】高中数学选修4-4模块综合检测卷(含答案解析)
模块综合检测卷（测试时间:120分钟评价分值：150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为（)A．(π，0) B．(π,2π)C．(－π,0） D．（－2π,0）1．A2．参数方程错误!(θ为参数，0≤θ＜2π）表示( ）A．双曲线的一支，这支过点错误!B．抛物线的一部分,这部分过点错误!C．双曲线的一支，这支过点错误!D．抛物线的一部分，这部分过点错误!2.B3．在参数方程错误!(t为参数)所表示的曲线上有B、C两点,它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A。
错误! B.错误!C。
错误! D.错误!3.B4．设r＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r与圆错误!(φ为参数）的位置关系是( ）A．相交 B．相切C．相离 D．视r的大小而定4.B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A．ρcos θ＝2 B．ρsin θ＝2C．ρ＝4sin错误! D．ρ＝4sin错误!5。
A6．若双曲线的参数方程为错误!（θ为参数),则它的渐近线方程为( ）A．y－1＝±错误!(x＋2） B．y＝±错误!xC．y－1＝±2（x＋2) D．y＝±2x6。
C7．原点到曲线C:错误!（θ为参数）上各点的最短距离为（)A。
错误!－2 B.错误!＋2C．3＋错误! D。
错误!7.A8．圆ρ＝5cos θ－5错误!sin θ的圆心是( ）A。
错误! B.错误!C.错误! D。
错误!8.A9．曲线错误!(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A.错误! B。
错误! C．1 D。
错误!9．D10．若曲线ρ＝22上有n个点到曲线ρcos错误!＝错误!的距离等于错误!，则n＝( )A．1 B．2 C．3 D．410.C11．集合M＝错误!，N＝｛(x，y）|y＝x＋b｝，若集合M∩N≠Ø，则b应满足（）A．－3错误!≤b≤3错误! B．－3错误!<b〈－3C．0≤b≤3错误! D．－3<b≤3错误!11．解析：集合M表示x2＋y2＝9的圆，其中y＞0，集合N表示一条直线，画出集合M 和N表示的图形,可知－3＜b≤32。
2018-2019学年高中数学(人教A版,必修4)模块综合测评(A)(原卷版)
·模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知α∈,tan α=,则sin(α+π)=()A. B. C. D. -2.函数y=cos42θ-sin42θ的最小正周期是()A. 2πB. 4πC.D.3. 已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=()．A. -4B. -3C. -2D. -14.已知f(x)=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x1,x2∈,且|x1-x2|min=π,则f(x)的最小正周期是()A. 3πB. 2πC. πD.5.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A. =-B.C. D.6.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是()A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不含60°角的等腰三角形7.式子的值等于()A. B. C. 2 D.8.将曲线y=sin上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线A,再把A上的所有点向右平行移动个单位长度得到曲线B,则曲线B的函数解析式为()A. y=sin 2xB. y=sinC. y=sin xD. y=sin9.若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则a,b的夹角为()A. B. C. D.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线x=对称D. 关于直线x=对称11.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使=2,则的值为()A. B. C. D. -12.已知=(2,2),=(cos α,sin α),则的模的最大值是()A. 3B. 3C.D. 18二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设e1,e2是两个不共线的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2.若以a,b为基底表示向量e1+2e2,即e1+2e2=λa+μb,则λ+μ=_____.14.若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后的函数对称轴为_____.15.已知θ是第四象限角,且sin,则tan=________________.16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,则ω·φ=_____.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.18.已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.19.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值.20.已知m=(sin A,cos A),n=(,-1),m·n=1,且A为锐角.(1)求角A的大小;(2)求函数f(x)=cos 2x+4cos A sin x(x∈R)的值域.21.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,锐角α的终边与单位圆O交于点P.(1)用α的三角函数表示点P的坐标;(2)当=-时,求α的值;(3)在x轴上是否存在定点M,使得||=|恒成立?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.22.设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学 模块综合检测 [对应学生用书P39] (时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在极坐标系中，点P(ρ，－θ)关于极点对称的点的一个坐标是( ) A．(－ρ，－θ) B．(ρ，－θ) C．(ρ，π－θ) D．(ρ，π＋θ) 解析：关于极点对称即为反向延长，故其坐标为(ρ，π－θ)． 答案：C
2．在极坐标系中，过点2，π2且与极轴平行的直线方程是( ) A．ρ＝2 B．θ＝π2 C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2 解析：极坐标为2，π2的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2. 答案：D 3．在同一坐标系中，将曲线y＝2cos x变为曲线y＝sin 2x的伸缩变换是( )
A. x＝2x′，y＝12y′ B. x′＝12x，y′＝12y
C. x＝12x′，y＝2y′ D. x′＝2x，y′＝2y 解析：把y＝2cos x化为y2＝sin 2x，则令y2＝y′，x＝2x′即可． 答案：B 4．设点M的柱坐标为2，π6，7，则M的直角坐标是( ) A．(1，3，7) B．(3，1,7) 数学 C．(1,7，3) D．(3，7,1) 解析：x＝2cosπ6＝3，y＝2sin π6＝1，z＝7. 答案：B
5．椭圆的参数方程为 x＝2cos φ，y＝3sin φ(φ为参数)，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.22 D.34 解析：椭圆的参数方程可化为x24＋y23＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴e＝12. 答案：A
6.已知过曲线 x＝3cos θ，y＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线OP，倾斜角为π4，则点P的坐标为( ) A．(3,4) B.－125，－125 C．(－3，－4) D.125，125 解析：将曲线参数方程化成普通方程为x29＋y216＝1(y≥0)，与直线PO：y＝x联立可得P点坐标为125，125. 答案：D
7．已知双曲线C的参数方程为 x＝3sec θ，y＝4tan θ(θ为参数)，在下列直线的参数方程中
① x＝－3t，y＝4t； ② x＝1＋32t，y＝1－12t； ③ x＝35t，y＝－45t； 数学 ④ x＝1－22t，y＝1＋22t； ⑤ x＝3＋3t，y＝－4－4t. (以上方程中t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是( ) A．①③⑤ B．①⑤ C．①②④ D．②④⑤ 解析：由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的
焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝±43x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件． 答案：A
8．在平面直角坐标系中，点集M＝x，y
x＝sin α＋cos β，y＝cos α－sin β，
α，β∈R，则点集M所覆盖的平面图形的面积为
( ) A．4π B．3π C．2π D．与α，β有关
解析：∵ x＝sin α＋cos β，y＝cos α－sin β，两式平方相加得 x2＋y2＝1＋1＋2sin αcos β－2cos αsin β， 即x2＋y2＝2＋2sin(α－β)． 由于－1≤sin(α－β)≤1， ∴0≤2＋2sin(α－β)≤4， ∴点集M所覆盖的平面图形的面积为2×2×π＝4π. 答案：A 9．点(ρ，θ)满足3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，则ρ2的最大值为( )
A.72 B．4
C.92 D．5 数学 解析：由3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，两边乘ρ，化为3x2＋2y2＝6x，得y2＝3x－32x2，代入ρ2＝x2＋y2，得x2＋y2＝－12x2＋3x＝－12(x2－6x＋9)＋92＝－12(x－3)2
＋92.因为y2＝3x－32x2≥0，可得0≤x≤2，故当x＝2时，ρ2＝x2＋y2的最大值为4. 答案：B
10．过椭圆C： x＝2cos θ，y＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F作直线l：交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则1m＋1n的值为( ) A.23 B.43 C.83 D．不能确定 解析：曲线C为椭圆x24＋y23＝1，右焦点为F(1,0)，设l： x＝1＋tcos θ，y＝tsin θ，(t为参数)代入椭圆方程得(3＋sin2θ)t2＋6cos θt－9＝0， t1t2＝－93＋sin2θ，t1＋t2＝－6cos θ3＋sin2θ，
∴1m＋1n＝1|t1|＋1|t2|＝|t1－t2||t1t2|＝t1＋t22－4t1t2|t1t2|＝43. 答案：B 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C： x＝2＋22t，y＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________． 解析：直接化简，两式相减消去参数t得，x－y＝1，整理得普通方程为x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 数学 12．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：∵ρ＝4cos θ， ∴ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2＝4x， ∴(x－2)2＋y2＝4为ρ＝4cos θ的直角坐标方程． 当x＝3时，y＝±3， ∴直线x＝3与ρ＝4cos θ的交点坐标为(3，3)， (3，－3)， ∴|AB|＝23. 答案：23
13．直线 x＝1＋12t，y＝－33＋32t(t为参数)与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________． 解析：把x＝1＋12t，y＝－33＋32t代入x2＋y2＝16，得t2－8t＋12＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则AB中点对应的参数为t0＝12(t1＋t2)＝12×8＝4，将t0＝4代入直线的参数方程，可求得中点的坐标为 (3，－3)． 答案：(3，－3)
14．点M(x，y)在椭圆x212＋y24＝1上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为________，此时点M的坐标是________．
解析：椭圆的参数方程为 x＝23cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)， 则点M(23cos θ，2sin θ)到直线x＋y－4＝0的距离
d＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝4sinθ＋π3－42. 数学 当θ＋π3＝3π2时，dmax＝42， 此时M(－3，－1)． 答案：42 (－3，－1) 三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝π3 (ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C
的参数方程为 x＝2cos α，y＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标． 解：因为直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)， 所以直线l的普通方程为y＝3x， ① 又因为曲线C的参数方程为 x＝2cos α，y＝1＋cos 2α(α为参数)， 所以曲线C的直角坐标方程为 y＝12x2(x∈[－2,2])， ②
联立①②得 x＝0，y＝0，或 x＝23，y＝6.(舍去) 故P点的直角坐标为(0,0)． 16．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4， 圆C2：(x－2)2＋y2＝4. (1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)． (2)求出圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2； 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ； 数学 联立方程组 ρ＝2，ρ＝4cos θ， 解得ρ＝2，θ＝±π3. 故圆C1，C2的交点极坐标为2，π3，2，－π3. (2)由(1)知圆C1，C2的交点极坐标为2，π3，2，－π3 故圆C1，C2的交点直角坐标为 (1，3)，(1，－3)， 故圆C1，C2的公共弦的参数方程为
x＝1，y＝t(－3≤t≤3)．
17．(本小题满分12分)已知直线l： x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，曲线C1： x＝cos θ，y＝sin θ(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|； (2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． 解：(1)l的普通方程为y＝3(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程 y＝3x－1，x2＋y2＝1，得2x2－3x＋1＝0， 解得l与C1的交点为 A(1,0)，B12，－32， 则|AB|＝1.