静电场2电位
第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
电磁场静电场电位和导体
等位面上任一点的电场强度沿该面的切线方
向的分量等于0。而电位函数沿等位面法向的
变化率并不一定等于0，且数值也不一定相
等。即使等位面上电位函数等于0，该面上任
一点沿等位面法线方向的电位函数变化率也
不一定等于0.
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原子实规则地排列在结晶点阵上。无外电场作用 时，自由电子无规则运动，导体不呈现电场特 性。
有外静电场时，受电场作用，导体中的自由电子 反电场方向运动，直至积累在导体表面的电荷产 生的附件电场在导体内处处与外电场相抵消，导 体内合电场为零，电子不在作宏观运动。
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点电荷与不接地导体的电场
带电平行板
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问题
【问题1】电力线是不是点电荷在电场中的运动 轨迹(设此点电荷电场力外不受其它力的作 用)？
－＋ －＋
静电场中接地导体的电场
均匀静电场中导体球的电场
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【静电场中导体性质】
导体内的电场强度为0。 导体是一个等位体，其表面为等位面。 在导体表面外任一邻近面的电场强度方
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电位的定义
第 2 章静电场2.3 电位2.3.1 电位的定义一. 电位的引入标量电位的物理意义:∵ ∇⨯E = 0 ∴ 可令 E = -∇Φ E 和Φ的 微分关系 式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
)()(d d d d d )(d )(d B A l l l A BAB A B A B A B A Φ-Φ=Φ-=Φ-=∙Φ-∇=∙Φ-∇=∙=⎰⎰⎰⎰⎰l a l l E l E ⎰∙=-=B AB A AB ΦΦU d A 、B 两点之间电位差: 将单位点电荷从 A 点移到 B 点电场力所作的功:取 ΦB = 0，则A 点电位定义为电位的物理意义：将单位点电荷从当前点移到参考点 电场力所作的功。
当电荷分布已知时，可求出场中任一点的电位：E 和Φ的 积分关系1. 点电荷： ⎰⎰=∙=B B R R R R R RR qR qΦ2020d 4d 4πεπεl a C R q R R qB +=-=004)11(4πεπεl E ⎰∙=-BA B A ΦΦd ⎰∙=参考点A A Φl E d2. 体电荷： C R Φ+'=⎰τπετρ04d 3. 面电荷： C RS ΦS S +'=⎰04d περ4. 线电荷： C R l Φl l +'=⎰04d περC 与零电位点的选取有关。
电位参考点的选择原则场中任意两点的电位差与参考点无关。
同一个物理问题，只能选取一个参考点。
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
工程上多用大地、机壳为参考点。
二.电力线与等位线（面）∙ E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若d l是电力线的长度元，E矢量将与d l方向一致，故电力线微分方程E ld0⨯=∙在静电场中电位相等的点连成的线（曲面）称为等位线（面），即等位线(面)方程: C,(,Φ)yx=z当取不同的C 值时，可得到不同的等位线（面）。
09211054 胡鸿 静电场零电位的选择
电磁场与电磁波研究报告静电场零电位的选择胡鸿09211054刘思聪09211039陶坤纬09211044目录静电场电位零点选择的任意性 (1)为什么选择无穷远处为电位零点 (2)为什么选择U地=0，它和U∞=0是否相容 (4)零点不同的电位如何相加 (5)收获和体会 (7)参考文献 (9)一、静电场电位零点选择的任意性从物理的角度说明电势零点选择的任意性从物理的角度上看, 静电场与重力场相似, 都是保守力场, 可以引入势能的概念, 电势能是相互作用的电荷系统所具有的, 孤立地谈论某一点的电势能或电势的高低和正负是没有意义的。
为了确定电场中各点的电势, 就要选定参考点, 也就是势能零点, 它的选择必须满足一个条件, 那就是零点选定后, 空间各点的电势必须有确定的值。
选择不同的参考零点, 静电场中各点的电势值虽然有所不同, 但两点之间的电势差仍然相同, 描述的仍然是同一个静电场。
这就是电势零点的选择在原则上任意的物理原因。
从数学的角度说明电势零点选择的任意性从数学的角度上看, 电势从单位正电荷在静电场中各点所蕴含的能量来描述场, 电势是描述静电场的标量位置函数。
根据定义:当参考点从p01到p02时, 各点的电势只改变一个常量不影响场强分布:。
反映在几何图像上(如图1 ( U - r) ) , 零点选择不同, 只是横坐标的位置不同, 横坐标改变, 不会影响曲线上各点的斜率。
静电场电势零点选择的限制性以上讨论了电势零点选择从原则上是任意的, 但是我们在解题时又遇到了一些问题, 发现电势零点的选择在一些特殊情况下又会受到一定条件的限制。
这个条件正如前面提及的: 电势零点一旦选定以后, 就必须使电场中各点的电势都具有确定的值, 这样才有物理意义,否则毫无意义。
即积分:必须是收敛的。
有了这个条件, 电势零点的选择便依具体问题而定了。
二、为什么选择无穷远处为电位零点1.电量和分布范围均有限，当所研究的观测点到带电体几何中心的距离远大于带电体的几何尺寸时．带电体的形状及电荷分布对观测点的影响可以忽略，此时带电体可以按几何点来处理2.离带电体系足够远(在物理上)而可称为无穷远点的广大空间,是具有零场强和恒定电位的位置3.普遍适用又方便自然在几乎一切实际静电场问题中，尽管带电体系的电量、分布各异，但电量和分布范围均有限。
静电场电场力所作的功和电位的计算方法
位的参考点，即 Q 是零电位点。
在电磁场分析中梯度和旋度是两个非常重要的概念，这里对其计算进行简单介绍。在直角坐标系下若记算子“ ”（哈密顿算子）
为
则数量函数 u(x, y, z)的梯度的计算公式为
x
ex
y
ey
z
ez
则矢量函数 A(x, y, z)的旋度的计算公式为
grad
u
u
u x
ex
u y
l E dl 0
（3）
S E dS = 0
式中 S 为有向闭曲线 l 张成的曲面，S 的法向量 n 与 l 之间满足右螺旋关系。由于上式中的面积分在任何情况下都等于零，因此有
E = 0
（4）
式（4）表明静电场是一个无旋场。
在电磁场分析中斯托克斯定理是一个非常重要定理，这里进行补充性介绍。设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线，S 是以 L 为边界
Lizhxnjust@163
7/8
点 P 处的电位 φ(r)计算式为 2.4 等位面
r 1 n qk 1
r'
dV '
1
r'
dS '
1
r'
dl '
40 k1 r r' 40 V ' r r'
40 S ' r r'
40 l' r r'
在静电场中将电位相等的点连接起来形成曲面，称为等位面，其方程为
EM
q0 4 0
er r2
（1）
式（1）中 r 为由源点 O 到场点 M 的距离，即
r = x2 y2 z2
er 为由源点 O 指向场点 M 的单位矢量。设 α、β、γ 依次是 er 与 x 轴、y 轴、z 轴之间的夹角，则矢量 er 可采用方向余弦表示
电路中电位的定理定律及其电位的计算公式
电路中电位的定理定律及其电位的计算公式在静电学里，电势（又称为电位）定义为：处于电场中某个位置的单位电荷所具有的电势能。
电势只有大小，没有方向，是标量，其数值不具有绝对意义，只具有相对意义。
（1）单位正电荷由电场中某点A移到参考点O（即零势能点，一般取无限远处或者大地为零势能点）时电场力做的功与其所带电量的比值。
所以φA=Ep/q。
在国际单位制中的单位是伏特(V)。
（2）电场中某点相对参考点O电势的差，叫该点的电势。
“电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在那一点所具有的电势能”。
公式：ε=qφ（其中ε为电势能，q为电荷量，φ为电势），即φ=ε/q在电场中，某点的电荷所具的电势能跟它的所带的电荷量之比是一个常数，它是一个与电荷本身无关的物理量，它与电荷存在与否无关，是由电场本身的性质决定的物理量。
电势是描述静电场的一种标量场。
静电场的基本性质是它对放于其中的电荷有作用力，因此在静电场中移动电荷，静电场力要做功。
但静电场中沿任意路径移动电荷一周回到原来的位置，电场力所做的功恒为零，即静电场力做功与路径无关，或静电场强的环路积分恒为零。
静电场的这一性质称为静电场的环路定理。
根据静电场的这一性质可引入电势来描述电场，就好似在重力场中重力做功与路径无关，可引入重力势描述重力场一样。
电场中某一点的电势定义为把单位正电荷从该点移动到电势为零的点，电场力所做的功。
通常选择无限远点的电势为零，因此某点的电势就等于把单位正电荷从该点移动到无限远，电场力所做的功，表示为：电势的单位为V（伏），1V=1J/C（1焦/库）。
静电场中电势相等的点构成一些曲面，这些曲面称为等势面。
电力线总是与等势面正交，并指向电势降低的方向，因此静电场中等势面的分布就绘出了电场分布。
电势虽然是引入描述电场的一个辅助量，但它是标量，运算比矢量运算简单，许多具体问题中往往先计算电势，再通过电势与场强的关系求出场强。
电路问题中电势和电势压（即电压）是一个很有用的概念。
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
电磁场第二章
单位是库/米3(C/m3)
②电荷面密度: 如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可 认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面
积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为
(r ) lim q dq
S 0 S dS
单位是库/米2(C/m2)
第二章 静 电 场
③电荷线密度: 对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其 分布情况。 若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为
d
dS cos
R2
dS (r r') r r'3
②若S是封闭曲面, 则对点电荷所在点o´立体角
S
(r
r') dS r r'3
4 0
r '在S内 r '在S外
第二章 静 电 场
2.电场强度的通量：
电场强度通过任一曲面的通量称为电通, 就是电场强 度在曲面S上的面积分, 以 表示,即
2.不同分布的电荷在场点r处的电位
体分布的电荷在场点r处的电位为
(r) 1
40
V
(r ' )
r
1 r'
d V '
线电荷和面电荷的电位表示式与上式相似, 只需将电荷密度和积 分区域作相应的改变。
第二章 静 电 场
对于位于源点r′处的点电荷q, 其在r处产生的电位为
(r)
q
40 r r'
3.静电场的旋度
解: 采用球坐标
由
2
1 r2
d
r
2
dr
d
dr
0
得
r2
d
dr
C1
即
d
dr
C1 r2
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（4）单位：1伏特（V）=1焦耳/库仑
14
3、电势差（电压）
➢定义：
静电场中 a 、b 两点的电压，等于将
单位正电荷从 a 点移至 b 点电场力所做的功。
b
Uab
Edl
a
a b
(2-22)
为什么不是b a？
电势差与零电势的参考点选择无关。
电场力做功于电势差的关系：
各点电荷单独存在时该点电势的代数和。
17
5、电势的计算
运用点电荷电势公式和电势叠加原理计算电势
点电荷的电势：
a
Edl
a
Edr
a
q
q
ra 40r 2 d r 40ra
ra a
q
(r) q 4 0 r
（2-18）
18
点电荷系的电势
i
i
i
qi
4 0 r i
电荷连续分布的带电体的电势
dr
q0q
4 0
1 r
rb ra
q0q
4 0
1 ra
1 rb
q
r
q0 a b 单位正电荷 a
a b
q0=1
r dr
q0
dl
E
16
4、电势叠加原理
a a E d l
( a
Ei ) d l
i
a Ei d l ia
i
i
i
i
电荷系电场中任一点的电势等于组成该电荷系的
cb
acb
adb
Aab Aab 0
a
d
7
A q0E d l 0
acbda
cb
a
d
即：静电场力沿任一闭合路径所作的功为零。
由于q0 0 , 则有 E d l 0
acbda
即：静电场强的环路积分为零。
CE d l 0
称静电场的环流定理, 是静电场的重要特征。
8
静电场守恒性的微分形式
d
l
只与检验电荷的 始末位置有关，而与
i
运动路径无关，
q0 L Ei d l 即静电力是保守力。 i
Ai
i
6
2、静电场的环路定理
q0沿闭合路径acbda 运动一周,电场力所作的功:
A q0E d l q0E d l q0E d l
acbda
acb
bda
q0E d l q0E d l
★
E
（2-30）
由电位函数求电场强度
1
§2-2 静电场的无旋性与电位函数
一、静电场的环路定理
1、电场力的功：A 2、静电场的环路定理
二、电势能与电势
1、电势能（电位能）：W 2、电 势（电 位）： 3、电势差（电 压）：U 4、电势叠加原理 5、电势的计算
2
一、静电场的环路定理
1、电场力的功
b
q0E1 d l q0E2 d l q0En d l
a
a
a
A1 A2 An
i
q0qi ( 1 1 )
40 ria rib
电场力作功,仅与始末位置有关,
与路径无关。
5
★任意电荷系的电场中电场力作的功：
E Ei
i 静电场力作功：
A q0 q0
E
L L
dl Ei
b
A Aab L q0E d l
q0q d r
L 40r 2
q0q
4 0
1 ra
1 rb
q
rdr
r a
q0
dl
E
说明了什么问题？
点电荷电场力作功：只与检验电荷始末位置有关，
而与运动路径无关。
4
★点电荷系电场中电场力作的功
b
Aab q0 (E1 E2 En ) d l
a
b b
d dq 4 0 r
r a
dq
d
dq
4 0 r
i 为代数和
i
d 为代数积分 20
电荷连续分布的带电体的电势
点电荷：(r) 1 n qi
40 i1 Ri
线电荷：(r) 1 d l' 1 l d l'
40 l'R
40 l' R
面电荷：(r) 1 d S' 1 s d S'
★点电荷电场中电场力做的功
在点电荷q 的电场中，将检验电荷q0 从a 移到b
b
q0位移dl 电场力作的元功为：
rb
d A F dl
q0E d l
q0E cos d l
q
ra r
a
r dr
q0
dl
E
q0q
40r 2
d
r
其中cos d l d r
E
q
40r 2
3
q0从a到b电场力作的功为：
选择无穷远处为电势零点，则Байду номын сангаас
a a E d l （任意路径）
➢电势决定于产生电场的电荷，
而与 检验电荷q0无关。 ➢电势的大小与零电势的参考点选择有关。
13
注：
（1）电势是从能量角度描述电场的物理量，是点函数。
（2）电势是相对量，与零电势点的选择有关。 在理论研究时，若电荷分布在有限大小的区域内， 通常令无限远处的电势为零，即U∞=0； 实际应用时，常令大地的电势为零，即U地=0。
Aab q0 Uab
15
3、电势差（电压） ➢定义： 静电场中 a 、b 两点的电压，等于将单位正
电荷从 a 点移至 b 点电场力所做的功。
A直接 从LF定义d 推l 导：L q0qE0从 dal到 br电 rab 4场 q0力 0qr 2作d 的 r 功为：b
| q0q
4 0
1 rb r ra 2
40 S' R
40 S' R
体电荷：(r) 1 dV ' 1 V dV '
40 V ' R
40 V ' R
21
电场强度
（体电荷）
斯托克斯定理： A d l rot A d S
C
S
静电场的环流定理： E d l 0
C
CE d l
Srot
Ed
S
因为回路C是任意的，即对任
EdS 0 S
意面S，上式均成立，所以
E 0（静电场守恒性的微分形式）
9
结论 静电场是一种无旋场
1) 静电场力作功与路径无关, 静电场力是保守力,静电场是保守力场;
2) 沿闭合路径一周,静电场力作功为零。
A
F dl
L
0
L q0 E d l
0
Edl
L
0
10
二、电势能与电势
1、电势能（电位能）
b
Aab a q0E d l Wa Wb
Wa q0
Wb
选 b 点为电势能零点: Wb 0 a
Fb
b
Wa a q0E d l
（任意路径）
电荷q0在电场中某一点a的电势能等于把q0从a点
移到零势能参考点时电场力所做的功。
11
若场源电荷分布在有限区域内，通常选取无穷远 处为电势能的零点，则
Wa a q0E d l （任意路径）
电势能为受电场力作用的电荷与场源电荷所共有。 电势能的大小与零势能的参考点选择有关。
12
2、电势（电位）
a
Wa q0
b Edl
a
（任意路径）
静电场中 a 点的电势，在数值上等于单位正电荷 在 a 点处系统所具有的电势能。