投入产出模型实例
里昂惕夫投入产出模型
一、有限马尔科夫链1、马尔科夫过程是用来测量或者估计随着时间的推移而发生的移动。
马尔科夫矩阵中的每 个值都是从一种状态向另一状态移动的可能性。
通过反复用转移矩阵乘以不同状态下的初始分布的向量，我们可以估计不同时间上的状态变化。
2、假设：At 和Bt 分别代表在时间t 上的A 公司和B 公司的员工人数，定义转移概率是： P AA =目前在A 者还留在A 的概率， P AB =目前在A 者转移到B 的概率，P BB =目前在B 者还留在B 的概率， P BA =目前在B 者转移到A 的概率。
如果我们把在时间t 上员工转移的分布写成向量，得到：x ’t = t t B A矩阵形式的转移概率就是： M = BB BA ABAA P P P P ,一般，对于n 个时间段： t t B A BB BA AB AA P P P P n= n t n t B A ++ 。
3、稳定状态：由最初的转移矩阵的幂次数上升而形成的新转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵。
二、里昂惕夫投入--产出模型1、投入-产出分析：任何一个产业的产出，往往是其他许多产业的投入，或者是该产业自身的投入。
“正确”的产出水平将取决于所有n 个产业的投入需求。
同时所设想的“正确”的产出水平是为了满足技术上的投入--产出关系，不是为了满足市场均衡条件。
2、投入-产出模型结构的假设：（1）每个产业仅生产一中同质的产品。
（2）每个产业用固定的投入比例或要素组合生产其产品。
（3）每一产业的生产服从常数规模报酬。
3、为生产每一单位j 产品所需投入的第i 种商品为一固定数量a ij , a ij 称作投入系数。
对于n 部门经济投入系数可排成矩阵A=[a ij ]，每一列表示生产每单位特定产业的产品所需的投入。
A= nn n n nna a a a a a a a a2122221112114、开放模型。
若上述中的n 各部门构成了整个经济，则他们所有的产出都将仅被用于满足同样n 个部门的投入需求而非最终需求。
投入产出数学模型
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (1)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
x2n
表1：投入产出表（一般格式）
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
1 2 n 消费 累计 出口
生
1
x11 x12 x1n
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2
xnn
新 创 价 值
工资 纯收入 合计
v1 v2 m1 m2 z1 z2
vn mn zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
数学建模讲座
（二）投入产出数学模型
李媛
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型， 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷 夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的 经济分析方法。
i1
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(3)，得
a11x1 a12x2 a1n xn y1 x1
a21x1
a22x2
a2n xn
y2
x2
an1x1 an2 x2 ann xn yn xn
令 X x1 x2 xn ,Y y1 y2
(10)
投入产出模型的推广及其应用
投入产出模型的推广及其应用投入产出模型是一种经济分析工具，用于评估一个经济体中不同部门之间的相互依赖关系和资源流动。
它可以帮助政府、企业和研究机构了解各个部门的贡献和影响，从而制定合理的政策和决策。
本文将介绍投入产出模型的基本原理、推广方式以及其在实际应用中的一些案例。
一、投入产出模型的基本原理投入产出模型是由经济学家沃森·勒奇（Wassily Leontief）在20世纪30年代提出的。
它基于一个简化假设，即一个经济体可以被划分为若干个部门，每个部门都需要一定数量的投入才能生产出相应的产出。
这些投入和产出之间存在着复杂的相互依赖关系，通过建立一个输入输出矩阵来描述这种关系。
输入输出矩阵是一个n行n列的方阵，其中n表示经济体中部门的数量。
矩阵中第i行第j列的元素表示第i个部门向第j个部门提供了多少单位的投入。
通过对输入输出矩阵进行数学运算，可以计算出每个部门的产出、就业和价值创造等指标。
二、投入产出模型的推广方式1. 数据收集：投入产出模型需要大量的数据支持，因此在推广应用之前，需要进行全面而准确的数据收集。
这包括各个部门的生产数据、投入数据以及经济体整体的经济指标等。
2. 模型构建：根据收集到的数据，可以构建输入输出矩阵，并计算各个部门的产出和就业情况。
这一步需要借助计量经济学方法和软件工具进行分析和计算。
3. 效果评估：通过比较不同部门之间的相互依赖关系和资源流动情况，可以评估不同政策或决策对整体经济效果的影响。
这有助于政府和企业制定更合理的发展战略和政策。
4. 推广应用：投入产出模型可以应用于各个领域，包括宏观经济政策制定、区域发展规划、环境影响评估等。
通过将模型推广到不同领域中，可以更好地理解各个部门之间的相互作用，并为决策者提供科学依据。
三、投入产出模型的应用案例1. 宏观经济政策制定：投入产出模型可以帮助政府评估不同政策对经济的影响。
政府可以通过模型计算出增加某个部门的投入会对整体就业和产出造成怎样的影响，从而制定合理的产业政策。
第四章-投入产出系数和模型
农业 轻工业 重工业
其它
农业 1． 109 0． 0464 0． 4114
0．0904
轻工业 × × × ×
重工业 × × × ×
其它 × × × ×
上表的第一列表明：要保证农业部门能提供一亿元的 最终产品，则农业部门的生产量要达到1·109亿元， 轻 工 业 部 门 要 达 到 0·0464 亿 元 ， 重 工 业 部 门 要 达 到 0·4114亿元，其它部门要达到0·0904亿元。其中农业 部门生产总量只超过最终产品的部分（0·0904亿元） 以及引起其它各部门生产的数量，都是因为农业生产
Bv Av (B I )或者是Bv Av (I A)1
（2·7）
其中， Bv ——完全劳动消耗系数行向量， Bv (bv1, bv2 ,, bvn ) ；
Av ——直接劳动消耗系数行向量， Av (a01, a02 ,, a0n ) 。
二、实物型投入产出表的特点
1、实物型投入产出表的实物量作为计量单位，各类 产品的计量单位并不相同，表的纵列不能相加。
产品投入与产出的关系。若用“负”号表示投入，用 “正”号表示产出，则矩阵中每一列的含义说明，为生 产一个单位各种产品，需要消耗（投入）其它产品（包 括自身）的数量。而主对角线上各元素，则表示各种产 品扣除自身消耗后的净产出比重。同时，也可看到，此 矩阵的“行”则没有经济含义，因为每一行的元素不能 运算。
2、实物形态投入产出模型
（1） 实物形态投入产出模型的表式
在实物投入产出表中，是以产品来进行分类的，其计量 单位则是以实物单位来计量的。简化的实物形态投入产 出表如下所示：
上表的简要解释：
从行向看，反映的是各类产品的分配使用情况，其
中一部分作为中间产品供其它产品生产中使用（消 耗），另一部分则作为最终产品供投资和消费使用， 两部分相加就是一定时期内各类产品的生产总量。从 列向看，反映了各类产品生产中要消耗其它产品（包 括自身）的数量。但应指出的是，由于列向各类产品 的计量单位不一致，故不能进行运算，因此，实物投 入产出模型只有行模型没有列模型。
投入产出数学模型练习题 数学建模
投入产出数学模型经济应用案例投入产出数学模型的应用领域很广，常用于分析经济系统的部门结构和比例关系、进行经济预测、调整经济计划等各个方面。
由投入产出模型的理论知道，只要经济系统各个部门的生产技术条件没有变化，就可将报告期的投入产出数学模型直接应用于计划期的经济工作。
下面将以实例说明其在经济中的应。
例题设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其他产业三个部门。
上一年度三个部门的生产与消耗情况如下表所示：生产与消耗情况表假定该系统三个部门的生产技术条件都没有变化，从而该系统的直接消耗系数矩阵不变，由此建立的产品分配方程组和产值构成方程组也不变。
在此基础上，分别分析该系统的报告期投入产出数学模型在计划期经济计划工作方面的下列应用。
（1）在经济预测中的应用假定根据上例所示经济系统的生产发展情况，预计该系统工业、农业、其他产业三个部门的计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长9%、7%、6%。
由于在生产过程中系统内部存在着复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终产品的增长幅度与总产品的增长幅度并不一致。
试预测该系统最终产品的增长情况。
（2）在制订计划中的应用投入产出数学模型为合理制订经济系统的生产计划提供了一个科学的方法。
根据社会需要确定社会产品的原则，先通过对计划期需要量的预测，确定系统各个部门的最终产品，再利用投入产出数学模型推算出各个部门的总产品，在此基础上编制经济系统计划期的投入产出表，作为安排各个部门计划期生产活动的依据。
现假定通过预测，引例所示经济系统三个部门的计划期最终产品需要量分别为工业部门：1216y=亿元，农业部门：2716y=亿元，其他产业部门：3120y=亿元。
试确定计划期总产品、部门间流量及计划期各部门净产值。
（3）在调整计划中的应用以上介绍了如何根据对最终产品的需求，制订经济系统的生产计划。
但是在执行计划时，可能由于不可预测的原因，导致系统某些部门的最终产品出现缺口(计划产量小于需要量)，或者某些部门的最终产品出现余量(计划产量大于需求量)，从而破坏了经济系统原计划的平衡性。
《投入产出模型》课件
目录
CONTENTS
• 投入产出模型概述 • 投入产出模型的构建 • 投入产出模型的分析方法 • 投入产出模型的应用案例 • 投入产出模型的未来发展
01
CHAPTER
投入产出模型概述
定义与特点
定义
投入产出模型是一种经济数量分析方法，通过建立数学模型来描述和分析各部 门之间的经济技术联系和投入产出关系。
02
Excel是一款常用的办公软件， 可以通过添加插件或使用自定 义函数来处理投入产出模型的 数据。
03
SAS和Stata则是专业的统计分 析软件，具有强大的数据处理 和模型分析功能，适用于复杂 的投入产出模型分析。
04
CHAPTER
投入产出模型的应用案例
地区经济分析
总结词
投入产出模型在地区经济分析中，能够全面反映各产业间的经济联系，为地区经济发展战略制定提供决策依据。
数据来源
通过调查、统计和会计资料等途径获取各部门之间的 经济联系数据。
编制方法
采用会计和经济统计方法，按照生产活动的流程和特 点，将各部门之间的经济联系进行分类和整理。
直接消耗系数的计算
直接消耗系数
表示某部门生产单位产品所需直接消耗的另一 部门产品的数量。
计算方法
通过投入产出表中的投入数据计算，反映部门 之间的直接经济联系。
特点
投入产出模型具有系统性、动态性、预测性和政策模拟性，能够全面反映经济 系统的结构、功能和运行机制，为政策制定和经济发展提供科学依据。
投入产出模型的应用领域
产业结构分析
投入产出模型可以用于分析产业 间的关联关系和依存度，揭示产 业发展的内在规律和趋势，为产 业结构调整和优化提供决策支持 。
投入产出模型实例
量。设下个生产周期甲、乙产品的总产量和可提供的商品量分别为 x1、x2 和 y1、y2 则可
得下表
50
A
250 35
250
125
12050
0.2 0.14
100
1.25 0.25
I
1 0
0 1
I
A
1 0.2 0 0.14
0 1.25 1 0.25
0.8 0.14
1.25
0.75
将
投入产出模型实例 例 1： 假设某企业在所考察的期间内，生产甲、乙两种产品。生产过程中，甲、乙两种产 品的产品量，可提供的商品量及互相提供消耗的数量关系统计如下表（表中第一列的两个数 分别表示生产 250t 甲产品时甲产品和乙产品的消耗量，第二列的两个数分别表示生产 100 m3 乙产品时甲产品和乙产品的消耗量）。
（1）假设在下一个生产周期内，设备和技术条件不变，商品需求量增加。其中甲增加到 85t，
乙增加到 50 m3 。应该如何计划甲、乙两种产品的总产量才能满足市场需求？
（2）假设下一个生产周期计划总产量甲为 260t，乙为 110 m3 ，那么可提供给市场的商品
量各是多少？
通过上述表格，我们可以求出甲、乙两种产品各生产单位产品量时对甲、乙产品的消耗
0.8 0.14
1.25 0.75
x1 x2
70.5 46.1
虽然计划总产量增加了，由于比例不当，在下一个生产周期内甲产品的商品量反而减少了。
y1 y2
85 50
带入（2）
x1 x2
0.8 0.14
1.25 0.75
1 Βιβλιοθήκη y1 y2297 122
在下个生产周期，甲、乙计划总产量为 297t、122m3 时扣除消耗掉的产品量后的商品量才
建模案例一：投入产出分析
建模案例一：投入产出分析实例 一个城镇有三个主要企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统。
生产价值一元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产价值一元的电，需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费；而提供价值一元的铁路运输服务，则需消耗0.45元的煤费、0.10元的电费和0.10元的运输费。
假设在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求外，煤矿还得到了50000元的订单，电厂得到了25000元的电量供应要求，而地方铁路得到了价值30000元的运输需求。
试问：（1） 这三个企业在这个星期各生产多少产值才能满足内外需求？（2） 除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值（即产值中除去各企业的消耗所剩的部分）。
（3） 如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业的产品或服务的完全需求分别将是多少？解：（1）设煤矿、电厂和地方铁路在这个星期内生产的总产值分别为123,,x x x 元，由于“中间产品（作为系统内各企业的消耗）＋最终产品（外部需求）＝总产品”，从而建立分配平衡线性方程组为12311232123300.400.45500000.250.050.10250000.350.100.1030000x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩记12300.400.45500000.250.050.10,,250000.350.100.1030000x A x x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭则可以将线性方程组写成矩阵形式Ax y x +=，即()E A x y -=通过求解此线性方程组，即可求出三个企业在这个星期内生产的总产值123,,x x x 。
>> A=[0,0.40,0.45;0.25,0.05,0.10;0.35,0.10,0.10];>> y=[50000,25000,30000]';>> B=eye(3)-A;>> x=B\yx =1.0e+005 *1.14460.65400.8511所以，煤矿、电厂和地方铁路在这个星期内生产的总产值分别为12114460,65400,x x ==385110x =元。
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量。设下个生产周期甲、乙产品的总产量和可提供的商品量分别为 x1、x2 和 y1、y2 则可
得下表
50
A
250 35
250
125
12050
0.2 0.14
100
1.25 0.25
I
1 0
0 1
I
A
1 0.2 0 0.14
0 1.25 1 0.25
0.8 0.14
1.25
0.75
将
0.8 0.14
1.25 0.75
x1 x2
70.5 46.1
虽然计划总产量增加了，由于比例不当，在下一个生产周期内甲产品的商品量反而减少了。
y1 y2
85 50
带入（2）
x1 x2
0.8 0.14
1.25 0.75
1
y1 y2
297 122
在下个生产周期，甲、乙计划总产量为 297t、122m3 时扣除消耗掉的产品量后的商品量才
满足市场需求。
x1 x2
260 110
y1 y2
（1）假设在下一个生产周期内，设备和技术条件不变，商品需求量增加。其中甲增加到 85t，
乙增加到 50 m3 。应该如何计划甲、乙两种产品的总产量才能满足市场需求？
（2）假设下一个生产周期计划总产量甲为 260t，乙为 110 m3 ，那么可提供给市场的商品
量各是多少？
通过上述表格，我们可以求出甲、乙两种产品各生产单位产品量时对甲、乙产品的消耗
投入产出模型实例 例 1： 假设某企业在所考察的期间内，生产甲、乙两种产品。生产过程中，甲、乙两种产 品的产品量，可提供的商品量及互相提供消耗的数量关系统计如下表（表中第一列的两个数 分别表示生产 250t 甲产品时甲产品和乙产品的消耗量，第二列的两个数分别表示生产 100 m3 乙产品时甲产品和乙产品的消耗量）。