人大版_微积分_第五章_换元积分法资料
高等数学第五章第3节定积分的换元与部分积分
证
则
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
令 ( t ) F [ ( t )],
第 五 章 定 积 分
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt 所以 ( t )是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
0 0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx,
0
xf (sin x )dx
2 0
f (sin x )dx.
- 18 -
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
0
第 五 章 定 积 分
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x 1 d (cos x ) 2 2 0 1 cos x
所以
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
F ( ( )) F ( ( )) F (b ) F (a )
a f ( x )dx
b
f [ ( t )] ( t )dt
-3-
第三节
定积分的积分换元法与分部积分法
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
例7的几何解释
第 五 章 定 积 分
y
a
0
a
f ( x )dx 0.
y
f ( x)
a
o
a x
f ( x)
aHale Waihona Puke o偶函数a
微积分中的换元积分法
微积分中的换元积分法在微积分中，换元积分法是一种非常重要的积分方法，它主要用于解决一些较难的积分问题。
换元积分法是一种基本的数学思想，它可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分，从而更加方便地求解。
本文将详细地介绍换元积分法的基本思想和应用方法，并结合一些典型的例子进行讲解。
一、基本思想换元积分法的基本思想是通过变量替换的方式，将一个积分式中的变量替换成另一个变量，从而把一个较难的积分问题转化成一个较简单的积分问题。
具体来说，设有一个积分式：∫f(x)dx如果能够将x用t表示出来，并且求出dt/dx，那么就可以把积分式中的x全部用t来表示，将原来的积分式变成：∫f(t)(dt/dx)dx然后再将t看作自变量，x看作因变量，对f(t)(dt/dx)进行积分，最终得到原来的积分值。
二、应用方法换元积分法的应用方法比较灵活，下面将分别介绍三种典型的应用方法。
1.代换法代换法是换元积分法中最常用的方法，其具体思路是将积分式中的变量用一个新的变量表示出来，然后对新的变量进行求导，最终得到积分式中的原变量的微元。
代换法的一般步骤如下：（1）根据积分式中的特点选取代换变量（2）用代换变量表示出积分式中的自变量，并求出代换变量的微分（3）将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，将原积分式变为代换后的积分式（4）对代换后的积分式进行求解，得到最终答案代换法的应用可以通过一个例子来具体说明。
例1：求积分∫x√(1+x^2)dx。
解：积分式中含有根号，所以很难直接求解，这时就可以采用代换法来解决。
选取代换变量t=1+x^2，此时x^2=t-1。
对t求导，得到dt/dx=2x，即dx=(1/2√t)dt。
将x√(1+x^2)dx用代换变量表示为(t-1)√tdt/2，完成了变量替换。
此时将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，积分式变为：∫(t-1)√tdt/2对上式进行积分，最终得到积分值为：(2/3)(1+x^2)√(1+x^2)-2/3arcsin(x)+C其中C是积分常数。
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
微积分(第五章)
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一 、 降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
二 、 转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
三 、 循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章 不定积分
§3 分部积分法
四 、 递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整 求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算 例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章 不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质
换元积分法PPT课件
dx
x 1 x2
dx
arctan 1 x2
x
dx
1 2
1 1 x2
d(1
x2
)
arctanxd
arctanx
1 ln(1 x2 ) 1 (arctanx)2 C
2
2
28
二、第二换元法
引例
x dx x 1
为了将被积函数中的根式 x 1 去掉，
应将其作为一个整体，因此令 t x 1
因此，x t 2 1, dx 2tdt 将其代入原积分式中，
x dx t 2 1 2tdt 2 (t2 1)dt 2 t3 2t C
x 1
t
3
2 (t 2 1)dt 2 t3 2t C 3
2 ( x 1)3 2 x 1 C
29
3
第一换元法： f (j(x))j(x) d x f (u) d u 是被积表达式
已明显含有因子j(x)。而在实际问题中，常常遇到的是一般形
dx
1 3
dx x4
dx x 1
1 ln x 4 C. 3 x1
24
例 19
求
x2
dx . 4x 5
解
x2
dx 4x
5
1
dx (x
2)2
1
d( x 2) ( x 2)2
arctan(x 2) C.
25
例 20
求
x1
x2
4x
dx. 5
解
x1
x2
4x
dx 5
1 ( x2 4x 5) 1
例 2 求 (4x 5)99 dx.
解 上式与基本积分表中 x dx 1 x 1 C 1
人大版微积分第五章几种特殊类型函数的积分演示教学
例
x
3 x2
x
1
1
x
1
x2
. 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
微积分
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 (xa)k，则分解后为
(x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka,
其 中 A 1 ,A 2 , ,A k 都 是 常 数 . 特殊地：k1, 分解后为 A ;
其 中 M i,N i都 是 常 数 ( i 1 ,2 , ,k ).
特殊地：k1,
分解后为
Mx N x2 px
; q
微积分
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x
6
x3 A B , (x2)(x3) x2 x3
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
则 a2 q p2 , b NMp,
4
2
(x2M pxxNq)ndx
(t2
Mt a2)n
dt
(t2
b a2)n
dt
微积分
(1) n1, x2MxpxNqdx
Mlnx(2pxq)barctaxn
p 2C;
2
a
a
(2) n1, (x2M pxxNq)ndx
M
2(n1)(t2a2)n1b
(t2
1 a2)n
1 11 1 x( x 1)2 x(x1)2x1.
微积分
例3
1 (12x)(1
x2)1A2xB 1xxC 2 ,
1 A ( 1 x 2 ) ( B C ) x 1 ( 2 x ),
第五章第4节定积分的换元法和分部积分法
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
10
例８ 计算
a
1
dx.
0 x a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
2
4.
5
05
5
2
9
3
e4
dx
例７
计算
e
x
. ln x(1 ln x)
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
13
0 如
5 5
(
x4
高等数学-换元积分法
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
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微积分
③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 f ( x)dx
凑微分法的基本思路：
与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同
步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量
例1 求 sin 2xdx.
微积分
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
[1 sin 2x C] cos 2x 说明结果正确
2
微积分
将上例的解法一般化：
(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 C.
12
12
微积分
例12
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
注意：分子拆项是常用的技巧
微积分
例8
求
x2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
微积分
例9
求
1
1 e
x
dx
.
解
1
1 e
x
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
ex
1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
微积分
例11 求
1 2x 3
dx. 2x 1
原式 2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1dx
1 4
2
x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d
微积分
第五章 换元积分法
微积分
换元积分法
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。
在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
因此该定理的意义就在于把
f (u)du F (u) C 中的 u 换成另一个
x 的可微函数 ( x) 后，式子仍成立
——又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。
②由定理可见，虽然 f [ ( x)]( x)dx
是一整体记号，但可把 dx 视为自变量微分
a2
1
x
2dx
1
1
x a
2
d
x a
1 a2
11ar1caxt2a2ndxx
a
a
C
.
微积分
例7
a2
1
x2dx
解
a2
1
x 2 dx
(a
1 x)(a
dx x)
1 2a[ aຫໍສະໝຸດ 1 xa1
]dx x
1 [ln | a x | ln | a x |] C 2a
1 ln | a x | C 2a a x
x(1 2ln x)
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x
)
u 1 2ln x
1 2
1 du u
1 2
ln
u
C
1 ln(1 2
2ln x) C.
微积分
例4
求
(1
x x
)3
dx
.
解
x
x 11
(1 x)3dx (1 x)3 dx
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
或
1
1 cos
x
dx
1 2cos2
xdx
tan x C 2
2
微积分
例13 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
2
xd
(2
x)
2
微积分
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sin x) sin x2 C; 解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
微积分
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
微积分
注 ① 定理说明：若已知 f (u)du F (u) C 则 f [ ( x)]( x)dx F[ ( x)] C
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
1
x
C1
2(1
x)2
C2
1
1
x
2(1
1
x)2
C
.
微积分
例5
1 dx (a 0)
a2 x2
解
1 dx
1 dx
1 d(x)
a2 x2 x
a
1
x a
2
1
x a
2
a
arcsin C
a
1
例6 求 a2 x2dx.
解
1 a
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C
[ f (u)du]u ( x)
将上述作法总结成定理，使之合法化，可得
——换元法积分公式
例2
求
3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
微积分
u 3
2
x
1
1du 1 ln u C 1 ln(3 2x) C.
2u 2
2
一般地
例3 求
f
(ax 1
b)dx dx.
1 a
[
f (u)du]uaxb