人大版 微积分 第三章 导数与微分
合集下载
高等数学微积分第三章一元函数导数与微分
法线方程为:
1 y y0 f ( x0 ) ( x x0 ).
定义 2（单侧导数，左右导数）
f( x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
(令
x
x0
x)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
存在,
则称
f (x) 在
x0
处
右 左
可导,
x 0
x
注意:
f ( x0 )
f ( x)
，但
x x0
f ( x0 )
f ( x0 ) .
二. 函数不可导的情况
函数 f ( x) 在 x0 不可导，有以下三种情况：
1. 若 f ( x) 在 x0 不连续， 则 f ( x) 在 x0 不可导.
2. 由定理1，知
( 定理 2 )
( i ) 若 f( x0 ) 与 f( x0 ) 都存在但值不相等，
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1. 给 x 一增量 x，求 y f ( x x) f ( x)；
2. 计算 y f ( x x) f ( x)；
x
x
3. 计算极限 :
lim y lim f ( x x) f ( x)（存在） f ( x)
微积分第三章导数与微分
y
y
y
0
x0
x
0
x0
x
0
x0
x
（1）曲线 f ( x) 在点
（2） 曲线 f ( x) 在点
（3）曲线 f ( x) 在点
x0
x0 处
x0 处有
处是尖点
间断
垂直切线
calculus
作业
先看书 再做练习
P89:T8； P106：T1(1)；T2；T5.
x 作业讲评 P88.5(2) y sin x
x
1 lim[(1 ) ] x x
x x x
1 x lim u ( x) lim (1 ) e 0 x x x
x 1 lim v( x) lim lim 0 x x x x x
原式 e 1
P89.6. (5).解法1： lim (1 1 ) x x
x
1 lim (1 ) x x
lim
1 1 2 x ( )
1 x2
lim e
x
x
1 x2
calculus
ln(1 1 ) x
e
x
lim
1 x2
ln(1
1 ) x
e x
即
f ( x) 在 x0 处可导,
y f ( x0 ) lim 存在 x 0 x lim y lim y x
x 0
x 0
y lim lim x 0 x 0 x x 0 所以,函数 y f ( x) 在 x0 处连续.
x
问题：连续是否一定可导？
二、导数的定义
calculus
定义1：设函数y f ( x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
微积分课件(导数与微分2)资料
设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
第一节 导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节 导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节 导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
大学微积分第三章函数的求导法则ppt课件
x0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章1节
柯西中值定理的应应用 例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章 导数的应用
第一节 中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内 可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在 内某点 处函 数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定 理又称为广义中值定理.
微积分第3章导数与微分
2021/4/21
9
三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
2021/4/21
11
例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
2021/4/21
第三章 导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
第3导数与微分
例1 设 y arctan x, 求f (1).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
(1
2x x2
)2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
f (1)
2(3 x2 1) (1 x2 )3
x 1
1. 2
例2
设
y
f ( x)二阶可导，y
f
(e
x
),
求
d2 y dx 2
第3章 导数与微分
目录 §3.1 导数概念 §3.2 导数基本运算与导数公式 §3.3 隐函数与参变量函数求导法则 §3.4 微分及其运算 §3.5 高阶导数
目录 上一页 下一页 退 出
§3.5 高阶导数
一、高阶导数的概念
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
.
解 导数
dy f (e x ) (e x ) e x f (e x ) dx
得
d2 y dx 2
(e x )
f
(e x )
ex
f
(e x ) (e x )
e x f (e x ) e2x f (e x )
例3 求由方程 y x ln( x y)所确定的
隐函数y的二阶导数
例6 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
微积分(上册)第三章
第三节
高阶导数
第三节 高 阶 导 数
当x变化时，f(x)的导数f′(x)仍是一 个关于x的函数，对于这个新的函数， 如果可导，就可以将f′(x)继续对x进行求 导，从而得到“导了再导”的函数，这 就是高阶导数.
一、 高阶导数的定义
三、 复合函数的求导法则
注
对于初学者来说，求复合函数的导数是一个难点.但若能够 熟悉复合函数的复合过程，并牢记“由外向里，逐层求导”的 八字原则，则复合函数的求导就会变得简便易行.所谓“由外向 里”，就是按照复合的层次，从最外面开始，依次向里；“逐 层求导”就是一层一层地求下去，直到自变量为止.最后，把各 层求的导数的结果乘起来即可.
二、 反函数的求导法则
定理5
如果x=φ (y)在某区间上单调可导，且φ ′(y)≠0，那么它 的反函数y=f(x)在对应区间上也可导，且有
证因x=φ (y)单调可导，故它的反函数单调连续，下面
证明它的可导性.
当x有增量Δx≠0
Δy=f(x+Δx)－
f(x)≠0
二、 反函数的求导法则
二、 反函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理4
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例14】
设y=3x2+2x+7，求y′. 解y′=(3x2+2x+7)′=(3x2)′+(2x)′+(7)′=6x+2.
【例15】
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例16】
求下列函数的导数. (1)y=xsin x；(2)y=ax(2sin x－3cos x)；(3)y=x4•ex•ln x. 解(1)y′=(xsin x)′=(x)′sinx+x(sin x)′=sin x+xcosx； (2)y′=axln a(2sin x－3cos x)+ax(2cos x+3sinx)； (3)y′=4x3exln x+x4exln x+x3ex=x3ex(4ln x+xln x+1).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
微积分
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章 导数与微分
• • • • • 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分
微积分
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究 变量的变化速度。如物体的运动速度，电流 强度，线密度，比热，化学反应速度及生物 繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函 数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微 分学中两个最重要的基本概念——导数与微 分，然后再建立求导数与微分的运算公式和 法则，从而解决有关变化率的计算问题。
微积分
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
微积分
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
微积分
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质
微积分
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一 步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的 快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有 微小变化时，函数大体上变化多少。
重点
导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 导数的实质，用定义求导，链式法则
微积分
二、导数的定义
定义
y f ( x)在点x0的某个邻域内有定义.
x : x0 x0 x
y : f ( x0 ) f ( x0 x),
y f ( x0 x) f ( x0 )
y 若 lim 存在. 则称y f ( x)在点x0处可导 x 0 x
( x ) x 1 .
1
( R )
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
微积分
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
MN 0, NMT 0.
y f ( x)
N
C
o
T
M
x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 N 沿曲线C M , x x 0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
微积分
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
lim
t 0
1 loga (1 t )
1 t
1 ln a loga e
微积分
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.
log a ( x h) log a x 解 h 0 h h log a (1 ) x 1 lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x 1 log a e . 即 (log a x ) x 1 特别地 (ln x ) . x y lim
s v ( t0 ) lim v lim t 0 t 0 t
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) lim t 0 t
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
微积分
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
微积分
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
例1 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
f ( x h) f ( x ) C C 解 f ( x ) lim 0. lim h 0 h 0 h h
即
(C ) 0.
微积分
例2 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
微积分
例1
求函数 y x 2 在任意点 x 处的导数.
解 在 x 处给自变量一个增量 Δx ，相应的函数 增量为 Δy f ( x Δx) f ( x) ( x Δx) 2 x 2 2 xΔx (Δx) 2 , 于是 则
难点
微积分
基本要求
①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式
④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法
⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性
微积分
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,
微积分
例3 求函数 y x n (n为正整数) 的导数. 解
( x h) n x n ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
特别地
( e x ) e x .
微积分
设 t a 1 h loga (1 t )
h
a 1 求 lim h 0 h
h
h0t 0
ah 1 t 则lim lim h0 t 0 log (1 t ) h a
微积分
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
微积分
微积分
dx rx dt
Байду номын сангаас莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间t ,
s s s 0 g 平均速度 v ( t 0 t ). t t t 0 2
t0
t
t
当 t t 0时,
取极限得
g(t 0 t) gt 0 . 瞬时速度 v lim t t0 2
微积分
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线 运动也同样适用。设物体作变速直线运动， 其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t0 的 瞬时速度定义为
(sin x ) lim sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
x
4
cos x
x
4
2 . 2
★
点导数是因变量在点 x0处的变化率, 它
反映了 因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ y 是y在以x0和x0 x为端点的区间上的 x
平均变化率