人大版微积分第三版1-1

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微积分(经济类)习题答案1

习题1-1（A ）1．用集合描述法表示下列集合：（1）所有非负实数组成的集合；（2）圆221x y +=外部（不包括圆周）一切点组成的集合；（3）双曲线222-1x y =与直线y x =交点组成的集合；（4）抛物线线222y x x =+-与直线y x =交点组成的集合．解：（1） {|0};x x ≥ （2）22{(,)|1};x y x y +>（3） 22{(,)|21,};x y x y y x -== （4）2{(,)|22,}.x y y x x y x =+-= 2．用集合列举法表示下列集合：（1）双曲线2221x y -=与直线y x =-交点组成的集合；（2）抛物线221y x x =+-与直线1y x =+交点组成的集合；（3）椭圆2214x y +=与直线y x =交点组成的集合．解：（1） {(1,1),(1,1)};-- （2）{(1,2),(2,1)};--（3） 3．设I={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,4,6},B={3,4,5},C={2,3,7}，求下列集合：（1）A B ；（2）A B ；（3）A \B ；（4）AB C ；（5）A B C ；（6）cc A B .解：（1） {1,2,3,4,5,6}；（2）{4}；（3） {1,2,6}；（4） {1,2,3,4,5,6,7}；（5）φ ；（6） {7}.4．用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合：（1）|4|2x -≤；（2）|4|2x ->.解：（1）由|4|2x -≤可得26,x ≤≤ 故所求区间为[2,6]；（2）由|4|2x ->可得2x <或6,x > 故所求区间为(,2)(6,)-∞+∞.5．求下列函数的定义域：（1）x y e =；（2）y = （3）x x y --+=21；（4）y =解：（1）由10x ->可得1,x > 故所求函数定义域为(1,)+∞；（2）由2ln(1x x +-≥)0有211x x +-≥，解得01,x ≤≤ 故所求函数定义域为[0,1]；（3）由1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，，有12x -≤≤故所求函数定义域为[-1,2]；（4）由101xx+>-有11x -<<故所求函数定义域为(-1,1). 6．设函数2(1)2f x x x -=+，求()f x .解：由2(1)2(1)5(1)3f x x x -=-+-+，得2()253f x x x =++.7．设函数2,11,()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=>，求(2)f -, (0).f解：2(2)(0)00.f f -==== 8．下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？（1）()||f x x =与()g x ；（2）2()x f x x=与()g x x =；（3）()f x x =与ln ()xg x e=；（4））()f x =与()g x =解：（1||x =恒成立；（2）不相同，因为()f x 定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，而()g x 定义域为(,)-∞+∞; （3）不相同，因为()f x 定义域为(,)-∞+∞，而()g x 定义域为(0,)+∞; （4）不相同，因为()f x 定义域为(3,)+∞，而()g x 定义域为(,1)(3,)-∞-⋃+∞. 9．判断下列函数的奇偶性：（1）()(0)xxf x a a a -=+>；（2）1()ln 1xf x x+=-. 解：（1）偶函数，因为()()xx f x a a f x --=+=；（2）奇函数，因为11()lnln ()11x xf x f x x x-+-==-=-+-. 10．设()f x 和()g x 是定义在),(l l -上的两个奇函数，()h x 和()q x 是定义在),(l l -上的两个偶函数，证明（1）()()f x g x +是奇函数，()()h x q x +是偶函数；（2）()()f x g x 与()()h x q x 均是偶函数，()()f x h x 是奇函数.证：按照奇函数和偶函数定义证明即可.下面仅以()()f x h x 是奇函数为例进行证明，其余情况类似.由题意可知()(),()()f x f x h x h x -=--=，进而()()()()f x h x f x h x --=-，故()()f x h x 是定义在),(l l -上的奇函数.习题1—1（B ）1．已知函数()f x 的定义域为(0,1)，求函数1(||),(2),()1f x f x f x --的定义域. 解：由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知0||1x <<，解得10x -<<或01x <<，所以(||)f x 的定义域为(1,0)(0,1)-⋃；由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知021x <-<，解得23x <<，所以(2)f x -的定义域为(2,3); 由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知1011x <<-，解得2x >，所以1()1f x -的定义域为(2,)+∞. 2．若对任何实数y x ,，恒有()()()f x y f x f y +=+，且(2)4f =，求(1)f . 解：在恒等式中，令1x y ==，则有4(2)(1)(1)2(1)f f f f ==+=, 进而(1)2f =. 3．若对任何实数y x ,，恒有()()()f x y f x f y +=，且(1)4f =，求(2)f . 解：在恒等式中，令1x y ==，则有(2)(1)(1)4416f f f ==⨯=. 4．设对任意的x ，有2()2(1)1f x f x x +-=-，求()f x .解：由已知2()2(1)1f x f x x +-=-，可得22(1)2()(1)12f x f x x x x -+=--=-，求解方程组22()2(1)1(1)2()2f x f x x f x f x x x⎧+-=-⎪⎨-+=-⎪⎩，解得2141()333f x x x =-+. 5．证明函数)1lg()(2x x x f ++=是定义在),(∞-∞上的奇函数.证：)1lg()(2x x x f ++=定义域为),(∞-∞，并且()lg()lgf x x x -=-==)()x f x =-=-，因此，函数)1lg()(2x x x f ++=是定义在),(∞-∞内的奇函数.习题1-2（A ）1. 求下列函数的定义域：（1）2ln 1x y x =-；（2）22log (4)sin x y x x =+-；（3）arcsin(21)y x =+；（4）21arctan1x y x +=-；（5）1arccosx y -=；（6）arcsin(1)ln(1)y x x =-++. 解：（1）由201x x >-, 可得1,x > 故所求函数定义域为(1,)+∞；（2）由sin 040x x ≠⎧⎨->⎩，，可得4,x >23...x k k π≠=且，，.故所求函数定义域为{|4,23...}x x x k k π>≠=且，，；（3）由1211x -≤+≤, 可得10x -≤≤，故所求函数定义域为[1,0]-；（4）由210x -≠, 可得1x ≠±，故所求函数定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞；（5）由1112||20x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪->⎩，，可得23x <≤，故所求函数定义域为(2,3]；（6）由11110x x -≤-≤⎧⎨+>⎩，，可得02x ≤≤，故所求函数定义域为[0,2].2．判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =（2）()tan cos f x x x x =+.解：（1）奇函数，因为()()f x f x -===-；（2）偶函数，因为()()tan()cos()tan cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=. 3．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期. （1）sin(35)y x =+；（2）tan(24)y x =+；（3）2sin y x =；（4）1cos5y x =+.解：（1）周期函数，最小正周期为23T π=；（2）周期函数，最小正周期为4T π=；（3）不是周期函数；（4）周期函数，最小正周期为25T π=. 4．下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？（1）()1f x =与2()2cos cos 2g x x x =-；（2）()1f x =与22()sec tan g x x x =-. 解：（1）相同，因为22cos cos 21x x -=恒成立；（2）不相同，因为()f x 定义域为(,)-∞+∞，而()g x 定义域为{|,}2x x k k N ππ≠+∈.5. 证明下列恒等式：（1） 22tan 1sec ;x x += （2）22cot 1csc .x x +=证：对于上述三角函数有意义的x 值，有（1）22222222sin sin cos 1tan 11sec cos cos cos x x x x x x x x++=+===；（2）22222222cos sin cos 1cot 11csc sin sin sin x x x x x x x x++=+===.习题1-2（B ）1．若函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数1()(2)(23)x f f x f x x -+++，的定义域. 解：由函数()f x 的定义域为[0,1]，可知101x x -≤≤，解得1x ≥，所以1()x f x-的定义域为[1,)+∞；由函数()f x 的定义域为[0,1]，可知0210231x x ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得 1.51x -≤≤-，所以(2)(23)f x f x +++的定义域为[ 1.5,1]--.2．若)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，证明()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()H x f x f x =-- 是奇函数.证：由()()()()F x f x f x F x -=-+=，可知()()()F x f x f x =+-是偶函数；由()()()(()())()H x f x f x f x f x H x -=--=---=-，可知()()()H x f x f x =-- 是奇函数. 3. 定义在(,)(0)a a a ->上的任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，并且表示法唯一.证：不妨设()f x 为定义在(,)(0)a a a ->上的一个函数，令 ()()()2f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=，由于()()()()2f x f x F x F x -+-==，因此()F x 是定义在(,)(0)a a a ->上的偶函数；由于()()()()2f x f x G x G x ---==-，因此()G x 是定义在(,)(0)a a a ->上的奇函数，并且易知()()()f x F x G x =+,也就是说定义在(,)(0)a a a ->上的任何一个函数都可以表示成奇函数和偶函数之和形式.假设()()()f x P x Q x =+，其中()P x 为偶函数，()Q x 为奇函数. 由()()()f x F x G x =+，可得()()()()F x P x Q x G x -=-。

微积分第三版第一章

三、函数的表示法
1. 表格法 2. 图像法 3. 解析式法
自变量的值与对应的函数值列成表格的方法在坐标系中用图形来表示函数关系的方法将自变量和因变量之间的关系用
数学表达式(又称为解析表达式来表示的方法数学表达式又称为解析表达式)来表示的方法又称为解析表达式来表示的方法.
根据函数的解析表达式的形式不同, 根据函数的解析表达式的形式不同函数也可分为以下三种: 分为以下三种
( a , b] = { x a < x ≤ b}
o
a
b
x
[a , b ) = { x a ≤ x < b}
o a
b
x
(4)(a ,+∞ ) = { x x > a }, [a ,+∞ ) = { x x ≥ a }
(5)( −∞ , b ) = { x x < b}, ( −∞ , b] = { x x ≤ b}
δ
x0 − δ
δ
x0
x0 + δ
x
例如 ,0 < x − 1 < 2, 即为以点 x 0 = 1为中心 ,以2为半径的空心邻域 ( − 1,1) U (1,3).
第函
三
节数
一、函数概念定义1.9 若 D 是一个非空实数集合 , 设有一个对应规则 f , 定义
使每一个 x ∈ D , 都有一个确定的实数 y与之对应 , 则称这个对应规则 f为定义在 D 上的一个函数关系 , 或称变量 y是变量 x的函数 , 记作
以 a , b为端点的闭区间 , 记作[a , b], 即
[a , b ] = { x a ≤ x ≤ b}
o
a

经济类人大版《微积分》课件 1.1-1.2 集合

注：( x, y)和(y , x)是两个不同的有序元素组.
笛卡尔乘积定义
定义：设有集合A和B，对任意的x A, y B,所有二元有序数组(x, y)构成的集合，称为集合A和B的笛卡尔乘积，记为A B，即 A B {(x, y) | x A, y B}.
例4：设A {1，2}，Bห้องสมุดไป่ตู้ {2，3}，则 A B {(1, 2) ，(1, 3) ，(2 , 2) ，(2 , 3)}.
微积分我们学什么？
❖ 利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质
极限的直观定义与计算
❖ 一元函数微分导数与微分的概念与计算
微分学应用
❖ 一元函数积分不定积分
定积分概念与计算
积分学应用
❖ 多元函数
偏导数
重积分的概念与计算
第一章函数
❖ 集合 ❖ 函数概念 ❖ 函数的几种特性 ❖ 反函数 ❖ 复合函数 ❖ 初等函数
性质： 1.集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某集合是确定的，是或不是二者必居其一； 2.集合具有互异性和无序性。
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素； a是集合M的元素，记作a M（读作a属于M）; a不是集合M的元素，记作a M（读作a不属于M）.
集合的表示法
1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用{}括起来。
x
a- δ
a
a+ δ
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1
δ=1
x
1
2
3
空心邻域
U (a, ) {x | 0 x a } {x | a x a或a x a } (a , a) (a, a )

人大版微积分第三章导数与微分

并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
微积分
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章导数与微分
• • • • • 引例导数概念导数的基本公式与运算法则高阶导数微分
微积分
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。
微积分
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.
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微积分
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
微积分
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质

微积分第一章详细答案

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。

高中数学：导数教案新人教A版选修1-1 教案

导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

人大版微积分第三章导数的基本公式续

微积分
例
求 y 1 的高阶导数. x
解 y 1 (ln x) 注意这里的方法 x
y(n) ((ln x))(n) (ln x)(n1)
(1)(n1)1[(n 1) 1] ! x(n1)
(1)n n! x (n1)
y(n) (ln x)(n) (1)n1(n 1)! xn (n N )
2x 1 x2
5 1 5x
8 1 8x
4x3 1 x4
微积分
故
y
1 3
(1 x)(1 2x)(1 x2 )
3 (1 5x)(1 8x)(1 x4 )
1 1 x
1
2 2x
1
2
x x
2
5 1 5x
8 1 8x
4x3 1 x4
微积分
求导方法小结
按定义求导
基本初等函数的导数导数的四则运算法则复合函数求导法
记为 f (x) Cn (I) 或 f (x) Cn.
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
f (x) C (I) 或 f (x) C.
微积分
例求幂函数 y xn , n Z 的高阶导数.
解 y (xn ) nxn1 y ( y) (nxn1) n(n 1)xn2 y ( y) n(n 1)(n 2)xn3 …………………………
t) t)
3a sin 2 t 3a cos2
cos t t sin t
tant
(t n , n Z )
2
微积分
取对数求导法
微积分
取对数求导法
方法: 在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两边

微积分(第三版)课件：多元函数微积分

轴的直准线 C 上.所以的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组的坐标，n个实数
称为中的一个点，也称该点就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点为
与
间的距离定义
第二节多元函数
一、二元函数二、二元函数的极限与连续三、多元函数
第二节多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D ，使，则称E为有界区域，否则称E为无界区域.

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(3) 集合的交运算
A B def x x A且x B
性质： A I B A, A I B B A I =, A I U A, A I A A
(4) 集合的差运算
A B def x x A且x B A B A AI B
例：A=1,2,3,4,7, B 2,3 A=1,2,3,4,7, B 1, 2,3, 4,7,9
２．16世纪前后约200年的时间是古已有之的常量数学基本完成时期，也是变量数学的酝酿时期，
微积分正式进入了酝酿阶段．３．17世纪上半叶，微积分的奠基工作在紧锣密鼓地进行着，最主要的先驱有法国的帕斯卡（Pascal 1623-1662)和费马（Fermat 1601－1665），英国的瓦里士（ Wallis 1616－1703）和巴罗（Barrow
1630－1677）．
17世纪下半叶，牛顿（Newton 1642-1727)和莱布尼兹Leibniz (1646-1716)在前人的基础上创立了微积分及其演算体系
４．18世纪是关于微积分的基础的讨论和研究的时期
５．19世纪，从形式演算—> 严格的科学体系，波尔察诺（Bolzano 1781-1848），
记作
注意: 0,都不是空集，前者含有元素0，
后者以为其元素
(4)
记作
由所研究的所有事物构成的集合称为全集
U
(5)子集
(1) 若x A,则必x B,就说A是B的子集.
记作 A B. 或 B A.
例如 : N Z , Z Q, Q R.
结论：A A 集合A为自己的子集. A, A任意空集为任何集合的子集. 若A B, B C,则A C
3.《高等数学习题集》同济版。
本学科的学习基本方法
高等数学的学习方法因人而异在学习中注意以下几个环节
1. 课前预习 2. 认真听讲 3. 复习巩固 4. 作业 5. 答疑 6. 融会贯通
§1．１集合，符号
1. 我们用符号“” 表示“任取” 或“对于任意的”或“对于所有的” , 符号“” 称为全称量词.
微积分
•
•
张杰
•
zh学研究的对象: 函数
连续量随另外一个连续量连续地变化 (函数的概念). 连续量的运算体系及其数学理论 (微积分)
b. 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除)
c. 两种体系的区别. 初等数学主要是恒等变形技巧; 而高等数学则是用
4. 我们用符号“”表示“当且仅当” 或 “充要条件” 这一意思. 比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.
一、集合(set)
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 记为 a M, a M, 唯一确定的特性：任意对象是否为该集合的元素，可唯一判别。
A(B D) = (A B) (A D)
AB
AB
D
D
4、摩根定律 A U B A I B
哥西 (Cauchy 1789- 1857)，维尔斯特拉斯（Weierstr-－ass 1815-1897）等数学家给出了
分析学一系列基本概念的精确定义，从而奠定了严格的分析学基础，
戴德金（Dedekind 1831-1916）和康托（Cantor 1845-1918）等1872年建立了严格的
AB ?
(5) 集合的补运算
A def x x U且x A
性质： A U A=U, A I A
性质：
1、交换律 A B = B A A B = B A 2、结合律 A(B D) = ( A B) D
A (B D) = (A B) D 3、分配律 A (B D) = ( A B) ( A D)
2.表示法:
(1) 列举法 A {a1, a2,L , an}
(2) 描述法 M {x x所具有的特征} (3) 文氏图
3.几种集合:
(1) 分为有限集和无限集
(2) 常用数集 N----自然数集
Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集 (3) 不含任何元素的集合称为空集.
例如 {x x R, x2 1 0}
不等式来刻划等式(用极限的概念)
d. 学习方法的不同
初、高中：从填鸭式－> 启发式, 以教师为主, 强烈地依赖于教师。
大学：从启发式－> 个人自发, 以学生本身为主，教师引导。
e. 微积分的发展历史１．15世纪以前是它的概念的萌芽时期，主要是阿基米德（Archimedes 公元前287－212)的穷竭法和刘徽的割圆术
实数系理论．微积分严密化的任务终于在他们手中完成了．
微积分是以极限论作为基础，而极限论又以实数理论为基础．演算体系极限概念刻划基石：实数连续统
学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，更主要的是，培养自己的积极思考问题和解决问题的能力。
参考书目： 1．《高等数学》同济大学出版； 2．《微积分配套习题》人民大学出版社；
2. 我们用符号“”表示“存符号“”称在”. 为存在量词.
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR, 使x+y=1”
3. 我们用符号“”表示“充分条件” 或 “推出” 这一意思. 比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.
集合的运算： (1) 若A B,且B A,就称集合A与B相等.
记为 A=B
例如 A {1,2}, C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
(2) 集合的并
A B def x x A或x B
性质： A A U B, B A U B A U=A, A UU U AUA A