最新人大版微积分第三版课件32ppt课件
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大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
高等数学(第三版)课件：微分
函数 f (x)在点 x0处可导；并且有 A f (x0 )
于是
d y xx0 f (x0)x
自变量的微分：通常把自变量的增量x 记为 d x ，称为自变量的微分.于是
d y xx0 f (x0)d x
可微函数：如果函数 f (在x) 区间 (a内,b每) 一 点都可微，则称该函数在 内(a可,b微) ，或称函 数 是在 f (x内) 的可(微a,函b)数．此时，
面积的微分为 d s sr r 2 rr.
二、微分的几何意义
过曲线 y f (x)上一 点 M (x, y) 作切线 MT，设 MT 的 倾角为 ，则 tan f (x)
当自变量 x 有增量x 时，
切线 MT 的纵坐标相应地有增 量
QP tan x f (x)x d y
因此，微分 d y f (x)x几何上表示:
例2 求函数 y x2 1当 x 1，x 0.01 时的微分
解 函数在任意点的微分d y (x2 1)x 2xx
于是
d y x1 2xx x1 0.02
x 0.01
x 0.01
例3 半径为 r 的圆的面积为s r 2当半
径增大r 时，求圆面积的增量与微分．
解 面积的增量
s (r r)2 r2 2 rr (r)2
x
d
x
1 sin2
x
d
x
d(csc x) csc x cot x d x
d(arcsin x) 1 d x d(arccos x) 1 d x
1 x2
1 x2
d(arctan
x)
1
1 x2
d
x
1 d(arccot x) 1 x2 d x
2．函数的和、差、积、商的微分运算法则
于是
d y xx0 f (x0)x
自变量的微分：通常把自变量的增量x 记为 d x ，称为自变量的微分.于是
d y xx0 f (x0)d x
可微函数：如果函数 f (在x) 区间 (a内,b每) 一 点都可微，则称该函数在 内(a可,b微) ，或称函 数 是在 f (x内) 的可(微a,函b)数．此时，
面积的微分为 d s sr r 2 rr.
二、微分的几何意义
过曲线 y f (x)上一 点 M (x, y) 作切线 MT，设 MT 的 倾角为 ，则 tan f (x)
当自变量 x 有增量x 时，
切线 MT 的纵坐标相应地有增 量
QP tan x f (x)x d y
因此，微分 d y f (x)x几何上表示:
例2 求函数 y x2 1当 x 1，x 0.01 时的微分
解 函数在任意点的微分d y (x2 1)x 2xx
于是
d y x1 2xx x1 0.02
x 0.01
x 0.01
例3 半径为 r 的圆的面积为s r 2当半
径增大r 时，求圆面积的增量与微分．
解 面积的增量
s (r r)2 r2 2 rr (r)2
x
d
x
1 sin2
x
d
x
d(csc x) csc x cot x d x
d(arcsin x) 1 d x d(arccos x) 1 d x
1 x2
1 x2
d(arctan
x)
1
1 x2
d
x
1 d(arccot x) 1 x2 d x
2．函数的和、差、积、商的微分运算法则
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
教学课件微积分第三版
称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
人大版微积分第三版课件定积分应用
线
、 （ a b ）及 轴所围成的平面
图形绕 x轴旋转而成的旋转体，见图6-19，求它
的体积 Vx.
（1） 用分点 a x0 x1 x2 xn b
把区间 [a,b] 分成 n个小区间
[xi1, xi ](i 1, 2, , n)
这些小区间的长分别为 xi xi xi1(i 1, 2, , n)
定积分的应用
平面图形的面积 旋转体的体积
已知函数 求由曲线 梯形的面积 .
在区间
，
，
上连续，如何 所围成的曲边
1. 如果在 见图6-10
则由定积分
上
，
的几何意义知：
2. 如果在
上
，见图6-11，
3. 对于在
上函数
面积 可以表示为
有时取正有时取负，见图6-12，
类似地，由曲线 x ( y)( 0)，直线 y c, y d 及 y
n
因此整个旋转体体积 Vx
[ f (i )]2 xi
i 1
（3） 记
x
max
1in
xi
当分点数
n , x 0
整个旋转体的体积
n
Vx
lim
x0
i 1
[
f
(i )]2 xi
b
[
f
(
x)]2dx
a
同理可得绕y轴旋转而成的旋转体的体积的计算公式为
Vy
d [( y)]2dy
c
求椭圆
分别绕 轴与 轴旋转产生的旋转体体积
4b a2 ab
a4
a2 x2 dx
例 求抛物线 y2 2x 与直线 y x 4
2
所围成的图形的面积.
微积分(第三版)课件：中值定理
例 试证 | arctanb arctan a || b a |.
证
设f
(x)=arctan
x
,
(a<b)
.
(arctan
x)
1
1 x2
显然arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.
可知必定存在一点 (a,b) , 使得
arctanb arctana
1
1
2
(b a),
a
b.
拉格朗日 Joseph-Loouis Lagrange
(1736-1813)
f (x) x (0 x 1)
f
(x)
x 0
0 x1 x 1
原点处不可导
端点处值不等
端点处不连续
例 验证函数 f (x) x4 50x2 300 在区间 [ 8，8]符合罗尔定理.
显然多项式函数 f (x) 为偶函数，且连续可导.
满足罗尔定理条件 f (x) 4x3 100x
y
f (x) x4 50x2 300
微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
微分中值定理
导数在实际问题中具有广泛的应用，利用导数可 以求解未定式的极限问题；利用导数可以研究函数的 基本性态、函数图形的特征；利用导数可以解决实际 生活中的优化问题.
微分中值定理是利用导数研究函数在区间上整体 性质的有力工具和桥梁，微分中值定理主要包括罗尔 定理、拉格朗日定理和柯西定理。
例 f (x) (x 1)2在[0,3]上不满足罗尔定理的条件
( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3)使 f ( ) 0.
(2)罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个条件定
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
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故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
例2. 求证 (tax)nse2x c, (c x )s c cx s cc x o . t
证: (tanx)csionxsx (six)n co cx o ss2sxix n (cx o)s
cos2 x sin2x cos2 x
se2cx
(csxc) sin1
x
(sixn) sin 2 x
co xs sin 2 x
cx s cc x ot
类似可证: (cx o) tcs2x c,(sx )e s ce x tc a x .n
二、反函数的求导法则
定理2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反 ,f函 1(y)在 数
长 的 时 间 隧 道，袅
人大版微积分第三版课件32
思路:
f(x)limf(xx)f(x) ( 构造性定义 )
x 0
x
本节内容
(C ) 0
(s inx) coxs 证明中利用了
(lnx) 1 x
两个重要极限
求导法则
其它基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
(3)
u
v
uvv2uv
证:
二、计算下列各函数的导数：
1、
y
1
1 x
x2
； 2、
y
10 10
x x
1； 1
3 、 y 2 csc x ； 1 x2
4、 f ( x ) 1 t ,求 f (4) ； 1 t
5 、 y a x b a x b ( a 0 , b 0 ) . b x a
三 、 求 抛 物 线 y ax 2 bx c 上 具 有 水 平 切 线 的 点 .
2
类似可求得
(arctrccxo)t11x2
2) 设 yax(a0,a1),则 x lo a y ,y g ( 0 , )
(ax) 1 (loga y)
1
1
y ln a
ylnaaxlna
特别当 ae时, (ex) ex
Review:
(arcxs)in
1
1
x2
(arctx)an 1
四、写出曲线 y x 1 与 x 轴交点处的切线方程. x
练习题答案
一 、 1、
sin x x(
2x
cos
x ) ； 2 、 3 a x ln
a
ex
2 x2
；
3 、 2 ； 4 、 sec x ( 2 sec x tan x ) ； 5 、 3 ； 6 、 .
y 的某邻域内单调可导, 且 [f1(y)]0
f
(
x
)
[f
1
1(y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x0,由反函数的单调性知
y f( x x ) f( x ) 0,
y x
1
x
y
且由反函数的连续性知 x 0时必 y 有 0, 因此
f(x) limy x0x
lim
y0
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 ， 每 逢 进 入夏天 ，集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一 把 ， 忽 闪 忽闪个 不停， 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下 ， 或 站 着 ，或随 即坐在 石头上 ，手持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ，热得 满头大 汗，不 时听到 “强子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ，跑个 没完， 直到累 气喘吁 吁，这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母 亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇， 是 那 么 凉 快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品，在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便携带 ，且蒲 扇的表 面 光 滑 ， 因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ，实即 今 日 的 蒲 扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似圆非 圆 ， 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长
1
x
2
(ax)axlna
(arccx)os 1
1 x2
(ar cc ox)t
1
1 x
2
(ex) ex
EXERCISES
一、填空题： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 、 设 y 3 a x e x 2 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x dx 3 、 设 y e x ( x 2 3 x 1 ) , 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . dx x 0 4 、 设 y 2 tan x sec x 1 , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5、 设 y f (x) 3 x 2 ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 6 、 曲 线 y sin x 在 x 0 处 的 切 线 与 x 轴 正 向 的 2 夹 角 为 _________.
设
f(x)uv
( (
x x
) )
,
则有
u( x
f(x)lim f(xh )f(x)limv ( x
h) h)
u(x) v(x)
h 0
h
h 0
h
h l i0m u(xhh)u(x)vv((x x ) h u)v (x()x v)(xhh)v(x)
u(xh )vu (x()x u)v(u(x(x)vxv)2)( (vxx(u ))x(x)h v)(x)
1
x
y
1
[ f 1(y)]
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 yarcsxi,n则 xsiyn, y(, ),
22 coys0, 则
(arcsxi)n
1 (siny)
1 cos
y
1 1sin2 y
1 1 x2
(arcxc) o? s 1 1 x2
利a用rccx osarcxsin