高等数学 求导方法
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学这里是高等数学的导数表大全，包括了常见的函数的导数公式以及一些常用的求导技巧和公式。
1. 常数函数的导数公式如果 $f(x) = C$ 是一个常数函数，那么它的导数就是 $f'(x) = 0$。
2. 幂函数的导数公式如果 $f(x) = x^n$ 是一个幂函数，那么它的导数就是 $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$。
3. 指数函数的导数公式如果 $f(x) = a^x$ 是一个指数函数，那么它的导数就是 $f'(x) = a^x \cdot \ln a$。
4. 对数函数的导数公式如果 $f(x) = \log_a x$ 是一个对数函数，那么它的导数就是$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$。
5. 三角函数的导数公式正弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$余弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$正切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$余切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$6. 反三角函数的导数公式反正弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arcsin x =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$反余弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$反正切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arctan x =\frac{1}{1+x^2}$反余切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \text{arccot} x = -\frac{1}{1+x^2}$7. 复合函数的导数公式如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导函数，那么复合函数 $h(x) = f(g(x))$ 的导数就是 $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
高等数学-求导方法(已改)
(xey 0)
d (ey) ey dy
dx
dx
由 y 5 2 y x 3 x 7 0 确定的隐函数 y y ( x ) 的.导数
解 将方程两边同时对 x 求导，得：
5y4dy2dy121x60 dx dx
dy 1 21x6 dx 5y4 2
2求由方程 x2xyy2 4确定的隐函数 y y(x)
四阶导数
y(n),或 f(n)(x)， 或 dny。 y(n)y(n 1) n阶导数 dxn
2.2.3、隐函数的导数
由 方 程 F (x ,y ) 0 确 定 的 变 量 x 与 变 量 y 之 间 的 函 数 关 系 y y (x )， 称 为 隐 函 数 。
隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导, 含有y的式子将y视为中间变量，按照复合函数求导 法则计算。
(sinx)coscx os2sxinx(cosx)
cos2 xsin2 cos2 x
x
1 cos2 x
se (cotx)csc2x
求下列函数的导数
(1 )y se cx和 y c scx
(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx
(2x3)(5x2)(3x)(7 )
23x252x30
6x210x3
例2 f(x)x34cosxsin ，求f(x) 及f()
2
2
解 f(x)3x24sinx
f() 32 4
24
sin 是常数
2
例 y tanx 求 y
解
y (tanx) csoinsxx (uv)uvv2uv（v0）
y13(x1 )(x2)( 11 1) 3 x3 x1 x23x
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
求导数的方法
4-3 隐函数的求导
例13 由方程 解
x sin y = cos( x + y )
，求 y ′(0, )
2
π
（x sin y )′x = (cos( x + y ))′x
sin y + x cos y ⋅ y ′ = − sin( x + y )(1 + y ′)
代入
x = 0和y =
π
2
得 y ′ = −2
y = sin u
u = 1+ x2
2 ′（ ′x y ′ = (sin u ) u 1 + x ）
= cosu × ( 2 x )
= 2 x cos(1 + x 2 )
例6 求 y = (1 − x 2 ) 5 的导数 解
y = u5
u = 1− x2
y ′ = ( u 5 ) ′（ − x 2 )′x = 5u 4 × ( − 2 x ) u 1
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
4-1 求导公式与求导法则
即
(tan x ) ′ = sec
2
x
可类似推导出其它求导基本公式
′ = − csc2 x （cot x)
(secx)′ = secx tanx
1 y ′ cos y = 1，即y ′ = cos y
而 所以
cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2
y′ = 1 1− x2
精品课程
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高等数学导数公式大全
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2-x ) ' 2-x ln 2(-x) ' -2-x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' (xey ) ',即
y ' ey x (ey ) ey x ey y '
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
2) y sin( x - 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2-x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
高等数学导数的四则运算
课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。
本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则： （1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='， 推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）； 推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形． 例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ， 三、例题分析例：求 的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例： 解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5） （6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用 例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？ 解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出： ，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率 解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为 半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业 上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式 导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？ 由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='， 简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
医学高等数学课件 第二章第2节-求导法则(2)
函数f (x)的n阶导数,记作
f ( (n) x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
2.高阶导数求法举例
例21 设y eax , 求 y(n).
解:
y aeax,
y a2 eax ,
y a3 ea x ,
y(n) aneax
dy dy dx d t
d x (t) . dt (t)
可导,
例19.求曲线
x y
t(1 sin t cos t
t
)
所确定的函数的导数
dy dx
解： dy dy dx cos t t sin t dx dt dt (1 sin t) t cos t
例20.求椭圆
x
y
a cos t b sin t
特别地 (ex )(n) e x
注: 求n阶导数时,求出1~3或4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例23.设 y sin x, 求y (n).
解: y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
求导方法：
①两边取对数 ln y v ln u （隐函数）
②两边对x求导 1 y v ln u uv
y
u
③解方程 y uv ( vln u uv ) u
例16. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐函数
两边对 x 求导
1 y ln xx 1
y
x
y y(ln x 1) xx (ln x 1)
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
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特别 推广
(Cu) Cu
1 v ( ) 2 （v 0） v v
(uvw) uvw uvw uvw
例1 设 解
y 2x3 5x2 3x 7 求 y
y (2x3 5x2 3x 7) (2x3 ) (5x2 ) (3x) (7)
高等数学
2.2
求导运算
学习重点
导数的四则运算法则 复合函数，隐函数的求导
2.2.1、函数的四则运算求导法则
如果函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 处可导， 那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外） 在点 x 处也可导， 且
(u v) u v (uv) uv uv
2
y 2 x ln x cos x x cos x x ln x sin x
ln x (3) y x 1 ln x y x2
2.2.2、复合函数的求导法则
如果函数 u g ( x) 在 x 点可导,而 y f (u )在 对应点 u g ( x)处可导, 则复合函数 y f [ g ( x)] dy dy du 在点 x 处可导，且其导数为 dx du dx y y u 证明略 证明关键式子 x u x
1 1 x . . x x
例
解
y ln( x 1 x ), 求y ，确定该函数的定义域 1 2x y 1 2 2 x 1 x 2 1 x
2
1 x 1 x
2
1 x2 x 1 x
2
1 1 x2
◆高阶导数 ——导函数的导数
四阶导数
n阶导数
2.2.3、隐函数的导数
由方程 F ( x, y) 0 确定的变量 x 与变量 y之间的函数 关系 y y( x)，称为隐函数。
隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导, 含有y的式子将y视为中间变量，按照复合函数求导 法则计算。
例
dy 求由方程 e xy e 0 所确定的隐函数y y ( x)的导数 。 dx
相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三 阶导数的导数称为四阶导数，…（n-1)阶导数的导数称 为函数的n阶导数，分别记作
d3y y '''，或f '''( x)，或 3 。 y ''' y 三阶导数 dx
4 d y (4) (4) y , 或f ( x)，或 4 。 y (4) y dx n d y (n) (n) y , 或f ( x)，或 n 。 y ( n ) y ( n1) dx
推广 对于复合函数 y f {[ ( x)]} ， 设 y f (u),
u (v), v ( x)均可导, 则
链式法则
dy dy du dv dx du dv dx
Chain Rule
例 设 解
dy y e ,求 dx
x3
ye
x3
可分解为
ye , u x .
u 3
dy dy du 由法则 dx du dx
也可以不写出中间变量
dy x3 ( e ) dx
e ( x ) 3x e
3
x3
2 x3
dy 例 设 y ln cos(e ), 求 dx
x
解 y ln cos(e x ) 可分解为
y ln u, u cos v, v e
2 3x 2 5 2 x 3 0 6 x 10 x 3
2
(uv) uv uv
例2 解
f ( x) x 4cos x sin ，求 f ( x) 及 f ( ) 2 2
3
2 f ( x) 3x 4sin x
3 2 f ( ) 4 2 4
1 cos 2 x
sec x
2
2
2 (cot x) cபைடு நூலகம்c x
导数公式
(tan x) sec x
求下列函数的导数
(1) y sec x 和 y csc x
(sec x) sec x tan x
(2) y x ln x cos x
2
(csc x) csc x cot x
sin
2
是常数
例 解
y tan x
求 y
sin x u uv uv y (tan x) ( v ) v 2 （v 0） cos x (sin x) cos x sin x(cos x) cos 2 x sin 2 x 2 cos x cos 2 x
1 x ( sin v) e u
x
dy dy du dv dx du dv dx
1 x x ( sin e ) e x cos(e )
e tan(e )
x x
熟练后不必写出中间变量
1 dy x x [cos( e )] [ln cos(e )] x cos(e ) dx
1 x x ( sin e ) (e ) x cos(e )
1 x x ( sin e ) e x cos(e )
环环 相扣
e tan(e )
x x
例
yx
dy 求 dx
ln x
解
y x e
e
ln x
dy 1 ln x d ( ln x ) ln x e . e dx dx x
引例 设 y x10， 则 y 10 x9， 我们还可以对 y 继续求导，
90 x8 （y）
一般地，函数 y f ( x) 的导数 y f ( x) 仍然是x 的函数， 我们把 y f ( x) 的导数叫做 y f ( x) 的二阶导数，记作 y， 2 d y 而y 则称为一阶导数 或f ''( x)，或 2 ， dx