最新-2018女子数学奥林匹克 精品
2018年欧洲女子数学奥林匹克答案

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Problem 1. Let ABC be an acute-angled triangle, and let D be the foot of the altitude from C. The angle bisector of ∠ABC intersects CD at E and meets the circumcircle ω of triangle ADE again at F. If ∠ADF = 45◦ , show that CF is tangent to ω. (Luxembourg) C F Solution 1: Since ∠CDF = 90◦ − 45◦ = 45◦ , the line DF bisects ∠CDA, and so F lies on the perpendicular bisector of segment AE, which meets AB at G. Let ∠ABC = 2β. Since ADEF is cyclic, ∠AF E = 90◦ , and hence ∠F AE = 45◦ . Further, as BF bisects ∠ABC, we have ∠F AB = 90◦ − β, and thus ∠EAB = ∠AEG = 45◦ − β, and ∠AED = 45◦ + β,
2018最新第34届中国数学奥林匹克试题及详细解析!

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勿e 心 e t 心,如e 知e 如 心“
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倾倾 倾
欲证 ∠BAK = ∠C AQ ,而显然 ∠ABK = ∠AQC ,从而 △ABK ∼ △ AQC ,图形中显然最后生成的是点 Q,它最难描述,它是两圆交点,但是 A, K, D, Q 共圆很难用,而 △ABK ∼ △AQC 很好用. 考虑到点 Q 的唯一性可以考虑用同一法,即在圆 O 上取 Q ′ 使得 ∠ABK = ∠AQ ′C ,下面只需证明 A, 共圆即可,如下图: K, D, Q ′
2 a + 2 b + 2 c + 2d + = 32. )5 2e 5
则必有 2 个正数不相邻. 又显然 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a ∈ [−2, 8] ,故原式 ≤ (−2)2 × 9 × 8 = 288 . (3) 若 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 中恰一个正,不妨设 a + b > 0,由 (b + c ) + (d + e ) ≤ 0 知 a ≥ 5, 由 e ≥ −1,知 e + a ≥ 4,矛盾. 综上,原式 ≤ 288 ,当 a = b = c = −1, d = e = 4 时取等. 解法二 令 a1 = a + b, a2 = c + d, a3 = e + a, a4 = b + c, a5 = d + e 则有
5 ∑
不妨设 a + b, c + d > 0,则 a + b + c + d = 5 − e ≤ 6,从而 (a + b)(c + d) ≤ 9.
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答-2018年

小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答-2018年小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1.三个连续偶数,中间这个数是m,则相邻两个数分别是m-2和m+2.2.有一种三位数,它能同时被2、3、7整除,这样的三位数中,最大的一个是966,最小的一个是126.解题过程:2×3×7=42;求三位数中42的倍数126、168、……966.3.___发现:小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数,积是144,小表妹和读初三哥哥的岁数分别是9岁和16岁。
解题过程:144=2×2×2×2×3×3;(9、16)=1.4.一个四位数,它的第一个数字等于这个数中数字的个数,第二个数字表示这个数中数字1的个数,第三个数字表示这个数中数字2的个数,第四个数字等于这个数中数字3的个数,那么这个四位数是1210.5.2310的所有约数的和是6912.解题过程:2310=2×3×5×7×11;约数和=(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+7)×(1+11)。
6.已知2008被一些自然数去除,得到的余数都是10,这些自然数共有11个。
解题过程:2008-10=1998;1998=2×33×37;约数个数=(1+1)×(1+3)×(1+1)=16(个)。
其中小于10的约数共有1,2,3,6,9;16-5=11(个)。
7.从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中,最多可以取多少个数,才能使其中每两个数的差不等于4?1000.解题过程:1,5,9,13,……1997(500个)隔1个取1个,共取250个。
2,6,10,14,……1998(500个)隔1个取1个,共取250个。
3,7,11,15,……1999(500个)隔1个取1个,共取250个。
2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷

2024年第22届中国女子奥林匹克竞赛数学试卷1、求所有的三元正整数组(aa,bb,cc),满足aa2aa=bb2bb+cc2cc.2、如图,用144根完全相同的长度为1的细棒摆成边长为8的正方形网格状图形.问:至少需要取走多少根细棒,才能使得剩余图形中不含矩形?请证明你的结论.3、设aa,bb,cc,dd都是不超过1的非负实数.证明:11+aa+bb+11+bb+cc+11+cc+dd+11+dd+aa⩽41+2√aabbccdd4.4、如图,四边形AAAAAAAA内接于圆Γ,对角线AAAA,AAAA互相垂直,交点为EE.设FF是边AAAA上一点,射线FFEE交Γ于点PP,线段PPEE上一点QQ满足PPQQ⋅PPFF=PPEE2,过点QQ且垂直于AAAA的直线交AAAA于点RR.证明:RRPP=RRQQ.5、如图,在锐角△AAAAAA 中,AAAA <AAAA ,AAAA 是高,GG 是重心,PP 、QQ 分别是内切圆与边AAAA 、AAAA 的切点,MM 、NN 分别是线段AAPP 、AAQQ 的中点.设AA 、EE 是△AAAAAA 内切圆上两点,满足:∠AAAAAA +∠AAAAAA =180°,∠AAEEAA +∠AAAAAA =180°.证明:直线MMAA ,NNEE ,GGAA 三线共点.6、设实数xx 1,xx 2,⋯,xx 22满足对任意1⩽ii ⩽22,有2ii−1⩽xx ii ⩽2ii .求(xx 1+xx 2+⋯+xx 22)�1xx 1+1xx 2+⋯+1xx 22� 7、给定奇素数pp 和正整数aa 、bb 、mm 、rr ,其中pp ∤aabb ,且aabb >mm 2.证明:至多只有一对正整数(xx ,yy )满足xx 与yy 互素,且aaxx 2+bbyy 2=mmpp rr .8、对于平面直角坐标系中任意两点AA (xx 1,yy 1)、AA (xx 2,yy 2),定义dd (AA ,AA )=|xx 1−xx 2|+|yy 1−yy 2|,设PP 1,PP 2,⋯,PP 2023是该坐标系中2023个两两不同的点.记λλ=mmaaxx 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �mmii mm 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �.(1) 证明:λλ⩾44.(2) 给出一组PP 1,PP 2,⋯,PP 2023,使得λλ=44.1 、【答案】(1,4,4),(2,4,4),(4,5,6),(4,6,5);【解析】设xx mm=mm2nn,则当nn⩾2时,xx mm−xx mm+1=mm−12nn+1>0,故12=xx1=xx2>xx3>xx4>⋯,不妨设bb⩽cc,由条件等式得aa<bb⩽cc,(1)若bb=cc,则aa2aa=bb2bb−1,故bb aa=2bb−aa−1∈ZZ,设bb=aaaa(aa>1),则aa=2aaaa−aa−1⩾aaaa−aa,即(aa−1)(aa−1)⩽1,由aa⩾2知aa=1或2,均有bb=2bb−2,得bb=4,(2)若bb<cc,则aa2aa⩽aa+12aa+1+aa+22aa+2=3aa+42aa+2①⇒aa⩽4,注意到,xx1=xx2=12,xx3=38,xx4=14,xx5=532,xx6=332<18,若aa=1或2,则xx bb+xx cc=12⇒xx bb>14⇒bb=3,此时cc无解.若aa=3,则xx bb+xx cc=38⇒xx bb>316⇒bb=4,此时cc无解;若aa=4,则式①等号成立,即bb=5,cc=6,经检验,满足要求,综上,所求(aa,bb,cc)为(1,4,4),(2,4,4),(4,5,6),(4,6,5).【标注】 ( 数论模块 )2 、【答案】43;【解析】首先证明至少需要移除43根细棒,假设图形中不含矩形,则每个有界连通区域至少由3个单位正方形组成,即面积至少为3,记[xx]表示不超过实数xx的最大整数,这样至多有�643�=21个有界连通区域,每取走一根细棒至多使得有界连通区域的个数减少1(将两个有界连通区域合并为一个有界连通区域,或者将一个有界连通区域与无界连通区域合并),最初时有64个有界连通区域,故至少取走64−21=43根细棒,下图给出了取走43根细棒的例子,其中每个有界连通区域的面积均是3,且图中不含矩形.【标注】 ( 数论模块 )3 、【答案】证明见解析;【解析】注意到,当√aacc⩽xx时,1xx+aa+1xx+cc−2xx+√aacc=(√aa−√cc)2(√aacc−xx)(xx+aa)(xx+cc)(xx+√aacc)⩽0,①由条件可知√aacc⩽1⩽1+bb,√aacc⩽1+dd,在式①中取xx=1+bb和xx=1+dd,分别得11+aa+bb+11+bb+cc⩽21+bb+√aacc,11+cc+dd+11+dd+aa⩽21+dd+√aacc,可见以√aacc代替aa和cc时,不等式左边不减,而右边不变,故不妨设aa=cc,类似地,不妨设bb=dd,这样,原不等式变为证明11+aa+bb⩽11+2√aabb,由均值不等式aa+bb⩾2√aabb可知上式成立.【标注】 ( 不等式 )4 、【答案】证明见解析;【解析】如图,作EEEE//AAFF,交AAPP于点EE,交AAPP于点YY,延长EEQQ、YYQQ,分别交AAAA于点SS、TT,联结AAPP,记⊙AAAAAA表示过AA,AA,AA三点的圆,由PPPP PPPP=PPPP PPPP=PPPP PPPP⇒EEQQ//AAEE,类似地,YYQQ//AAEE,由∠EEEESS=∠AAEEEE=∠AAAAAA=∠EEAASS⇒EE,EE,SS,AA四点共圆,由∠PPEEEE=∠PPAAAA=∠PPAAEE⇒EE,EE、PP,AA四点共圆,故EE,EE,SS,PP,AA五点共圆,类似地,YY,EE、TT,PP,AA五点共圆,由∠PPQQTT=∠PPEEAA=∠PPSSTT⇒PP,SS、QQ,TT四点共圆,由SSQQ//AAEE,TTQQ//AAEE,AAEE⊥AAEE⇒SSQQ⊥TTQQ,由∠RRQQSS=90°−∠QQEEYY=90°−∠QQTTSS=∠RRSSQQ,可知RR是⊙PPSSQQTT的圆心.从而,RRPP=RRQQ.【标注】 ( 平面几何 )5 、【答案】证明见解析;【解析】在△AAAAAA的外接圆上取点FF,使得AAAAAAFF是等腰梯形.直线FFAA与⊙AAAAAA的另一个交点为LL,与中线AAAA交于点GG′.如图,由AAFF=2AAAA⇒PPGG′GG′KK=PPPP HHKK=2⇒GG′是△AAAAAA的重心⇒点GG′与GG重合,故∠AALLAA=∠AALLFF=12AAFF⌢∘=12AAAA⌢∘=∠AAAAAA,结合条件∠AAAAAA+∠AAAAAA=180°得∠AAAAAA+∠AALLAA=180°⇒AA,LL,AA,AA四点共圆,类似可证∠AALLAA=∠AAAAAA,且AA,LL,AA、EE四点共圆,由于∠AALLAA=∠AAAAAA,PPAA与⊙AALLAAAA切于点AA,记△AAAAAA的内切圆为Γ,PPAA是Γ与⊙AALLAAAA的外公切线,由MMPP =MMAA 可知MM 是Γ与⊙AALLAAAA 的等幂点,从而,直线MMAA 是Γ与⊙AALLAAAA 的根轴,类似可证直线NNEE 是Γ与⊙AALLAAEE 的根轴,又直线GGAA 是⊙AALLAAAA 与⊙AALLAAEE 的根轴,故直线MMAA 、NNEE 、GGAA 要么三线共点,要么两两平行.若MMAA 、NNEE ,AAAA 两两平行,则⊙AALLAAAA 的圆心OO 1,⊙AALLAAEE 的圆心OO 2、Γ的圆心II 三点共线, 由于∠AAAAAA 与∠AAEEAA 都是钝角,于是,点OO 1,OO 2在AAAA 下方,显然点II 在AAAA 上方,设OO 1、OO 2、II 在AAAA 上的投影分别为EE 、YY 、ZZ ,则EE ,YY 分别是AAAA 、AAAA 的中点,由AAAA <AAAA 知点YY 、ZZ 在AAAA 同侧,且AAZZ =PPAA+BBAA−PPBB 2>BBAA 2>AAHH 2=AAYY , 故点ZZ 在线段EEYY 上.因此,OO 1、OO 2、II 不可能共线,矛盾, 从而,MMAA 、NNEE 、GGAA 三线共点.【标注】 ( 平面几何 )6 、【答案】 �212−1−1211�2 ;【解析】 设yy ii =xx ii 211(ii =1,2,⋯,22) , 注意到, ff (tt )=tt +1tt在区间(0,1]上递减,在区间[1,+∞)上递增,对1⩽ii ⩽11,有1212−ii ⩽yy ii ⩽1211−ii ⇒yy ii +1yy ii ⩽212−ii +1212−ii ; 对12⩽ii ⩽22,有 2ii−12⩽yy ii ⩽2ii−11⇒yy ii +1yy ii ⩽2ii−11+12ii −11, 则 �∑22ii=1xx ii ��∑22ii=11xx ii �=�∑22ii=1yy ii ��∑22ii=11yy ii� ⩽14���yy ii +1yy ii �mm ii=1�2⩽14���212−ii +1212−ii �11ii=1+��2ii−11+12ii −11�22ii=12�2=�21+22+⋯+211+121+122+⋯+1211�2 =�212−1−1211�2, 当xx ii =�2ii−1,1⩽ii ⩽112ii ,12⩽ii ⩽22 时,上式等号成立, 故所求最大值是 是�212−1−1211�2. 【标注】 ( 不等式 )7 、【答案】 证明见解析;【解析】 反证法.假设有两对不同的正整数解 (xx 1,yy 1)、(xx 2,yy 2),由于xx 1与yy 1互素,于是,pp ∤xx 1yy 1, 类似地,pp ∤xx 2yy 2,由 aaxx 12≡−bbyy 12(mod pp rr )aaxx 22≡−bbyy 22(mod pp rr ),可知 aabbxx 12yy 22≡aabbxx 22yy 12(mod pp rr ) 又pp ∤aabb ,故pp rr |(xx 12yy 22−xx 22yy 12), 注意到,xx 1yy 2−xx 2yy 1与xx 1yy 2+xx 2yy 1不能都被pp 整除,否则,pp |2xx 1yy 2,这与pp 是奇素数且pp ∤xx 1yy 1xx 2yy 2矛盾, 故pp rr |(xx 1yy 2−xx 2yy 1)或pp rr |(xx 1yy 2+xx 2yy 1), 若xx 1yy 2−xx 2yy 1=0,则 xx 1xx 2=yy1yy 2, 结合aaxx 12+bbyy 12=aaxx 22+bbyy 22,可知xx 1=xx 2,yy 1=yy 2,这与(xx 1,yy 1)≠(xx 2,yy 2)矛盾, 因而,xx 1yy 2−xx 2yy 1≠0, 若pp rr |(xx 1yy 2+xx 2yy 1),则xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾pp rr ,若pp rr |(xx 1yy 2−xx 2yy 1),则xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾|xx 1yy 2−xx 2yy 1|⩾pp rr ,因此总有xx 1yy 2+xx 2yy 1⩾pp rr ,利用条件aabb>mm2和上式有mm2pp2rr=(aaxx12+bbyy12)(aaxx22+bbyy22)=(aaxx1xx2−bbyy1yy2)2+aabb(xx1yy2+xx2yy1)2⩾aabb(xx1yy2+xx2yy1)>mm2pp2rr,矛盾.故假设不成立,原命题成立.【标注】 ( 数论模块 )8 、【答案】 (1) 证明见解析;(2) 见解析;【解析】 (1) 对aa=1,2,⋯,2023,设PP aa(xx aa,yy aa),记uu aa=xx aa+yy aa,vv aa=xx aa−yy aa,记AA=mmaaxx1⩽ii⩽jj⩽2023dd�PP ii,PP jj�,则对于任意1⩽ii、jj⩽2023,有|uu ii−uu jj|=|�xx ii−xx jj�+�yy1−yy jj�|⩽|xx ii−xx jj|+|yy ii−yy jj|=dd�PP ii,PP jj�⩽AA,因此,uu1,uu2,⋯,uu2023中的最大数与最小数之差不超过AA,即全在某个区间[aa,aa+AA]中,类似地,vv1,vv2,⋯,vv mm全在某个区间[bb,bb+AA]中,对aa、ll=1,2,⋯,44,考虑区域AA aa,ll=��uu+vv2,uu−vv2�|aa+aa−144AA⩽uu⩽aa+aa44AA,bb+ll−144AA⩽vv⩽bb+ll44AA�,点PP ii,PP2,⋯,PP2023落在这442=1936个区域中,由抽屉原理知存在两点在同一区域,假设PP1、PP jj∈AA aa,ll,记UU=uu ii−uu jj,VV=vv ii−vv jj,则−DD44⩽UU、VV⩽DD44,dd�PP ii,PP jj�=|xx ii−xx jj|+|+|yy ii−yy jj|=�uu ii+vv ii−uu jj+vv jj�+�uu ii−vv ii−uu jj−vv jj�=�UU+VV 2�+�UU−VV 2� ∈�±UU+VV 2±UU−VV 2�={UU ,−UU ,VV ,−VV },由于每种情况都有 dd�PP ii ,PP jj �⩽mmaaxx {|UU |,|VV |}⩽DD 44, 故 mmii nn 1⩽ii<jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �⩽dd�PP ii ,PP jj �⩽DD 44⇒λλ⩾44. (2) 关于构造,取点集MM ={(xx ,yy )∈ZZ 2|xx ,yy 同奇偶,|xx +yy |⩽44,|xx −yy |⩽44} =��uu+vv 2,uu−vv 2�|uu =0,±2,±4,⋯,±44;vv =0,±2,±4,⋯,±44�, 集合MM 中共有452=2025个点,从中任选2023个点作为PP 1,PP 2,⋯,PP 2023,则 dd�PP ii ,PP jj �=|xx ii −xx jj |+|yy ii −yy jj |是偶数且大于0,即dd�PP ii ,PP jj �⩾2, 另一方面,dd�PP ii ,PP jj �=|xx ii −xx jj |+|yy ii −yy jj |⩽mmaaxx�|(xx ii +yy ii )−�xx jj +yy jj �|,|(ii yy ii )−�xx jj −yy jj �|�⩽88, 故此时λλ=mmaaxx 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �mmii mm 1⩽ii <jj⩽2023dd�PP ii ,PP jj �⩽882,由(1)知此时λλ=44, 图1是nn =25个点满足λλ=4的例子,图2是16个区域划分,可以用来证明nn =17个点时λλ⩾4.第11页, 共11页【标注】。
2018亚洲国际数学奥林匹克公开赛(AIMOOpen)晋级赛

參賽確認: 准考證將於比賽前一星期寄出,並有手機短信確認。如有查詢,請電郵至 info@。
比賽獎項: 獎項
香港賽區冠軍 金獎 銀獎 銅獎
計算方法 每個年級的第一名 約佔該年級參賽人數之 8% 約佔該年級參賽人數之 16% 約佔該年級參賽人數之 24%
將獲頒發 獎盃 及 獎狀
獎狀 獎狀 獎狀
成績公布: 比賽成績將於 2018 年 5 月 22 日由比賽網頁 公布。 獎項發布: 所有獎項一律通知參賽者所屬學校代為領取。
2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽香港參賽者的重要日期及注意事項
比賽階段 晉級賽
總決賽
比賽日期 2018 年 5 月 6 日
地址:香港九辦龍公彌時敦間道:香5星4港5期號數一安學至利奧日大林廈上匹午克4 樓十協時會電三H話o十n:g分K2至7o8n下7g午0M8一a5t9h時em電及at郵ica下:l O午inlfy二om@時phia至kdm六Aos.時csco三cia十比tio分賽n,(網H公站KM眾:O假htt期p:/除/w外ww)/
2018 年 8 月 4 日 泰國商會大學 (UTCC)
截止報名日期 2018 年 4 月 23 日
2018 年 6 月
准考證寄出 2018 年 4 月
2018 年 7 月
成績公布日期
2018 年 5 月 22 日
(頒獎典禮) 2018 年 8 月 6 日 大使市中天酒店
(網上公布) 2018 年 8 月 15 日
如非特殊情況並事先取得本會許可,參賽者不能提早交卷或離場。
全卷共 25 道填充題,分為三部分,總分 120 分,包括: 甲部: 3 分題(10 題,共 30 分) 乙部: 5 分題(10 題,共 50 分) 丙部: 8 分題( 5 題,共 40 分) 每道題只需填寫答案,不需填寫步驟。
历届女子数学奥林匹克试题

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n,使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n(n是正整数)位女同学参加,每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时,发现这3n位女同学中的任何两位,在同一天担任执勤工作恰好是一次.(1)问:当n=3时,是否存在满足题意的安排?证明你的结论;(2)求证:n是奇数.3.试求出所有的正整数k,使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点,且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线,交⊙O2于另一点A,连结AB,交⊙O1于另一点E,连结CE并延长,交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点,连结HE并延长,交⊙O1于点G,连结BG并延长,与AC的延长线交于点D.求证:AA AH=AA AC.5.设P1,P2,⋯,P n(n≥2)是1,2,⋯,n的任意一个排列.求证:1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y),满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证:△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1,A2,⋯,A8是平面上任意取定的8个点,对平面上任意取定的一条有向直线l,设A1,A2,⋯,A8在该直线上的摄影分别是P1,P2,⋯,P8.如果这8个射影两两不重合,以直线l的方向依次排列为P i1,P i2,⋯,P i8,这样,就得到了1,2,…,8的一个排列i1,i2,⋯,i8(在图1中,此排列为2,1,8,3,7,4,6,5).设这8个点对平面上所有有向直线作射影后,得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点,E 是边AC 上的任意一点,连结DE ,F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ,AA AA =y ,CH CA =z .证明: (1) S △ACH =(1−x )yzS △AAA ,S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;(2) �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生,所用教室有6排,每排有8个座位,用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位,设某学生原来的座位为(i ,j ),如果调整后的座位为(m ,n ),则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ],并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1,ABCD 是圆内接四边形,AC 是圆的直径,BB ⊥AA ,AC 与BD 的交点为E ,F 在DA 的延长线上.连结BF ,G 在BA 的延长线上,使得BD ∥BB ,H 在GF 的延长线上,AC ⊥DB .证明:B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.(1)证明:存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e,使得将它们任意放置在一个圆周上,总有两个相邻数的乘积不小于19;(2)证明:对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e,总可以将它们适当放置在一个圆周上,且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下:a1=2,a n+1=a n2−a n+1,n=1,2,⋯.证明:1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ,使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1,a2,⋯,a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a,a、b、c互不相等,AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线,且DE=DF.证明:(1)a b+c=b c+a+c a+b;(2)∠BAA>90°.8.对于任意正整数n,记n的所有正约数组成的集合为S n.证明:S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1,2,⋯,n的一个排列a1,a2,⋯,a n,使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数,则称n为“好数”.问:在集合{11,13,15,17,19}中,哪些是“好数”,哪些不是“好数”?说明理由.(苏淳供题)2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.(李胜宏供题)3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明:存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.(冷岗松供题)4.一副三色纸牌,共有32张,其中红黄蓝每种颜色的牌各10张,编号分别是1,2,⋯,10;另有大小王牌各一张,编号均为0.从这副牌中任取若干张牌,然后按如下规则计算分值:每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004,则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.(陶平生供题)5.设u、v、w为正实数,满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. (陈永高供题)6.给定锐角△ABC,点O为其外心,直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上,使得A、E、D、F四点共圆.求证:线段EF在边BC上的投影的长度为定值.(熊斌供题)7.已知p、q为互质的正整数,n为非负整数.问:有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式,其中i,j为非负整数,且i+j≤n.(李伟固供题)8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上,最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”(每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格)?(冯祖明供题)2005年女子数学奥林匹克1.如图1,点P在△ABC的外接圆上,直线CP、AB相交于点E,直线BP、AC相交于点F,边AC的垂直平分线与边AB相交于点J,边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证:AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1(叶中豪供题)2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.(朱华伟供题)3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点、12条棱和6个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱?(苏淳供题)4.求出所有的正实数a,使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1,A2,⋯,A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z,而且对于每个A i中的任意两数b>c,都有a−b≥a i.(袁汉辉供题)5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证:x2+4y2<1. (熊斌供题)6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1,P2,⋯,P n满足:当�P i P j�为有理数时,存在P k,使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数;当�P i P j�为无理数时,存在P k,使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数,那么,称n是“好数”.(1)求最小的好数;(2)问:2005是否为好数(冯祖明供题)7.设m、n是整数,m>n≥2,S=�1,2,⋯,m�,T=�a1,a2,⋯,a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证:1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. (张同君供题)8.给定实数a、b(a>a>0),将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内(包含边界).问正方形的边至少为多长?(陈永高供题)2006年女子数学奥林匹克1.设a>0,函数f:(0,+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y,有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy),求证:f(x)为常数.(朱华伟供题)2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M,直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证:M是线段TS的中点.(叶中豪供题)3.求证:对i=1,2,3,均有无穷多个正整数n,使得n,n+2,n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.(袁汉辉供题)4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识,求证:可以从中找出4个人两两认识;(2)试问:如果其中任何6个人中都有3个人两两认识,那么是否一定可以找出4个人两两认识?(苏淳供题)5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�,T为平面上一整点集,对S中任一点P,总存在T中不同于P的一点Q,使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少?(陈永高供题)6.设集合M={1,2,⋯,19},A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k,使得对任意的a∈M,存在a i、a j∈A,满足a=a i或a=a i±a j(a i、a j 可以相同).(李胜宏供题)7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证:∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. (陈伟固供题)8.设p为大于3的质数,求证:存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2,使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.(纪春岗供题)2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数,如果存在某个正整数n,使得m可以表示为n和n的正约数个数(包括1和自身)的商,则称m是“好数”.求证:(1)1,2,⋯,17都是好数;(2)18不是好数.(李胜宏供题)2.设△ABC是锐角三角形,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证:△ABC是等腰三角形.(冯祖明供题)3.设整数n(n>3),非负实数a1,a2,⋯,a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.(朱华伟供题)4.平面内n(n≥3)个点组成集合S,P是此平面内m条直线组成的集合,满足S关于P中每一条直线对称.求证:m≤n,并问等号何时成立?(边红平供题)5.设D是△ABC内的一点,满足∠BAA=∠BAA=30°,∠BBA=60°,E是边BC的中点,F是边AC的三等分点,满足AF=2FC.求证:BD⊥DB.(叶中豪供题)6.已知a、a、b≥0,a+a+b=1.求证:�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3(李伟固供题)7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c,三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问:2+√3是否一定是这个多项式的根?(张景中供题)8.n个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局.规定:胜者得1分,负者得0分,平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手,也有一个棋手输给了其余m-1个棋手,就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4),求n的最小值f(m),使得对具有性质P(m)的任何赛况,都有所有n名棋手的得分各不相同.(王建伟供题)2008年女子数学奥林匹克1.(1)问能否将集合�1,2,⋯,96�表示为它的32个三元子集的并集,且每个三元子集的元素之和都相等;(2)问能否将集合�1,2,⋯,99�表示为它的33个三元子集的并集,且每个三元子集的元素之和都相等.(刘诗雄供题)2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根,且ϕ(0)<0.求证:2a3+9a2d−7aab≤0. (朱华伟供题)3.求最小常数a(a>1),使得对正方形ABCD内部任一点P,都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形,其面积之比属于区间�a−1,a�.(李伟固供题)4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP,记四边形ABCD的对角线的和为x,四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.(熊斌供题)5.如图1,已知凸四边形ABCD满足AB=BC,AD=DA,E、F分别是线段AB、AD上一点,满足B、E、F、D四点共圆,作△DPE顺向相似于△ADC,作△BQF顺向相似于△ABC.求证:A、P、Q三点共线.图1 注:两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.(叶中豪 供题)6. 设正数列x 1,x 2,⋯,x n ,⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ,使得当x 1>a 时,有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯,当0<x 1<a 时,不具有单调性. (李胜宏 供题)7. 给定一个2008×2008的棋盘,棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个,若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母,则称这个棋盘为“和谐棋盘”,问有多少种不同的和谐棋盘?(冯祖明 供题)8. 对于正整数n ,令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证:数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数([x ]表示不超过实数x 的最大整数).(冯祖明 供题)B2009年女子数学奥林匹克1. 求证:方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).(梁应德 供题)2. 如图1,在△ABC 中,∠BAA =90°,点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC (不含点A )内,AE >EC .连结EC 并延长至点F ,使得∠DAA =∠AAB ,连结BF 交圆Γ于点D ,连结ED ,记△DEF 的外心为O .求证:A 、C 、O 三点共线.图1 (边红平 供题)3. 在平面直角坐标系中,设点集�P 1,P 2,⋯,P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数,|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�,其中,n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.(王新茂 供题)4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1,V 2,⋯,V n ,任意三点不共线,某些点之间连有线段.把标号分别为1,2,⋯,n 的n 枚棋子放置在这n 个点处,每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作:每B次选取若干枚棋子,将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处;操作后每点处仍恰有一枚棋子,并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子,总能经过有限次操作后,使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处,则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中,线段数目的最小值. (付云皓 供题)5. 设实数xyz 大于或等于1.求证:(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 (熊 斌 供题)6. 如图2,圆Γ1、Γ2内切于点S ,圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ,M 是弧AB (不含点S )的中点,过点M 作MN ⊥AB ,垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证:AA ⋅AB =2rMN .图2 (叶中豪 供题)7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形,它既可被n 个“”型的图形覆盖,也可被n 个“”或“”型(可以旋转)的图形覆盖.求正整数n的最小值.(朱华伟供题)8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1,a2,⋯,a2009中的最大项和最小项,其中,[x]表示不超过实数x的最大整数.(王志雄供题)2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3),设A 1,A 2,⋯,A 2n 是集合�1,2,⋯,n�的两两不同的非空子集,记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.(梁应德 供题)2. 如图1,在△ABC 中,AB =AA ,D 是边BC 的中点,E 是在△ABC 外一点,满足AD ⊥AB ,BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ,交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证:DB ⊥BB .图1 (郑焕 供题)3. 求证:对于每个正整数n ,都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m :(1)i ≡5(mmd 6);(2)i ∤n ;(3)n ≡m 3(mmd i ).(付云皓 供题) 4. 设实数x 1,x 2,⋯,x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证:∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1,并确定等号成立的条件.(李胜宏供题)5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数,f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明:对一切x∈R,f(x)−g(x)为整数.(刘诗雄供题)6.如图2,在锐角△ABC中,AB>AA,M为边BC的中点,∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上,使得MB⊥BA,MM⊥PA.求证:BC2图2(边红平供题)7.给定正整数n(n≥3).对于1,2,⋯,n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n),若i<j<k,则称x j介于x i和x k之间(如在排列(1,3,2,4)中,3介于1和4之间,4不介于1和2之间).设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.(冯祖鸣供题)8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a:存在正整数m1、n1、m2、n2,使得a=m12+n12,a2=m22+n22,且m1−n1=m2−n2.(朱华伟供题)2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n,使得关于x,y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x,y) .(熊斌供题)2.如图1,在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB、CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q,若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP,求证:PQ垂直于BC.图1(郑焕供题)3.设正数a,a,b,d满足aabd=1,求证:1+1+1+1+9≥25(朱华伟供题)4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛,每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现,可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A,B,C,若A,B在圈上相邻,则A,B中至少有一人战胜了C,求n的所有可能值.(付云皓供题)5.给定非负实数a,求最小实数f=f(a),使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1),若|Z1|≤a|Z1−Z2|,则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.(李胜宏供题)6.是否存在正整数m,n,使得m20+11n是完全平方数?请予以证明.(袁汉辉供题)7.从左到右编号为B1,B2,⋯,B n的n个盒子共装有n个小球,每次可以选择一个盒子B k,进行如下操作:若k=1且B1中至少有1个小球,则可从B1中移1个小球至B2中;若k=n,且B n中至少有1个小球,则可从B n中移1个小球至B n-1中,若2≤k≤n-1且B k中至少有2个小球,则可从B k中分别移1个小球至B k-1和B k+1中,求证:无论初始时这些小球如何放置,总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.(王新茂供题)8. 如图2,已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆,点D 、E 分别在线段AB 、AC 上,使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆,O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证:MN 平分线段FG .图2 (边红平 供题)A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数,求证:11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示,圆O1和O2外切于点T,点A、E在圆O1上,AB切圆O2于点B,ED切圆O2于点D,直线BD、AE交于点P.(1)求证:AB⋅DT=AT⋅DB;(2)求证:∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对(a,b),使得存在整数d>1,对任意的正整数n,都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子,一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证:无论开始时棋子是如何摆放的,总可以至多操作一次,使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示,在△ABC中,I为内切圆圆心,D、E分别为AB、AC边上的切点,O为△BIC的外心,求证:∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市,每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司,每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发,经过至少两个其它城市,回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径,都无法只乘坐一家公司的航班,求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ,使得r a r =k +1,求证:存在正整数s ,使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ,使得A 2012k 是2012的倍数.B。
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奥林匹克数学竞赛高中训练题集
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数学奥林匹克高中训练题(01) ........................................................................................................................... 1 数学奥林匹克高中训练题(02) ........................................................................................................................... 3 数学奥林匹克高中训练题(03) .............................................................................................. 4 数学奥林匹克高中训练题(04) ........................................................................................................................... 6 数学奥林匹克高中训练题(05) ...................................................................................................
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第一天2018年8月12日上午8∶00~12∶00 长春我们进行数学竞赛的目的,不仅仅是为了数学而数学,其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手,因而提高数学,也为学好其他科学打好基础.——华罗庚1. 如图,设点P 在△ABC 的外接圆上,直线CP 和AC 相交于点E ,直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ,边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证:22BFCE =F ··K AK JEAJ . 2.求方程组的所有实数解.3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点,12条棱和6 个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱?4.求出所有的正实数a ,使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ,2A ,…,n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ,而且对于每个i A 中的任意两数b >c ,都有b -c ≥ia .⎪⎩⎪⎨⎧=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,11311215zx yz xy z z y y x x第二天2018年8月13日上午8∶00~12∶00 长春数学竞赛,它对牢固基础知识、发展智力,培养拔尖人才,是一件具有战略意义的活动。
——华罗庚 5.设正实数x ,y 满足3x +3y =x -y ,求证:.1422<y x +6.设正整数n ≥3,如果在平面上有n 个格点,,,⋯21P P n P 满足:当j i P P 为有理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数,那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数;(2)问:2018是否为好数?7.设m ,n 是整数,m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数,求证:.11121mn m a a a n ++⋯++< 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的边至少为多长?【题1】证:如图,连接BK ,CJ.∠E =∠ABP —∠BPE ,而由A ,B ,P ,C 四点共圆,知∠BPE =∠A , 故 ∠E =ABP —∠A ,又由KA =KB ,知∠A =∠ABK,故 ∠E =∠ABP —∠ABK =∠KBF . ① 同理 ∠F =∠JCE . ② 由①,②得 △JEC ∽△KBF .由此,,AK JEKB JE BF CE == ③ .KFAJKF JC BF CE == ④ 将③,④两式的左端和右端分别相乘即得结论.【题2】解法一:①式可化为()()()22211311215z zy y x x +=+=+. ③显然x ,y ,z 同号.首先求正数解. 存在α,β,γ∈(0,π),使得x =tan2α,y =tan 2β,z =tan 2γ,则sin α=212x x +, sin β=212y y +, sin γ=212z z+,③即13sin 12sin 5sin γβ==α. ④ ②式可化为xyyx z -+=11, 即 2tan2cotβαγ+=.注意z ≠0,xy ≠1,因为α,β,γ∈(0,π),所以222γπβα-=+, 即 α+β+γ=π.从而α,β,γ是某个三角形ABC 的三个内角.由④和正弦定理知,α,β,γ所对的边a ,b ,c 的比是5∶12∶13,所以,1sin 1312sin 135sin ===γβα,,.从而 x =tan2α=15或5, y =tan 23322或=β, z =tan 12=γ.将z =1代入②式,易知x 和y 均小于1.所以⎪⎭⎫⎝⎛13251,,是唯一正数解. 故原方程组有两组解:⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛1325113251,,和,,. 解法二:显然x ,y ,z 同号. 由②得x =1yzy z-+,代入①得 ()()()()()()()()yz z y z y yz z y z y yz yz z y z y yz y y -+++=-+++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111511.511511222222, 即5(z 2+1)y =12(y +z )(1-y z), 同理 5(y 2+1)z =13(y +z )(1-yz ).整理得12y 2z +17yz 2=7y +12z , 18y 2z +13yz 2=13y +8z ,两式相加,得30yz (y +z )=20(y +z ),∴ yz =zy 32,32=,代入①解得z =±1. 故原方程组有两组解:.1,32,511,32,51⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛和【题3】解:存在,如下图所示。
【题4】解: 若0<a <2,n 充分大时,12-n >na ,令==-i m m A i i },2{1为奇数1,2,…,n -1,12{-=n n A 的倍数},则该分拆满足要求。
若a ≥2,设1A ,2A ,…n A 满足要求,令M ={1,2,…,n 2},下证M A i ⋂≤i n -2.设M A i ⋂ ={则<<<,,},,,211m m 2x x x x x x ⋯⋯i m m m m m n m x x x x x x x x )21()-()()(2122111-≥+⋯+-+-=---->.∴ m -1<i n -2,即m <i n -2+1,故m ≤i n -2.=⋂i M A i ,1,2,…,n 为M 的一个分拆,故∑∑----=≤⋂==ni n i n i n i nM A M 11,1222矛盾.∴ 所求的a 为所有小于2的正实数.【题5】证:由平均不等式2523≥+y x y 24245xy >y x ,所以 ()()33224y xy x yx +-+<,从而 143322=-++yx y x y x <.【题6】解:我们断言最小的好数为5,且2018是好数.在三点组(k j i P P P ,,)中,若j i P P 为有理数(或无理数),k i P P 和k j P P 为无理数(或有理数),我们称(k j i P P P ,,)为一个好组. (1)n =3显然不是好数.n =4也不是好数.若不然,假设4321,,,P P P P 满足条件,不妨设21P P 为有理数及(321,,P P P)为一好组,则(432,,P P P )为一好组.显然(142,,P P P )和( 342,,PP P )均不是好组.所以4321,,,P P P P 不能满足条件.矛盾!n =5是好数.以下五个格点满足条件:5A ={(0,0),(1,0),(5,3),(8,7),(0,7)}.(2)设 A ={(1,0),(2,0),…,(669,0)}.B ={(1,1),(2,1),…,(668,1)}.C ={(1,2),(2,2),…,(668,2)}.C B A S ⋃⋃=2005.对任意正整数n ,易证12+n 和42+n 不是完全平方数.不难证明,对于集合2005S 中任两点j i j i P P P P ,,为有理数当且仅当j i P P 与某一坐标轴平行.所以,2018是好数. 注:当n =6时,0)}{(-2456,⋃=A A ;当n =7时,7)}{(-2467,⋃=A A .则可验证n =6和7均为好数.当n ≥8时,可像n =2018那样排成三行,表明n ≥8时,所有的n 都是好数.【题7】证:构造{}.2,1,n i b a S b T i i ,⋯=∈=则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i a m T ,由于T 中任意两个数都不能同时整除S 中的一个数,所以当i ≠j 时,∅=j i T T .则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==i ni ni i a m T 11≤m . 又因为1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡i i a m a m <, 所以 n m a m a m a m ni i ni ni i ni i +≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑∑====11111)1(<,即 ∑∑==+=ni ini i n m a ma m 111<, 所以∑=+ni imnm a11<.【题8】解:设长方形为ABCD ,AB =a ,BC =b ,中心为O .以O 为原点,建立直角坐标系,x 轴、y 轴分别与正方形的边平形. 情形1:线段BC 与坐标轴不相交.不妨设BC 在第一象限内,∠BOX ≤21(90°-∠BOC )(图1).此时正方形的边长≥BD cos ∠BOX ≥BD cos290BOC∠-︒=BD cos45°cos21∠BOC +BD sin45°sin 21∠BOC =22(a +b ).所以此时所在正方形边长至少为22(a +b ).情形2:线段BC 与坐标轴相交.不妨设BC 与x 轴相交,不妨设∠COX ≤21∠COB (图2). 此时正方形的边长≥AC cos ∠COX ≥AC cos 2COB∠=a . 所以此时所在正方形边长至少为a .比较情形1,2中结论知:若a <(b )12 ,则正方形的边长至少为a .若a ≥(2+1)b ,则正方形的边长至少为22(a +b ).。