北京市朝阳区2020届高三六校联考数学试卷(含解析)
北京市朝阳区六校联考2019-2020学年高三年级四月份测试
数学试卷A
第一部分(选择题共40 分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知命题p:,1,x x e ∀∈>R 那么命题p 的否定为
00(),1x A x R e ∃∈≤
(B)∀x ∈R ，e x < 1 00(),1x C x R e ∃∈>
(D)∀x ∈R, e x ≤1 (2)下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是
3()()2A f x x =−+
12()()log ||B f x x = 3()()3C f x x x =−
(D) f(x)= sinx (3)设集合22{|340},{|1},x A x x
x B x e −=∈−−>=<Z 则以下集合P 中,满足()P A B π⊆⋂ð的是 (A) {-1,0,1,2}
(B) {1,2} (C) {1} (D) {2} (4)已知0.2311log
,log 0.3,tan ,3a b c π===则a ，b ，c 的大小关系是 (A) b<a<c (B) c<b<a (C)c<a<b (D) b<c<a
(5)若一个n 面体有m 个面是直角三角形,则称这个n 面体的直度为
,m n
如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为 1()4A 1()2B 3()4C (D) 1
(6)已知向量(2,3),=a 若(a +3b )⊥a,则b 在a 上的投影是
3()4A 3()4
B − 4()3
C 4()3
D − (7)已知△ABC ，则“sinA=cosB”是“△ABC 是直角三角形”的 (A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10, ...构成的数列{}n a 的第n 项,则a 100的值为
(A)5049 (B) 5050 (C) 5051 (D) 5101
(9)已知双曲线2
2
12y x −=的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点A(2,a),直线AB 过抛物线M 的焦点,交抛物线M 于另一点B,则|AB|等于
(A)3.5 (B) 4 (C) 4.5 (D) 5
(10) 关于函数2()(1),x f x x ax e =+−有以下三个结论:
①函数恒有两个零点，且两个零点之积为-1;
②函数的极值点不可能是-1;
③函数必有最小值.
其中正确结论的个数有
(A)3个 (B) 2个 (C)1个 (D)0个
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)在52()x x
的二项展开式中，2x −的系数为____(用数字作答) (12)设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限， 且满足|z|=5, z+z =6,则z 的虚部为_____,
1z =_____. (13)设无穷等比数列{}n a 的各项为整数,公比为9，且q ≠-1，13
22,a a a +<写出数列{}n a 的一个通项公式
____ (14)在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)， B(1,1)， P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最大值是____
(15)关于曲线22:4,C x xy y −+=给出下列四个结论:
①曲线C 关于原点对称,但不关于x 轴、y 轴对称;
②曲线C 恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点) ;
③曲线C 上任意一点都不在圆223x y +=的内部;
④曲线C.上任意一点到原点的距离都不大于2 2.
其中，正确结论的序号是_____
注:本题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得5分，不选或有错选得0分,其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16) (本小题13分)
已知f()23sin cos 2cos()cos()44x x x x x ππ
=−−+. (I )求f(x)的最小正周期和单调递增区问;
(II)当x ∈[0,π]时,若f(x)∈(-1,1], 求x 的取值范围.
(17) (木小题14分)
体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T (单位:℃ )平均在36°C- 37°C 之间即为正常体温,超过37.1°C 即为发热.发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型:低热: 37.1≤T≤38;高热: 38<T≤40; 超高热(有生命危险): T> 40.
某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间，患者每天上午8:00 服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下:
（ I ）请你计算住院期间该患者体温不低于39°C 的各天体温平均值；
（II ）在19日一23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一-特殊项目“a 项目”的检查，记X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求X 的分布列与数学期望；
（II ）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果。
假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由。
(18) (本小题15分)
在四棱锥P- ABCD 中,平面ABCD ⊥平面PCD,底面ABCD 为梯形, AB//CD, AD ⊥DC,且AB=1,AD= DC=DP=2,∠PDC= 120°.
(I)求证:AD ⊥PC;
(II)求二面角_____的余弦值;
从①P-AB-C,②P- BD-C,③P- BC- D 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（III ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC.上任意一点F,MF 与PC 都不平行。
(19) (本小题14分)
已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为1,2
过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A, B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，| AB |=3.
(I)求椭圆C 的标准方程;
(II)当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P (异于点F),使x 轴上任意点到直线PA ，PB 的距离均相等?若存在,求P 点坐标;若不存在,请说明理由.
(20) (本小题15分)
已知函数2()()x f x e ax a =−∈R .
(I )若山线y= f(x)在(1,f(1))处的切线与x 轴平行,求a;
(II)已知f(x)在[0,1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围;
(III) 写出f(x)所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围. (请直接写出结论)
(21) (本小题14分)
已知集合12{|(,,,{0,1},1,2,,}n n S X X x x x i n ==∈=(n≥2)，对于12(,,,),n n A a a a S =∈12(,,,),n n B b b b S =∈定义A 与B 的差为1122(||,||,,||)n n A B a b a b a b −=−−−；A 与B 之间的距离为
1122(,)||||||n n d A B a b a b a b =−+−+
+−. (I)若A-B=(0,1),试写出所有可能的A, B;
(),,,n A B C S ∏∀∈证明: (i) d(A-C,B-C)=d(A, B);
(ii) d(A, B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数;
(III) 设,n P S P ⊆中有m(m>2,且为奇数)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为,p d 证明:(1).2p
n m d m
+≤。
北京市朝阳区六校2020届高三四月联考数学(B卷)试题(WORD版)
2019~2020学年度高三年级四月份测试题数学试卷B 2020.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知命题p ：x ∀∈R ，e 1>x ，那么命题p 的否定为（A ）0x ∃∈R ，0e 1x ≤ （B ）x ∀∈R ，e 1<x （C ）0x ∃∈R ，0e 1x >（D ）x ∀∈R ，e 1≤x（2）设集合2{|340}Z A x x x =∈--≤，2{|e 1}x B x -=<，则A B I =（A ）{1,0,1,2}- （B ）[1,2)- （C ）{1,0,1}- （D ）[1,2]- （3）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（A ）3()2f x x =-+ （B ）12()log ||f x x =（C ）3()3=-f x x x （D ）()sin f x x =（4）已知2=a ，0.2log 0.3=b ，11tan 3π=c ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）<<c b a （B ）<<b a c （C ）<<c a b （D ）<<b c a（5）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565:岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下：组号 分组各组人数各组人数频率分布直方图第1组 [15,25)10第2组 [25,35)a第3组 [35,45) b第4组 [45,55)c第5组[55,65]d（A ）20，0.15 （B ）15，0.015 （C ）20，0.015 （D ）15，0.15 （6）已知向量(2,23)=a ，若16=3⋅-a b ，则b 在a 上的投影是 （A ）34 （B ）34- （C ） 43 （D ）43- （7）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（A ）5 （B ） 3 （C ）6 （D ）23（8）已知△ABC ，则“sin cos A B =”是“△ABC 是直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为 （A ）5049 （B ）5050 （C ）5051 （D ）5101（10）关于函数2()(1)e xf x x ax =+-，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-；②函数的极值点不可能是1-； ③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区2020届高三六校联考数学试卷(含答案解析)
即为正常体温，超过 37.1C 即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.1 T 38 ；
高热： 38 T 40 ；超高热（有生命危险）：T 40 .
某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个
疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下
2
6
2
6
（Ⅰ）因为 0
， sin
1 ，所以
.
2
2
6
所以 f ( ) f () 1 sin 1 . 6 2 22
（Ⅰ）若 0 ，且 sin 1 ，求 f ( ) 的值；
2
2
（Ⅱ）求函数 f (x) 在[0, 2] 上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
高三数学试卷 第 4 页（共 7 页）
（17）（本小题 14 分）
体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T （单位：C ）平均在 36C 37C 之间
（6） D （7） B
（8）D
（9） B
（10） D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 80
（12） 3 , 4
（13） an 2n1(n N*) （答案不唯一）
（14） 2 1 （15）①③
三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题 13 分）
②向量 m ( 3 sinx,cos 2x) ， n (1 cosx, 1) ，且 0 ， f (x) m n ；
北京市朝阳区六校联考2019-2020学年高三年级四月份测试--数学A答案
2
2
2sin(2x π) ， 6
3 sin 2x 2(cos x cos π sin x sin π)(cos x cos π sin x sin π)
4
4
4
4
3 sin 2x 2( 2 cos x 2 sin x)( 2 cos x 2 sin x)
2
2
2
2
3sin 2x (cos2 x sin2 x) 3sin 2x cos 2x
（Ⅱ）选择①评分细则：
在平面 PCD 内过点 D 作 DH DC ，交 PC 于 H .
由（Ⅰ）可知， AD 平面 PDC ，
所以 AD DH ．
P
故 AD,CD, DH 两两垂直．
如图，以 D 为原点， DA, DC, DH 所在直线分别
为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系 D xyz ，
2019~2020 学年度高三年级四月份测试题
数学 A 参考答案
2020.4
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1）A （2）C
（3）C
（4）B
（5）D
（6）D （7）D
（8）B
（9）C
（10）A
由题知，二面角 P AB C 为锐角，
2 故二面角 P AB C 的余弦值为
7．
7
········11 分
选择②得分要点（评分细则同①）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则）
平面 ABCD的一个法向量为 n (0, 0,1) ．；平面 PBD 的一个法向量为 m ( 3, 2 3, 2) ；
2020年北京市朝阳区六校高考数学模拟试卷(B卷)(4月份) (含答案解析)
2020年北京市朝阳区六校高考数学模拟试卷(B 卷)(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知命题p ：∀x ∈(1,+∞)，x 2+16>8x ，则命题p 的否定为( )A. ∀x ∈(1,+∞)，x 2+16≤8xB. ∀x ∈(1,+∞)，x 2+16<8xC. ∃x 0∈(1,+∞)，x 02+16⩽8x 0D. ∃x 0∈(1,+∞)，x 02+16<8x 02. 已知集合A ={x|(12)x≤2,x ∈R}，B ={x|x 2<3,x ∈N}，则A ∩B = ( )A. {−1,0，1}B. {0,1}C. {1}D. {−1,1}3. 下列函数中，图象关于原点对称且在其定义域区间上为增函数的是( )A. f(x)=sinx −xB. f(x)=ln(x −1)−ln(x +1)C. f(x)=e x +e −x2D. f(x)=e x −1e x +14. 设a =log 13π，b =log 3π，c =log 4π，则( ) A. a <c <b B. c <b <a C. a <b <c D. b <c <a5. 为了缓解交通拥堵，某市从2015年开始实施车牌竞价政策，某机构从参加2019年2月份车牌竞拍且出价在1∼8万元的人员中，随机抽取了若干人，对他们的报价进行调查，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间(万元) [1,2) [2,3) [3,4) 频数103640则在这些竞拍人品中，竞价不小于5万元的人数为( )A. 30B. 42C. 54D. 806. 已知，的夹角是120°，且，，则在上的投影等于( )A. B. C. D.7.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱为()A. 2√2B. 4C. √5D. 38.设φ∈R，则“φ=π2”是“f(x)=sin(x+φ),x∈R”为偶函数的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫作三角形数，它们有一定的规律性，则第22个三角形数为()A. 210B. 276C. 231D. 25310.已知函数有两个极值点，则a的取值范围是()A. (e,+∞)B. (e2,+∞) C. (e2,+∞) D. (e22,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.二项展开式(2x−x2)5中，含x项的系数为______ .(用数字作答)12.在复平面内，复数z与向量(−3,4)相对应，则|z|=________．13.在等比数列{a n}中，已知a2·a5=−32，a3+a4=4，且公比为整数，则a10=________．14.已知圆C:(x+1)2+(y−2)2=1，点A(−1,0)，B(1,0).设P是圆C上的动点，令d=|PA|2+|PB|2，则d的最小值为________ ．15.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.设向量m⃗⃗⃗ =[cos(ωx+ϕ2),√3cos(ωx+ϕ2+π)]，n⃗=[sin(ωx+ϕ2),cos(ωx+ϕ2)]，其中ω>0，|ϕ|<π2.又函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗的图象关于直线x=π3对称且两条相邻对称轴之间的距离为π2．(Ⅰ)求ω和ϕ的值及f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(α2)=1−2√34且α∈(π6,2π3)，试求的值．17.某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为40t的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：捕鱼量(单位：吨)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]频数27731根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表(捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼)：晴好天气(单位：天)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数27632 (同组数据以这组数据的中间值作代表)(1)估计渔业捕捞队吨位为40t的渔船一天的捕鱼量的平均数x；(2)若以(1)中确定的x作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量．①估计一艘上述吨位的捕鱼船一年在捕鱼期内的捕鱼总量；②已知当地鱼价为2万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为10万元/艘；若不捕鱼，每天成本为2万元/艘，请依据往年天气统计数据，估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率．18.已知四棱锥P−ABCD.底面ABCD为菱形，PD=PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且MN//平面ABCD．(1)证明：MN⊥PC；(2)若H为PC的中点，PA=PC=AB，PA与平而ABCD所成角为30°，求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，F1(−c,0)，F2(c,0)分别为椭圆的左、右焦点，点(c,43)在椭圆上．(1)求C的方程；(2)若直线y=k(x−1)与椭圆C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否在点D，当k变化时，总有∠ODA=∠ODB？若存在求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．20.已知：函数f(x)=1+lnx−bx，g(x)=1−1x2．(1)求函数g(x)在点(1,0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在(0,1]上的最大值;(3)当b=0，a>0时，试讨论函数ℎ(x)=f(x)−a⋅g(x)−1的零点个数．21.已知实数a1，a2，…，a2017满足a1+a2+a3+⋯+a2017=0，且|a1−2a2|=|a2−2a3|=⋯=|a2017−2a1|，证明：a1=a2=a3=⋯=a2017=0．【答案与解析】1.答案：C解析： 【试题解析】本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题． 根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可．解：由已知：命题p 的否定为：∃x 0∈(1,+∞),x 02+16≤8x 0，故选C ．2.答案：B解析：此题考查交集的运算和指数不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．根据指数不等式和一元二次不等式的解法求出集合A ，B ，再根据交集进行求解即可．解：集合A ={x|(12)x≤2,x ∈R}={x|x ≥−1}，B ={x|x 2<3,x ∈N}={0,1}，故A ∩B ={0,1}．故应选B ．3.答案：D解析：本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的判断问题，是基础题目． 根据函数的单调性和奇偶性，对选项中的函数进行判断即可．解：A.函数奇函数，f ′(x )=cosx −1≤0，在定义域上是减函数，故A 错误； B .的定义域为(1,+∞)，所以图像不可能关于原点对称，故B 错误；C .f(x)=e x +e −x2，满足f (−x )=f (x )，为偶函数，故C 错误；D .函数f(x)=e x −1e x +1，满足f (−x )=−f (x )，是奇函数，f′(x )=2e x(e x +1)2>0，则函数f(x)在定义域上是增函数，故D 正确， 故选D ．4.答案：A解析：本题考查三个数的大小的比较，考查了对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用对数函数的单调性将a ，b ，c 和0，1进行比较可得答案． 解：，，，∴a <c <b ， 故选A ．5.答案：C解析：本题考查频率分布直方图与频率分布表，属于基础题目． 利用频率分布表及频率分布直方图求出即可． 解：由题意可知，随机抽取的总人数为100.05×1=200， 其中竞价在[4,5)万元的人数为200×0.03=60人，故竞价不小于5万元的人数为200−(10+36+40+60)=54人． 故选C ．6.答案：B解析：本题主要考查向量的投影，属于基础题， 先求向量|a⃗ |，再求在上的投影等于即可．解：因为在上的投影等于，所以，故选B．7.答案：D解析：首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键．解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，则此几何体的最长的棱长为：BD=√CD2+BC2=√4+4+1=3．故选：D．8.答案：A解析：此题考查了必要条件、充分条件与充要条件，诱导公式，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．利用诱导公式结合充分、必要条件性质判断即可．解：当φ=π2时，则有f(x)=sin(x+π2)=cosx，为偶函数，成立；当f(x)=sin(x+φ)为偶函数时，，k∈Z，不一定φ=π2．则“φ=π2”是“f(x)=sin(x+φ)为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．9.答案：D解析：本题主要考查了数列递推公式，等差数列求和.先由观察知a n+1−a n=n+1，用累加法求出数列的通项公式即可．解：观察可知a n+1−a n=n+1，则a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+(n−2)+⋯+2+1=n(n+1)，2=253．则a22=22×232故选D．10.答案：D解析：解：∵f(x)=e x−ax2+2ax，∴f′(x)=e x−2ax+2a，令f′(x)=e x−2ax+2a=0，得e x=2a(x−1)，∵f(x)有2个极值点，故方程e x=2a(x−1)有2个不同的实根，即y=e x与y=2a(x−1)的图象有2个交点，画出函数y=e x与y=2a(x−1)的图象，如图示：时，直线y=2a(x−1)与y=e x的图象相切，当2a=e2即a=e22时，y=e x与y=2a(x−1)的图象有两个交点，由图可知当2a>e2即a>e22,+∞)，即a的范围是(e22故选：D．求出函数的导数，问题转化为y=e x与y=2a(x−1)的图象有2个交点，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的零点问题，考查图象的交点问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道常规题．11.答案：80解析：解：二项展开式(2x −x2)5中，通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅(−x2)r=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x3r−5，令3r−5=1，求得r=2，可得含x项的系数为C52×8=80，故答案为：80．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得含x项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：5解析：本题考查复数的模，先求出复数为−3+4i，即可求出结果，是简单题．解：因为复数z与向量(−3,4)相对应，所以z=−3+4i，所以|z|=√32+42=5，故答案是5．13.答案：512解析：本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题．解：∵a2a5=−32，a3+a4=4，∴a3a4=−32，解得a3=−4，a4=8或a3=8，a4=−4，∴q=a4a3=−2，或q=−12(舍去)，∴a10=−4×(−2)7=512，故答案为512．14.答案：14−4√5解析：本题主要考查了圆有关的最值问题和两点间距离公式，属于中档题．先设P(x0,y0)，d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y02+(x0−1)2+y02+=2(x02+y02)+2，x02+y02为圆上任一点到原点距离的平方，得出x02+y02的最小值，进而得出d的最小值．解：设P(x0,y0)，d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y02+(x0−1)2+y02=2(x02+y02)+2．x02+y02为圆上任一点到原点距离的平方，所以(x02+y02)min=(√5−1)2=6−2√5，所以d min=14−4√5．故答案为14−4√5．15.答案：②④解析：本题考查曲线与方程的应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．利用基本不等式得x2+y2≤4，可判断②；联立x2+y2=4和(x2+y2)3=16x2y2，解x2=y2=2可判断①③；由图形及xy<0判断④．解：∵(x2+y2)3=16x2y2≤16(x2+y22)2，∴x2+y2≤4(当且仅当x2=y2=2时取等号)，则②正确；将x2+y2=4和(x2+y2)3=16x2y2联立，解得x2=y2=2，即圆x2+y2=4与曲线C相切于点(√2,√2)，(−√2,√2)，(−√2,−√2)，(√2,−√2)，则①和③都错误；由xy<0，得方程(x2+y2)3=16x2y2表示的曲线C在第二象限和第四象限，故④正确．故答案为：②④．16.答案：解：(Ⅰ)根据，因为函数f(x)的图象关于直线x=π3对称且两条相邻对称轴之间的距离为π2，所以，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：即又α∈(π6,2π3)，0<α−π6<π2，所以．所以=√32⋅14+12⋅√154=√3+√158．解析：本题考查三角形函数的图象与性质以及三角恒等变换，属于中档题．(Ⅰ)根据数量积公式以及三角恒等变换得到，再根据已知条件，得到ω和Φ的方程，解得ω和Φ的值，进而得到f(x)的解析式;(Ⅱ)由已知条件以及(Ⅰ)中结论，求出再通过两角和差公式计算，即可得到答案．17.答案：解：(1)此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：x=120(7.5×2+12.5×7+17.5×7+22.5×3+27.5×1)=16吨；(2)①此吨位的捕鱼船20年的此地的晴好天气天数的平均值为：120(55×2+65×7+75×6+85×3+95×2)=73天，又16×73=1168吨，所以预计一艘上述吨位的捕鱼船下一年在捕鱼期内的捕鱼量大约1160吨；②设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为x，则年利润为y=(16×2−10)x−2(100−x)=24x−200，由24x−200≥1600得：x≥75，一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75，又100天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于75的频率为3+3+220=0.4，预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率为0.4．解析：本题主要考查了平均数，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，属于中档题．(1)此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：x=7.5×220+12.5×720+17.5×720+22.5×320+27.5×120=16吨；(2)①此吨位的捕鱼船20年的此地的晴好天气天数的平均值为：120(55×2+65×7+75×6+85×3+95×2)=73天，又16×73=1168吨；②设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为x，则年利润为y=(16×2−10)x−2(100−x)= 24x−200，由24x−200≥1600，再分析即可．18.答案：解：(1)证明：连结AC交BD于点O，连结PO．因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，且O为AC、BD的中点，因为PD=PB，所以PO⊥BD，因为AC∩PO=O，且AC、PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．因为BD//平面AMHN，BD⊂平面PBD，且平面AMHN∩平面PBD=MN，所以BD//MN，所以MN⊥PC．(2)解：由(1)知BD⊥AC，且PO⊥BD，因为PA =PC ，且O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO ， 所以AO =√32PA ，PO =12PA ，因为PA =AB ，所以BO =12PA ．分别以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA =2，则O(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)，C(−√3,0，0)，H(−√32,0，12)，所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32,0，12)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)． 记平面AMHN 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3√32x +12z =0，令x =1，得n⃗ =(1,0，3√3)， 平面ABCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 记二面角的大小为θ， 则cosθ=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3√2114．所以所求锐二面角的余弦值为3√2114．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)连结AC 交BD 于点O ，连结PO ，推导出BD ⊥平面PAC ，BD ⊥PC.由此能证明MN ⊥PC ． (2)推导出PO ⊥平面ABCD ，分别以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −AM −N 的余弦值． 19.答案：解：(1)由题可知{ ca =√53a 2=b 2+c 2b 2a =43,解得a =3，b =2，c =√5． ∴所求C 的方程为x 29+y 24=1；(2)设存在定点D(m,0)，并设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{y =k (x −1)x 29+y 24=1，消y 可得(9k 2+4)x 2−18k 2x +9k 2−36=0．∴x 1+x 2=18k 29k 2+4，x 1x 2=9k 2−369k 2+4．∵∠ODA =∠ODB ， ∴k AD +k BD =0，即y 1x 1−m+y 2x 2−m=0．∴k (x 1−1)x 1−m+k (x 2−1)x 2−m=0，整理为k [2x 1x 2−(1+m)(x 1+x 2)+2m ](x 1−m )(x 2−m )=0．∴2x 1x 2−(1+m)(x 1+x 2)+2m =0． 可得18k 2−72−18k 2(1+m )+2m (9k 2+4)9k 2+4=8m−729k 2+4．即8m −72=0，∴m =9． ∴存在定点D(9,0)满足题意．解析：本题主要考查了直线的斜率应用和椭圆的概念及标准方程和直线与椭圆的位置关系应用，属于中等题；(1)由题可知a =3，b =2，c =√5，即可得到C 的方程； (2)设存在定点D(m,0)，并设A(x 1,y 1)，B(.x 2,.y 2)由{y =k (x −1)x 29+y 24=1,得到x 1+x 2=18k 29k 2+4，x 1x 2=9k 2−369k 2+4.即可证明．20.答案：解：(1)g ′(x)=2x 3得：g′(1)=2，∴函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为：y =2x −2； (2)．f′(x )=1x −b =1−bx x(x >0)，当b ≤0，f′(x )>0， ∴f (x )在(0,1]上单调增；此时f (x )的最大值为f (1)=1−b ，当b >0 时， 令f ′(x)=0,x =1b ，若1b ≥1，即0<b ≤1时，f′(x )≥0在(0,1]上恒成立，f(x)在(0,1]上单调递增. ∴f(x)max =f(1)=1−b，若1b<1，即b>1时，当x∈(0,1b)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1b,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，，综上所述：1)当b≤1时，f(x)的最大值为f(1)=1−b2)当b>1时f(x)的最大值为f(1b)=−lnb(3)由题意知：ℎ(x)=lnx−a+ax2则ℎ′(x)=x2−2ax3(x>0)，①2a≤0即a≤0时ℎ′(x)≥0恒成立，∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调增且ℎ(e a)=ae2a ⩽0，ℎ(2)=ln2−a+a4>0，由零点存在性定理可知：ℎ(x)在[e a,2)上存在唯一的零点.即在(0,+∞)上存在唯一零点.②2a>0即a>0令ℎ′(x)=0则x=√2a，此时，ℎ(x)在(0,√2a)上单调递减，在(√2a,+∞)上单调递增，令φ(a)=ℎ(√2a)=ln√2a−a+12而φ′(a)=12a−1=0得a=12，∴φ(a)在(0,12)单调增，在(12,+∞)上单调减，得φ(a)≤φ(12)=0，1∗)当a=12时，ℎ(√2a)=0，此时函数ℎ(x)有且只有一个零点，2∗)当0<a<12即0<√2a<1，且ℎ(√2a)<0∵ℎ(1)=0，∴ℎ(x)在(√2a,+∞)有唯一的零点x=1，下面先证：lnx≥−1x +1设φ(x)=lnx+1x−1，∴φ′(x)=1x −1x2=x−1x2=0得：x=1当x∈(0,1)时φ′(x)≤0φ⇒φ(x)单调减，当x∈(1,+∞)时φ′(x)≥0⇒φ(x)单调增，∴φ(x)≥φ(1)=0即lnx≥−1x+1得证(当且仅当x=1时取等号)；∵a1−a −1=2a−11−a<0，∴0<a 1−a<1，，由零点存在性定理可知：ℎ(x )在(a1−a ,√2a)上存在唯一零点， ∴ℎ(x )有两个零点．3∗)a >12时，√2a >1且ℎ(√2a)<0，ℎ(1)=0，e a >e 12>1，又有ℎ(e a )=ae 2a >0，∴由零点存在性定理可知：ℎ(x)在(0,√2a)与(√2a,e a )上各存在唯一零点，同上2∗)可知ℎ(x )有两个零点.综上所述：a ≤0或a =12时，ℎ(x )有一个零点；a >0且a ≠12时，ℎ(x )有两个零点.解析：本题考查了导数的几何意义以及利用导数求最值和导数中的零点问题，是一道难题． (1)根据导数求切线的斜率，根据点斜式求切线方程；(2)根据函数的单调性求函数的极值，然后和端点的函数值比较求最值，注意b 的取值范围; (3)求导分析函数单调性，利用零点存在定理讨论零点个数．21.答案：证明：根据条件知：(a 1−2a 2)+(a 2−2a 3)+(a 3−2a 4)+⋯+(a 2017−2a 1)=−(a 1+a 2+a 3+⋯+a 2017)=0，①另一方面，令|a 1−2a 2|=|a 2−2a 3|=⋯=|a 2017−2a 1|=m ，则a 1−2a 2、a 2−2a 3、…、a 2017−2a 1中每个数或为m 或为−m ，设其中有k 个m ，(2017−k)个−m ，则(a 1−2a 2)+(a 2−2a 3)+(a 3−2a 4)+⋯+(a 2017−2a 1)=k ×m +(2017−k)×(−m)=(2k −2017)m ，② 由①②知：(2k −2017)m =0，③ 而2k −2017为奇数，不可能为0， 所以m =0，于是知：a 1=2a 2，a 2=2a 3，a 3=2a 4，…，a 2016=2a 2017，a 2017=2a 1， 所以a 1=22017·a1， 即得a 1=0，从而a 1=a 2=a 3=⋯=a 2017=0．解析：本题主要考查了分析法，根据已知条件一步步分析得到结论，首先根据已知条件得(a1−2a2)+ (a2−2a3)+(a3−2a4)+⋯+(a2017−2a1)=0，然后令|a1−2a2|=|a2−2a3|=⋯=|a2017−2a1|=m，进而求解即可．。
北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x ）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x），得f（x）＝2f（x ﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！y北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x+）＝2f（x），得f（x）＝2f（x﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x ）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x），得f（x）＝2f（x ﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A 型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
2020届北京市朝阳区六校高三四月联考数学(B卷)试题(解析版)
2020届北京市朝阳区六校高三四月联考数学（B 卷）试题一、单选题1．已知命题p ：x ∀∈R ，e 1x >，那么命题p 的否定为（ ） A ．0x ∃∈R ，0e 1x ≤ B ．x ∀∈R ，e 1x < C ．0x ∃∈R ，0e 1x > D ．x ∀∈R ，e 1x ≤【答案】A【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】Q 原命题是全称命题，∴命题p 的否定是“0x ∃∈R ，0e 1x ≤”.故选：A. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.2．设集合{}2|340A x Z x x =∈--≤，2{|e 1}x B x -=<，则A B I =（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．[1,2)- C ．{1,0,1}- D ．[1,2]-【答案】C【解析】转化条件得{}1,0,1,2,3,4A =-，{}|2B x x =<，利用集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，{}{}{}2|e 1|20|2x B x x x x x -=<=-<=<，则{}{}{}1,0,1,2,3,4|21,0,1x x A B -<=-=I I .故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式和指数不等式的求解，考查了集合交集的运算，属于基础题. 3．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（ ）A ．3()2x f x =-+B ．12()log ||f x x =C ．3()3f x x x =-D ．()sin f x x =【答案】C【解析】由奇函数的性质()()f x f x -=-和函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，()3()2f x f x x -=+≠-，不是奇函数，故A 错误；对于B ，()12()log ||f x x f x -=-=，所以()f x 为偶函数不是奇函数，故B 错误；对于C ，()3()3f x x x f x -=-+=-，所以()f x 为奇函数；由()2()31f x x '-=-，当()0,1x ∈时，()0f x '-<，故()f x 在()0,1上单调递减，故C 正确；对于D ，由正弦函数的单调性可知，函数()sin f x x =在()0,1上单调递增，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了奇函数性质的应用和常见函数的单调性，考查了利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 4．已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解. 【详解】由对数函数的单调性可知21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tan tan 033c ππ===<， 故01c b a <<<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较大小，考查了正切函数的性质，属于基础题. 5．为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565:岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下：组号分组各组人数各组人数频率分布直方图第1组[15,25) 10第2组[25,35)a第3组[35,45)b第4组[45,55)c第5组 [55,65]d根据以上图表中的数据可知图表中a 和x 的值分别为（ ） A ．20，0.15 B ．15，0.015C ．20，0.015D ．15，0.15【答案】C【解析】由题意算出总人数后乘以对应频率即可求得a ，利用各组频率和为1即可求得x ，即可得解.【详解】由题意可得总人数为101000.0110=⨯人，则1000.021020a =⨯⨯=，由各组频率和为1可得()0.010.020.030.025101x ++++⨯=，解得0.015x =. 故选：C. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.6．已知向量(2,3)a =r，若163a b ⋅=-r r ，则b r 在a r 上的投影是（ ）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【解析】由b r 在a r上的投影为a b a⋅r r r ，代入求解即可得解.【详解】由题意b r 在a r 上的投影为()2216433223a b a-⋅==-+rr r .故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.7．某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（ ）A ．5B ．3C ．6D ．23【答案】B【解析】将几何体还原在长方体中即可找到最长的棱，计算即可得解. 【详解】将几何体还原在长方体中，如图，则该几何体即为A BCD -， 可得最长棱为长方体的一条体对角线222213AC =++=.故选：B.【点睛】本题考查了三视图的识别，考查了转化化归思想，属于基础题.8．已知ABC V ，则“sin cos A B =”是“ABC V 是直角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC V 是直角三角形；若2A π=，则sin cos A B ≠，所以ABC V 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =”是“ABC V 是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.9．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．5101【答案】B【解析】观察数列的前4项，可得()12n n n a +=，代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B.本题考查了观察法求数列的通项公式，属于基础题. 10．关于函数2()(1)e x f x x ax =+-，有以下三个结论： ①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-； ②函数的极值点不可能是1-； ③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【解析】把函数()f x 的零点转化为函数21y x ax =+-的零点，即可判断①；求得()f x '后代入1x =-，根据()f x '是否为0即可判断②；设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，结合①可得当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，再证明4()0f x <即可判断③；即可得解. 【详解】由题意函数()2()1e xf x x ax =+-的零点即为函数21y x ax =+-的零点，令210x ax +-=，则240a =+>V ，所以方程必有两个不等实根1x ，2x ，设12x x <， 由韦达定理可得121x x =-，故①正确；()()()22()2e 1e 21e x x xf x x a x a a x x x a ⎡⎤+=+++-⎣=++⎦'-，当1x =-时，()1112()e 201a a f x e --=--+-'=-≠，故1-不可能是函数()f x 的极值点，故②正确；令()0f x '=即()2210x a x a +++-=，()()2224180a a a =+--=+>V ，设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，则当()3,x x ∈-∞，()4,x x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()34,x x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以4()f x 为函数极小值； 由①知，当()1,x x ∈-∞时，函数()0f x >，所以当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，又 (0)0xf e =-<，所以()30,x ∈+∞，所以()4()00f x f ≤<，所以4()f x 为函数的最小值，故③正确.【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.二、双空题11．已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的实部为_________，虚部为________. 【答案】3 4【解析】设()0,0z a bi a b =+>>，由题意26a =，5z ==，求出a 、b 后，根据复数实部、虚部的概念即可得解. 【详解】设()0,0z a bi a b =+>>，则z a bi =-， 由6z z +=可得26a =即3a =，则3z bi =+，由||5z =可得5z ==，解得4b =， 所以34z i =+，故z 的实部为3，虚部为4. 故答案为：3，4. 【点睛】本题考查了复数的运算、模、几何意义以及共轭复数的概念，属于基础题.三、填空题12．在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，3x -的系数为________.（用数字作答）【答案】80【解析】写出通项公式为()52152rrr r T C x -+=-，令523r -=-即可得解.【详解】由题意52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()55215522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令523r -=-即4r =，则()445280C -=.故答案为：80. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.13．设无穷等比数列{}n a 的各项为整数，公比为q ，且||1q ≠，1322a a a +<，写出数列{}n a 的一个通项公式________.【答案】1*2()n n a n N -=-∈（答案不唯一）【解析】由题意可得数列首项1a 、公比q 均为整数，再根据1322a a a +<利用不等式的性质可得10a <，即可得解. 【详解】由题意可得数列首项1a 、公比q 均为整数，由1322a a a +<可得21112a q q a a +<， 若10a >，则2210q q +<-无解，不合题意；若10a <，则2210q q +>-，解得1q ≠.所以数列{}n a 首项10a <.所以数列{}n a 的通项公式可以为1*2()n n a n N -=-∈. 故答案为：1*2()n n a n N -=-∈（答案不唯一）.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了不等式基本性质的应用和分类讨论思想，属于基础题.14．在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A ，(1,1)B ，P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，则线段BQ 的长度的最大值是________.1【解析】转化条件得Q 点轨迹为以O 为圆心，OA 为半径的圆（不包括点F ），由max BQ OB OA =+即可得解.【详解】Q A 关于直线OP 的对称点记为Q ，P 为直线AB 上的动点，∴OQ OA =，∴Q 点轨迹为以O 为圆心，OA 为半径的圆（不包括点F ），如图，又 112OB =+=，∴max 221BQ OA =+=+.故答案为：21+.【点睛】本题考查了圆上点到定点距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 15．关于曲线22:4C x xy y -+=，给出下列三个结论： ① 曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称； ② 曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于2 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①③【解析】设(),P a b 为曲线上任意一点，判断(),Q a b --、(),M a b -、(),N a b -是否满足曲线方程即可判断①；求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用222x y xy ≤+即可得228x y +≤，即可判断③；即可得解. 【详解】设(),P a b 为曲线上任意一点，则224a ab b -+=，设点P 关于原点、x 轴、y 轴的对称点分别为(),Q a b --、(),M a b -、(),N a b -， 因为()()()()22224a a b b a ab b ----+-=-+=；()()22224a b b ab a a b --+-=++≠；()()22224a b b a ab b a --+=++≠-；所以点Q 在曲线C 上，点M 、点N 不在曲线C 上，所以曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称，故①正确；当0x =时，2y =±；当0y =，2x =±.此外，当2x =时，2y =；当2x =-时，2y =-.故曲线过整点()0,2，()0,2-，()2,2，()2,2--，()2,0，()2,0-，故②错误； 又 ()22220x y xy x y +-=-≥，所以222x y xy ≤+恒成立， 由224x xy y -+=可得2222442x y xy x y ++=+≤+，当且仅当x y =时等号成立，所以228x y +≤≤，故③正确. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.四、解答题16．已知：①函数1()cos sin()(0)64f x x x πωωω=+->；②向量,cos 2)m x x ωω=r，11(cos ,)24n x ω=r ，且0>ω，()f x m n =⋅r r ；③函数1()sin(2)(0,)22f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点1(,)62π请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_________________，且函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若02πθ<<，且1sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一【解析】（1）选择一个条件，转化条件得1()sin(2)26f x x π=+，由题意可得6πθ=，代入即可得解； （2）令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得x 的取值范围后给k 赋值即可得解. 【详解】 方案一：选条件①因为1()cos sin()64f x x x πωω=+-1cos (sin cos cos sin )664x x x ππωωω=+-211sin cos cos 224x x x ωωω=+-12cos 244x x ωω=+112cos 2)22x x ωω=+1sin(2)26x πω=+，又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案二：选条件②因为,cos 2)m x x ωω=r，11(cos ,)24n x ω=r，所以11()cos cos 2sin(2)2426f x m n x x x x πωωωω=⋅=+=+r r. 又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案三：选条件③由题意可知，22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)2f x x ϕ=+. 又因为函数()f x 图象经过点1(,)62π，所以11sin(2)226πϕ=⨯+.因为||2ϕπ<，所以 6π=ϕ，所以1()sin(2)26f x x π=+.（1）因为02πθ<<，1sin 2θ=，所以 6πθ=.所以11()()sin 6222f f ππθ===.（2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤， 所以函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为2[,]63ππ，75[,]63ππ. 【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.17．体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T （单位：C ︒）平均在3637C C ︒~︒之间即为正常体温，超过37.1C ︒即为发热.发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T ≤≤；高热：3840T <≤；超高热（有生命危险）：40T >.某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：（1）请你计算住院期间该患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值；（2）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“α项目”的检查，记X 为高热体温下做“α项目”检查的天数，试求X 的分布列与数学期望；（3）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.【答案】（1）39.55C o ；（2）分布列见解析，6()5E X =；（3）答案不唯一，给出合理理由即可.【解析】（1）由题意利用平均数公式直接求解即可；（2）由题意利用超几何分布的概率公式即可分别求出(0)P X =、(1)P X =、(2)P X =，列出分布列后即可求期望；（3）可从各抗生素降温总数，使用抗生素时体温平均值和方差，体温稳定下降的时间点和单日温度下降最大值几个角度去考虑，选出效果最佳的抗生素. 【详解】（1）由表可知，该患者共6天的体温不低于39C o ，记平均体温为x ，1(39.439.740.139.939.2+39.0)39.55C 6x =++++=o .所以，患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C o . （2）X 的所有可能取值为0，1，2.3032351(0)10C C P X C===，21323563(1)105C C P X C ====，1232353(2)10C C P X C ===.则X 的分布列为：X12P 11035310所以1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=. （3）“抗生素C ”治疗效果最佳可使用理由：①“抗生素B ”使用期间先连续两天降温1.0C o 又回升0.1C o ，“抗生素C ”使用期间持续降温共计1.2C o ，说明“抗生素C ”降温效果最好，故“抗生素C ”治疗效果最佳. ②抗生素B ”治疗期间平均体温39.03C o ，方差约为0.0156；“抗生素C ”平均体温38C o ，方差约为0.1067，“抗生素C ”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C ”治疗效果最佳. “抗生素B ”治疗效果最佳可使用理由：自使用“抗生素B ”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B ”治疗当天共降温0.7C o ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B ”治疗效果最佳. 【点睛】本题考查了平均数的计算、超几何分布概率和期望的求解以及样本估计总体的实际应用，属于中档题.18．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD .底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，且1AB =，2PA AD DC ===，22PD =.（1）求证：AB PD ⊥；（2）求二面角P BC D --的余弦值；（3）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行. 【答案】（1）见解析；（2（3）见解析 【解析】（1）由面面垂直的性质可得AB ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面BCD 的一个法向量是n r，平面PBC 的一个法向量为m u r，利用cos ,n m n m n m⋅〈〉=r u rr u r r u r 即可得解； （3）利用反证法，假设棱BC 上存在点F ，//MF PC ，由题意(1,2,1)MF λλ=+-u u u r，(2,2,2)PC =-u u u r ，设MF PC μ=u u u r u u u r 可得122212λμλμμ+=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，此方程无解，故假设错误，即可得证. 【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 平面ABCD I 平面PAD AD =，AB Ì平面ABCD ， AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ， 又因为PD ⊂平面PAD ， 所以AB PD ⊥.（2）因为2PA AD ==，PD =PA AD ⊥. 由（1）得AB ⊥平面PAD ，所以AB PA ⊥， 故AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D .因为PA ⊥平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量是(0,0,1)n =r.而(1,0,2)PB =-uu r ，(2,2,2)PC =-u u u r，设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则由0,0,m PB m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取1z =，有(2,1,1)m =-u r ，所以6cos ,6n m n m n m⋅〈〉===r u rr u r r u r . 由题知，二面角P BC D --为锐角，所以二面角P BC D --的余弦值为6.（3）证明：假设棱BC 上存在点F ，//MF PC ，设,[0,1]BF BC λλ=∈u u u r u u u r. 依题意，可知(0,0,1)M ，(1,2,0)BC =u u u r，(1,2,0)F λλ=+，所以(1,2,1)MF λλ=+-u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，设MF PC μ=u u u r u u u r ，根据假设，有122212λμλμμ+=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，而此方程组无解，故假设错误，问题得证.【点睛】本题考查了面面垂直和线面垂直性质的应用，考查了空间向量的应用和反证法的应用，属于中档题.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，3AB =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线PA ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在点(4,0)P【解析】（1）由题意可得方程222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程后即可得解；（2）设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题意120121020122(1)()0()()my y x y y x k x x k x +-+-+==-，联立方程组表示出12y y +、12y y ，代入即可得解. 【详解】（1）由题意得222223,1,2b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得:2a =，b =1c =.所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.（2）依题意，若直线l 的斜率不为零，可设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y .假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题设，01x ≠，且10x x ≠，02x x ≠. 设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 则1110y k x x =-，2220y k x x =-. 因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在1x my =+上， 故111x my =+，221x my =+，而x 轴上任意点到直线PA ，PB 距离均相等等价于“PF 平分APB ∠”， 继而等价于120k k +=. 则12121020y y k k x x x x +=+--12210121020()()()x y x y x y y x x x x +-+=--1201210202(1)()0()()my y x y y x x x x +-+==--.联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：22(34)690m y my ++-=， 有122634my y m -+=+，122934y y m -=+. 则0012221020102018662460(34)()()(34)()()m m mx m mx k k m x x x x m x x x x --+-++===+--+--，即040m mx -+=，故04x =或0m =（舍）. 当直线l 的斜率为零时，(4,0)P 也符合题意.故存在点(4,0)P ，使得x 轴上任意点到直线PA ，PB 距离均相等. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题.20．已知函数2()e ()x f x ax a R =-∈.（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （2）已知()f x 在[0,1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围；（3）写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围.（请直接写出结论） 【答案】（1）e2a =；（2）(,e 2]-∞-；（3）见解析 【解析】（1）由题意结合导数的几何意义可得()01f '=，即可得解；（2）原命题等价于2e 2x a x -≤在(0,1]x ∈上有解，设2e 2()x g x x-=，(0,1]x ∈，通过求导可得max ()(1)2g x g e ==-，由有解问题的解决方法即可得解；（3）令()0f x =，显然0x =不成立，若0x ≠，则2xe a x =，令()2x e h x x=，求导后画出函数()h x 的草图数形结合即可得解. 【详解】（1）因为2()e ()x f x ax a R =-∈，故()e 2x f x ax '=-.依题意(1)e 20f a ='-=，即e 2a =. 当e2a =时，e (1)02f =≠，此时切线不与x 轴重合，符合题意， 因此e2a =. （2）当[0,1]x ∈时，()f x 最大值不小于2⇔2()e 2x f x ax =-≥在[0,1]x ∈上有解，显然0x =不是解，即2e 2x a x-≤在(0,1]x ∈上有解， 设2e 2()x g x x -=，(0,1]x ∈， 则3e 2e 4()x x x g x x-='+. 设()e 2e 4x xh x x =-+ ，(0,1]x ∈，则()e (1)0xh x x '=-≤.所以()h x 在(0,1]单调递减， ()(1)40h x h e ≥=->， 所以()0g x '>，所以()g x 在(0,1]单调递增， 所以max ()(1)2g x g e ==-. 依题意需2a e ≤-，所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-.（3）当0a ≤时，()y f x =有0个零点；当2e 04a <<时，()yf x =有1个零点当2e 4a =时，()y f x =有2个零点；当2e 4a >时，()y f x =有3个零点.·【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和转化化归思想，考查了推理能力，属于中档题.21．已知集合{}12{|(,,,),0,1,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥L L ，对于12(,,,)n A a a a =L n S ∈，12(,,,)n n B b b b S =∈L ，定义A 与B 的差为1122(,,,)n n A B a b a b a b -=---L ；A 与B 之间的距离为1122(,)=+n n d A B a b a b a b --++-L .（1）若(0,1)A B -=，试写出所有可能的A ，B ； （2）,,n A B C S ∀∈，证明：(,)(,)d A C B C d A B --=；（3）,,n A B C S ∀∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）一定有偶数，理由见解析 【解析】（1）由题意结合新概念A B -可直接得解；（2）先证明0i c =、1i c =时，均有i i i i i i a c b c a b ---=-，由新概念运算即可得证；（3）设(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =，由（2）可得(,)(0,)d A B d B A k =-=，(,)(0,)d A C d C A l =-=，(,)(,)d B C d B A C A h =--=，设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，即可得2h l k t =+-，即可得解.【详解】（1）由题意可得，所有满足要求的A ，B 为：()0,0A =，()0,1B =； ()0,1A =，()0,0B =；()1,0A =，()1,1B =； ()1,1A =，()1,0B =.（2）证明：令12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n B b b b =L ，12(,,,)n C c c c =L ， 对1,2,,i n =L ，当0i c =时，有i i i i i i a c b c a b ---=-；当1i c =时，有1(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-. 所以(,)d A C B C --11112222n n n n a c b c a c b c a c b c =---+---+⋅⋅⋅+---1122(,)n n a b a b a b d A B =-+-++-=L .（3）A ∀，B ，n C S ∈，(,)d A B ，(,)d A C ，(,)d B C 三个数中一定有偶数. 理由如下：设12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅，12(,,,)n B b b b =⋅⋅⋅，12(,,,)n n C c c c S =⋅⋅⋅∈，(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =，记0(0,0,0)n S =⋅⋅⋅∈，由（2）可知: (,)(,)(0,)d A B d A A B A d B A k =--=-=，(,)(,)(0,)d A C d A A C A d C A l =--=-=，(,)(,)d B C d B A C A h =--=，所以(1,2,,)i i b a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为k ，(1,2,,)i i c a i n -=⋅⋅⋅中1的个数为l . 设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-. 由此可知，k ，l ，h 三个数不可能都是奇数， 即(,)d A B ，(,)d A C ，(,)d B C 三个数中一定有偶数. 【点睛】本题考查了新概念在推理与证明中的应用，考查了逻辑推理能力和新概念的理解能力，属于中档题.。
2020年北京市朝阳区六校联考高考数学模拟试卷和答案(A卷)(4月份)
2020年北京市朝阳区六校联考高考数学模拟试卷（A卷）（4月份）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知命题p：∀x∈R，e x＞1，那么命题p的否定为（）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，e x＜1C．∃x0∈R，D．∀x∈R，e x≤12．（4分）下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）＝﹣x3+2B．f（x）＝log|x|C．f（x）＝x3﹣3x D．f（x）＝sinx3．（4分）设集合A＝{x∈Z|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|e x﹣2＜1}，则以下集合P中，满足P⊆（∁R A）∩B的是（）A．{﹣1，0，1，2}B．{1，2}C．{1}D．{2} 4．（4分）已知a＝log2，b＝log 0.20.3，c＝tan，则a，b，c 的大小关系是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 5．（4分）若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为，如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为（）A．B．C．D．16．（4分）已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，则在上的投影是（）A．B．﹣C．D．﹣7．（4分）已知△ABC，则“sinA＝cosB”是“△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记a n为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{a n}的第n项，则a100的值为（）A．5049B．5050C．5051D．5101 9．（4分）已知双曲线x2﹣＝1的渐近线与抛物线M：y2＝2px（p＞0）交于点A（2，a），直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，则|AB|等于（）A．3.5B．4C．4.5D．510．（4分）关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为﹣1；②函数的极值点不可能是﹣1；③函数必有最小值．其中正确结论的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在（﹣）5的二项展开式中，x﹣2的系数为．（用数字作答）12．（5分）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|＝5，z+＝6，则z的虚部为，＝．13．（5分）设无穷等比数列{a n}的各项为整数，公比为q，且|q|≠1，a1+a3＜2a2，写出数列{a n}的一个通项公式．14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（1，1），P 为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是．15．（5分）关于曲线C：x2﹣xy+y2＝4，给出下列四个结论：①曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；②曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线C上任意一点都不在圆x2+y2＝3的内部；④曲线C．上任意一点到原点的距离都不大于2．其中，正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x﹣）cos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区问；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，若f（x）∈（﹣1，1]，求x的取值范围．17．（14分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：℃）平均在36°C﹣37°C之间即为正常体温，超过37.1°C即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.1≤T≤38；高热：38＜T≤40；超高热（有生命危险）：T＞40．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A”治疗使用“抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（℃）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期20日21日22日23日24日25日26日体温（℃）38.438.037.637.136.836.636.3（Ⅰ）请你计算住院期间该患者体温不低于39°C的各天体温平均值；（Ⅱ）在19日一23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一﹣特殊项目“a项目”的检查，记X为高热体温下做“a项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）抗生素治疗一般在服药后2～8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．18．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP ＝2，∠PDC＝120°．（Ⅰ）求证：AD⊥PC；（Ⅱ）求二面角的余弦值；从①P﹣AB﹣C，②P﹣BD﹣C，③P﹣BC﹣D这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC．上任意一点F，MF与PC都不平行．19．（14分）已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|＝3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．20．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）若山线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）已知f（x）在[0，1]上的最大值不小于2，求a的取值范围；（Ⅲ）写出f（x）所有可能的零点个数及相应的a的取值范围．（请直接写出结论）21．（14分）已知集合S n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，a n）∈S n，B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|．（Ⅰ）若A﹣B＝（0，1），试写出所有可能的A，B；（Ⅱ）∀A，B，C∈S n，证明：（i）d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（ii）d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数；（Ⅲ）设P⊆S n，P中有m（m＞2，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为p，证明：p≤．2020年北京市朝阳区六校联考高考数学模拟试卷（A卷）（4月份）答案与解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】命题否定：否定条件，否定结论．【解答】解：命题否定：否定条件，否定结论．命题p：∀x∈R，e x＞1，那么命题p的否定为∃x0∈R，，故选：A．2．【分析】结合函数的单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．【解答】解：A：f（x）＝﹣x3+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：f（x）＝为偶函数，不符合题意；C：f（﹣x）＝﹣x3+3x＝﹣f（x）即f（x）为奇函数，∵f′（x）＝3x2﹣3＜0在（0，1）上恒成立，故f（x）在（0，1）上单调递减，符合题意，D：y＝sinx在（﹣1，1）上单调递增，不符合题意．故选：C．3．【分析】根据题意先求出A，B，然后根据集合的基本运算及包含关系可求．【解答】解：由题意可得A＝{x∈Z|x＞4或x＜﹣1}，B＝{x|x＜2}，∴（∁R A）∩B＝{﹣1，0，1，2，3，4}∩{x|x＜2}＝{﹣1，0，1}．结合选项可知，满足P⊆（∁R A）∩B时，选项C满足题意．故选：C．4．【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵，0＝log 0.21＜log0.20.3＜log0.20.2＝1，，∴c＜b＜a．故选：B．5．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四面体，其中PA⊥底面ABC，且AB⊥BC，由此可得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度可求．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四面体，其中PA⊥底面ABC，且AB⊥BC，可得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度为．故选：D．6．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，然后根据投影的计算公式即可求出投影的值．【解答】解：∵，，∴，∴，∴在上的投影是．故选：D．7．【分析】根据题意，前者推不出后者，后者推不出前者，从而得出答案．【解答】解：已知△ABC，sinA＝cosB，则sinA＝sin（），故A＝，或，所以A﹣B＝，或，或A＝B，故前者推不出后者，反之，比如A＝90°，显然不成立，故后者推不出前者，所以“sinA＝cosB”是“△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件，故选：D．8．【分析】设第n个数为a n，观察图中的数据可得a1＝1，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3…a n﹣a n﹣1＝n，利用叠加法可求a n，【解答】解：设第n个数为a n，则a1＝1a2﹣a1＝2a3﹣a2＝3a4﹣a3＝4…a n﹣a n﹣1＝n叠加可得，a n﹣a1＝2+3+4+…+n∴a n＝1+2+3+…+n＝，∴a100＝5050，故选：B．9．【分析】求出双曲线的渐近线方程，通过A的坐标求出a，代入抛物线方程求解p，然后求解AB方程，利用抛物线的性质求解|AB|即可．【解答】解：不妨取双曲线x2﹣＝1的一条渐近线，y＝x，双曲线x2﹣＝1的渐近线与抛物线M：y2＝2px（p＞0）交于点A（2，a），所以a＝，A（2，2），代入抛物线方程，可得P＝2，抛物线方程为：y2＝4x，焦点坐标（1，0），直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，AB的斜率为：2，AB的方程为：，代入抛物线方程可得：2x2﹣5x+2＝0，x A+x B＝，则|AB|＝x A+x B+p＝4.5．故选：C．10．【分析】把函数f（x）的零点转化为函数y＝x2+ax﹣1的零点，即可判断①；求得f′（x）后代入x＝﹣1，根据f′（x）是否为0即可判断②；设x2+（a+2）x+a﹣1＝0的两个实数根为x3，x4且x3＜x4，结合①可得当x∈（﹣∞，x3）时，f（x）＞0，再证明f（x4）＜0即可判断③．【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x的零点，即为函数y＝x2+ax﹣1的零点，令x2+ax﹣1＝0，则△＝a2+4＞0，∴方程必有两个不等实根x1，x2，设x1＜x2，由韦达定理可得x1x2＝﹣1，故①正确；f'（x）＝（2x+a）e x+（x2+ax﹣1）e x＝[x2+（a+2）x+a﹣1]e x，当x＝﹣1时，f'（x）＝（1﹣a﹣2+a﹣1）e﹣1＝﹣2e﹣1≠0，故﹣1不可能是函数f（x）的极值点，故②正确；令f'（x）＝0即x2+（a+2）x+a﹣1＝0，△＝（a+2）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0，设x2+（a+2）x+a﹣1＝0的两个实数根为x3，x4且x3＜x4，则当x∈（﹣∞，x3），x∈（x4，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（x3，x4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x4）为函数极小值；由①知，当x∈（﹣∞，x1）时，函数f（x）＞0，∴当x∈（﹣∞，x3）时，f（x）＞0，又f（0）＝﹣e x＜0，∴0∈（x3，+∞），∴f（x4）≤f（0）＜0，∴f（x4）为函数的最小值，故③正确．故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】写出通项公式，根据题意求出r，代入即可．【解答】解：（﹣）5的二项展开式的通项公式为，由得，3r＝9，r＝3，所以系数为，故答案为：﹣80．12．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0，b＞0），由|z|＝5，z+＝6，得关于a，b的方程组，求解可得a，b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求得．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0，b＞0），由|z|＝5，z+＝6，得，解得a＝3，b＝4．∴z的虚部为4；．故答案为：4；﹣i．13．【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得a1+a1q2＜2a1q，变形可得a1（1﹣q）2＜0，分析可得a1＜0；故只需满足a1＜0且q为整数的等比数列就满足条件，据此写出一个等比数列的通项公式即可得答案．【解答】解：根据题意，无穷等比数列{a n}的各项为整数，则公比q必为整数，又由a1+a3＜2a2，即a1+a1q2＜2a1q，变形可得a1（1﹣q）2＜0，则a1＜0，当a1＝﹣1，q＝2时，数列{a n}的通项公式为a n＝﹣2n﹣1，故答案为：a n＝﹣2n﹣1，（答案不唯一）14．【分析】根据题意，分析可得Q的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r＝|OA|＝1的圆，连接OQ、QB，据此分析可得当O、Q、B 三点共线时，|BQ|最大，计算可得答案．【解答】解：根据题意，点A（0，1），B（1，1），如图，A、Q关于直线OP对称，则|OA|＝|OQ|＝1，则Q的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r＝|OA|＝1的圆，连接OQ、QB，分析可得：当O、Q、B三点共线时，|BQ|最大，此时|BQ|＝1+，故答案为：+1．15．【分析】①替换x，y，可以判断是否关于原点对称，x轴、y轴对称，②令x＝0，±1，±2，±3，…，可求出来所有整数点，③利用不等式，求出x2+y2的取值范围，即可．④可用不等式求x2+y2≤8，可求出距离．【解答】解：将﹣x替换x，﹣y替换y，代入得x2﹣xy+y2＝4，则曲线C关于原点对称，将﹣x替换x，y替换y，代入得x2+xy+y2＝4，则曲线C不关于x 轴对称，将x替换x，﹣y替换y，代入得x2+xy+y2＝4，则曲线C不关于y 轴对称，①对；曲线C恰好经过（0，2），（0，﹣2），（2，0），（﹣2，0），（2，2），（2，﹣2）共6个整点，②错，设P（x，y），，化简得x2+y2≤8，PO＝，④对，x2+y2＝4+xy≥2xy，则xy≤4，x2+y2＝4+xy≥﹣2xy，则，∴，③错；故答案为：①④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，根据f（x）∈（﹣1，1]，利用正弦函数的图象和性质即可求出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxcosx﹣2cos（x﹣）cos（x+），＝sin2x﹣2cos（x+﹣）cos（x+），＝sin2x﹣2sin（x+）cos（x+），＝sin2x﹣sin（2x+），＝sin2x﹣cos2x，＝2（sin2x﹣cos2x），＝2sin（2x﹣），∴T＝＝π，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，故函数f（x）的单独递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，（Ⅱ）∵f（x）∈（﹣1，1]，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤1，∴﹣＜sin（2x﹣）≤，∴﹣+2kπ＜2x﹣≤π+2kπ，∴kπ＜x≤+kπ，当k＝0时，0＜x≤，满足x∈[0，π]，当k＝1时，π＜x≤π，不满足x∈[0，π]，综上所述x的范围为（0，]．17．【分析】（Ⅰ）由表知，该患者共6天的体温不低于39°C，由此能求出患者体温不低于39°C的各天体温平均值．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳可使用的理由是“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0℃，又升1.0℃，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2℃，说明“抗生素C”降温效果好，故“抗生素C”治疗效果最佳．“抗生素B”治疗期间平均体温39.03℃，方差“抗生素C”治疗期间平均体温38℃，方差约为0.1067，约为0.0156，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显；“抗生素B”治疗效果最佳可使用理由：自使用“抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7℃，是单日降温效果最好一天，故“抗生素B”治疗效果最佳．【解答】解：（Ⅰ）由表知，该患者共6天的体温不低于39°C，记平均体温为，＝（39.4+39.7+40.1+39.9+39.2+39.0）＝39.55°C，∴患者体温不低于39°C的各天体温平均值为39.55°C．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：X012P∴E（X）＝+1×+2×＝．（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳可使用．理由如下：①“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0℃，又升1.0℃，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2℃，说明“抗生素C”降温效果好，故“抗生素C”治疗效果最佳．②“抗生素B”治疗期间平均体温39.03℃，方差约为0.0156，“抗生素C”治疗期间平均体温38℃，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳．“抗生素B”治疗效果最佳可使用理由：自使用“抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7℃，是单日降温效果最好一天，故“抗生素B”治疗效果最佳．18．【分析】（Ⅰ）由AD⊥DC，得AD⊥平面PCD，由此能证明AD ⊥PC．（Ⅱ）在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（Ⅲ）假设BC上存在点F，MF∥PC，设＝，λ∈[0，1]，利用向量法推导出假设不成立，由此能证明对于棱BC．上任意一点F，MF与PC都不平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD ∩平面PCD＝CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC．（Ⅱ）解：选择①，在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），∵DH⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），＝（2，1，﹣），＝（2，2，﹣），设平面PAB的一个法向量为＝（x，y，z），由，取z＝2，得m＝（），∴cos＜＞＝＝＝，由题知二面角P﹣AB﹣C为锐角，∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．选择②，在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C （0，2，0），平面ABCD的一个法向量＝（0，0，1），设平面PBD的一个法向量＝（x 2，y2，z2），＝（2，1，0），＝（0，﹣1，），，取z＝2，得＝（﹣，2，2），设二面角P﹣BC﹣D的平面角为θ，由题意θ是钝角，∴二面角P﹣BC﹣D的余弦值为cosθ＝﹣＝﹣．选③，在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），＝（2，2，﹣），＝（0，3，﹣），设平面PBC的法向量＝（x 4，y4，z4），则，取x 4＝1，得＝（1，2，2），设二面角P﹣BC﹣D的平面角为α，则二面角P﹣BC﹣D的余弦值为cosα＝＝．（Ⅲ）证明：假设BC上存在点F，MF∥PC，设＝，λ∈[0，1]，依题意可知M（1，﹣，），＝（﹣2，1，0），＝（﹣2λ，λ，0），F（2﹣2λ，1+λ，0），＝（1﹣2λ，，﹣），＝（0，3，﹣），则，此方程组无解，故假设不成立，∴对于棱BC．上任意一点F，MF与PC都不平行．19．【分析】（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l的斜率不为零，可设直线l：x＝my+1（m≠0），A （x1，y1），B（x2，y2）．设P（x0，0），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则，而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等价于k1+k2＝0．所以k1+k2＝，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理代入上式化简，即可求出x0的值，经验证当直线l的斜率为零时，P（4，0）也符合题意．故存在点P（4，0），使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，解得：．所以椭圆的标准方程为：；（II）依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线l：x＝my+1（m ≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．假设存在点P，设P（x0，0），由题设，x0≠1，且x0≠x1，x0≠x2．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则．因为A（x1，y1），B（x2，y2）在x＝my+1上，故x1＝my1+1，x2＝my2+1．而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等等价于“PF平分∠APB”，继而等价于k1+k2＝0．则＝＝．联立，消去x，得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，有．则，即﹣4m+mx0＝0，故x0＝4或m＝0（舍）．当直线l的斜率为零时，P（4，0）也符合题意．故存在点P（4，0），使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等．20．【分析】（I）先对函数求导，然后结合已知及导数的几何意义可求；（II）由已知不等式恒成立，分离参数后，通过构造函数，转化为求解函数的范围，结合导数可求．（III）转化为a＝的零点个数，结合函数的图象及性质可求．【解答】解：（I）∵f（x）＝e x﹣ax2，所以f′（x）＝e x﹣2ax，由题意可得，f′（1）＝e﹣2a＝0，则a＝，又f（1）＝≠0，此时切线与x轴不重合，符合题意，（II）由题意可得，f（x）＝e x﹣ax2≥2在[0，1]上有解，显然x ＝0不是解，故a≤在[0，1]上有解，设g（x）＝，x∈[0，1]，则，设h（x）＝（x﹣2）e x+4，则h′（x）＝（x﹣1）e x≤0，所以h（x）在[0，1]上单调递减，h（x）≥h（1）＝4﹣e＞0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1]上单调递增，所以g（x）max＝g（1）＝e﹣2，故a≤e﹣2，故a的范围为（﹣∞，e﹣2]．（3）当a≤0时，函数的零点个数为0；当a＝时，函数的零点个数为1；当a＞时，函数的零点个数为0；当0＜a≤时，函数的零点个数为2；21．【分析】（Ⅰ）根据题目所给定义，依次写出所有可能的A，B即可；（Ⅱ）（i）根据题目所给出的条件和个关于A，B差的定义，采用直接证明的方法．设C（c1，c2，c3…c n），证明d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B），只需证明每一个分量相等．对于绝对值式子，采用分类讨论去掉绝对值；（ii）先找到三者之间的关系，d（A，B）的分量是，d（A，C）的分量是，根据上一问结论，d（B，C）＝d（B﹣A，C﹣A），其分量是，这样就建立了三者间的联系，再利用其意义来建立等式；（Ⅲ）首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，从第一位直到第n位，思考得出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝（0，0），B＝（0，1）；A＝（0，1），B＝（0，0）；A＝（1，0），B＝（1，1）；A＝（1，1），B＝（1，0）．（Ⅱ）令A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n），（i）对i＝1，2…，n，当c i＝0时，有；当c i＝1时，有＝．所以d（A﹣C，B﹣C）＝++…+＝＝d（A，B）．（ii）证法1：设A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n），C＝（c1，c2，…，c n）∈S n，d（A，B）＝k，d（A，C）＝l，d（B，C）＝h．记O＝（0，0，…0）∈S n，由（Ⅰ）可知，d（A，B）＝d（A﹣A，B﹣A）＝d（O，B﹣A）＝k，d（A，C）＝d（A﹣A，C﹣A）＝d（O，C﹣A）＝l，d（B，C）＝d（B﹣A，C﹣A）＝h．所以（i＝1，2，…n）中1的个数为k，（i＝1，2，…n）中1的个数为l，设t是使＝＝1成立的i的个数，则h＝l+k﹣2t．由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．证法2，：因为（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）＝0，且（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）与奇偶性相同．所以为偶数，故d（A，B）+d（A，C）+d （B，C）为偶数，所以d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．（Ⅲ）记为P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则＝．因为m为奇数，所以（i＝1，2，…n），且时，取得等号．所以．所以p＝＝．。
北京市朝阳区2020届高三上学期抽样检测数学试题 Word版含解析
北京市朝阳区2019～2020学年度第一学期高三年级抽样检测 数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B ⋂=（ ） A. (,1)-∞-B. 2(1,)3--C. 2(,3)3-D.(3,)+∞【答案】D 【解析】 试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且3681116a a a a =，则数列{}n a 的公比为（） A. 4 B. 2C. 2±D. 4±【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210log log 1a a +=得到3102a a =，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由3681116a a a a =得到3114a a =，最后可以求出等比数列的公比.详解】等比数列{}n a 中，232102310310log log 1log 1()2a a a a a a +=⇒=⇒=①，36821131116)16(a a a a a a =⇒=，由等比数列各项正负性的性质可知：311,a a 同号，故3114a a =②，②除以①，得：等比数列的公比3113102a a a a q ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.3.已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是A. n ∀∈N ，2n ≤B. n ∀∈N ，2n <C. n N ∃∈，2n ≤D. n N ∃∈，2n >【答案】C 【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤选C .4.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3- B. 13-C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xaf x a ⨯-=∈R 奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=，因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bx x b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R Q因此12log log 83b a ==-，故本题选A.【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力. 5.设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（）A.B. C. D.2+【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线10x y --=距离，然后利用圆的性质可以求出点P 到直线10x y --=距离的最大值.【详解】因为22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =线10x y --=的距离为d ==P 到直线10x y --=距离的最大值为d r += C.【点睛】本题考查了圆上的点到定直线距离的最大值问题，利用圆的几何性质是解题的关键. 6.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+， 因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.7.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（） A. ① B. ②C. ③D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】①:根据圆的对称性可以阴影部分的面积是圆的面积一半，可以求出在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小；②：当43a =-时，可以求出阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标，求出圆心到直线(2)y a x =-距离，这样可以判断出半圆与直线的关系，最后可以判断出直线(2)y a x =-与黑色阴影部分是否有公共点；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，所以可以判断出本结论是否正确.【详解】①：因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故本结论是正确的； ②：当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故本结论是正确的；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故本结论是错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的对称性. 8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为(,)N n k (3)k ≥，下面列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数211(,3)22N n n n =+， 正方形数2(,4)N n n =， 五边形数231(,5)22N n n n =-， 六边形数2(,6)2N n n n =-， 以此类推，下列结论错误的是（）A. (5,4)25N =B. (3,7)18N =C. (5,10)145N =D.(10,24)1000N =【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中第n 个数的表达式，可以得到k 边形数中第n 个数的表达式，对四个选项依次判断即可.【详解】因为三角形数221132(,3)222432N n n n n n -+=-=+， 正方形数2244242(,4)2N n n n n --=+=， 五边形数223152(,5)222452N n n n n n -+=-=-， 六边形数2262(,6)22462N n n n n n -=-=-+， 所以可以类推得到：第n 个k 边形数为22(,)242k N n k kn n =-+-(3)k ≥， 于是有(5,4)25N =，(3,7)18N =，(5,10)85N =，(10,24)1000N =，因此选项C 是错误的，故本题选C.【点睛】本题考查了合情推理的归纳推理，考查了代数式恒等变形的能力，属于基础题. 9.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为13．将角α沿逆时针方向旋转([,])2πββπ∈角后，得到角θ，则（）A. sin θ的最大值为13，sin θ的最小值为13-B. sin θ的最大值为3，sin θ的最小值为13C. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为1- D. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为 【答案】C【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，可以求出锐角α的正弦，利用同角的三角函数关系式，可以求出锐角α的余弦值，结合正弦函数和余弦函数的单调性，求出sin θ、cos θ的最值，最后选出正确答案.【详解】由题意可知：1sin 3α=，(0,)6πα∈，所以有cos α==[,][,]22ππβπαβααπ∈∴+∈++Q ，即[,]2πθααπ∈++， 因为(0,)6πα∈，所以3[,][,]222πππααπ++⊆，因为sin y θ=在3[,]22ππ上单调递减，所以sin y θ=的最大值为sin()cos 2παα+==， sin y θ=的最小值为1sin()sin 3απα+=-=-；因为[,]2πθααπ∈++，所以当θπ=时，cos y θ=有最小值，最小值为1-，1cos()sin 23παα+=-=-，cos()cos απα+=-=所以cos θ的最大值为13-，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义，考查了同角的三角函数关系式，考查了正弦函数、余弦函数的在闭区间上的最值.10.在平面直角坐标系xOy 中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P M ，p N ．所有点P M 构成的集合为M ，M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为()x Ω；所有点P N 构成的集合为N ，N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为()y Ω．给出以下命题：①()x Ω：②()()x y Ω+Ω的取值范围是；③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义画图，通过正方形对角线的位置，数形结合可以选出正确的答案.【详解】由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形，如下图所示：正方形的边长为12.当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，可以发现当对角线OB 在横轴时，如图所示：()x Ω的2，故结论①正确；此时 ()2,()2x y Ω=Ω=()()22x y Ω+Ω= 当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，当正方形有一边在横轴时，()x Ω，()y Ω有最小值为1，即()1,()1x y Ω=Ω=，所以()()x y Ω+Ω有最小值为2，所以有()()2x y Ω+Ω=，故结论②正确；由于()()x y Ω=Ω，所以()()x y Ω-Ω恒等于0，故结论③正确，综上所述：结论①②③都正确，故本题选D.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了数学阅读能力，考查了分类思想、数形结合思想.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.已知向量(1,2)m =-u r ，(1,)n λ=r ．若m n ⊥u r r ，则2m n +u r r 与m ur 的夹角为_________．【答案】4π【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n⊥u r r，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n+u r r与mu r的夹角.【详解】因为m n⊥u r r，所以1011202m nλλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r，即(12)1,n=r，因此2(1,3)m n+=u r r，设2m n+u r r与mu r的夹角为θ，因此有(2)2cos21052mm nm mnθ+⋅===⨯+⋅u r ru u rr ru r，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_______，最长棱长为_______．【答案】(1). 2(2). 3【解析】【分析】画出四棱锥的图形，由三视图求出几何元素的长度，求出体积和最长棱长即可，【详解】四棱锥P ABCD-如下图所示：底面是直角梯形，,//,2,1AD AB AD BC AD AB BC⊥===，PA⊥底面ABCD，且2PA=，所以四棱锥的体积为11(21)22232V=⨯⨯+⨯⨯=；2222PD PA AD=+=, 222PB PA AB=+=222223PC PA AC PA AB BC+=++=, 22(21)25DC=-+=所以最长棱长为3.【点睛】本题考查了四棱锥体积的求法，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力. 13.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为_________． 【答案】3- 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，求出该切点处的切线的斜率，结合直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，可以求出a 的值.【详解】设直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切于点00(,)P x y ，'1ln()y x a y x a=-⇒=-，所以过点00(,)P x y 的切线的斜率为01k x a =-，因此有：0000000110223ln()3x a y y x x a y x a a ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪=+⇒=-∴=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查了已知曲线切线求参数问题，设切点、求导是解题关键，考查了数学运算能力.14.若函数2log ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨--≤⎩有且只有一个零点，则a 的取值范围是_______． 【答案】(,1)[0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】先判断当0x >时，函数是否有且只有一个零点，如果有且只有一个零点，那么当0x ≤时函数就不存在零点；如果函数在0x >时，没有零点，那么函数在0x ≤时，有且只有一个零点，这样就可以求出a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数2()log f x x =，显然函数单调递增，且(1)0f =，所以函数()f x 有且只有一个零点，要想函数()f x 在全体实数范围内，有且只有一个零点，只需当0x ≤时，20x a -->或20x a --<恒成立即可.当20x a -->在0x ≤恒成立时，min 202(2)1x x xa a a -->⇒<-⇒<-=-；当20x a --<在0x ≤恒成立时，202,0200x x xa a x a --<⇒>-≤∴-<⇒≥Q ， 综上所述：a 的取值范围是(,1)[0,)-∞-+∞U .【点睛】本题考查了已知分段函数的零点求参数问题，考查了不等式恒成立问题，考查了对数函数和指数函数的单调性应用.15.设函数()sin(2)3f x x π=+，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则||αβ-的最小值为________． 【答案】3π【解析】 【分析】 先求出当1[,]44x ππ∈-时，函数11()sin(2)3f x x π=+的值域，再根据12()()0f x f x +=，可以求出函数22()sin(2)3f x x π=+值域的子集，结合正弦型函数的单调性，可以求出||αβ-的最小值.详解】111121[,](2)[,]sin(2)[,1]4436332x x x ππππππ∈-∴+∈-∴+∈-Q ，即11()[,1]2f x ∈-，而12()()0f x f x +=，因此22()sin(2)3f x x π=+值域包含1[1,]2-，且2[,]x αβ∈，由题意可知在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，因此有以下两种情形： （1）152636k k πππαππ+<+≤+且32()32k k Z πβππ+=+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π； （2）3232k παππ+=+且13172()636k k k Z πππβππ+≤+<+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π；综上所述：||αβ-的最小值为3π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的值域问题，考查了已知正弦型函数在闭区间上值域求区间长度最小值问题，考查了数形结合思想.16.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r 的值为________．【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2＝10，r. 三、解答题（共6小題，共80分。