小升初数学试卷及答案：数论之带余除法
小升初专练-数论问题-带余除法通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【常考题型】例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【解题思路】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．一．选择题1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
小升初名校招生真题数学(一)有余数的除法
除法叫做有余数的除法。
被除数=商× 除数+余数
题1
若 a b 84，且 a、b 都是非0的自然数，那么a 最小是_44__。
分析：a 8b 4, a要取最小，也就是 b要最小，b最小为多少呢？
是__1_00___。
解法1：1900÷600=3…100
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数，商不变， 但余数也对应扩大或缩小 相同的倍数
解法2：1×100=100
题5 • 在有余数的除法算式中，24÷（
有___2__种答案。
）=（
）…3，商可以
分析：除数>余数>3，24-3=21，21=1×21=3×7， 所以除数=21或7
除数最小为余数加1
解：b 4 1 5 a 58 4 44
题2
• 一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4，符合这个条件的500以内的最 大数是_4_7_9 __。
分析：被3除少1，被除数=3的倍数-1；
温馨提示
被a除少1， 被除数=a的倍数-1
被4除少1，被除数=4的倍数-1； 被5除少1，被除数=5的倍数-1； 被3除少1，被4除少1， 被5除少1，被除数=3、4、5的公倍数-1； 3、4、5的最小公倍数为60，500以内60的最大倍数为480，
480-1=479。
题3 • 一个数被8除，余数是7，该数的3倍被8除时，余数是_5____。
解法1：设商为1，被除数=8×1+7=15，15×3÷8=5…5
被除数扩大若干倍后再除 以除数，余数等于原来余 数扩大与被除数同样的倍 数除以除数的余数。
解法2：7×3÷8=2…5
有余数的除法(教师)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
有余数的除法内容分析知识结构1.272除以23的商为 ，余数为 。
【难度】★ 【答案】11,19【解析】解：272=23×11+192.已知某数被5除后的小数部分为0.4，则5除这个数的余数为 。
【难度】★ 【答案】2【解析】解：0.4×5=23. 7104×519的积被11除，得商为 ，余数为 。
【难度】★★ 【答案】335179 , 7 【解析】解：7104×519=（11×645+9）（11×47+2）=11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+9×2 =11×11×645×47+11×645×2+9×11×47+11×1+7 =11×335179+7一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有r b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷q a ，也就是r bq a += 其中q 是商，r 是余数，0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商知识精讲模块一：带余除法的定义与性质课前热身即 被除数=除数×商+余数， 或 被除数-余数=除数×商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
六年级数学小升初专题训练-第3节-数论拓展人教新课标含答案
第3节：数论拓展模块一：数位问题我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
.这样，数字0〜9可以组成.无穷无尽、千变万化的数。
数字的数值、数位的变化，决定不同的数同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同.也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值。
例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百，等等。
根据以上原则，我们可以将数写成另一种形式，例如：926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100＋2×10＋6×1。
11.3表示1个十，1个一，3个0.1，即11.3=1×10＋1×1＋3×0.1。
有时，我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc表示a个百，b个十，c个一。
其中，a可以是1〜9中的数字，不能是0；b和c是0〜9中的数字。
【例1】有一个小数，先把它的小数点向左移动2004位后，再向右移动2005位，结果是40.3，原来的小数是。
【例2】小李在某个三位数的最左边添上了一个数字1，得到一个新的四位数，且这个数是原数的9倍，那么原来的三位数是。
【例3】一个三位数，三个数位上的数字和为16，百位上的数字比十位上的数字小1，个位上的数字比十位上的数字大2，则十位上的数字是（）A.4B.5C.61.有这样的一类三位数:个位和百位上的数字交换后仍然是这个数，这样的三位数共有（）个。
A.10B.9C.902．—个两位数，它个位上的数字是m ，十位上的数字是n ，用含有字母的式子表示这个两位数是（ ）A ．mnB ．10m n +C ．10n m +3.一个数的小数点向右移动一位后比原来的数大25.2，原数是 。
4.一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ）。
A.54B.27C.72D.455．—个自然数各个数位上的数之和是16，而且各数位上的数字都不相同。
六年级下册数学试题-小升初考点点拨：数论(含答案)全国通用
数论知识点拨主要包括了数的整除、质数合数、约数倍数、余数和数位进制、最大公因数和最小公倍数，以及平均数的计算等问题。
例题精讲【例题1】A= 2×3×7，B=【答案】A = 2×3×7，B = 2×5×7 A 和 B 公有的质因数是 2 和 7，A 独有的质因数是 3，B 独有的质因数是 5，那么 A 和 B 的最大公因数是：2×7=14， A 和 B 的最小公倍数是：2×7×3×5=210 故答案为：14,210 【例题 2】A 、B 、C 三个互相咬合的齿轮，若 A 轮转 3 圈、B 轮转 7 圈、C 轮转 2 圈，那么这三个齿轮的齿数最少是 A 轮（ ）齿，B 轮 （ ）齿，C 轮（ ）齿。
【答案】3、7、2 三个数两两互质，它们的最小公倍数是它们的乘积： 3×7×2=42， 即三个齿轮转过的总齿数是 42， A 为：42÷3=14（齿）； B ：42÷7=6（齿）；C：42÷2=21（齿）；故答案为：14，6，21．【例题3】a=2×3×m，b=3×5×m（m 是自然数且≠0），如果a 和b 的最大公约数是21，则m 是（），此时a 和b 的最小公倍数是（）。
【答案】a=2×3×m，b=3×5×m，a 和b 的最大公约数是21=3×7=3×m，所以m=7；a 和b 的最小公倍数是2×3×5×7=210 故答案为：7；210【例题4】一个两位数除以5 余3，除以7 余5，这个两位数最大是（）（A）72 （B）37 （C）68 （D）33【答案】首先找出5 的倍数5,10,15,20,25,30…尾数都是0 或5 的整数, 而这个数应该是:8,13,18,23,28,33…尾数都是3 或8 的整数; 满足情况的只有答案C 或D,而7×9+5=68 满足题意. 故:答案选择C举一反三【变式 1】如果 A=60，B=42，那么 A、B 的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
小升初真题之数论篇(含答案)
小升初真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
小升初小学数学应用题基础练习《有余数的除法》答案详解
《有余数的除法》1．（2019秋•灵武市期末）一双足球鞋388元，奇思每月攒120元，至少攒( )个月才能买上．A ．3B ．4C ．5【解答】解：3881203÷=（个)28⋯⋯（元）314+=（个）答：至少攒4个月才能买上．故选：B ．2．（2019秋•兴国县期末）每个纸盒可以装2.5千克的苹果，小明要把25.5千克的苹果装在这样的纸盒里，至少需要( )个这样的纸盒．A ．10B ．11C ．12【解答】解：25.5 2.510÷=（个)0.5⋯⋯（千克）10111+=（个）答：至少需要11个这样的纸盒．故选：B ．3．（2019秋•合肥期末）妈妈把2升牛奶倒入几个同样的杯子里，每个杯子的容积是300毫升，全部倒完至少需要( )个杯子．A ．5B ．6C ．7【解答】解：22000L ml =20003006÷=（个)200⋯⋯（毫升）617+=（个） 答：至少需要7个这样的杯子．故选：C ．4．（2019秋•丰台区期末）王大爷的菜园收获了242个水果罗卜，如果每箱装6个，准备38个纸箱够吗？我的判断是( )A ．够B ．可能够C ．不够【解答】解：242640÷=（个)2⋯⋯（个）40141+=（个）因为3841<，所以准备38个纸箱不够．故选：C ．5．（2019秋•迎江区期末）18名同学乘车去科技馆游玩，至少需要( )A ．4B ．5C ．6【解答】解：1844÷=（辆)2⋯（名）415+=（辆）答：至少需要租5辆车．故选：B ．6．（2018秋•抚宁区期末）一辆汽车最高载重量是3.5吨，有15吨的货物需要用汽车运走，至少运() A ．3次 B ．4次 C ．5次 D ．6次【解答】解：15 3.55÷≈（次）答：至少运5次．故选：C ．7．（2018秋•邓州市期末）一本词典需39元，王老师带376元钱，最多能买( )本这样的词典．A ．9本B ．10本C ．8本【解答】解：376399÷=（本)25⋯（元）．答：王老师带376元钱，最多能买9本这样的词典．故选：A ．8．（2019秋•西城区期末）用10元钱买1.8元一块的橡皮，最多可以买 块．【解答】解：10 1.85÷≈（块）答：她最多能买5块．故答案为：5．9．（2019秋•东城区期末）同学们用长度为3.8米的竹竿为老年人制作长度为0.9米的拐杖，最多能够做出 根这样的拐杖．【解答】解：3.80.94÷≈（根）答：最多可以做出4根．故答案为：4．10．（2019秋•卫东区期末）果园里共收果子4.6吨，每箱中最多装入15千克，这些果子能装满 箱；如果用一辆载重量1.9吨的小货车来运，至少 次才能运走．.306A .307B .2C .3D【解答】解：（1）4.6吨4600=千克460015306÷=（箱)10⋯⋯（千克）答：能装满306箱．（2）4.6 1.92÷=（次)0.8⋯⋯（千克）213+=（次）答：需要3次才能运走．故选：A ，D ．11．（2019秋•闵行区期末）做一个蛋糕需要面粉80克．一袋1.25千克面粉最多可以做 个这样的蛋糕，还剩 克面粉．【解答】解：1.25千克1250=克12508015÷=（个)50⋯⋯（克）答：一袋1.25千克面粉最多可以做 15个这样的蛋糕，还剩 50克面粉．故答案为：15，50．12．（2019秋•红安县期末）礼品店用丝带包装礼品盒，每个用1.2米，用23.4米的丝带最多可以包装 个这样的礼品盒．【解答】解：23.4 1.219÷=（个)0.6⋯（米）答：最多可以包装19个这样的礼品盒．故答案为：19．13．（2018秋•卢龙县期末）果农们要将690千克的苹果装进纸箱运走，每个纸箱最多可以盛下20千克苹果，需要 个纸箱．【解答】解：6902034÷=（个)10⋯（千克）因剩下的10千克也需要1个纸箱所以共需纸箱34135+=（个）答：至少需要35个纸箱．故答案为：35．14．（2018秋•海陵区校级期末）组装一辆玩具汽车用4个轮子，45个轮子最多可以组装 辆玩具汽车，还剩 个轮子，再添上 个轮子又可以装1辆车．【解答】解：45411÷=（辆)1⋯（个）413-=（个）答：45个轮子最多可以组装11辆玩具汽车，还剩1个轮子，再添上3个轮子又可以装1辆车．故答案为：11，1，3．15．（2019秋•鹿邑县期末）一种练习本每本1.4元，小明有10元钱，他最多可以买7本这种练习本． （判断对错）【解答】解：10 1.47÷=（本)0.2⋯（元）答：他最多可以买7本这种练习本．原题说法正确．故答案为：√．16．（2018秋•兴义市期末）每个水桶最多装水4.5kg ，要装完65kg 水，至少需要15个这样的水桶． （判断对错）【解答】解：65 4.514÷=（个)2⋯⋯（千克）14115+=（个）答：至少需要15个水桶．故原题说法正确；故答案为：√．17．（2019秋•镇原县期末）张阿姨到批发市场买毛巾，每条毛巾2.8元，用80元最多可以买这种毛巾28条． （判断对错）【解答】解：80 2.828÷≈（条）答：用80元最多可以买这种毛巾28条，原题说法正确．故答案为：√．18．（2019秋•辉南县期中）每套礼服用布2.4m ，现有80m 布最多可以做33套这样的礼服． （判断对错）【解答】解：80 2.433÷≈（套）答：现有80m 布最多可以做33套这样的礼服，原题说法正确．故答案为：√．19．（2018秋•蔚县期末）买196元的台灯，每月存19元，至少要存10个月才够． （判断对错）【解答】解：1961910÷=（个)6⋯⋯（元)10111+=（个）至少需要11个月．故原题说法错误；故答案为：⨯．20．（2018秋•阳江期末）某校三年级50个同学去春游，每条船最多坐8人，至少要租7条船． （判断对错）【解答】解：5086÷=（条)2⋯（人）余下的2人还需要1条船617+=（条）答：至少需要7条船．故答案为：√．21．（2015秋•薛城区期末）一匹布40米，做一套服装用布2.7米，这批布最多可以做16套这样的服装． ．（判断对错）【解答】解：40 2.714÷=（套) 2.2⋯（米）答：这些布最多可以做14套这样的服装．故答案为：⨯．22．（2015秋•纳雍县月考）一堆石子60吨，一辆卡车最多能装4.5吨，运完这堆石子需要13趟． （判断对错）【解答】解：60 4.513÷=（趟) 1.5⋯（吨）13114+=（趟）答：运完这堆石子需要14趟．故答案为：⨯．23．（2014秋•南昌县期末）一种玩具汽车94元，王阿姨有360元钱．她可以买4辆这样的玩具汽车． ．（判断对错）【解答】解：360943÷=（辆)78⋯（元）答：她可以买3辆这样的玩具汽车．故答案为：⨯．24．（2019秋•兴国县期末）周老师准备80元买一些文具作为优秀学生的奖品．他先买了8本相册，再用剩下的钱买一些笔，周老师最多能买回几支笔？【解答】解：(80 2.58) 5.7-⨯÷(8020) 5.7=-÷60 5.7=÷10=（支)3⋯（元）答：周老师最多可以买10支钢笔．25．（2019秋•雨花区期末）工厂生产了106个零件，每8个零件装一箱，可以装满几箱？还剩几个？【解答】解：106813÷=（箱)2⋯（个）答：可以装满13箱，还余2个．26．（2019秋•灵武市期末）郝家桥小学进行篮球比赛，男女生各一队，每队有14人，现有120瓶矿泉水，每个队员可以分到多少瓶？还剩几瓶？【解答】解：14228⨯=（人）120284÷=（瓶)8⋯（瓶)答：每个队员可以分到4瓶，还剩8瓶．27．（2019秋•芙蓉区期末）全校师生去旅游，一共有430个人，每辆车限载客35人，需要准备几辆车？【解答】解：4303512÷=（辆)10⋯（人）12113+=（辆）答：需要准备13辆车．28．（2019秋•闵行区期中）小丁丁用10元钱买2.4元一块的橡皮，他最多可以买几块？还剩多少元？【解答】解：10 2.44÷=（块)0.4⋯（元）答：最多可以买4块，还剩0.4元．29．（2018秋•秀山县期末）某超市开展促销活动，某品牌毛巾11元一条，每买3条送1条．张阿姨带了132元，最多能买多少条毛巾？【解答】解：1321112÷=（条）因为为每买3条送1条，所以买12条送4条12416+=（条）答：最多能买16条毛巾．30．（2018秋•长阳县校级期末）实验小学三年级350名师生乘坐大巴出去游每辆大巴可乘坐40人，需要租用几辆这样的大巴，每辆大巴租金550元，一共要付租金多少元？【解答】解：350408÷=（辆)30⋯（人）余下的30人还需要1辆车819+=（辆）95504050⨯=（元）答：需要租8辆这样的大巴，需要付租金4050元．31．（2019秋•洛阳期中）面包店做了86块月饼，每盒装8块，这些月饼能装多少盒，还剩多少块？【解答】解：86810÷=（盒)6⋯（块）答：能装10盒，还剩6块．32．（2019秋•绿园区期末）张老师带450元去买篮球，每个篮球27元，能买几个篮球？还剩多少元？【解答】解：4502716÷=（个)18⋯（元）答：能买16个篮球，还剩18元．33．（2019•衡阳模拟）王老师带了500元去体育商店买足球，每个足球的售价是61元，王老师最多可以买几个足球，还剩下多少元？【解答】解：500618÷=（个)12⋯（元）答：最多可以买8个足球，还剩12元．34．（2019春•武侯区月考）食堂要运回142袋大米，一次最多运8袋，至少要运多少次才能运完？【解答】解：142817÷=（次)6⋯（袋）6袋也需要运一次，所以至少运17118+=（次）答：至少要运18次才能运完．35．（2018秋•抚宁区期中）一个工地的施工处有37.2吨黄沙需要运走，一辆小卡车一次最多能运走3.8吨．那么至少需要几次才能全部运完？【解答】解：37.2 3.810÷≈（次）答：至少运10次才能全部运完．36．（2019秋•丹江口市期末）美心蛋糕房特制一种生日蛋糕，每个需要0.32千克面粉．李师傅领了4千克面粉做蛋糕，他最多可以做几个生日蛋糕？【解答】解：40.3212÷≈（个）答：他最多可以做12个生日蛋糕．37．（2017•广陵区）方方做了97朵花，每4朵扎成一束，可以扎成几束？还剩几朵？【解答】解：97424÷=（束)1⋯（朵），答：可以扎成24束，还剩下1朵．38．（2016秋•天津期末）卡车的载质量是4.5吨，现在有95吨煤，需要几车才能运完？【解答】解：95 4.522÷≈（车）答：需要22车才能运完．39．（2016秋•仙桃期末）希望小学有370人去旅游，每辆汽车最多坐30人，需要几辆这样的汽车？【解答】解：3703012÷=（辆)10⋯（人），12113+=（辆）；答：需要13辆这样的汽车．。
六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用
第05讲 数论综合——余数问题【一】了解“除法算式——a b qr b r ÷=> ()” 及应用1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .1010989108=910898÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数 求最大值一位数最大是，余数最大是 两位数 两位数2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.17073717073717073746546461707463755375424545451707453742424645542a r a r a ra a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩综上：或3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.带 余 除 法52310523105555523(5)105231152310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一： 法二：除数余数 除数余数余数与除数的差是 余数与除数的差是 若设余数为，则除数为 若给余数加上 除数 =52311=48=43434348x ∴÷=∴ 除数，余数 余数是，除数是4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=法一： 法二： 若设为，则为 则5：某个除法算式的被除数、除数、商与余数之和为115，如果被除数和除数都扩大为原来的2倍，得到的除法算式中被除数、除数、商与余数之和为223，那么原来的算式中商是 .11522222222311522237A B CD A B C D A B C D A B C D C ÷=⇒+++=÷=⇒+++=∴=⨯-=22222(22)22222a b q r a bq r a bq ra b bq r b q r a b q r a b q r÷=⇒=+⇒=+÷=+÷=∴÷=⇒÷=证明：6：某个整数除36，商和余数相等，那么这个整数可能是 .3636(1)136=8111735b c c bc c c b b b cb ÷=⇒=+=++>是的因数，但是枚举：、、、7：在大于2015的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有多少个？5758575756201558=3443355635122a c c c a c c c c c =+=⎧÷=⇒⎨<⎩÷⇒∴=-+= 的最大值是 的最小值是 个数（个）【二】余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和 证明： [弃9法 整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和 证明： [()(999)910019911999910019911(]a a b b c c d e c a d e a b c d a c m e a mc e b c nf b nc f a b mc e nc f m n d b ++-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+⎩÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+ 对于（1） 余数可加可减可乘2)()()()()()()()()()()()1192329c e f a b ce f a b mc e nc f m n c e f a b ce f a b mc e nc f mnc mcf nec ef a b ce f ++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+=+++⇒⨯÷⨯⇒÷÷ （2） （3） 余数可加 举性余数可减性余数可乘性例259753295⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷⎩⎩⎩或者（一）余数特征+余数可加可减可乘性的“基础练习”1：将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（二）余数特征+余数可加可减可乘性的“拓展练习”71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C D ABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++证明：判断能被和整除奇段和 偶段和 奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴ 能被和整除1：（1）求20172017201720172017个除以9的余数. （2）求20146666个除以7的余数.201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡个个 20146666666666100120146335466666666666660302(mod 7)=⨯÷=∴≡≡-≡≡≡个2：求1020162017201620162016个除以7的余数.9201620163603603602016201620167020162016201670201720162016201620172016000(mod 7)1428577110000001000000711000712017201600020172016(mod 7)20÷∴÷⇒≡⨯+=∴÷∴÷⇒≡个10个个个个172016201710000201620177110000742016701404=⨯+÷÷÷∴=⨯+=余数可乘，余数3：求15!除以17的余数.15!4!(56)(71113)(89)(10121415)243010017225210015!7131541415916021069654636181(mod 7)15!(29)(36)(413)(57)(815)(1012)(1114)171=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⇒≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡⨯≡≡=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯法一：法二：每个括号内两数之积都是除以 余 15!171∴÷ 的(2)!1(mod )p p p ⇔-≡延伸说明：上一题的（2）是威尔逊原理内容： 是质数（三）余数周期性的“基础练习”1：兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、……，第2017项除以5的余数.5112303314044320224101123033020201720100172÷=兔子数列每一项除以的余数如下：周期是， ，即余2：分别求出23456789103333333333、 、 、 、 、 、 、 、 、 除以7的余数.发现规律，并求出1003除以7的余数. 并试求231001+3+3+3++3除以7的余数.234567891010043333333333326451326461006164334(mod 7)⇒÷=⇒≡≡、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是若为01231002+2+2+2++2除以7呢？61016165(132645)1613262116162(mod 7)⇒÷=⇒≡+++++⨯++++≡⨯+≡周期是 原式3：今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是周一（四）余数周期性的“拓展练习” 1：求3332除以31的余数.33133333231535334812228(mod 31)n ∴÷=⇒≡≡≡研究除以的余数容易发现周期是只要考虑除以的余数，容易发现周期是42：求332的末位数字.33133481333(mod10)÷=⇒≡≡寻找末位就是相当于除以10的余数周期现象：1、3、9、7、1、3、9、7、……，周期是4(1)(2)(3)x Nx N x N x x 以下是固定值，是变量对于，其个位数字是4个一循环 对于，其个位数字是10个一循环 对于，其个位数字是20个一循环3：求123420132014123420132014+++++除以10所得的余数是多少？12341920201234192014765636901636567490944,201420100141001004(14765636901636)=463463++++++++++++++++++++++++=÷=⨯++++++++++++++除以10的余数就是相当于寻找其个位数字，底数指数都是变化的，即周期为先计算的个位数字：为“”其个位数字是即个整周期还多出14个个位数字即为“”的个3位数字是 ，即答案就是34：求2007200720072007200712342006++++计算结果的个位数字是多少？200732007320073200720072007200720073333311(mod10)22(mod10)20072007(mod10)1234200612342006(mod10)≡≡≡+++++≡+++++首先，按规律，底数不变指数变化，其个位数字的周期是每4个一循环 即 、 、 得到： 然后，按规律，底数变化指数不变，其个位数字的周期是每10个一循环 33333333333333331234105(mod10)1234200652001234561(mod10)+++++≡+++++≡⨯++++++≡ 又因为， 所以，【一】化余数为整除（余数相同） （一）余数已知1：某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是几？ 415(415)03603636181296b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、、、2：某个整数除31，余数是7，那么这个整数可能是几？ 317(317)024********b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、同 余 问 题3：某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、4：某个额整数除229、337得到的余数都是13，这个整数最大是几？最小是几？ (22913)021*******(33713)0324033713(337229)01080216324108(216,324,108)1081310818b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩⇒⇒=>∴是、、的公因数是最大公因数的因数，且最大为，最小为（二）余数未知1：某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 41(4111)030030302153105611b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、、2：某个大于1的整数除89、71得到的余数相同，那么这个整数可能是几？89(8971)01801818293671b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、3：某个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是几？ 17(5317)036053(11317)0960369660113(11353)0600(36,96,60)12122634b r b bb r b b b b b r b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷-÷÷⎩⎩⎩=∴=是、、的公因数是最大公因数的因数、、、、【二】化余数为整除（余数不同） （一）余数已知1：某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？ 475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b bbb b b bbb b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=是、的公因数是最大公因数的因数，且、2：（拓展）用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？ 13（二）余数未知1：某个整数除29、56的余数分别是a 、3a +，这个数可能是几？ 2929(5329)0240245635333324128462924529125298524,12,8()56248561285680294129654(),6()56405662b aba bbb ba baa b b b b b b b ÷÷⎧⎧⇒⇒-÷⇒÷⇒⎨⎨÷+÷⎩⎩+≥⇒>∴=÷÷÷⎧⎧⎧===⎨⎨⎨÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧==⎨⎨÷÷⎩⎩是的因数、、、、验证：舍去舍去舍去综上2412b =，、2：某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=舍去舍去舍去综上，、3：一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数的和a 的值.429+54248482(848791)0570791279127912(1000791)0209050050010002(1000848)0152057209152(57,209,15b a ba b a b b b a ba b a b b b a b a b a b b b b ÷÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪÷⇒÷⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷÷÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⎩⇒⇒是、、的公因数是最大公因数的因数2)19519571911192091912152196196b b b b a =>∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩==，且验证：综上，，4：已知60、154、200被某数除所得的余数分别是1a -、2a 、31a -，求这个自然数的值. 22222333361(3721154)03567060161154154154(61154)2001201(9394201)09193020135679193(3567,9193)b a b b b a b a b a b a b a b ab a b a b b b a b b ⎧⎛÷⇒-÷⇒÷÷-÷⎪ ⎧⎧ ÷⎪⎪⎪⎝÷⇒÷⇒⎨⎨⎨⎛⨯÷⎪⎪⎪÷-÷⇒-÷⇒÷ ⎩⎩⎪ ÷⎝⎩⇒⇒=是、的公因数是最大公因数的因数29296029229154299200292629b b b ∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩=验证：综上，5：（拓展）糖果254粒，饼干210块，水果186个. 某幼儿园人数超过40人，平均分给学生，余下糖果、饼干、水果比是1:3:2，求共有多少人？没人每种各分多少个？5082(508186)032202541862210321031862(440210)02300(254186)3322230(322,230)4640223254202210201862b ab b b a b a b a b a b a b b b a b b b b b ⎧÷⎧⇒-÷⇒÷÷⎧⎨⎪÷⎪⎪⎩÷⇒⎨⎨÷⎧⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⎨⎩⎪+÷⎩⎩⇒⇒=<∴=÷=÷÷是、的公因数是最大公因数的因数，且、验证：254231()23210233018623223b b ÷⎧⎧⎪⎪=÷⎨⎨⎪⎪÷⎩⎩=舍去，综上，6：有一个整数，用它除70、110、160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？121233111221233370110(70110160)()340502900290160707070121101333531718316011b r b r b r r r bb b b rbr b b r b r b r b r b r r r b b b b r b r b ÷⎧⎪÷⇒++÷++⇒÷⇒÷⇒⎨⎪÷⎩÷≤÷≥+⎧⎧⎪⎪÷⇒≥+⇒≥+++⇒≥⇒≥⇒≥⎨⎨⎪⎪÷≥+⎩⎩∴=是的因数现在讨论的就是范围对来说，其中,290,2,145,5,58,10,29581105815229b b =÷==对于， ，不成立综上，【三】同余方程 1：（铺垫）（1）解同余方程：45(mod11)x ≡45(mod11)41151(45)110451144(mod11)5115245(mod11)4511(mod11)416(mod11)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x x x x ≡÷⎧⇒-÷⇒-=⇒=⇒≡⎨÷⎩≡≡+≡=∴≡ 转化： 试除：(mod )(,)1(mod )(mod )()()0()()()()(,)1(mod )ac bc m c m a b m ac m x pac bc m ac bc m x y c a b m x y bc m y p c a b m x y c m m a b a b m a m b m a b a b m m m ≡=≡÷=⎧≡⇒-÷=-⇒-=-⎨÷=⎩-=-=-≡÷÷--=证明：若，当 时，有开始：对“”，有对“”，若，为的因数若想让“”，即让“的余数等于的余数”，即“化为分数相减为整数”同时，确实为整数，得证.（2）解同余方程：729(mod13)x x ≡+729(mod13)7131(729)130(29)135913()(59)130592677(mod13)2729(mod13)59(mod13)59132(mod13)5x x x r x x x rx x x x xx x x x x ≡+÷⎧⇒--÷⎨+÷⎩-=⨯⎧⇒-÷⇒⎨-=⇒=⇒≡⎩-≡≡≡+⨯ 转化： 试除： 35(mod13)(5,13)17(mod13)x ≡=∴≡2：用枚举法检验的方法，找出有那些整数x 满足：35(mod 7)x ≡，用一个同余式来表示结果.135(mod 7)411184(mod 7)235(mod 7)357(mod 7)312(mod 7)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x ≡=≡≡≡+≡=∴≡ ，枚举得到、、、，表示为3：求解同余方程：3843(1)(mod13)x x +≡+. 8343(1)(mod13)83433(mod13)83334(mod13)5334313(mod13)58(mod13)58x x x x x x x x x +≡++≡+-≡-≡-+⨯≡≡+第一步：化简 第二步：（试除法） 134(mod13)XX 5383(mod13)560(mod13)1524(mod13)(5,13)112(mod13)211(mod13)(XX ) 5x x x x x x ⨯⨯≡⨯≡≡=∴≡≡⨯ （法） 法888(mod13)21113(mod13)4064(mod13)224(mod13)12(mod13)12(mod13)x x x x x ≡⨯≡+≡≡≡≡5：（拓展）老师选了一个两位数，然后讲这个数乘23，并且加上79，发现正好是111的倍数，你能猜出老师选的是什么数吗？23790(mod111)2311179(mod111)2332(mod111)235325(mod111)115160(mod111)x x x x x x +≡≡-≡⨯≡⨯≡设这个两位数为，得到 4160(mod111)40(mod111)40.x x ≡≡ 即这个两位数是一：余同加余，差同减差，和同加和 1：小强家有很多巧克力:。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小升初数学试卷及答案：数论之带余除法
一、求被除数类
1. 同余加余，同差减差
例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少?
解：因为“被5除余3，被3除余3”中余数相同，即都是3(同余)，所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15+3=18，
18÷7=2……4不余6，(不对)
15×2=30
(30+3)÷7=4……5不余6(不对)
(15×3+3)÷7=6……6(对)
所以满足条件的最小数是48。
例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少?
解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，[5、3]=15，
15-1=14，
14÷7=2……0不余5(不对)
(15×6-1)÷7=12 (5)
所以满足条件的最小数是89。
例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数?
解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。
所以131×14+112=1946。
二、求除数类
1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。
例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。
问这个数可能是几?
解：745-551=194，1133-745=388。
(194，388)=194，所以这个数是194。
2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。
例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。
求这个整数?
解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。
100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。
所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知准确答案为41。
三、求余数类
例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数?
解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。
所以，n除以21的余数为12。
例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。
问：这个相同的余数是多少?
解：因为
1314-1200=114=3×38，
1200-1048=152=4×38。
某自然数理应是这两个差的公约数，即38。
又因为
1200÷38=31(余22)
1314÷38=34(余22)。
所以，这个相同的余数是22。
例3.求19901990除以3所得的余数?
解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。
因为，
1990被3除余1，即19901990≡11990≡1，
所以19901990除以3所得的余数为1。
例4.有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少?
解：根据被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 ÷6=12(余5)，
11111÷7=1587(余2)。
所以，这个数除以7的余数是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。
那么，这90个数的和除以5的余数是多少?
解：这个列数被5除的余数依次为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。
余数从头起20个数一个周期循环出现，而且这20个数的和40又恰为5的倍数。
90÷20=4(余10)
这列数中前10个数的余数和为
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3(余3)
所以，这90个数的和除以5的余数为3。
练习题：
1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少?
2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数?
3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是
多少?
4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员实行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。
那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘?
5. 求21000除以13的余数是多少?
6. 当n是1到1992之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从1到9的一位数为止(例如：468→18→9)。
问在1到1992这1992个自然数经过上述方法处理后所得的1992个一位数中，3多还是4多?多几个?
7. 由2000个2组成的数除以13，所得的余数是几?。