期权定价公式PPT课件
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期权定价.ppt
$ 4,495 40,770 45,265
4-31 套期保值看跌期权组合带来的利润
看跌期权价值作为股票价格的函数:隐含波动性 = 35%
股价
89
90
91
看跌期权价格
$5.254 $4.785 $4.347
每一看跌期权的利润(亏损) .759
.290
(.148)
套期保值看跌期权组合的价值和利润
股价
89
.44
.6700
4-20
从标准正态分布表查概率
N (.18) = .5714
表 17.2
d
N(d)
.16
.5636
.18
.5714
.20
.5793
4-21
看涨期权价值
Co = SoN(d1) － Xe-rTN(d2) Co = 100 X .6664 － 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70 隐含的波动性
投资组合是能实现完美的套期保值
股票价值
50
200
看涨期权所得 0
-150
净收益
50
50
因此 100 - 2C = 46.30 或 C = 26.85
4-11
两状态方法的推广
假定我们将一年分成两个六个月的时期。 在每个六个月的时期，股价将增长10%或下降5%。 假定初始股价为每股100。 可能的结果：
期权弹性
期权价格变动百分比与股票价格变动百分 比的比值。
4-26
资产组合保险－防止股价的下降
买看跌期权-用无限制的上升潜力来防止 股价下降。
局限
- 如果用指数的看跌期权，会产生追踪误差。 - 看跌期权到期日或许太短。 - 套期保值率或得尔塔随股价的改变而改变。
金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
第十二章 期权定价理论 《金融工程学》PPT课件
➢ 由于方程中不存在风险偏好，那么风险将不会对其解产生影响，因此 在对期权进行定价时，可以使用任何一种风险偏好，甚至可以提出一 个非常简单的假设：所有投资者都是风险中性的
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
（6）Black－Scholes期权定价公式 Black－Scholes微分方程，对于不同的标的变量 S 的不同衍生证券，会 有许多解，解这个方程时得到的特定衍生证券的定价公式 f 取决于使用 的边界条件，对于股票的欧式看涨期权，关键的边界条件为： f=Max（ST－K，0） （12—28） 由风险中性可知，欧式看涨期权的价格Ｃ是期望值的无风险利率贴现的
第12章 期权定价理论
12.1 期权价格概述
➢ 12.1.1期权定价概述
➢ 在所有的金融工程工具中，期权是一种非常独特的工具。因为期 权给予买方一种权利，使买方既可以避免不利风险又可以保留有 利风险，所以期权是防范金融风险的最理想工具。但要获得期权 这种有利无弊的工具，就必须支付一定的费用，即期权价格
一定的假设条件下得到的，这些条件包括：股票价格满足布朗运动；
股票的收益率服从正态分布；期权的有效期内不付红利。该公式的不
足之处是它允许有负的股票价格和期权价格，这显然和实际是不相符
合的，而且该公式没有考虑货币的时间价值。由于其理论的不完备，
计算结果的不准确，再加上当时市场的不发达，因此该定价公式在当
N（d）=
1
d
e
x2
2
dx
2
（12—3）
这些公式都应有以下假设： （1）没有交易费。 （2）可以按无风险利率借入或贷出资金
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
➢ 对期权的定价理论进行开创性研究的学者是法国的Bachelier。1900
第9章 股票期权定价公式ppt课件
f d d f d S S
2 f 1 f 2 2 d S d t 2 t 2 S
将 d s 和 d f 代 入 ， 得 到
BSM微分方程的推导（4）
因 为 约 去 了 d z ， 所 以 有 :
将 和代 d 入
d r d t
风 险 中 性 世 界 与 真 实 世 界 的 转 换 ：
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化 这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值：
期初合约的价值：
12.16 12.17 12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
rT S K e 0
从B-S公式来看， S
0
很大时，d 1和 d 2 也很大，
Nd ( 1) 和 Nd ( 2)接近于1.0
Nd ( ) 和 Nd ( ) 接近于0 1 2
看跌期权价格接近于0ຫໍສະໝຸດ 看涨期权接近于cS 0 X
累计正态分布函数估算
例子
例子
权证与雇员的股权激励
普通股票期权
连续复利年收益率服从均值为：
2
2
标准差为：
T
的正态分布
收益率的分布
年收益率分布
当 T=1 时，表达式 ln ST / S 是持有股票一年的连续复利收益。因 此，一年内连续年复利收益的均值和方差分别是 2 / 2 和 。 例子 考虑一种股票预期收益率为每年 17%,波动率为每年 20%。一年 后得到的实际 （连续复利） 收益率的概率分布是正态分布， 其均值为：
Black-Scholes-Merton微分方程
期权定价课件
2020/4/17
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4
• 到期时间
• 较长的到期时间能增加看涨期权的价值；
• 利率
• 高利率降低执行价格的现值，看涨期权的价值增加；
• 股票的股利收益率
• 高股利分配政策将减少看涨期权的价值
2020/4/17
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5
二叉树期权定价模型
• 假设股票现在的价格为100美元，年末，股价要么在 乘数u=1.2作用下上升至120美元，要么在乘数d=0.9 的作用下下降至90美元。该股票的一个看涨期权的 执行价格为110美元，到期时间是一年，利率是10%。 则该年末看涨期权的持有人的收入要么为零（股价 下跌时），要么为10美元（当股价升至120美元时）
了；
• 其中：C0是当前看涨期权的价值 • S0是当前股票价格； • N(d)是随机地偏离标准正态分布的概率小于d;
• X是执行价格；
• δ是标的股票的年股利收益率；
• R是无风险利率
• T是期权到期前的时间（以年为单位）
• σ是股票连续年收益率的标准差
2020/4/17
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10
• 例子：对一个看涨期权定价：
• 启示：只要给出股票价格、执行价格、利率和股价 的波动性，就可以算出期权的公平价格
• 大部分的期权定价公式都运用了“复制”这个概念
2020/4/17
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8
布莱克—斯科尔斯期权定价模型
•
2020/4/17
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9
• 利率r和方差 σ2都是常量 • 股票价格是连续的，即突然的、剧烈的价格波动被排除
第三章 期权定价
2
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1
内在价值与时间价值
第十讲期权的定价-37页PPT资料
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进 入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等 于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益 来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量 都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价 原理。
1.期权价格的影响因素
期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价 格、波动率、无风险利率、到期时间。
2.风险中性定价原理
观察式期权定价公式，我们可以注意到期权价格是与标
的资产的预期收益率 无关的。即在我们描述标的资产价格
所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定 价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一 个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市 价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3 个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了求出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空 头和X单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等 于11元时，该组合价值等于（11X－0.5）元；若3个月后该股票价 格等于9元时，该组合价值等于9X元。为了使该组合价值处于无风 险状态，我们应选择适当的X值，使3个月后该组合的价值不变， 这意味着：
d1
Tt
d2
lnS(/
X)(r2 Tt
/2)(Tt)d1
Tt
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N(x)为标准正态分布 变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据 标准正态分布函数特性，我们有 N (x)1N (x)。
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进 入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等 于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益 来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量 都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价 原理。
1.期权价格的影响因素
期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价 格、波动率、无风险利率、到期时间。
2.风险中性定价原理
观察式期权定价公式，我们可以注意到期权价格是与标
的资产的预期收益率 无关的。即在我们描述标的资产价格
所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定 价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一 个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市 价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3 个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了求出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空 头和X单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等 于11元时，该组合价值等于（11X－0.5）元；若3个月后该股票价 格等于9元时，该组合价值等于9X元。为了使该组合价值处于无风 险状态，我们应选择适当的X值，使3个月后该组合的价值不变， 这意味着：
d1
Tt
d2
lnS(/
X)(r2 Tt
/2)(Tt)d1
Tt
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N(x)为标准正态分布 变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据 标准正态分布函数特性，我们有 N (x)1N (x)。
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
期权定价的数学基础PPT课件
80
15
60
50
股价
V0
0
看涨期权价格
图3-6 股价和看涨期权价格二叉树
2020/1/10
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交易商提供一个执行价为65美元，一年后到期的看涨 期权，无风险利率为0.048，问期权的公平价格？
如果交易商的报价为6.35美元卖出看涨期权，6.00元 买入，两者之差称为交易商的差价。一客户以每股6.35美元 的价格购入100000股（1000手）看涨期权，交易商现在持 有一个风险很大的头寸，决定通过购买股票对冲风险，应该 买入多少股票，获利情况如何 ？
30 p 90 105 p 0.5
2020/1/10
Institute of Computer Software
Nanjing University
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重要说明：所求出的p值并不一定和投资
者的观点以及股票市场涨跌的实际概率相对应， 它仅仅是一个产生与无风险回报相等的股票回报。
2020/1/10
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若已知股价为100美元，将来上涨时价格为l 20 美元，下跌时价格为90美元。假设观察一年的市场行 为，股票上涨的概率的合理选择(见图3-5)，是使股票 的期望回报大致在15％左右，该回报比将100美元投
资于安全的银行账户要高得多。q( 90% )。
2020/1/10
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p
120
100
1 p
2020/1/10
2
三种方法 博弈论方法 资产组合复制方法 概率方法或期望价值方法
2020/1/10
3
两个假定： 第一，到期日的价格只能是两种特定价格中的一种； 第二，第一个假设对三种方法都适用。
2020/1/10
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空头标的资产＋多头看涨期权=多头看跌期权
p o
o
p
.
p o
13
期权
三 基本期权策略
➢利用期权套期保值防市场走低 多头标的资产＋空头看涨期权=空头看跌期权
o
p
p o
.
o
p
14
期权
三 基本期权策略
➢利用期权获利
持有股票而股 票不涨不跌怎
➢出售（有抵补的）看涨期权获利 么获利？
➢出售看跌期权转好市况
如果打算购买股票时，可以通过出售实值看跌期 权而增加收益
.
18
多头标的资产＋空头看涨期权=空头看跌期权
o
p
p o
.
o
p
15
期权
三 基本期权策略
➢利用期权获利 ➢出售看跌期权获利
看空股票而股票 不跌不涨怎么获
利？
空头看跌期权，也称为出售无担保的看跌期权。有 抵补的看跌期权——
空头股票＋空头看跌期权=空头看涨期权
p o
o
p
.
p o
16
期权
三 基本期权策略
➢利用期权获利
.
5
欧式
看涨 期权
cSN (d 1)X er(T t)N (d2)
期权 看跌 pcXer(Tt) S
无收
期权 Xer(Tt)N(d2)SN(d1)
益资 产
看涨 不会提前执行 C c
美式 期权
期 权
期权
看跌 可能提前执行，比较复杂 期权
有收 益资 产
欧式 期权
刨除收益的影响
S I 或 Seq(T t)
美式 期权
可能提前执行，比较复杂
期权 二 B-S期权定价模型
期权定价公式的拓展 ➢无收益标的资产 ➢欧式看涨看跌期权平价公式 ➢美式期权：不会提前执行看涨期权 ➢有收益标的资产
➢欧式： 刨除收益的影响 S I 或 Seq(T t)
.
7
期权 二 B-S期权定价模型
期权定价公式的计算 ➢估计无风险利率 ➢美国国库券贴现率（利息占票面价值的比例） 转换为利率，并用连续复利表示出来 ➢选择距离期权到期日最近的那个国库券利率 ➢估计波动率 ➢历史波动率 ➢隐含波动率
➢评估组合保险成本
➢给可转债定价 ➢为认沽权证估值
可转债=债权＋看涨期权 可赎回：债权＋看涨期权多头 （转换权）＋看涨期权空头（赎
回权）
认沽权证的执行导致发行更多的 股票，有稀释效应
.
10
期权
三 基本期权策略
➢利用期权套期保值
➢利➢用有期担权保获的利看跌期权 ➢➢用出看 售涨 看期 涨权 期套权期获保利值空头头寸 ➢➢出出售 售有 看抵 跌补 期的权看获涨利期权以防市场走低
.
2
期权 二 B-S期权定价模型
➢标的资产价格满足几何布朗运动
dS dt dz
S ➢欧式看涨期权价格 f 满足的微分方程
f rSf 12S22f rf
t S 2 S2
.
3
期权 二 B-S期权定价模型
定价公式——
cSN (d1)X er(T t)N (d2)
期权价格 的影响因
素
其中，N(x)为标准正态分布函数，
d1
ln(S/
X)(r2 Tt
/2)(Tt)
风险中性 定价原理
d2
ln(S/
X)(r2 Tt
/2)(Tt)
d1
Tt
.
4
期权 二 B-S期权定价模型
期权定价公式的经济理解 ➢风险中性世界中期权未来期望回报的现值 ➢复制交易策略（期权=股票-现金） ➢另一种复制或拆分：用两个特殊期权复制期 权
cSN (d1)X er(T t)N (d2)
股票上涨时持有 股票，还想获取
➢出售看跌期权获利
额外收入，怎么 办？
过度出售看跌期权——持有股票并同时出售这种股
票的看跌期权
股票多头＋看跌期权空头
o
p
o
p
.
o
p
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期权
三 基本期权策略
➢转好市况——既可以保值又可以获利
➢出售看涨期权转好市况 有时候通过出售股票的“实值”看涨期权而不是直 接出售股票可以增加收益
.
8
期权 二 B-S期权定价模型
期权定价公式的计算——两个概念 ➢历史波动率——从标的资产价格的历史数据中计 算出价格收益率的标准差 ➢隐含波动率——利用B-S期权定价公式，从市场 上期权报价反算出波动率数据
.
9
期权 二 B-S期权定价模型
期权定价公式的应用
证券组合保险：实现能够确定最 大损失的投资策略
金融工程
第十一章 期权定价公式
二叉树定价模型 布莱克-舒尔茨定价模型 基本期权策略
.
1
期权 二 B-S期权定价模型
假设条件 ➢标的资产价格波动满足几何布朗运动 ➢标的资产没有现金收益支付 ➢没有交易费用和税收 ➢标的资产可以被自由买卖，即允许卖空，证 券完全可分 ➢无风险利率为常数 ➢期权为欧式看涨期权，执行价格为X ➢不存在无风险套利机会
➢➢转利好用市期况权获利 ➢利➢用出期售权看转涨好期市权况转好市况
➢出售看跌期权转好市况
.
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期权
三 基本期权策略
➢利用期权套期保值
有股票怕跌怎 么办？
➢有担保的看跌期权
多头标的资产＋多头看跌期权=多头看涨期权
p
o
p
o
.
o
p
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期权
三 基本期权策略
➢利用期权套期保值
看空股票怕涨 怎么办？
➢用看涨期权套期保值空头头寸