第三章-表示力学量的算符-习题范文
力学量的算符表示
第三章 力学量的算符表示1．如果算符αˆ、βˆ满足条件1ˆˆˆˆ=-αββα， 求证：βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-，233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=-， 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα [证] 利用条件1ˆˆˆˆ=-αββα，以βˆ左乘之得 βαββαβˆˆˆˆˆˆ2=-则有 βαβββαˆˆˆˆ)1ˆˆ(2=--最后得 βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-。
再以βˆ左乘上式得222ˆ2)ˆˆˆˆ(ˆβαββαβ=-， 即232ˆ2ˆˆˆˆˆβαββαβ=- 则有 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=- 最后得 233ˆ3ˆˆβαββα=-应用数学归纳法可以证明 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα： 先设 211ˆ)1(ˆˆˆ----=-n n n n βαββα 成立，以βˆ左乘上式得11ˆ)1(ˆˆˆˆˆ---=-n n n n βαββαβ则有 11ˆ)1(ˆˆˆ)1ˆˆ(---=--n n n n βαβββα最后得 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα2．证明{}+++ )ˆˆˆ()ˆˆˆ(2121nnM M M L L L{}++=++-+++-+)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111M M M L L Lm m n n[证] 应用+++++A B B A ˆˆ)ˆˆ( 及++++=+B A B A ˆˆ)ˆˆ(，则 ====+-+-++-++ )ˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆ(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L+++-+=121ˆˆˆˆL L L L n n 同理可证++-++=1121ˆˆˆ)ˆˆˆ(M M M M M Mm mm则 {}{}++=+++++)ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L{} ++=++-+++-+)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111M M M L L Lm m n n3．若算符Le ˆ满足+++++=!ˆ!2ˆˆ12ˆn L L L e n L，求证：++++=-))ˆ,ˆ(,ˆ(,ˆ(!31))ˆ,ˆ(,ˆ(!21)ˆ,ˆ(ˆˆˆˆaL L L a L L a L a e a e L L其中， L a a L a L ˆˆˆˆ)ˆ,ˆ(-≡[证] 方法一：把Le ˆ直接展开，比较系数法。
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
第3章 力学量用算符表达：习题解答
第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。
② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。
3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
第3章 力学量用算符表达1
§3.1 表示力学量的算符
作用在一个函数u上得出另一个函数v ˆ ˆ 的运算符号 F ，简称为算符: Fu v 。如:
du d v, dx dx
是算符，其作用是求导数, xu=v,x是算符，
其作用是与u相乘。
ˆ 如果算符 F 作用于一个函数 ,结果等于
ˆ 乘上一个常数 : F ，则称此方程称为算符
0
( x, t )
e
2 x2 i
2
t 2
求： (1)势能的平均值
(2)动能的平均值
1 V 2 x 2 2
p2 T 2
ˆ 对于两个任意函数 和 ,如果算符 F 满足
等式: ˆ ˆ ˆ ① F(c1 c 2 ) c1F c 2 F) 则称之为线性算符；
i ( Et p r )
p p ( r , t )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可见，动量的确定值的确为动量算符在其 本征态中的本征值。
习题3.1 下列函数哪些是算符 数，其本征值是什么？
x , e , sin x,3 cos x, sin x cos x
2 x
d2 dx 2
的本征函
量子力学中,力学量为什么要用算符表 示?这是由微观粒子的波粒二象性决定的, 体现在以下几个方面: ①力学量的观测值具有不确定性,有一系列 可能取值.但力学量的统计平均值是确定的, 而统计平均值的计算要用到一个新的工具 * ˆ (r , t )d 3 r —算符—来完成: F (r , t ) F
习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明 理由。
d2 4x2 2 dx
2
k 1
第三章 力学量用算符表达
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A
任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
（7）逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为： A ˆ * dr * A
即
思考：常 数算符的 转置？
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明，
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考：
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1：证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。
曾谨言量子力学第3章
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 证明：
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符 性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如 算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为
ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A
(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A
第三章-量子力学中的力学量 lt
第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。
（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。
第3章_矩阵力学基础——力学量和算符
1第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。
它的着眼点是波函数),(t x ψ。
薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(t x ψ猫述粒子的运动状态。
通过在波函数的运动方程中引入 的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。
在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。
它是海森伯（Heisenberg ）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。
着眼点是力学量和力学量的测量。
他们将力学量看成算符。
通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r 和p 的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。
这种量子化，通常称为正则量子化。
在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。
算符的运算归结为矩阵的运算。
本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。
§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。
一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
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第三章 表示力学量的算符
第一部分；基本思想与基本概念题目
1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。
2. 如何理解力学量完全集？
3. 守恒量有哪些特征？
4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？
5. 如何构造力学量算符？
6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。
7. 设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？ 8. 设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。
10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？
11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。
13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14.
2ˆL 的本征态是否一定是 ˆz
L 的本征态？举例说明。
15. ˆz
L 的本征态是否一定是2ˆL 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪
些力学量可同时确定，其值分别是多少？
17. 若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？
第二部分：基本技能训练题
1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）
2. 判断下列等式是否正确
12ˆˆˆ() () E H T U (3) H E T U
H
T U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛ϕk ｝是
ˆF
的本征函数，且 ()()k k k
x C x ψϕ=∑
（1） 试推导C k 的表达式。
（2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2
k k k
F C F =∑。
（3）
说明|C k |2的物理意义。
4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221
2
U
x μω=
（2） 动能的平均值2
2p T μ
=
（3）
动量的几率分布。
5. 氢原子处于
(,,)r a r ψθϕ-
= 态，求
（1） r 的平均值。
（2）
－e 2/r 的平均值
（3） 最可几半径. （4）
动能平均值.
6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为
J er = J e θ=0, J e ϕ=(-eћm/μrsinθ)|ψnlm |2
7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成 (1) 求一圆周电流的磁矩
(2) 求证氢原子磁矩为 M=M z =-meћ/2μ
8. 求一维无限深势阱中粒子动量与位置的测不准关系
22()()?x p ∆⋅∆=
9. 证明氢原子中电子的力学量算符 2ˆL 与 ˆz
L 是守恒量. 10. 设线谐振子处于 011
32
2
()()()x x x ψψψ=+ 描述的状态, 则在该态中能量可能取哪些值? 对应的几率各是多少? ( 01(), ()x x ψψ 分别是基态与第一激发态的本征函数)。
11. 上题中用两种方法求能量平均值。
12. 设粒子处于Y lm (θ,ϕ)态,求该态中L x , L y , L z 的平均值.
13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L 2/2I,这儿L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。
（1） 转子绕一固定轴转动。
（2） 转子绕一点转动。
14．若 ˆˆG F
和都是厄密算符，且ˆˆˆˆG G F F ≠ (1) ˆˆˆˆG G F
F -是否是厄密算符？试证明。
(2) ˆˆˆˆ(
G G )i F
F -是否是厄密算符？试证明。
15. 0ˆˆˆˆ[G],
G F F =设，证明 是厄密算符。
16. t ＝0时，粒子处于态
21
2
()[sin cos ]x A kx kx ψ=+
求此时粒子平均能量和平均动能。
17. 证明：若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数。
18. 下列哪些算符是厄密算符
22
22
; ; i ; i d d d d dx dx dx dx 19. 设氢原子处于
21102111122
(,,)r R Y R Y ψθϕ-=
+ 求氢原子能量、角动量平方及z 分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。
20. 证明自由粒子能级是简并的。
21. 求解算符 ˆx d
p
i dx
=- 的本征方程。
22. 求解自由粒子的能量本征方程。
23. 一维运动粒子的状态是 0 x 0
() x 0
x Axe x λψ-⎧≥=⎨<⎩
其中λ>0，求
（1） 粒子动量的几率分布。
（2） 粒子平均动量。
24.
0ˆˆˆˆˆˆ [, y]-i x; [, y]; [, y]i z y x
L L L z ===证明： 25. 设体系处于ψ＝C 1Y 11＋C 2Y 10态中，求
（1） 力学量L z 的可能值与平均值。
（2） L 2的可能值与平均值。
26. 试求角动量平方算符2ˆL
当本征函数为 Y(θ,ϕ)=A[cos θ+asin θcos ϕ]的本征值. 第三部分: 小论文题目 1. 量子力学中守恒量研究。
2. 守恒量与对称性之间关系。
3. 力学量平均值计算方法探讨。
4. 算符与它所表示力学量之间关系研究。
5. 球坐标下角动量算符的推导方法研究。