分维值D计算方法
土壤表面不平度分形特性的图像分析方法
土壤表面不平度分形特性的图像分析方法侯占峰，韩进玉，韩宝生(内蒙古农业大学机电工程学院，呼和浩特010018)摘要：研究了分形几何理论和图像处理技术在土壤表面不平度分形维数计算方法中的应用。
利用分形几何的相关理论针对图像预处理后的表面形貌的图像数据建立数学模型，得到可以表征土壤表面不平度的分形参数。
为此，共选择了3种不同耕作方式的土壤表面作为研究对象，运用自行设计的程序进行了表面分形维数的计算。
结果表明：不同类型表面的分形维数相差较大，利用分形维数能够进行土壤表面不平度的有效表征，同时能对不同类型的土壤表面进行准确分类。
关键词：土壤；图像；分形维数中图分类号：T P391．41文献标识码：A 0引言土壤表面不平度对土壤颗粒的形成以及土壤表面磨蚀、风蚀等起着重要作用…。
由于土壤空间变异性的存在，使得土壤的表面结构具有随机性和空间相关的特征，因此通过土壤表面不平度分析可进行土壤风蚀预测及对土壤中溶质的时空分布和变化进行预测预报口J。
另外，根据地面不平度还可模拟研究土壤与轮胎之间的相互作用规律及土壤的变形量∞J。
所以，土壤不平度是农业工程人员与汽车工程人员长期以来研究的对象。
这些都表明研究土壤表面不平度的特性具有重大意义。
近20年来，分形的应用渗透到了各个领域，并不断得到发展，这主要是分形可以将以前不能定量描述或难以定量描述的复杂对象用一种较为便捷的定量方法表述出来。
传统的分析方法是对利用专门的测量仪器测到的表面轮廓高度进行分形分析¨J，这种方法费时费工。
随着计算机技术的发展，数字图像技术已经越来越广泛地应用到各个生产和科技领域。
如果将表面不平度的信息通过图像的形式获取，然后进行分形分析，则不仅可以节省时间与资金，还可以为人们提供形象化的信息。
本文作为图像技术在农业工程中应用的尝试，利用分形理论，计算了不同耕作方式土壤表面图像的分形维数。
结果表明：土壤表面不平度与分维值之间具收稿日期：2011—03—11基金项目：内蒙古自然科学基金项目(2010K S0718)作者简介：侯占峰(1980一)，男，呼和浩特人，讲师，硕士，(E—m ai l) nj au-haf@163．c or n。
分形维数算法
分形维数算法分形维数算法分形包括规则分形和无规则分形两种。
规则分形是指可以由简单的迭代或者是按一定规律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲线，Sierpinski海绵等。
这些分形图形具有严格的自相似性。
无规则分形是指不光滑的，随机生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。
这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存于标度不变区域。
对于规则分形，其自相似性、标度不变性理论上是无限的（观测尺度可以趋于无限小）。
不管我们怎样缩小（或放大）尺度（标度）去观察图形，其组成部分和原来的图形没有区别，也就是说它具有无限的膨胀和收缩对称性。
因些对于这类分形，其计算方法比较简单，可以用缩小测量尺度的或者不断放大图形而得到。
分形维数D=lnN(λ)/ln(1/λ) （2-20）如Cantor集，分数维D=ln2/ln3=0.631；Koch曲线分数维D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海绵分数维D=ln20/ln3=2.777。
对于不规则分形，它只具有统计意义下的自相似性。
不规则分形种类繁多，它可以是离散的点集、粗糙曲线、多枝权的二维图形、粗糙曲面、以至三维的点集和多枝权的三维图形，下面介绍一些常用的测定方法[26]。
（1）尺码法用某个选定尺码沿曲线以分规方式测量，保持尺码分规两端的落点始终在曲线上。
不断改变尺码λ，得到一系列长度N（λ），λ越小、N越大。
如果作lnN～lnλ图后得到斜率为负的直线，这表明存在如下的幂函数关系N～λ-D（2-21）上式也就是Mandelbrot在《分形：形状、机遇与维数》专著中引用的Richardson公式。
Richardson是根据挪威、澳大利亚、南非、德国、不列颠西部、葡萄牙的海岸线丈量结果得出此公式的，使用的测量长度单位一般在1公里到4公里之间。
海岸线绝对长度L被表示为：L=Nλ～λ1-D（2-22）他得到挪威东南部海岸线的分维D≈1.52，而不列颠西部海岸线的分维D≈1.3。
考虑可信度的弥散度尺度效应分析_成建梅
在地下水溶质输运方程中, 表征含水层介质弥散特征的参数是水动力弥散系数 Dij , 它可表示为:
Dij =
T V ij + (
L-
T)
ViVj V
( 1)
式中: L , T 分别为纵向和横向孔隙尺度弥散度, 是仅与介质特性有关的参数.
大量的室内弥散试验结果表明, 纵向弥散度 L 一般为毫米的量级, 称为孔隙尺度的水动力弥散
散度的基准尺度. 根据分维的定义, 可将弥散度与基准尺度的关系绘在双对数坐标系中, 若为直线,
表明尺度效应具有分形特征, 直线的斜率即为尺度效应的分维. 2 2 考虑可信度的尺度效应分维计算 按其可信度赋以一定的权值, 也可以认为是模型尺度与纵向
弥散度关系的某一个概率值. 设模型试验尺度为 Ls , 在该尺度上运用某种手段求得的弥散度为 L. 按取得手段的不同, 将每一对 ( L s, L ) 关系的可靠性用 3 级可信度来表征. 权值的分配是这样的,
= 1, 2, , N, 可推出,
求解以上方程组,
N
N
N
D2
wixi + D1
w
ix
2 i
=
w ix iyi
i= 1
i= 1
i= 1
N
N
N
D2 wi + D1 wixi =
w iy i
i= 1
i= 1
i=1
可得到 D 1 和 D 2 的值, 即得到弥散度与空间尺度的关系.
计算表明,
( 4) 选用不同的
权值分配方案, 得到 Log L 与 LogLs 回归方程是不同的, 如表 1 所示.
系数 D1 就是所求弥散度尺度效应的分维值 D. 第三种方案得到的结果与传统最小二乘回归方法
沥青混合料分形级配理论
第３６卷第１２期２００８年１２月同济大学学报（自然科学版）ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＯＮＧＪＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬＳｃ正ＮＣＥ）沥青混合料分形级配理论杨瑞华１，－，许志鸿１，张超１，李淑明１（１．同济大学道路与交通工程教育部重点试验室，上海２０００９２；２．上海市公路管理处，上海２０００６３）Ｖｄ．３６Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２００８摘要：介绍沥青混合料集料粒径分布分形维数的计算方法并分析其分形特征．对于连续级配，其集料粒径分布为一重分形分布；对于间断级配，其集料粒径分布为二重分形分布．采用粗集料粒径分布分形维数Ｄ。
和细集料粒径分布分形维数Ｄｆ作为描述集料级配分形特点的指标．在此基础上，提出分形级配理论的计算式，该式不仅可以计算连续级配，还可以计算间断级配．研究分形级配理论与现有主要级配设计理论之间的关系，结果表明，分形级配理论可以包括现有的几种主要级配计算方法，这主要由于分形是集料级配的本质．关键词：道路工程；沥青混合料；级配理论；分形中图分类号：Ｕ４１６．２１７文献标识码：Ａ文章编号：０２５３—３７４Ｘ（２００８）１２—１６４２—０５ＦｒａｃｔａｌＧｒａｄａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙｏｆＡｓｐｈａｌｔＭｉｘｔｕｒｅＹＡＮＧＲｕｉｈｕａ１，－，ＸＵＺｈｉｈｏｎ９１，ＺＨＡＮＧＣｈａ０１，ＬＩＳｈｕｍｉｎ９１（１．ＫｅｙｌａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＲｏａｄａｎｄＴｒａｆｆｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆｔｈｅＭｉｍｓｔｒｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，ＴｏｎｇｉｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｊ２０００９２，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｈａｎｇｈａｉＨｇｈｗａｙＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎＤｅｐａｒｍａｅｎｔ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００６３。
Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｔｈｅａｐｐｒｏａｃｈｔｏｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｇｒａｉｎｓｉｚｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｎｄａｌｓｏａｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｒａｃｔａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ｔｈｅｆｒａｃｔａｌｏｆｄｅｎｓｅ－ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅｉｓｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．ｂｕｔｔｈｅｆｒａｃｔａｌｏｆｇａｐ—ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅｉｓｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．Ｄｃ（ｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｃｏａｒｓｅａｇｇｒｅｇａｔｅ）ａｎｄＤｆ（ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｆｉｎｅａｇｇｒｅｇａｔｅ）ａｒｅｕｓｅｄａｓｔｈｅｉｎｄｅｘｅｓｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｆｒａｃｔａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ，ｔｈｅｆｒａｃｔａｌｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｉｓｐｕｔｆｏｒｗａｒｄ，ｎｏｔｏｎｌｙｕｓｅｄｆｏｒｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｄｅｎｓｅ—ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅ，ｂｕｔａｌｓｏｆｏｒｇａｐ－ｇｒａｄｅｄａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ａｎａｎａｌｙｓｉｓｉｓｍａｄｅｏｆｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｆｒａｃｔａｌｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅ—ｏｒｙａｎｄｏｔｈｅｒｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｉｅｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｆｒａｃｔａｌｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｃｏｖｅｒｓｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｇｒａｄａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅｃａｕｓｅｌｉｅｓｉｎｔｈｅｆａｃｔｔｈａｔｆｒａｃｔａｌｉｓｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅｏｆａｇｇｒｅｇａｔｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏａｄｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ；ａｓｐｈａｌｔｍｉｘｔｕｒｅ；ｇｒａｄａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ；ｆｒａｃｔａｌ分形理论是定量描述几何形体复杂程度及空间填充能力的一门新兴边缘科掣１Ｉ．目前，分形理论已经被广泛运用于研究自然界中常见的、不稳定的、不规则的现象‘２Ｉ．对于材料科学实验中经常出现的那些凹凸而不圆润、破碎而不连续，粗糙而不光滑的形状（即无序系统），传统的几何语言常难以描述，而收稿日期：２００７—０６—１９基金项目：道路与铁道工程国家重点学科资助项目作者简介：杨瑞华（１９７７一），女，工学博士，主要研究方向为道路工程．Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｇｒｕｉｈｕａｌ９９５＠１６３．ｃｏｉｎ；许志鸿（１９３９一），男，教授，博士生导师，主要研究方向为道路工程结构与材料．Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｕｚｈｈｌ９３９＠１６３．ｃｏｍ第１２期杨瑞华，等：沥青混合料分形级配理论分形理论却弥补了它们的不足，揭示了无标度性（自相似性），给出了自然界中复杂几何形态的一种定量描述［３】３．沥青混合料具有复杂的微观结构，是一种多级多层次的复合材料体系，尤其是其骨料的级配具有突出的自相似性，因此可以采用分形科学分析评价沥青混合料的机理．１沥青混合料分形维数的计算方法文献［４］从分形的角度，推导了连续集料粒径质量分形特征函数Ｐ（ｒ）一．３－Ｄ———．３－ＤＰ（ｒ）＝互ｒｍｉｎＦ－－了７而（１）式中：，＇ｍｉｎ为最小粒径尺寸；Ｄ为连续集料粒径质量分布分形维数；ｒ为集料中某种颗粒的筛孔尺寸；，。
分形维数计算方法研究进展
第2期
李 等 :分形维数计算方法研究进展
73
认为 ,总的末梢根长 L 与部分直径之间表现出较好
的相关性 ,特别是当只有小的直径被考虑的时候.
1991 ; Frontier ,1987 ; Palmer M. W. ,1988 ; Falconer K. J . ,1991 ; Miline B. T. ,1991) 的工作. 另外 ,祖元刚 等[12] 给出了辽东栎种群的空间分布分形维数计算
模型 : Db
=
-
lim
m →0
log log
2001210203 收稿 http :ΠΠwww. chinainfo. gov. cnΠperiodicalΠbjlydxxbΠ 3 国家自然科学基金项目“黄土坡面果粮复合系统根系结构及生态位特征研究”(39970609) 资助. 第一作者 :李 ,女 ,1973 年生 ,博士生. 主要研究方向 :林业生态工程. 电话 :010 - 62390661 Email :lleejie @263. net 地址 :100083 北京市海 淀区清华东路 35 号北京林业大学资源与环境学院.
的欧氏长度 , L0 为分形曲线的初始操作长度 ,ε为
分形曲线的标度 , D 为其分维. Mandelbrot 也首次提
出了 周 长 - 面 积 关 系 的 分 形 估 算 模 型 P1ΠD =
a0 A1Π2 , P 为分形曲线的 Hausdorff 长度 , A 为平面图
形的欧氏面积 , a0 为形状因子 , D 为分维[2 ,3 ,7] .
根系 的 拓 扑 特 性 在 文 献 中 得 到 了 相 当 的 关
注[17～19] . 从根部构造所需的碳的角度来考虑 ,根系
城镇体系等级结构的分形维数及其测算方法
3 国家自然科学基金(49771035)及河南省自然科学基金(974071200)资助项目 收稿日期:1997205205,收到修改稿日期:1997212222城镇体系等级结构的分形维数及其测算方法3刘继生(东北师范大学地理系 长春 130024)陈彦光(信阳师范学院地理系 信阳 464000)摘 要 文章探讨了城镇体系等级结构的分形研究方法。
首先,讨论了区域城镇规模分布的Zi pf 模型,并通过分形退化分析将其应用范围加以拓广,从而与非分形研究接口;第二,引进了分形结构因子,以此开创了城镇体系等级结构的FSF 分析;第三,提出了表征城镇体系等级差异的差异度概念和度量方法。
文章给出实例说明了各种方法的应用,并比较了三种方法的异同。
关键词 城镇体系 等级结构 规模分布 分形 分维分 类 中图法 K 92815等级结构是城镇体系研究的重要内容,其发展已有较长的历史,人们为此建立了许多模型[1],但理论进展却局限甚多。
今天,由于分形(fractal )理论的引入,城镇体系等级结构的研究正在发生方法论的变革[2]。
本文总结前人的研究成果,引入适当的数理工具,结合作者的研究经验,提出一套较为系统的方法用以研究城镇体系的等级结构。
这些分析方法的基本依据均是分形维数(fractal di m en si on ,简称“分维”)或其等价参数,包括Zi pf 维数、分形结构因子和差异度。
本文给出了各种参数的数学表达,并以实例说明了它们的意义及其计算方法。
1 区域城镇规模分布的Zi p f 维数111 城镇规模分布的Z ipf 定律及其应用方法城镇体系的等级结构与规模分布原本是各自独立的研究课题。
现已证明,等级模式与规模分布法则一致或兼容[1],可谓是殊途同归。
为此,本文将城镇规模分布作为等级结构研究的重要内容。
所谓城镇规模分布(city -size distribu ti on )系指某区域(国家、地区等)内城镇人口规模的层次分布。
位序-规模法则知识讲解
位序- 规模法则2、豪斯道夫(Haus dor f f )维数和位序-规模法则分析。
确定分维的方法中最基本、最常用的是豪斯道夫维数，其定义为：对于一个客体，我们用尺度r去度量其容积大小，测量结果则为与r 有关的数值N (r)，尺度r越小，则测量结果N (r)越大，反之，尺度r越大，则测量的结果N (r)越小，表达式为：N (r )x Cr A-D (1)式中r为人口尺度，N( r )则为区域内城镇数目；D为维数(豪斯道夫维数)，C为常数。
位序-规模法则是从城市的规模和城市规模位序的关系来考察一个城市体系的规模分布，1913年由奥尔巴克(F.Auerbach ) 提出。
1949年捷夫(G.K.Zipf )提出在经济发达的国家里，一体化城市体系的城市规模分布可用简单的公式表达：Pr=P1/R (2)式中，Pr是第R位城市的人口；P1是最大城市人口；R是Pr 城市的位序。
现在被广泛使用的公式实际上是罗特卡模式的一般化：Pi=P1/Ri A q (3)式中，Pi是第i位城市的人口；P1是规模最大的城市人口；Ri是第i位城市的位序；q是常数。
捷夫模式是q=1的特例，对公式2取对数得：LgPi=lgP_(1-q)lgRi (4)通过对比豪斯道夫维数公式和位序-规模法则公式中各字母所代表的意义来看，这两种模型实质是一样的，D实际上是位序-规模分布q的倒数，即D=1/q。
当D=q=1时，说明这个区域的第二位城市人口是最大城市人口的1/2，第三位城市是最大城市人口的1/3。
依此类推，当D<1，即q>1时，说明城市规模分布比较集中，大城市很突出，中间城市位序城镇较少，首位度较高，城镇体系不完善；当D>1，即q<1时，说明城市人口分布比较均匀，高位次的城市规模不是很突出，中小城市发育比较好。
当D Tx,即qT0时，区域内所有城市一样大。
当D T0,即q 时，区域内只有一个城市。
因为城镇体系的演化受到许多因素的制约，所以后两种极端情况在现实中一般不存在。
分形维数_Fractaldimension_及其测量方法
把全体分成 1/ 2 的相似形组成 。2 、4 、8 数字还可以写成 21 、
22 、23 ,显然这里的指数与其图形的经验维数相一致 。推而广
之 ,若某图形是由把全体缩小成 1/ a 的 b 个相似形所组成 ,由
于 b = aD ,则有
D = log b/ log a 。
(1)
此 D 便是几何图形的维数 , 由于它是通过相似变换得来的 ,
1983 年 ,P. Grassberger 和 J . Procassia 给出了关联维数
的定义[1 ] :
D2
= lim ε→0
ln C (ε) lnε
。
(9)
式中
C (ε)
=
1 N2
i
,
N
∑
j=1
H
(ε-
0 xi
-
xj 0) 。
(10)
1. 6 广义维数
H. G. E. Hentschel 等提出了广义维数的概念 ,其定义
可证 Dq| q = 0 = D0 ;当 q = 1 时 , 利用罗必塔法取极限可得 D1
=
lim
ε→0
Dq
;
且
Dq| q = 2 =
D2 ,即
q = 2 时 ,广义维数
Dq 就是关键
维数 D2 。
2 分形维数的基本测量方法
2. 1 改变粗视化程度求维数的方法 这是基于盒子维数和信息维数的定义设计的一种测量分
是
Dq =
-
lim
ε→0
S q (ε) lnε
。
(11)
式中
S q (ε)
=
1
1 -
N (ε)
ln[ ∑ Piq ] q i=1