江苏省丹阳高级中学2017届高三下学期周末练习(4)数学

高三数学创新班周末练习（4）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，，，则A B ⋂= ▲ ．{1,0}- 2．设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．03．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ．200 4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5， 则输出的y 的值为 ▲ ．-155．已知直线:20l x -=与圆22C :x +y =4交于,A B 两点， 则弦AB 的长度为 ▲．6．已知,A B {}3,1,1,2∈--且A B ≠，则直线10Ax By ++=的斜率 小于0的概率为 ▲ ．137．若实数,x y 满足10101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23zx y =+的最大值为 ▲ ．88．已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲．9．已知抛物线216y x =的焦点恰好是双曲线222112x y b -=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲．y x = 10. 设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．设正四棱锥的底面边长为x，则体积13V x =()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当4t =时，max 32y =，此时max V =11．已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲．12．在正项等比数列{}n a 中，若4321226a a a a +--=，则56a a +的最小值为 ▲．48（第4题图）13．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BQ uu u r 的最小值是 ▲ ．2314．已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-的最小值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点，32,cos ADB 23AE B π==∠=． （1）求sin BAD ∠； （2）求AD 及DC 的长．16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E,F 分别为PC,AB 的中点.求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD .17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=.记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （参考数据：5tan34≈） （2）求S 的最小值.17.⑴方法一：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos sin()4PE PEM PM PME θθθ⨯∠===∠+-， ---------------------2分同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， - --------------------4分所以∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， --------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-，所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分 方法二：在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理可知：sin sin ME PEPMEθ=∠，所以sin 4sin 3sin sin()4PE ME PME θθπθ⨯===∠-， ---------------------2分在∆PNE 中，由正弦定理可知：sin sin NE PEEPN PNE=∠∠，所以sin()4sin()44cos sin()2PE NE ππθθπθθ⨯++===----------------------4分所以2cos sin cos MN NE ME θθθ=-=+,又点P 到DE的距离为4sin 4d π== ---------------------6分所以∆PMN 的面积S=21441cos 212cos sin cos sin 222MN d θθθθθ⨯==+++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， ---------------------8分 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即54APD ∠=，3544πθ=-，所以35044πθ≤≤-.综上可得：8)4S πθ=++1,350,44πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ---------------------10分⑵当242ππθ+=即350,844ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S取得最小值为1)=.---------13分 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米. ---------------------14分18．（本小题满分16分）定义直线关于圆的圆心距单位λ：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1.(1)设圆220:1C x y +=，求过点()2,0P 的直线关于圆0C的圆心距单位λ=程；(2)若圆C 与x 轴相切于点()3,0A ，且直线y x =关于圆C的圆心距单位λ=求此圆C 的方程；(3)是否存在点P ,使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆()221:11C x y ++=与()()222:334C x y -+-=的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的P 点坐标；若不存在，请说明理由.当()1,1P -时，设直线1l 的方程为：()11y k x =--，即()10kx y k --+=，所以直线1l 关于圆1C的圆心距单位1λ==2l 的方程为()111y x k=---，即()10x ky k ++-=，所以直线2l 关于圆2C的圆心距单位21λλ===，即满足过()1,1P -的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆()221:11C x y ++=，()()222:334C x y -+-=的圆心距单位始终相等.同理可验证711,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭也满足条件. 16分19．（本小题满分16分）已知函数()()24ln 1f x x ax x a a R =-+--+∈． （1）若()1202f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求a 的值； （2）若存在0x ⎛∈ ⎝⎭，使函数()f x 的图像在点()()00,x f x 和点0011,,f x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 在区间()1,+∞上有两个极值点，则是否存在实数m ，使()f x m <对任意的[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)92a =；(2))⎡⎣；(3)存在，[)34ln2,-+∞.（3）()24242x ax f x x a x x-+-'=-+-=，令()224g x x ax =-+-，由题意，()g x 在区间()1,+∞上有两个不同零点，结合②可得()()22222222222244ln 1244ln 21f x f x x ax x a x x x x x==-+--+=-++---+⎡⎤⎣⎦极大值)222222424ln 5,x x x x x =---+∈．．．．．．．．．．．．．14分 设())2424ln 5,2h x x x x x x=---+∈，则()()()22221244220x x h x x x x x--'=-+-=>， 所以()h x在)上递增，所以()()22hf x h <<，从而()72ln 2,234ln 20h h =-=->，所以()()272ln 2,34ln 2f x ∈--，又()10f =，所以存在34ln 2m ≥-，使()f x m <，综上，存在满足条件的m ，m 的取值范围为[)34ln2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-恒成立．（1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围；（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由． 19. （1）因为2,n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩ 即21n a n =- -2分 故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+ --------------------------------------4分（2）依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，即12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以1b 为首项，2为公比的等比数列，所以1112(21)12nn n n a B b b -==⨯=--，所以11112(21)(21)nn n n n n b a a b +++=-⋅- --------------------------5分 因为111111112111()(21)(21)2121n n n n n n n n b b a a b b b ++++⋅==--⋅--- --------------------------8分 所以31241112233411111()2121n n n n b b b b a a a a a a a a b +++++++=---，所以1111111()21213n b +-<--恒成立，即1113(1)21n b +>--，所以13b ≥。