高一数学人教版期末考试试卷含答案解析
高一上学期期末模拟数学试题一、选择题：1.集合{1，2，3}的真子集共有()A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2.已知角α的终边过点P(－4,3)，则2sin cos αα+的值是() A ．－1B ．1 C ．52-D ．253.已知扇形OAB 的圆心角为rad 4，其面积是2cm 2则该扇形的周长是()cm.A ．8B ．6C ．4D ．24.已知集合{}2,0x M yy x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则M N I为()A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．[)+∞,2D ．[)+∞,16.函数)252sin(π+=x y 是（）A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数 7.右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为()A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x y )D ．)32sin(2π-=x y8.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2，+∞)上是增函数， 则a 的取值范围是()A ．（]4,∞-B ．（]2,∞-C ．（]4,4-D ．（]2,4-9.已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（ ）A ．10B ．5-C ．5D ．010.已知函数21(0)(),()(1)(0)xx f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取 值范围为（）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞二、填空题:11.sin 600︒=__________.12.函数()lg 21y x =+的定义域是__________. 13.若2510a b ==，则=+ba11__________.14.函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.15.函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[,]a b D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在 “倍值区间”的有________①)0()(2≥=x x x f ; ②()()x f x e x =∈R ;③)0(14)(2≥+=x x xx f ; ④()sin 2()f x x x R =∈三、解答题 16.已知31tan =α，（1）求：ααααsin cos 5cos 2sin -+的值（2）求：1cos sin -αα的值3讨论关于x 的方程m x f =)(解的个数。
18.已知f(x)＝2sin(2x ＋)＋a ＋1(a 为常数). (1)求f(x)的递增区间；(2)若x ∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a 的值； (3)求出使f(x)取最大值时x 的集合. 19.设函数xxx x f +-++=11lg21)( ⑴求)(x f 的定义域。
⑵判断函数)(x f 的单调性并证明。
⑶解关于x 的不等式21)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f 20.已知指数函数()y g x =满足：8)3(=g ，又定义域为R 的函数()()()2n g x f x m g x -=+是奇函数.（1）确定()y g x =的解析式； （2）求n m ,的值；（3）若对任意的t R ∈，不等式()()22230f t t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数()()2f x x a x =--，()22x g x x =+-，其中a R ∈. （1）写出()f x 的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数[]0,1m ∈，总存在实数[]0,2n ∈，使得不等式()()f m g n ≤成立，求实数a 的取值范围.高一上期末模拟训练题5.函数y =lg1|1|x +的大致图象为(D) 6.函数)252sin(π+=x y 是（B ）A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数 7.右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为(B)A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x y )D ．)32sin(2π-=x y8.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2，+∞)上是增函数，则a 的取值范围是(C)A ．（]4,∞-B ．（]2,∞-C ．（]4,4-D ．（]2,4-9.已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（D ）A ．10B ．5-C ．5D ．010.已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取 值范围为（B ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞二.填空题:11.sin 600︒=__________.32-12.函数()2lg 212x y x x =++-的定义域是__________.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13.若2510a b ==，则=+ba1116.已知31tan =α，（1）求：ααααsin cos 5cos 2sin -+的值（2）求：1cos sin -αα的值【解析】：（1）21（2）107-...........17.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<--≤+=)2(log )21()1(2)(212x x x xx x x f ，指出该(1)在直角坐标系中画出()f x 的图象；并函数的值域。
方程(2)若3)(=x f ，求x 值；(3)讨论关于x 的m x f =)(解的个数。
解(1)图略，值域｛x ∣x ≤4｝----------(2)x=3----------(3)①m>4无解；②1<m ≤4或-1≤m<0,1解；③m=1或m<-1,2解；④0<m<1,3解。
18.已知f(x)＝2sin(2x ＋)＋a ＋1(a 为常数). (1)求f(x)的递增区间；(2)若x ∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f(x)取最大值时x 的集合. 解(1)当2k π－≤2x ＋≤2k π＋，k ∈Z ， 即k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z 时，f(x)单调递增，∴当sin(2x ＋)＝1时，f(x)有最大值为2×1＋a ＋1＝4，∴a ＝1； (3)当x ∈R ，f(x)取最大值时，2x ＋＝＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝＋k π，k ∈Z ， ∴当x ∈R ，使f(x)取得最大值时x 的集合为{x|x ＝＋k π，k ∈Z}. 19.设函数xxx x f +-++=11lg21)( ⑴求)(x f 的定义域。
⑵判断函数)(x f 的单调性并证明。
⑶解关于x 的不等式21)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f 解：（I ）()f x 在定义域内为增函数.................................................... 设1x ，2x ∈()1,1-且12x x <.........................................................................2()f x -1()f x =()()2221221112222221121111x x x x x x x x x x x x +---=++++=()()21212212()(1)11x x x x x x --++ 因为1211x x -<≤<，所以210x x ->，2110x x ->所以有2()f x -1()f x 0> 即有()f x 在定义域内为增函数............................................................................ （II ）因为()f x 定义域为[]1,1-且关于原点对称，又()f x -=21xx-+=()f x - 所以()f x 在定义域内为奇函数................ 由1()()02f t f t -+<有1()()()2f t f t f t -<-=- 又()f x 在()1,1-上单调递增即1112t t -<-<-<...所以：11,24t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 解：（1）设()x g x a =()0a >≠且a 1,则38a =，∴a=2,∴()2x g x =，（2）由（1）知：()122xx n f x m +-=+， 因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1012n n m-=⇒=+, ∴()1122xx f x m+-=+，又()(1)1f f -=-，11122=214m m m --∴-⇒=++； （3）由（2）知11211()22221x x xf x +-==-+++， 易知()f x 在R 上为减函数.又因()f x 是奇函数，从而不等式： 等价于()()2223f t t f t k ->--=()2f k t -， 因()f x 为减函数，由上式得：2223t t k t -<-,…… 即对一切t R ∈有：2220t t k -+>， 从而判别式()212420.2k k ∆=--⨯⨯<⇒>21.已知函数()()2f x x a x =--，()22x g x x =+-，其中a R ∈. （1）写出()f x 的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数[]0,1m ∈，总存在实数[]0,2n ∈，使得不等式()()f m g n ≤成立，求实数a 的取值范围.解：（1）()(2),2,()()(2), 2.x a x x f x x a x x --≥⎧=⎨---<⎩①当2a =时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，()f x 无减区间； ②当2a >时，()f x 的递增区间是(,2)-∞,2(,)2a ++∞；()f x 的递减区间是2(2,)2a +； ③当2a <时，()f x 的递增区间是2(,)2a +-∞,(2,)+∞，()f x 的递减区间是2(,2)2a +． （2）由题意，()f x 在[0,1]上的最大值小于等于()g x 在[0,2]上的最大值．当[0,2]x ∈时，()g x 单调递增，∴max [()](2)4g x g ==． 当[0,1]x ∈时，2()()(2)(2)2f x x a x x a x a =---=-++-． ①当202a +≤，即2a ≤-时，max [()](0)2f x f a ==-． 由24a -≤，得2a ≥-．∴2a =-；②当2012a +<≤，即20a -<≤时，2max 244[()]()24a a a f x f +-+==．。
高一数学必修一第一学期期末测试卷(人教版浙江)(含答案和解析)
高一数学必修一第一学期期末测试卷（人教版浙江）（含答案和解析）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·全国高一课时练习）已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一月考）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y =B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =3．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -4.（2020·广东揭阳市·高一期末）已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2020·浙江高一期中）已知函数()1xf x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1+D ．1⎡⎣6．（2020·淮安市阳光学校高一月考）某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20B ．40C ．60D ．807．（2020·浙江高一期中）已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8．（2020·江苏南通市·高二期中）“a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要9．（2020·全国高一课时练习）定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810．（2020·长春市·吉林省实验高一期末（理））已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2018·江苏苏州市·高一期末）函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．（2018·江苏苏州市·高一期末）已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______．13．（2019·福建漳州市·龙海二中高三月考（文））已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．14．（2020·浙江高一课时练习）里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．15．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 16．（2020·全国高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．（2020·浙江高一单元测试）已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan 2α=________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）计算下列各式的值： （1）()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）941451log log 3log 5log 272⋅--+. 19．（2020·全国高一单元测试）已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·湖北荆州市·荆州中学高一期末）（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 21．（2020·北京密云区·高一期末）已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．22．（2020·浙江高一期中）已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围．高一数学必修一第一学期期末测试卷（人教版浙江）（含答案和解析）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·全国高一课时练习）已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂=故选：B2．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一月考）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意； 对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意；故选：D ．3．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -【答案】B 【解析】0((1))(0)1f f f e ===，故选：B4.（2020·广东揭阳市·高一期末）已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.5．（2020·浙江高一期中）已知函数()1xf x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(12,12+D ．12,12⎡⎤⎣⎦【答案】C 【解析】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得1212b <故选：C.6．（2020·淮安市阳光学校高一月考）某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20B ．40C ．60D ．80【答案】B 【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x ，相邻的一边设为y ， 由题意得200xy =， 设围栏总长为l 米，则240l x y =+≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 此时20,10x y ==； 则围栏总长最小需要40米； 故选：B.7．（2020·浙江高一期中）已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数 又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>==故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A8．（2020·江苏南通市·高二期中）“a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】∵1log log log log a b a a b a b b+=+，又1,1a b >>，∴log 0a b >，即1log 2log a a b b +≥=当且仅当a b =时等号成立， 而11,28a b ==时有110log log log 2log 3a b a a b a b b +=+=>，显然1,1a b >>不一定成立； 综上，所以有1,1a b >>是log log 2a b b a +≥充分不必要条件. 故选：A9．（2020·全国高一课时练习）定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】∵集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭， 集合{2,4,6}S =，|1,{0,1,2}2k T x x k S ⎧⎫==-∈=⎨⎬⎩⎭， ∴{}1,2,3,4,6ST =， ∴{}0,1,2,3,4,6ST T=. ∴集合STT ⋃元素的个数为6个.故选：B.10．（2020·长春市·吉林省实验高一期末（理））已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 由t π=，可得2=2ππωω=⇒因为3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 所以sin 23x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈又因为()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+⎪⎝⎭所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ= 所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选D.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2018·江苏苏州市·高一期末）函数lg(2)y x =-的定义域是______．【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞． 12．（2018·江苏苏州市·高一期末）已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 【答案】2 【解析】()g x 的零点即为()0g x =的解．当1x ≤时，令322x -=，解得12x =，符合；当1x >，令22x =，解得x =()g x 的零点个数为2．13．（2019·福建漳州市·龙海二中高三月考（文））已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．【答案】10【解析】 由tan 1tan()241tan πααα--==+，解得tan 3α=-，因为22sin(2)2cos 2)(2sin cos cos sin )422πααααααα-=-=-+2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 2cos sin 21tan ααααααααα-+-+=⨯=++222(3)1(3)21(3)10⨯--+-==+-． 14．（2020·浙江高一课时练习）里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．【答案】6，10000 【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．15．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 【答案】2 9 【解析】因为34a =，所以3log 4a =，又2log 3b =， 因此32lg 4lg3log 4log 32lg3lg 2ab =⋅=⋅=；222log 32log 3log 944229b ====. 故答案为：2；9.16．（2020·全国高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12- 17．（2020·浙江高一单元测试）已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan 2α=________．【答案】35247【解析】由已知得3cos 5α==-，所以445tan 335α==--，242243tan 27413α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：35；247． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）计算下列各式的值： （1）()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+. 【答案】（1）3；（2）174. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则，可得()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222333333(24441399)1[()]22--⎛⎫=--+ -⎪⎝-+⎭==.（2）根据对数的运算法则，可得941451log log 3log 5log 272⋅--+ 325211111log 2log log 5log 2414224341722=-⨯+-+=-+-+=.19．（2020·全国高一单元测试）已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()0,1． 【解析】()1要使函数有意义，则{1010x x +>->，即{11x x >-<，即11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，则()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+--=-⎣⎦， 则函数()f x 是奇函数．()2若1a >，则由()0.f x >得()()log 1log 10a a x x +-->，即()()log 1log 1a a x x +>-， 即11x x +>-，则0x >， 定义域为()1,1-，01x ∴<<，即不等式的解集为()0,1．20．（2020·湖北荆州市·荆州中学高一期末）（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值.（2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 【答案】（1）12sin 13α=，12tan 5α=-（2）3πβ=【解析】 （1）55cos 132x α==-⇒=-， ∴5,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12sin 13α==，612tan 552α==--；（2）由1cos 7α=，02πα<<，得sin 7α=， 由13cos()14αβ-=,02πβα<<<，得02παβ<-<，得sin()αβ-=所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-11317142=⨯=， 又02πβ<<，∴3πβ=.21．（2020·北京密云区·高一期末）已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++ ，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】（1）2()cos cos f x x x x -cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点， 令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈22．（2020·浙江高一期中）已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）±1；（2）1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121x x x xa aa a ----=⋅+⋅++， 整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x xf x -==-++， 由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>， 又因为2u 为减函数，所以2u-为增函数， 所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数，由()(())20xf f x f t +⋅<可得：()20x f x t +⋅<，即21+2021x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <， 令2x s =，则1(,2)2s ∈， 整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，若1122t t +-≤或122t t +-≥ 需131()0242g t =-<，(2)610g t =+<，可得1156t -≤<-或12t ≤-，若11222t t +<-<，需1()02t g t+-<， 解得1125t -<<-，综上可得：实数t 的取值范围为1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.现有这么一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…，按照规律，（ ）中的数应为（ ）. A.916B.1116C.12D.11182. 设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A.ac bc >B.11a b< C.20c a b≥- D.11a b a>-3. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD = A. 14AB +34AC B.34AB +14AC C.13AB +23AC D.23AB +13AC 4. 设单位向量1cos 3e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则cos 2α的值为（ ）A.79B.12-C.79-D.35. 已知ABC 中，23,22,4a b B π===，那么满足条件的ABC（ ） A. 有一个解 B. 有两个解C. 不能确定D. 无解6.已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212-a a b的值是 ( ) A.12B.12-C.12或12-D.147. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中22tan tan a B b A =，那么ABC 一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形9. 已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（ ） A.5665-B.1665-C. 3365D.636510. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A.85 B.415C.215511. 设G 是ABC 的重心，且()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=，若ABC 外接圆的半径为1，则ABC 的面积为（ ）A. 33B.33C. 34D.91612.当x θ=时，函数()2cos f x sinx x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. -215510B.2515+ C. 10 D.310第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 当1x >时，41x x +-的最小值为______. 14. 在ABC 中，tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根，则tan C =_______．15. 如图，在半径为3的圆上，C 为圆心，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若||||+=-AC CB AC CB ，则AB AC ⋅=_____．16.已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n +=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*4()1nnT n N n λ≤∈+恒成立，则λ的最小值是_______．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). （1）求顶点D 的坐标；（2）求AC 与BD 所成夹角的余弦值．18. （11分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且234,1,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2,,n n na nb log a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T ． 19. （11分）已知向量()cos 3m x x=，(cos ,cos )n x x =且函数()f x m n =⋅.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求函数()f x 在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时的值域； （2）设α是第一象限角，且112610f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求sin()4cos(22)παπα++的值. 20. （12分）首届世界低碳经济大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元.（1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： ①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？21. （12分）已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=-. （1）求A ；（2）从下列条件中：①3a =②3ABCS=中任选一个作为已知条件，求ABC 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22. （14分）函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，都有()g()()αβαββα=+f f ，且(2)2f =，数列{}n a 满足()()2+=∈nn a f n N .（1）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列}{nb 前n 项和为n S ，且(1)nn n n ba +=，问是否存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. A 【解析】 【分析】根据题意得出每个数的分母为2n ，分子为连续的奇数，即可求解.【详解】由题意知，一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…， 可得每个数的分母为2,n n N ∈，分子为连续的奇数，所以（ ）中的数应为916故选：A.【点睛】本题主要考查了数列的项的归纳推理，其中解答中根据数的排列，找出数字的规律是解答的关键，着重考查了归纳推理的应用. 2. C密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】【分析】根据不等式的性质，直接判断即可. 【详解】对A ，当0c时，不成立，故A 错对B ，若a 为正数，b 为负数，不成立，故B 错对C ，由a b >，所以0a b ->，所以20c a b ≥-成立，故C 正确对D ，当2,1a b ==-时，11a b a>-不成立，故D 错 故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，选择题可以使用特殊值法，便于计算，属基础题. 3. C 【解析】 分析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-，所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+，故选C. 【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解. 4. A【解析】 由题设可得2218cos 1cos 99αα+=⇒=，则27cos 22cos 19αα=-=，应选答案A ． 5. B 【解析】 【分析】通过比较sin a B 与b 的大小关系，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：23,22,4a b B π===2sin 2362==a B 622<=<b a 所以可知ABC 有两个解故选：B【点睛】本题考查两边及其一边所对应的角判定三角形个数，掌握比较方法以及正弦定理的使用，属基础题. 6. A【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a a b --==.本题选择A 选项.7. B 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数． 【详解】设第一天织1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得1111721284715a d a d a d a d +⎧⎨+++++⎩＝＝解得：111a d ==， ，∴第十四日所织尺数为14113113114=+=+⨯=a a d ．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题． 8. D 【解析】 【分析】根据正弦定理sin sin a bA B =，将等式中的边,a b 消去，化为关于角,A B的等式，整理化简可得角,A B 的关系，进而确定三角形ABC 的形状．【详解】由正弦定理可得：22sin tan sin tan =A B B A ，整理得sin cos sin cos A A B B =，因此有11sin 2sin 222A B =，可得22A B =或22A B π=-， 当22A B =时，ABC 为等腰三角形；当22A B π=-时，有2A B π+=，ABC 为直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查通过正弦定理化简判定三角形形状，熟悉正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属基础题. 9. D 【解析】 【分析】 计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案. 【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=. ()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 10. B 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离415AB =故选B点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 11. B 【解析】 【分析】根据G 是三角形ABC 的重心得到0GA GB GC ++=，结合已知条件进行化简，求得sin sin sin A B C ==，由此判断出三角形ABC 是等边三角形，再结合三角形ABC 外接圆半径以及正弦定理，求得三角形ABC 的边长，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC ++=，则GA GB GC =--，代入()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=得，()()sin sin sin sin 0A B GB A C GC -+-=，∵GB GC ⋅不共线，∴sin sin 0A B -=且sin sin 0A C -=， 即sin sin sin A B C ==，∴ABC 是等边三角形，又ABC 外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，22sin 60aR ==︒，则3a =∴2333ABC S ==△.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. A 【解析】 【分析】利用辅助角公式可知函数min ()f x ，然后把x θ=代入结合平方关系可得sin ,cos θθ，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果. 详解】由题可知：()()2cos 5,tan 2ϕϕ=+=+=f x sinx x x所以min ()5=-f x 2cos 5θθ+=-sin密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以225sin sin 2cos 5sin cos 125cos 5θθθθθ⎧=⎪⎧+=-⎪⎪⎨⎨+=⎪⎩⎪=-⎪⎩所以2155sin sin cos cos sin 33310πππθθθ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及平方关系，还考查了两角和的正弦公式，着重考查计算，属基础题.第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 5 【解析】 【分析】将所求代数式变形为()4111x x -++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】1x >，10x ∴->，由基本不等式得()()444112115111x x x x x x +=-++≥-⋅=---. 当且仅当3x =时，等号成立.因此，41x x +-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 14.13【解析】 【分析】根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.【详解】由题可知：tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根所以37tan tan ,tan tan 22+=-=-A B A B 所以()tan tan tan tan 1tan tan 13+=-+=-=-A B C A B A B故答案为：13【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题. 15. 9 【解析】 【分析】化简||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=，然后将AB 用,CA CB 表示，然后进行计算即可.【详解】由题可知：||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=AB CB CA =-所以()()229⋅=-⋅-=-⋅==AB AC CB CA CA CA CA CB CA故答案为：9【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积，属基础题. 16. 32 【解析】 【分析】依据题意可得2=2n a n ，然后可得n b ，利用裂项相消法可得nT ，最密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题后化简以及函数的单调性可得结果.【详解】由题可知：1212a a ++…21+=+n a n n n ① 当2n ≥时，1212a a ++…()211111-+=-+--n a n n n ② ①-②是可得：12n a n n =，所以()2=22≥n a n n当1n =时，1=2a 符合上式，所以()2=2*∈n a n n N则()()2222121211114411+⎛⎫++===- ⎪ ⎪++⎝⎭n n n n n b a a n n n n 所以()122222*********...1...422331⎛⎫ ⎪=+++=-+-+++- ⎪+⎝⎭n n T b b b n n 所以()()()2221114141⎛⎫+ ⎪=-=⎪++⎝⎭n n n T n n又41λ≤+n n T n ，所以()()22111124411λλ+⇒≥+⨯=≤+++++n n n n n n n n又函数()111f x x =++在()0,∞+单调递减 所以max 13112⎛⎫+= ⎪+⎝⎭n 所以*4()1n n T n N n λ≤∈+恒成立，则32λ≥故答案为：32【点睛】本题主要考查裂项相消法求和以及数列中恒成立问题，审清题意，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）(2,2)；（2）685.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算AB DC =，可得结果. （2）用坐标表示AC ，BD ，然后根据平面向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB ∴=----=，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-⎧⎨=-⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)． （2）由22(5,3),||5334AC OC OA AC =-==+=22(3,1),||3(1)10BD OD OB BD =-=-=+-=353(1)12AC BD ⋅=⨯+⨯-=685cos ,||||3410AC BD AC BD AC BD ⋅∴<>===⋅⨯【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量夹角公式，重在明白向量坐标的表示方法以及夹角公式的记忆，属基础题. 18. （1）12n n a -=；（2）224133=+-n n T n .【解析】 【分析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）依题意利用等差数列的性质可得22a=，然后利用等比数列通项公式计算即可.（2）由（1）的结论可得12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和，可得结果.【详解】（1）由题意可得()32421a a a +=+，即()2222214a a a +=+，解得：22a =，∴2112a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数21232=+++⋯+n n T b b b b3242152162()()-+++⋯++++⋯=++n n n T b b b b b b b b()024*******(13521）-=+++⋯+++++⋯+-n n T n2214(121)4114233-+-=+=+--n nn n n T n 【点睛】本题主要考查数列分组求和，掌握常用的求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法等，属基础题.19. （1）1[,1]2-；（2）522-.【解析】【分析】（1）用坐标表示向量的数量积以及辅助角公式可得 （1）1()sin(2)62f x x π=++，然后使用整体法以及正弦函数的性质可得结果.（2）根据（1）的条件可得3cos 5α=，然后使用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式化简求值即可. 【详解】(1)由2()cos 3sin cos f x m n x x x =⋅=()1311cos 22sin(2)2262π=+=++f x x x x50,22666x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ 1sin(2)[1,]62x π∴+∈-，则()f x 的值域为1[,1]2-（2）π11(),2610f α+=ππ111 sin 2()266210α⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 则π3sin()25α+=即3cos 5α= ，又α为第一象限的角，则4sin 5α22π2sin()cos )42cos(2π2)c 2cos )2co o s s 2sin ααααααααα++==++-则πsin()4cos(2π2)2522cos sin 2αααα==--++【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示以及正弦型函数的性质，考查三角恒等变形，本题重在考查公式的应用以及计算能力的培养，属中档题.20. （1）从第4年开始获取纯利润；（2）方案②. 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】（1）依据题意可知每年的维护费用满足的是等差数列，然后可得利润2300(81010)y n n =-+，令0y >，简单计算以及判断可得结果.（2）根据（1）的结论可计算方案①所获利润，计算2300(81010)--=n n W n结合基本不等式可得所获利润，然后进行比较可得结果.【详解】（1）设第n 年获取利润为y 万元，n 年共收入租金300n 万元，付出维护费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共2(1)1020102n n n n -+⨯=因此利润2300(81010)y n n =-+ 令0y >，解得：327n <<所以从第4年开始获取纯利润．（2）方案①：纯利润22300(81010)10(15)1440y n n n =-+=--+ 所以15年后共获利润：1440+100=1540（万元） 方案②：年平均利润2300(81010)810300(10)n n W n n n--==-+810300210120n n≤-⨯= 当且仅当81010n n =，即n =9时取等号所以9年后共获利润：120×9+460=1540（万元）综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．【点睛】本题考查数列模型的应用问题，审清题意，理清思路，细心就算，属中档题. 21.（1）3A π=；（2）选择①，(23,33；选择②，[6,) +∞. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得1cos 2A =，最后可得结果.（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长23)36π=+l B ，然后根据角度范围可得结果；选②可得bc ，然后结合余弦定理以及不等式可得结果. 【详解】（1）因为()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=- 由正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=由余弦定理得2221cos ,(0,)22b c a A A bc π+-==∈所以3A π=（2）选择①3a =由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===， 即ABC 周长22sin 2sin 32sin 2sin()33l B C B B π=+=+- 3sin 33B B =23)36B π=+251 (0,) ,sin()1366626B B B πππππ∈∴<+<<+≤密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题即ABC 周长的取值范围(23,33选择②3ABCS.，得13sin 324ABC S bc A bc ===△，得4bc =.由余弦定理得22222()3()12,a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即ABC 周长2()12,l a b c b c b c =++=+-+24b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立 2 41246l a b c ∴=++-= 即ABC 周长的取值范围[6,) +∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.22. （1）证明见解析；2n n a n =⋅；（2）存在，4. 【解析】【分析】（1）依据题意计算()()()1122222,++==⋅+⋅n n nn a f f f 然后可得1122n n n a a ++=+，根据递推关系以及等差数列的定义可得结果. （2）根据（1）的结论可得12n nn b +=，然后利用错位相减法可得n S ，最后构造函数，利用函数的单调性可得结果.【详解】（1）()()112,22,=∴==n n a f a f()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅1122n n n a a ++∴=+， 11122n nn na a ++∴-= 2n na ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为112a =，公差为1，,22nn n na n a n ∴∴==⋅.（2）由(1)12n n n n n n b a ++==23111111234(1)22222n n nS n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ 2311111123(1)22222n n n S n n +=⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得121111111133(1)22222222n n n n n S n +++=+++-+⨯+=-332n nn S +∴=-，假设存在正整数m ， 使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，即2160m m +-> 由指数函数与一次函数单调性知：()216m F m m =+- m N +∈为增函数.又因为34(3)231650,(4)241640F F =+-=-<=+-=> 所以当4m ≥时恒有()2160m F m m =+->成立. 故存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立， 所以m 的最小值为4.【点睛】本题考查根据递推关系证明等差数列以及错位相减法求和，还考查了数列恒等式问题，本题关键在于得到1122n n n a a ++=+，考查分析能力以及计算能力，属中档题.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
18.（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由 化简再结合 ， 可求出向量 与 的夹角；
（2）要 与 垂直，只需 ，化简可求出x的值.
【详解】（1）由
，
得 ．
（2）当 与 垂直时，
，
所以 ．
【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.
15.
【解析】
【分析】
由绝对值的三角不等式，求得最小值，得到 ，即可求解.
【详解】由绝对值不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得 或 ，
即实数a的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，其中解答熟记绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
16.
【解析】
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系xOy中，若圆 上存在点M，且点M关于直线 的对称点N在圆 上，则r的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10.已知 ， ， ，若当 时， 恒成立，则 的最大值是（）
A. -6B. -2C. 2D. 6
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
二、填空题（本题共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）
故依题得 ，
所以 是以1位首项，3为公比的等比数列，
所以 ．
（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以由
，
即n的最小值为8．
【点睛】本题考查了数列 与 的关系，等比数列的通项公式，等比数列前n项和公式和解不等式等基本知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案214人教版高一数学下学期期末考试卷第一卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.1920°转化为弧度数为A。
32π/3B。
16π/3C。
16/3D。
3提示：1°=π/180.2.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用A。
散点图B。
茎叶图C。
频率分布直方图D。
频率分布折线图提示：散点图是用来观察变量间的相关性的。
3.函数y=sin(x+π/4)的一个单调增区间是A。
[-π,0]B。
[0,π/4]C。
[π/4,7π/4]D。
[7π/4,2π]提示：函数y=sin(x)的单调增区间是(2kπ-π/2,2kπ+π/2) (k∈Z)。
4.矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BC=5e1，DC=3e2，则OC等于A。
(5e1+3e2)/2B。
(5e1-3e2)/2C。
(-5e1+3e2)/2D。
-(5e1+3e2)/2提示：OC=AC=AD+DC=BC+DC=(5e1+3e2)/2.5.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A。
6，12，18B。
7，11，19C。
6，13，17D。
7，12，176.函数y=x/2sin(x)+3cos(x/2)的图像的一条对称轴方程是A。
x=π/2B。
x=-πC。
x=-π/2D。
x=π提示：函数y=sin(x)的对称轴方程是x=kπ+π/2 (k∈Z)。
7.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是A。
甲获胜B。
乙获胜C。
二人和棋D。
无法判断提示：由甲不输的概率为70%可得乙获胜的概率也为30%。
8.如图是计算1/11+1/12+。
+1/30的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是A。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
19.（12分）在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 、 、 .
（1）求 外接圆 的标准方程；
（2）过 作直线 交圆 于 ， ，若 ，求直线 的方程.
20.（12分）已知等比数列 的各项都为正数， 为其前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求使得 成立的正整数 的最小值.
（2）弦长 的取值范围为_______.
三、解答题：本大题6个小题，共70分.（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17.（10分）已知向量 与向量 的夹角为 ，且 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
18.（12分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 .
（1）求 的大小；
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一数学（满分：15来自分时间：120分钟）题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合答案.
1.直线 的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2.数列 是各项都为正数的等比数列， ，则 （）
A. B. C.0D.1
8.已知双曲线 的离心率为 ， 为 上的点， 为 的右焦点，且 垂直于 轴.若 ，则 的方程为（）
A. B. C. D.
9.正数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.2
10.过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，线段 的中点 在直线 上， 为坐标原点，则 的面积为（）
13.等比数列 中， ，其中公比 ，则 ________.
14.2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取 个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）.已知学习时长在 的学生人数为25，则 的值为______.
安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题含答案
宿州市省、市示范高中2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷（人教版）（答案在最后）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{lg(3)}A xy x ==--∣，(4,1)B =-，则A B ⋃=（）A.(,1)-∞B.(]4,3-- C.(4,)-+∞ D.[)3,1--【答案】A 【解析】【分析】将集合,A B 化简，再由并集的运算，即可得到结果.【详解】因为lg(3)y x =--，令30x -->，解得3x <-，则(){lg(3)},3A xy x ==--=-∞-∣，且(4,1)B =-，则(,1)A B ⋃=-∞.故选：A 2.sin 240︒=（）A.12-B.12C. D.2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式求出答案.【详解】()3sin 240sin 18060sin 602︒=︒+︒=-︒=-.故选：C3.“角α是第三象限角”是“sin tan 0αα⋅<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角α是第三象限角时，sin 0α<，tan 0α>，于是sin tan 0αα⋅<，所以充分性成立；当2sin sin tan 0cos αααα⋅=<，即cos 0α<时，角α是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A ．4.已知(),0,x y ∈+∞，4139yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（）A.2B.98C.32D.94【答案】A 【解析】【分析】由4139yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得24x y +=，再根据基本不等式可求出结果.【详解】由4139yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得4233x y --=，得42x y -=-，即24x y +=，因为(),0,x y ∈+∞，所以42x y =+≥，当且仅当2x =，1y =时，等号成立，所以2xy ≤，即xy 的最大值为2.故选：A 5.已知21log 3a =，0.32b -=，22log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.a c b<< D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合指数函数以及对数函数的单调性，即可求解.【详解】因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则22212log log log 1035<<=，即0a c <<，又0.302210b -<<==，即01b <<，所以a c b <<.故选：C6.函数()2sin y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A.3π2sin 8y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.π2sin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.7π2sin 216x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可.【详解】由图知2A =，5πππ2882T =-=，πT ∴=，∴2π2Tω==，又()ππ2πZ 82k k ωϕ⋅+=+∈，()πππ2π22πZ 284k k k ϕ∴=+-⨯=+∈，∴函数的解析式为ππ2sin 22π2sin 244y x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D7.已知()f x 是奇函数，当x ≥0时，()21xf x e =-（其中e 为自然对数的底数），则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.3B.3- C.8D.8-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的性质()()f x f x -=-即可求解.【详解】由()f x 是奇函数得()()f x f x -=-，又0x ≥时，2()1x f x e =-，所以()()2ln3ln91ln (ln 3)(ln 3)1183f f f e e ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭.故选：D8.黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann ）发现提出黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：当q x p=为真约数且*,N p q ∈时()1R x p=，当0,1x =或[]0,1上的无理数时()0R x =，若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且R x ∀∈，()(2)0f x f x ++=，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则：()2023π5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.25-B.15-C.15D.25【答案】B 【解析】【分析】根据已知可推得偶函数()f x 的周期为4，利用偶函数性质、周期性求目标函数值.【详解】由题意(2)()(4)(2)f x f x f x f x +=-⇒+=-+，则(4)()f x f x +=，所以偶函数()f x 的周期为4，(π)(π4)(4π)(4π)0f f f R =-=-=-=，20233331(404)()()55555f f f R ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，所以20231(π)55f f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：B二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设α∈R ，则下列结论中正确的是（）A.sin(2π)sin αα-=- B.cos(π)cos αα-=C.3πcos sin 2αα⎛⎫-=-⎪⎝⎭D.tan(π)tan αα--=【答案】AC 【解析】【分析】利用诱导公式（一）到（六）依次转化角，逐步化简即得.【详解】对于A 项，sin(2π)sin()sin ααα-=-=-，故A 项正确；对于B 项，cos(π)cos(π)cos ααα-=-=-，故B 项错误；对于C 项，π3cos cos[)]cos()sin 222(πππαααα⎛⎫-=-=--=-⎝+⎪⎭，故C 项正确；对于D 项，tan(π)tan(π)tan ααα--=-+=-，故D 项错误.故选：AC.10.下列叙述正确的是（）A.若幂函数()f x 的图象经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该函数()f x 在(0,)+∞上单调递减B.命题“1x ∀<，21x <”的否定是“1x ∃<，21x ≥”C.函数()()2ln 23f x x x =+-的单调递增区间为(1,)-+∞D.函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2()log g x x =-互为反函数【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,依题求出函数解析式，再判断即得；对于B ，根据全称量词命题的否定要求即得；对于C ，根据复合函数的单调性判断“同增异减”原则即可求得递增区间；对于D ，按照互为反函数的两函数之间的关系分析即得.【详解】对于A 项，设(),f x x α=依题意，1273α=，解得：13α=-，则()13,f x x -=因103-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，即A 项正确；对于B 项，否定量词和结论即得命题“1x ∀<，21x <”的否定是“1x ∃<，21x ≥”，即B 项正确；对于C 项，设223t x x =+-，由0t >解得：3x <-或1x >，因ln y t =在定义域内为增函数，且2223(1)4t x x x =+-=+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，根据同增异减原则知，函数()()2ln 23f x x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞，即C 项错误；对于D 项，因1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为(0,)+∞，由1()2x y =可得：122log log x y y ==-，交换,x y 即得：2log y x =-，即2()log g x x =-，其定义域为(0,)+∞，值域为R .即D 项正确.故选：ABD.11.已知函数()tan f x x =，则下列关于函数()f x 的图象与性质的叙述中，正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 在()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D.π4π55f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】根据正切函数的性质画出()tan f x x =图象，即可判断A 、B 、C 的正误，由正切函数及诱导公式求π4π,55f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断D.【详解】函数()tan f x x =的大致图象，如下图示，由上图象，易知：()f x 最小正周期为π、()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增、图象关于直线π2x =对称，故A ，B ，C 正确，又ππ4π4π4πππtan ,tan tan πtan tan 5555555f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π4π55f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选：ABC.12.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则下列说法正确的是（）A.0a >B.0a b c ++<C.不等式20cx bx a -+<的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>-⎬⎭D.24c a b++的最小值为6【答案】BCD 【解析】【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a 的正负，即可判断A 的正误；根据二次函数性质，可判断B 的正误；根据根与系数的关系，可得56b ac a =-⎧⎨=⎩且a<0，代入所求，化简计算，即可判断C 的正误；将56b ac a =-⎧⎨=⎩代入，根据基本不等式，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】A 选项，依题可得函数2y ax x c =++开口向下与x 轴交点横坐标为2，3，故A 错误；B 选项，依题可得1x =时，函数值小于0，即0a b c ++<，故B 正确；C 选项，因为2y ax bx c =++开口向下与x 轴交点横坐标为2，3，所以56b a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即56b a c a =-⎧⎨=⎩，且a<0，所以不等式20cx bx a -+<可化为2650ax ax a ++<，即26510x x ++>，解集为12x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>-⎬⎭，故C 正确；D 选项，224911(9)6c a a a b a a ++⎛⎫=-=-+-≥= ⎪+⎝⎭，当且仅当1(9)a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，即13a =-时取等，故D 正确.故选：BCD.三、填空题:（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.13127lg 528⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】2【解析】【分析】利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质计算即得.【详解】13127lg 528⎛⎫++= ⎪⎝⎭13313(lg 2lg 5)()22⨯++13222=+=.故答案为：2.14.已知2cos 3α=，270360α︒<<︒，则cos 2α的值为______．【答案】306-##【解析】【分析】利用半角公式结合已知条件求解.【详解】因为270360α︒<<︒，所以1351802α︒<<︒，因为2cos 3α=，所以cos26α==-，故答案为：306-.15.如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB ，其中120,24AOB AC OC ∠=== ，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是__________.【答案】32π3##32π3【解析】【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．【详解】2π1203︒=，由题意可得，扇形AOB 的面积是212π612π23⨯⨯=，扇形COD 的面积是212π42π233⨯⨯=.则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是432π12ππ33-=.故答案为：32π3．16.已知函数π3πcos 2,()322,x t x f x x x t ⎧⎛⎫-<≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩有且仅有3个零点，则t 的取值范围是________.【答案】π5π11π[,0)[,)121212- 【解析】【分析】根据函数图像及零点的定义可得结果.【详解】当0t <时()2f x x =没有零点，所以依题意()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有且仅有3个零点，又3π2t x <≤时ππ8π22333t x -<-≤，所以πππ2232t -≤-<，即π5π1212t -≤<，故π012t -≤<；当0t ≥时()2f x x =有1个零点，所以依题意()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有且仅有2个零点，所以ππ3π2232t ≤-<，即5π11π1212t ≤<，故答案为：π5π11π[,0)[,)121212-.四、解答题：（本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）已知πcos 22cos(π)αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+，求3sin 2cos sin 2cos αααα+-的值.（2）已知角α的终边过点()3,4P ，5sin 13β=，π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值．【答案】（1）1；（2）5665-【解析】【分析】（1）化简已知式，求得tan α的值，将3sin 2cos sin 2cos αααα+-利用弦的齐次式化弦为切代入即得；（2）由条件分别求出sin ,cos ,cos ααβ的值，再代入两角和的余弦公式计算即得.【详解】（1）由πcos sin 2tan 2cos(π)cos ααααα⎛⎫+ ⎪-⎝⎭===-+-可得：3sin 2cos 3tan 21sin 2cos tan 2αααααα++==--；（2） 角α的终边过点()3,4P ，则43sin ,cos 55αα==．由5sin 13β=，π3π,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知：22512cos 1sin 11313ββ⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭则3124556cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.18.已知函数()22sin 3sin2f x x x =+.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）()πππ,πZ 63k k k 轾犏-+Î犏臌（2）1,3⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换可得()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据图象变换规律可得()π2sin 213g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得.【小问1详解】因为()2π2sin 21cos 22sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22πZ 262k x k k -≤-≤+∈，解得()ππππZ 63k x k k -≤≤+∈，则()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 63k k k 轾犏-+Î犏臌；【小问2详解】因为()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，可得()πππ2sin 212sin 211263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为π5π,36x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ4π2333x ≤-≤，所以3πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则π12sin 2133x ⎛⎫+≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()g x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的值域为1,3⎡⎤+⎣⎦．19.已知函数1()(0,R)3x f x b a b a =+>∈+是定义在R 上的奇函数，其图象经过点22,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求实数a ，b 的值并指出()f x 的单调性（不必证明）；（2）求不等式()22305f x x --<的解集．【答案】（1）11,2a b ==-，()f x 在R 上单调递减（2）(,1)(2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）根据R 上奇函数的性质得()00f =，再由()225f =-，列出方程组，求得,a b ，再利用函数的单调性定义证明函数单调性即得；（2）观察易得()225f =-，代入不等式，利用奇函数性质将其化成()()232f x x f -<-，最后利用函数单调性化为一元二次不等式，解之即得.，【小问1详解】()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即101b a +=+，又()12295f b a =+=-+解得11,2a b ==-.故11()312x f x =-+，易得()f x 在R 上单调递减，证明如下.任取12x x <，由12121111()()()()312312x x f x f x -=---++211233(31)(31)x x x x -=++，因21x x >，则2133x x >，而12(31)(31)0x x ++>，则21()()f x f x >，故()f x 在R 上单调递减.【小问2详解】易得：()225f =-，∴不等式()22305f x x --<可化为()()232f x x f ∴-<-， ()f x 是R 上的奇函数，()()232f x x f ∴-<-又 ()f x 在R 上单调递减，∴232x x ->-，即2320x x -+>，解得2x >或1x <故原不等式的解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞.20.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：该函数模型如下，()0.344.21sin 0.21,02354.2710.18,2x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩.根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：ln9.82 2.28,ln10.18 2.32,ln54.27 3.99≈≈≈）【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车【解析】【分析】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，此时20,3332x x ππππ<<∴=时，()f x 取得最大值，即可求得.（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时2x >，解不等式()20f x <，两边取对数，即可求出..【详解】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<.此时()44.21sin 0.213f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.当32x ππ=时，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 44.210.2144.42y =+=，故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时2x >，由0.354.2710.1820x e -+<，得0.39.8254.27x e-<，两边取自然对数得0.39.82ln ln 54.27x e -<，即0.3ln9.82ln54.27x -<-，∴ 2.28 3.99 5.70.3x ->=-，故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.【点睛】本题考查函数模型应用和分段函数，考查分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．21.已知函数()()()log 24log 5(0a a f x x x a =-+->且1)a ≠的图象过点()3,2P -.（1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（3）若52332m n t t ⎛⎫==<<⎪⎝⎭，比较()2f m 与()3f n 的大小.【答案】（1）12a =，定义域为(2,5)；（2）最大值是25log 2-，（3）(2)(3)f m f n <．【解析】【分析】（1）由(3)2f =-求得a ，由对数函数的定义得定义域；（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；（3）指数式改写为对数式，然后比较2,3m n 的大小，并由已知得出2,3m n 的范围，在此范围内由()f x 的单调性得大小关系．【小问1详解】由已知(3)log 2log 22a a f =+=-，12a =，24050x x ->⎧⎨->⎩25x ⇒<<，定义域为(2,5)；【小问2详解】211112222()log (24)log (5)log (24)(5)log (21420)f x x x x x x x =-+-=--=-+-，2279214202()22x x x -+-=--+，932x ≤≤，则257992(2222x ≤--+≤，所以211122295log log (21420)log 22x x ≤-+-≤，92x =时取等号，最大值为12255log log 22=-；【小问3详解】52332m n t t ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭，23m n t ==，2m t =，3n t =，=1=>=>，所以23m n >，532<<t ，则22log log 3m t =<，222log 3m <，∵7423>，所以274log 3>，27log 34<，即722m <，335log log 2n t =>，333512533log log log 9228n >=>=，所以72(2,)2m ∈，73(2,)2n ∈，∵22420u x x =-+-在7(2,)2上是增函数，又12log y u =在0u >时是减函数，∴()f x 在7(2,)2上是减函数，∴(2)(3)f m f n <．22.已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<。
人教版高一下学期期末考试数学试题与答案解析(共五套)
人教A版高一下学期期末考试数学试卷（一）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 124.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A. B. C. D.5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A. 16B. 13C.D.8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是A. E与G是互斥事件B. F与I是互斥事件，且是对立事件C. F与G不是互斥事件D. G与I是互斥事件10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数11.下列结论正确的是A. 已知是非零向量，，若，则B. 向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C. 点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D. 以，，，为顶点的四边形是一个矩形12.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是A. E为PA的中点B. 平面PACC. PB与CD所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则．14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．18.已知函数，且当时，的最小值为2．(1)求a的值，并求的单调递增区间；(2)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的x的集合．19.如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．求证：平面求直线与平面所成角的正弦值．20.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间满分150分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．求A的大小；若，，求的面积．22.如图，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，E在上，并且，点M在平面内，且平面，证明：平面．参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：复数为虚数单位在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选D．2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．先求出基本事件总数，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率，故选：D．3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】本题考察直观图与原图的关系，以及棱柱的体积公式，属于基础题．依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案．【解答】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，，且，，故．故答案选C．4.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0．由向量垂直可得，结合数量积的定义表达式可求出，又，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小．【解答】解：因为，所以，因为，所以，．故选：B．5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【解答】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，，则或，故C错误；若，，则，或，或b与相交，故D错误．故选：B．6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．设底面半径为，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案．【解答】解：如图所示，设底面半径为，与圆锥底面所成角为，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C．7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A. 16B. 13C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题．根据方差的性质直接计算可得结果．【解答】解：由方差的性质知：新数据的方差为：．故选：A．8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．根据题目已知条件应用余弦定理和正弦定理进行化简，即可得到答案．【解答】解：，，，，又．代入可得故答案选D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是A. E与G是互斥事件B. F与I是互斥事件，且是对立事件C. F与G不是互斥事件D. G与I是互斥事件【答案】BC【解析】【分析】本题考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．根据互斥事件、对立事件的概念判断即可．【解答】解：对于A选项，E、G事件有可能同时发生，不是互斥事件；对于B选项，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；对于C选项，F与G可以同时发生，不是互斥事件；对于D选项，G与I也可以同时发生，不是互斥事件．故选：BC．10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【答案】DB【解析】【分析】本题考查了频数分布直方图与应用问题，是基础题．根据频数分布直方图的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．【解答】解：对于A，甲同学的成绩的平均数，乙同学的成绩的平均数，所以甲同学的成绩的平均数小于乙同学的成绩的平均数，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于之间，乙同学的成绩的极差介于之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在之间，乙同学的成绩的中位数在之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确．故选：BD．11.下列结论正确的是A. 已知是非零向量，，若，则B. 向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C. 点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D. 以，，，为顶点的四边形是一个矩形【答案】DBA【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属中档题．利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择．【解答】解：对A：因为，又，可得，故，故A选项正确；对B：因为，，与的夹角为，所以．故在上的投影向量为，故B选项正确；对C：点P在所在的平面内，满足，则点P为三角形ABC的重心，故C选项错误；对D：不妨设，则，故四边形ABCD是平行四边形；又，所以，故四边形ABCD是矩形故D选项正确；综上所述，正确的有ABD．故选ABD．12如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是A. E为PA的中点B. 平面PACC. PB与CD所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于．【答案】ABD【解析】【分析】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题．采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果．【解答】解：对于A，连接AC交BD于点M，连接EM，如图所示，面BDE，面APC，且面面，，又四边形ABCD是正方形，为AC的中点，为PA的中点，故A正确．对于B，面ABCD，面ABCD，，又，，面PAC面PAC，故B正确．对于C，，为PB与CD所成的角，面ABCD，面ABCD，，在中，，，故C错误．对于D，由等体积法可得，又，，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则．【答案】【解析】【分析】本题考查复数的计算，属基础题．根据题意可得，然后根据复数的乘法可得结果．【解答】解：由，则，所以，所以，故答案为：14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属基础题．用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值．【解答】解：根据题意，，因为三点共线，所以，解得．故答案为．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．【答案】【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．根据题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错．【解答】解：根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错；由相互独立事件的概率乘法公式，可得，故答案为．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．1.2.3.【答案】1【解析】【分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
开封市五县高一期末联考卷参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
D
C
C
D
C
B
C
B
D
二．填空题
13.12；14.-1；15. ；16.②.
三．解答题
17.解：（1）
(2)
由（1）知
18.（1）
,
(2)设
又 ，且 不共线.
所以由平面向量基本定理知：
②直线 是函数 的一条对称轴；
③点 是函数 的一个对称中心；
④函数 的单调递减区间为
其中正确的结论是（填序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）已知角 .求下列各式的值.
(1)求 的值；
(2)先化简 ，再求值．
18.（本小题12分）如图，已知在 中， 是 的中点， 是线段 的靠近点 的三等分点， 和 交于点 ，设 .
14.已知向量 满足 ，则向量 在 方向上的投影为；
15.新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测。某个检测点派出了两名医生，四名护士。把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为；
16.已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 是最小正周期为 的奇函数；
【点睛】此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.
4. A
【解析】
【分析】
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）
13．若下图程序输入 的值为 ，则输出 的值为______．
INPUT x
IF x>=0 THEN
y=x^2-1
ELSE
y=2* x^2-5
END IF
PRINT y
END
14．在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ，则 ______．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
18．已知圆 过 ， 两点，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）设点 是直线 上的动点， 、 是圆 的两条切线， 、 为切点，求切线长 的最小值及此时四边形 的面积．
19．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 外接圆的半径为 ，且 ．
（1）若 的面积为 ，求 ， 的值；
A. B. 4C. 4或 D. 或5
8.已知 满足 ，则目标函数 的最小值为（）
A. B. C. D. 1
9.已知 ，则 的最小值为（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
10.若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）
A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题的4个答案中，只有一个符合要求）
1.若 ，则下列不等式中不正确的是（）
A. B. C. D.
2.圆的方程为 ，则圆心坐标为（）
A. B. C. D.
3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是()
人教版高一上学期期末数学试卷(有答案)
人教版高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=，并求出=．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．的定义域是（，1）∪（1，+∞）．∴函数f（x）=log（2x﹣1）故选：B．2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=1，并求出=．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=0∴S△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）∴V P=S▱ABCD•PC=．…（3分）﹣ABCD（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。