二项分布知识在日常生活中的应用分析

二项分布知识在日常生活中的应用分析

山东黄丽生

二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随

机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究。然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模

型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上

的种种困惑。鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考。

例1.将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果

(出现正面，不出现正面)，出现正面的概率为1/2。

1

分析：如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从n 100 p -的二项分布，那么

2

P(X k) C k00(^k(1 1)100k Cw0(l)100。

由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为

1

P(X 50) C；00(3)1000 08。

在学习概率时我们会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬

币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8% 左右。

它说的是，许多人都投100次均匀硬币，其中大约有8%的人恰投出50次正面。另外

有些人投出的正面次数可能是47次、48次、51次、52次等。总起来看，正面出现的次数

约占二分之一，这和均匀硬币出现正面的概率是二分之一是一致的。

例2.设某保险公司有10000人参加人身意外保险。该公司规定：每人每年付公司120元，

若逢意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何。

分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数(这里略去有关公司日

常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等) ，而这是完全随机的，公司无法在事前

知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布。设X表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，贝U X服从n=10000，p=0.006的二项分布：

P(X k) C k 00000.006k (1 0.006)10000 k

死亡X 人时，公司要赔偿 X 万元，此时公司的利润为(120-X )万元。尽管我们无法

事前知道这利润的确切值，但由上述分布可知，公司赔本的概率为

120

P(120 X 0) 1 P(X 120) 1 P(X k)

k0

120

k k 10000 k 12

1 C1k 0000 0.006k 0.99410000 k 10 12

k0

即公司几乎不会赔本(这里的计算量很大，可设计算法程序来计算，体会算法的重要性) 。 类似地，可以计算，例如公司利润不少于 40 万元的概率

80 80

P(120 X 40) P(X 80) P(X k)

C 1k 0000 0.006 k 0. 99410000 k 0.995,

k 0 k 0 即公司有 99.5%的概率能赚到 40 万元以上。则不难讨论公司获利的其它情形。 这个例子告诉我们，

面对随机现象， 了解分布非常有意义， 我们不能保证公司的利润一

定不少于 40 万元，完全可能出现例外的情况。这是随机现象的本性所决定的。但是上述的 结果对保险公司确有指导的意义。

例 3. 某地区羊患某种病的概率是 0.25 ，且每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新 的预防药，任选 12只羊做实验，结果这 12 只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。 分析： 初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题， 因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占 0.25 左右。这 12 只羊都未患病，未必是 药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取 12 只羊都不患病的可能性 大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应 该是药的效果，即药有效。

现假设药无效，在此假设下，令x 表示任取12只羊中患病的头数，则x 服从n=12,p=0.25 的二项分布，即P x k

C i20.25k 0.7512 k ，k=0,1,…,12. 12只羊都不患病的概 率是 p x 0 0.7512 0.032 。

这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对， 药是有效的。这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个 概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设” 。