4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12
等于() A.310B.13 C.18 D.19
答案A
解析方法一S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13?a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13
，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列， 公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3?S 9＝6S 3，
S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3?S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310
. 5．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5S 8，则下列结论错误的是()
A ．d <0
B ．a 7＝0
C ．S 9>S 5
D ．S 6与S 7均为S n 的最大值
答案C
解析由S 50.又S 6＝S 7?a 7＝0，所以d <0. 由S 7>S 8?a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9
6．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n
为整数的正整数n 的个数是()
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案D 解析a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1
＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1
， ∴n ＝1,2,3,5,11.
二、填空题
7．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n ，(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案2n －2
8．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 9＝S 17，则前n 项和S n 的最大值是________． 答案169
解析 方法一利用前n 项和公式和二次函数性质．
由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92
×(9－1)d ，解得d ＝－2， 所以S n ＝25n ＋n 2
(n －1)×(－2) ＝－(n －13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，
由????? a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0， 得??? n ≤1312，n ≥1212.
所以当n ＝13时，S n 有最大值．
S 13＝25×13＋13×(13－1)2
×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.
方法三由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，
而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，
故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0，
又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0，
故当n ＝13时，S n 有最大值．
S 13＝25×13＋13×(13－1)2
×(－2)＝169.
因此S n 的最大值为169.
9．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.
答案10
解析由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得 (a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.
由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n 2
＝155，得n ＝10. 10．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列在n ＝k 时，前n 项和S n 取到最小值，则k 的值是________．
答案10或11
解析方法一由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由?????
a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得 ??? 1－110(n －1)≥01－110n ≤0，
解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1
， 由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2
n 2＋????a 1－d 2n ， 得S n ＝????－120a 1·n 2＋????2120a 1·n ＝－a 120????n －2122＋44180
a 1 (a 1<0)， 由二次函数性质可知n ＝212
＝10.5时，S n 最小． 但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值．
三、解答题
11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得
????? a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得?????
a 1＝9，d ＝－2，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .
(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2
d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，
所以当n ＝5时，S n 取得最大值．
12．已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .
解由S 2＝16，S 4＝24，得???
2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.
即????? 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得?????
a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．
(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .
(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，
故T n ＝?????
－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6). 能力提升
13．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是()
A ．S n >na 1>na n
B ．S n >na n >na 1
C ．na 1>S n >na n
D ．na n >S n >na 1
答案C 解析：方法一由a n ＝?????
S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)， 解得a n ＝5－4n .
∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ，
∴na n ＝5n －4n 2，
∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0.
S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0.
∴na 1>S n >na n .
方法二∵a n ＝5－4n ，
∴当n ＝2时，S n ＝－2，
na 1＝2，na n ＝－6，
∴na 1>S n >na n 。
