-多元函数的偏导数
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数与偏导数
多元函数与偏导数多元函数是数学中的一个重要概念，它是自变量具有多个分量的函数。
偏导数则是多元函数中的一种导数，用于衡量函数在各个分量上的变化率。
本文将探讨多元函数的基本概念、性质以及偏导数的定义、计算方法和应用。
1. 多元函数的基本概念多元函数是自变量具有多个分量的函数，一般形式为 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其中x₁, x₂, ..., xₙ分别代表自变量的各个分量。
多元函数中的每个自变量都存在定义域和值域。
与一元函数类似，多元函数也具有图像和性质，如连续性、可微性等。
2. 偏导数的定义偏导数是多元函数中关于某一个自变量的导数。
在多元函数中，除了变化一个自变量外，其他自变量均视作常数。
对于二元函数 f(x, y)来说，偏导数可记作∂f/∂x 或 f₁，表示对 x 分量的偏导数；∂f/∂y 或 f₂，表示对 y 分量的偏导数。
对于n 元函数类似地，可分别计算各个分量的偏导数。
3. 偏导数的计算方法（1）对于一元函数来说，其导数的计算可以借助于极限的方法，即求取函数值在某一点的极限。
同样，对于多元函数的偏导数，也可以通过极限的方式求得。
（2）对于高阶偏导数，可以先计算一阶偏导数，然后再次应用偏导数定义计算二阶偏导数，以此类推。
（3）对于具有特定形式的多元函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，可以根据函数特性直接计算偏导数。
4. 偏导数的性质（1）对称性：对于二阶连续可导的函数，偏导数的求导次序不影响结果，即∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x。
（2）混合偏导数的存在性：如果 f(x, y) 在某一点处的混合偏导数∂²f/∂x∂y 与∂²f/∂y∂x 在该点处连续，那么它们相等，即∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x。
（3）偏导数与连续性的关系：若多元函数在某一点处连续可导，那么其各个分量的偏导数存在且连续。
5. 偏导数的应用（1）极值问题：多元函数中的极值点可以通过求解偏导数为零的点得到。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
多元函数偏导数(第六讲)
第六讲 多元函数偏导数与最值问题一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -¶¶¶¶¶¶++=¶¶¶¶¶¶， 又 ,u v wx y z t t t ¶¶¶===¶¶¶有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -¶¶¶++=¶¶¶上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ¶¶¶++=¶¶¶ 即有 (,,)f f fu v w kf u v w u v w¶¶¶++=¶¶¶于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且0x j ¶¹¶，求du dx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：有复合关系，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx¶¶¶¢¢¢=++=++¶¶¶ 由2(,,)0y x e z j =两边对x 求导，得xyzxyxuUn Re gi st er ed12320y dy dzx e dx dxj j j ¢¢¢++=g g ，又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ¢¢=-+¢g于是123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ¢¢¢¢¢=+-+¢g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程2222()0u u u ua x y x y¶¶¶¶-++=¶¶¶¶（1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v ve v e v e x x xa b a b a b a a +++¶¶¶=+=+¶¶¶ 2222()()x y x y u v v v e v e x x x xa b a b a a a ++¶¶¶¶=+++¶¶¶¶ 222(2)x y v vv e x xa b a a +¶¶=++¶¶， ()x y u vv e y ya b b +¶¶=+¶¶， 22222(2)x y u v v v e y y ya b b b +¶¶¶=++¶¶¶ 将上述式子代入已知方程中，消去x yea b +变得到222222(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x ya b a b a b ¶¶¶¶-+++-++-++=¶¶¶¶， 由题意，令2020a a a b +=ìí-+=î，解出22a aa b ì=-ïïíï=ïî，Un Re gi st er ed故原方程为 22220u ux y ¶¶-=¶¶．（2）令x y x =+，x y h =-，则v v v v v x x x x h x h x h ¶¶¶¶¶¶¶=+=+¶¶¶¶¶¶¶， v v v v v y y y x h x h x h¶¶¶¶¶¶¶=+=-¶¶¶¶¶¶¶ 22222222v v v v v x x x x xx h x hx x h x h h ¶¶¶¶¶¶¶¶¶=+++¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ 222222v v v x x h h ¶¶¶=++¶¶¶¶ 同理 2222222v v v vy x x h h ¶¶¶¶=-+¶¶¶¶¶ 将上面式子代入22220u ux y¶¶-=¶¶中得到20vx h¶=¶¶． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．例4．求函数22(,)49z f x y x y ==++在闭区域{}22(,)4D x y x y =+£上最大值和最小值．解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由(,)0x f x y ¢=，(,)0y f x y ¢=得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界224x y +=上的情形，方法1：讨论22(,)49f x y x y =++在约束条件224x y +=下条件极值， 令 2222(,)49(4)F x y x y x y l =++++-Un Re gi st er ed求导，得2222082040Fx x x Fy y y Fx y l l lì¶=+=ï¶ï¶ï=+=í¶ïï¶=+-=ï¶î， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-， 求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，最小值(0,0)9m f ==．方法2：将条件224x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ¢=-+=令()0t j ¢=，得到0t =，2t p =，则(0)13j =，(252pj =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2t p=就可以了，结论同上．Un Re gi st er ed。
_第3讲多元函数的导数
z f ( x , y) y y0
xI
在点 x x0 处切线对 x轴的斜率 .
偏导数的几何意义说明了一个问题: 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数 沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在
一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,
2 z 2 z 3 x2 y 2 x2 y ( x e ) (2x 2x y)e xy yx x
See you next time !
( x a ) a x a1
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
z x y ln x y
(a x ) a x ln a
例
例
求u e
x xy 2 z 3
的偏导数.
解
u x xy 2 z 3 e (1 y 2 ) ; x
u x xy 2 z 3 e 2x y ; y
P
.
z f ( x, y0 )
z f ( x0 , y )
y0
T2
O
.
y
在 x x0 平面上 f ( x0 , y0 ) tan y
x
T1
P0
f ( x0 , y0 ) 是曲线 y
z f ( x , y) x x0
y I1
在点 y y0 处切线对 y轴的斜率 .
解
将 y 看成常数
1 y
将 x 看成常数
z 1 x x 2 . 2 2 x y y x y y 1 y
x 2 y
例
例
求 z x y ( x 0, x 1) 的偏导数 .
多元函数的偏导数与极值问题
例3 从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。
解：三角形面积 S x, y 1 xy
2 约束条件：x2 y2 16
4
y
令 F x, y, 1 xy x2 y2 16
2
Fx
x,
y
1 2
y
2
x0x解方程组Fy1 x2z 2y
y
x 2 y2 4 y2 4
所以
dz x dx y dy
1 x2
y2 4
多元函数的极值的概念
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对 于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)，如果都适合f(x,y)<f(x0,y0)， 则称函数在点(x0,y0)处有极大值；如果都适合f(x,y)>f(x0,y0)， 则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。 使得函数取得极值的点称为极值点。
解 zx y cos xy 2cos x2 y sin x2 y 2x zy x cos xy 2cos x2 y sin x2 y 1
x
2 z arcsin x e y
解 z 1
1
x
e y arcsin
x
x ey
1
x 1 x 2 x
y
z arcsin y
x
e
可以表示成若二元函数只要特取即可以推出全微分偏导数连续性之间的关系连续偏导存在全微分存在求函数的全微分求函数的全微分多元函数的极值的概念定义的某个邻域内有定义对于该邻域内异于x处有极小值
偏导数的定义
y 对一元函数： f x
导数
f
x0
高等数学11.2多元函数的偏导数和全微分-精选文档
高等数学
主讲人 宋从芝
11.2
多元函数的偏导数与全微分
本讲概要 偏导数的概念 高阶偏导数
全微分
一、偏导数的概念
１.偏导数的定义
定义1 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0)及其近旁 有定义. 若极限
f ( x xy ,0 ) f ( x ,y ) 0 0 0 l i m x 0 x
2 z z z ; (x fyx ,y ) z yx y x y y x x
z z 2z y y y 2 y y
. (x fyy ,y ) z yy
(x, y) 称为二阶混合偏导数. (x, y) 及 fyx 其中 fxy
类似的，可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数，
而 f ( x ,y ) , 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， x f ( x , y ) 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数. y
偏导数都存在， 那么这个偏导数是 x , y 的函数，此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数， 记作
z , f ( x, y), z (x fx ,y ). x 或 x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 类似地，
代入等式左边得
u u u x y z
2 2 2
2
2
2
4 x y z 4 u 4 x 4 y 4 z
2 2 2
3.偏导数的几何意义
我们知道 一元 函数 y = f (x) 的导数的几何 意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数． 因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
多元函数偏导数
z ∴ x z y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
例2
y 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ,
x z 1 z + = 2z . 求证 y x ln x y
证
z yx y 1 , = x
z y = x ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y x ln x + = yx + ln x y x ln x y y
思考题
若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续 , 能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在? 的偏导数必定存在?
思考题解答
不能. 不能 例如, 例如
f ( x, y) =
x +y ,
2 2
处连续, 在( 0,0)处连续
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 z = f ( x, y ) = x + y 2 , 求f x ( 0, 0), f y (0, 0). 0, x2 + y2 = 0
3,偏导数存在与连续的关系 连续, 一元函数中在某点可导 连续, 连续, 多元函数中在某点偏导数存在 连续,
xy x2 + y2 , 例如,函数 例如 函数 f ( x , y ) = 0,
Φ = ( x, y + y ) ( x, y ); ( x, y ) = f ( x + x) f ( x, y )
u 验证函数2 ( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 2u u + 2 = 0. 斯方程 2 x y
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偏导数存在 连续. 反之成立吗？
例如： z x2 y2 在（0,0）连x0
x
在（0,0）处对 x 不可导。
同理在(0,0)点对 y 的偏导数也不存在.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点, fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 )在几何上表示
偏导函数在点 ( x0, y0 ) 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z)在 ( x, y, z)处
fx(x, y, z)
lim
x0
f ( x x,
y,z) x
f (x, y,z),
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z) lim f ( x, y, z z) f ( x, y, z) .
z
z0
z
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,1) 处的偏导 数．
解 z 2x 3y ; z 3x 2 y .
x
y
z x
x1
y1
21 31 5 ,
z y
x1 y1
31 21 5 .
有关偏导数的几点说明： １、偏导数u 是一个整体记号，不能拆分;
x
* ２、求分界点处的偏导数要用定义求；
例
5
设
f
( x,
y)
xy x2 y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解 当( x, y) (0,0)时,
f x ( x,
y)
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0
x
存在，则称此极限值为函数 z f ( x, y)
在点 ( x , y )处对 x 的偏导数，记为 00
z x ， x x0
y y0
f x x x0
y y0
z ，
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 )
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
例2
设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z.
y x ln x y
证 z yx y1, x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z. 原结论成立．
例 3 设z arcsin x ，求z ，z . x2 y2 x y
x( x2 y2 ) ( x2 y2 )2
0
( x, y) (0,0). ( x, y) (0,0)
以上求导运算都可以推广到三元及以上 的函数。
例如，已知 u x3 y sin( x z) ln(z2 y2 1)
则
u x
3x2
y
cos(
x
z)
； u
y
x3
z2
2y y2
1
u z
什么呢?
几何意义: 偏 导 数 fx ( x0 , y0 ) 就 是 曲 面 被 平 面
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算方法 二、 高阶偏导数 三、 小结 习题课
一、偏导数的定义及其计算法
定义 : 设函数 z f ( x, y)在点 ( x0 , y0 )
的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0, 而 x 在 x0 处有增量x 时，相应地函数 值有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
解
z x
1 x2
1
x x2 y2 x
x2 y2
x2 y2
y2
( y2 | y |)
| y|
( x2 y2 )3
| y| . x2 y2
z y
1
1 x2
x2 y2
x x2 y2 y
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x sgn 1 x2 y2 y
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim 0 x x0
0,
f
y
(0,0)
lim
y0
f (0, y) y
f (0,0)
0 lim y y0
0,
f
x
(
x,
y)
y( (x
y2 x2) 2 y2 )2
0
( x, y) (0,0), ( x, y) (0,0)
f y ( x,
y)
y( x2 y2 ) 2x ( x2 y2 )2
xy
y( y2 x2 ), ( x2 y2 )2
x( x2 y2 ) 2 y xy x( x2 y2 )
fy(x, y)
( x2 y2 )2
,
( x2 y2 )2
当( x, y) (0,0)时, 按定义可知：
f
x
(0,0)
z 不存在． y x0
y0
( y 0)
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT
（R为常数），求证： p V T 1. V T p
证 p RT p RT ; V V V 2
V
RT p
V T
R; p
T
pV R
T p
V; R
p V T RT R V RT 1. V T p V 2 p R pV
cos(
x
z)
z2
2z y2
1
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 函数在该点连续，
多元函数中在某点偏导数存在 函数
在该点连续
例如,函数
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
,
x2 y2 0 ,
0,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处，f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续.
偏导数就是 x 、y 的函数，它就称为函
数z f ( x, y)对自变量 x 的偏导函数，
记作
f x ( x,
y)
，f x
z , x ,
zx
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y
的偏导数，记作z ，f y y
，z y
或
f y ( x,
y).
由上述讨论可知 fx ( x0, y0 ), f y( x0, y0 ) 就是
处对y 的偏导数
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为
z , y x x0
y y0
f y xx0 ,
y y0
zy
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 )
说明：由偏导数定义知，对变量x 求
偏导数，就是将其它变量看成常数，
对 x 求导数。
如果函数 z f ( x, y)在区域 D内任一 点处对 x 的偏导数都存在，那么这个