2-2多元函数的偏导数_604409968
多元函数与偏导数
多元函数与偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数。
在数学分析中，我们经常研究多元函数的性质和变化规律。
其中，偏导数是一种重要的工具，用于描述多元函数在各个自变量方向上的变化率。
一、多元函数的定义多元函数是指具有多个自变量的函数，可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f表示根据这些自变量求得的函数值。
多元函数可以有不同的定义域和值域，可以是实数域或复数域上的。
二、偏导数的定义偏导数是用来描述多元函数在某个自变量方向上的变化率。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，偏导数可以分为两种类型：偏导数和高阶偏导数。
1. 一阶偏导数对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi，即在自变量xi方向上的变化率。
2. 高阶偏导数多元函数的高阶偏导数是指对一阶偏导数再次进行偏导数运算所得到的结果。
例如，多元函数的二阶偏导数表示为∂²f/∂x²，表示对自变量x的一阶偏导数再次取导数。
三、偏导数的计算偏导数的计算过程相对于一元函数而言稍微复杂一些，需要注意的是，计算偏导数时应将其他自变量视为常数。
1. 一阶偏导数的计算对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，计算一阶偏导数时，需要将其他自变量视为常数，只对当前自变量求导。
2. 高阶偏导数的计算高阶偏导数的计算过程与一阶偏导数类似，多次对不同自变量进行偏导数运算即可。
四、偏导数的应用偏导数在数学分析和实际问题求解中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 求取函数的极值点通过计算多元函数的偏导数，可以求取函数的极值点。
极值点一般对应着函数的驻点，即一阶偏导数为零的点。
2. 判定函数的连续性通过研究偏导数的连续性，可以判断多元函数是否连续。
若偏导数在某点处连续，则函数在该点处连续。
3. 研究函数的曲线和表面偏导数可以描述多元函数曲线和表面的变化率和切线方向，通过研究偏导数，可以揭示函数图像的性质和特点。
多元复合函数的求偏导法则
2x(1 2x2 sin2 y)ex2y2x4 sin2 y
z f f u y y u y
当然也可代入直接求偏导
ex2y2u2 2y (ex2y2u2 .2u) (x2 cos y)
2( y x4 sin y cos y)ex2 y2x4 sin2 y
式中
（z 或
x
z y
）是表示复合后函数
另一种解法：代入直接求偏导
z ln(e2x2y2 x2 y)
2 x2 y2
2e 2x z e x y x
e2 x2 y2
1
x
y2
(e2x2 y2
x2
y)
x
2x y2
2
z y
e2x2y2
1
x
y2
(e2x2y2
x2
y)
y
4 ye2x2 y2 1 e2xy2 x y2
注：
（1）求复合函数偏导数时，最后要将中间变量都 换成自变量表示。 （2）用哪一种方法因题而定 （3）有些复杂的或不易直接求解的多元函数求偏 导问题，我们可以引进中间变量。
x y z
【例6】 设x2 + 2y2 + 3z2 = 4x，求 z ,
解法2：公式法
x
z , y
2z xy
令F(x, y, z) x2 2y2 3z2 4x
则 Fx 2x 4 ，Fy 4 y ， Fz 6z
故
z x
z y
Fx FFzy Fz
2x 4 2 x 6z 3z
图7-21
z z u z y u y y
多元复合函数的求偏导法则：多元复合函数对某一自 变量的偏导数，等于这个函数对各个中间变量的偏导数 与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积和。
多元函数偏导
多元函数偏导
多元函数偏导是指在多元函数中，求出每个变量对函数的影响程度的过程。
例如，在函数f(x,y)=x^2+y^3中，要求x对函数的偏导，就是求出这个函数中x对函数值的影响程度。
这个偏导的值就是2x。
同理，求y对函数的偏导，就是求出y对函数值的影响程度，这个偏导的值就是3y^2。
求多元函数偏导的方法是，先确定要求的变量，然后将其他变量看作常数，对这个变量求导即可。
例如，在函数f(x,y)=x^2+y^3中，要求x对函数的偏导，就可以将y看作常数，对x求导。
这样就得到了偏导值2x。
偏导是求多元函数的一种常用方法，它可以帮助我们更好地理解多元函数的性质，并且在求解微积分问题时也是非常有用的工具。
1/ 1。
多元函数与偏导数
偏导数的定义如下： 设函数 z f (x ，y) 在点(x0, y0)的某一邻域内有定义，当 y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增量
f (x0 x, y0 ) f (x0 ，y0 )
如果极限
lim f (x0 x ，y0 ) f (x0 ，y0 )
x0
x
存在，则称此极限值为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的 偏导数，记为
为点P0的邻域，记作U(P0, )。P0称为此邻域的 中心，称为此邻域的半径．
二、偏导数的概念
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函 数也需要讨论它的变化率。在实际问题中，常常需要了解 一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情 况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题。
在数学上，就是多元函数在其他自变量固定不变时， 函数随一个自变量变化的变化率问题，这就是偏导数。
fx(x ，y ，z)
lim
x0
f
(x x ，y ，z) x
f
(x ，y ，z)
由偏导数的定义可以知道，求多元函数对某个自变量的 偏导数时，只需把其余自变量看作常数，直接利用一元函 数的求导公式和求导法则来计算。
例3 求 z x2 3xy y2 在点(1, 2)处的偏导数。
解 把y看作常量，得
x x0 y y0
，f y(x0
，y0 )
y y0
如果函数z=f(x, y)在平面区域D内每一点(x, y)处
对x的偏导数fx’(x, y)都存在，那么这个偏导数显然将 随x，y取值不同而变化，即它仍是x，y的函数，我
们称其为函数z=f(x, y)对自变量x的偏导函数，记作
z x
，f x
多元函数偏导
多元函数偏导多元函数偏导是指在多元函数求偏导、一阶偏导、二阶偏导和更高维度的函数求偏导等等情况下，用来表示函数在某一点处沿着某个方向变化率的数量。
本文将着重讨论多元函数偏导方面的内容，包括多元函数偏导的概念、计算方法以及实际应用等。
首先，简要介绍一下多元函数偏导的概念。
一般来说，多元函数偏导时一阶微分。
多元函数偏导的计算方法是用来计算inner product的张量calculus的偏导。
首先，我们需要先弄清楚什么是inner product，inner product是一个满足线性、同构、可分解等性质的二元操作，它也可以用geometry的一般定义式来表示。
基于inner product，我们可以定义张量calculus中的偏导，它是多元函数求偏导的基础。
其次，介绍多元函数偏导的计算方法。
在计算多元函数偏导时，首先需要指定函数的变量。
若变量为n维，可将变量看作n个向量，这些向量组成的n维空间，称为变量所在的空间。
多元函数的偏导就是沿着变量所在的空间的某个方向变化的函数。
在计算多元函数偏导时，首先需要指定函数的变量，然后根据函数的变量，沿着不同变量方向分别求出函数在不同变量方向上的偏导数。
最后，用求得的偏导数配合张量calculus中的梯度、Hessian矩阵与Laplace算子等等，就可以求出函数的偏导数。
最后，简要介绍一下多元函数偏导的实际应用。
多元函数偏导有很多实际应用，其中最常见的是机器学习方面。
在机器学习中，多元函数偏导用来估算机器学习中各个参数之间的相关性，从而更好的去优化机器学习的模型，使之更加准确。
多元函数偏导还可以用在深度学习中，来估算深度学习中各节点之间的关系，以便更好的优化深度学习的模型。
此外，多元函数偏导也可以用在金融领域，如风险分析、资产定价等，以及地理空间分析等领域中。
总而言之，多元函数偏导是衡量多维函数沿某一方向变化率的数量，它的计算方法基于inner product的张量calculus的偏导，它的应用涉及机器学习和深度学习等领域，以及金融领域和地理空间分析等领域。
二阶偏导数公式详解性质及公式是什么
二阶偏导数公式详解性质及公式是什么一、二阶偏导数的定义对于一个二元函数f(x,y)，它的二阶偏导数可以通过以下的定义给出：∂²f/∂x²=(∂/∂x)(∂f/∂x)∂²f/∂y²=(∂/∂y)(∂f/∂y)∂²f/∂x∂y=(∂/∂x)(∂f/∂y)∂²f/∂y∂x=(∂/∂y)(∂f/∂x)其中，∂/∂x表示对x进行偏导，∂/∂y表示对y进行偏导，∂f/∂x表示函数f对x的一阶偏导数，∂f/∂y表示函数f对y的一阶偏导数。
二阶偏导数即为一阶偏导数的偏导数。
二、计算方法我们可以通过对一阶偏导数求导得到二阶偏导数。
如果函数f(x,y)连续且具有二阶连续偏导数，则有以下计算公式：∂²f/∂x²=(∂/∂x)(∂f/∂x)∂²f/∂y²=(∂/∂y)(∂f/∂y)∂²f/∂x∂y=(∂/∂x)(∂f/∂y)∂²f/∂y∂x=(∂/∂y)(∂f/∂x)其中，求二阶偏导数时的求导操作与求一阶偏导数的操作相同。
需要注意的是，∂²f/∂x∂y和∂²f/∂y∂x应该相等，这是因为偏导数的次序并不影响结果。
三、性质及公式1. 黑塞矩阵（Hessian Matrix）：对于一个多元函数f(x1,x2, ..., xn)，它的二阶偏导数可以构成一个矩阵，称为黑塞矩阵。
黑塞矩阵H(f)的第i,j个元素为∂²f/∂xi∂xj。
黑塞矩阵可以用于研究函数的凸凹性质。
如果黑塞矩阵的所有特征值都大于0，则函数f是凸函数；如果黑塞矩阵的所有顺序主子式（即从左上角开始的连续k行k列的子矩阵行列式）都大于0，则函数f的局部极小值点。
2.混合偏导数的对称性：函数f(x,y)具有连续的混合偏导数∂²f/∂x∂y 和∂²f/∂y∂x，则有∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x。
二级偏导数公式
二级偏导数公式二级偏导数是微积分中的一个重要概念，它在多元函数的求导过程中扮演着重要的角色。
通过求取二级偏导数，我们可以了解函数在不同方向上的变化率，从而更好地理解函数的性质和特点。
我们来回顾一下一元函数的导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点处的变化率，即函数值随着自变量的微小变化而产生的变化。
而对于多元函数，由于存在多个自变量，所以就需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点处在特定自变量方向上的变化率。
对于二元函数而言，它有两个自变量，所以存在两个偏导数。
我们用∂f/∂x 表示函数f对自变量x的偏导数，用∂f/∂y表示函数f对自变量y的偏导数。
这两个偏导数分别表示函数f在x方向和y方向上的变化率。
而二级偏导数则是对一级偏导数再次求导。
在二元函数中，我们可以通过求取一级偏导数的偏导数来得到二级偏导数。
二级偏导数的求取可以帮助我们更全面地了解函数的性质。
具体地说，对于二元函数f(x, y)，我们可以先求取它对x的一级偏导数，即∂f/∂x。
然后再对∂f/∂x关于x进行求导，即求取它的偏导数。
这就是二级偏导数∂²f/∂x²。
同理，我们还可以求取∂f/∂y的一级偏导数，即∂²f/∂y²。
而对于∂f/∂x和∂f/∂y的混合偏导数，我们可以先求取其中一个的一级偏导数，再对它进行另一个自变量的求导，即求取二级偏导数。
通过求取二级偏导数，我们可以获得更多有关函数的信息。
比如，二级偏导数可以帮助我们判断函数的凹凸性质。
如果二级偏导数为正，那么函数在该点附近是凸的；如果二级偏导数为负，那么函数在该点附近是凹的。
此外，二级偏导数还可以帮助我们求取函数的极值点，从而找到函数的最大值或最小值。
二级偏导数在多元函数的求导过程中起着重要的作用。
它可以帮助我们更全面地了解函数的性质和特点，从而更好地应用于实际问题的求解中。
无论是在物理学、经济学还是工程学等领域，二级偏导数都具有广泛的应用价值。
多元函数的偏导数
z 解 因为 2 x sin 2 y, x
所以
dz 2x sin(2 y)dx 2x2 cos(2 y)dy
2
例3 求函数 z 1 x 解 因为
y 2 4 的全微分 dz
z 2 x x x 2 1 x 2 1 x2
2 zy x 2y 4 z yy 2 x 2y
z yx
2
x 2y
2
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
2
解
ze
x2 y
z x2 y e 2 xy x 2 z x2 y 2 2 x2 y e 4 x y 2 ye 2 x
z x2 y e x2 y 2 z 4 x2 y x e 2 y
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
偏导数的定义
设函数 若
x 0
lim
z f x, y 在点 x0 , y0 的某一邻域内有定义， f x0 x, y0 f x0 , y0
函数
偏导数的定义
对一元函数：
导数
f x0 x f x0 f x0 lim x 0 x
y f x
描述了函数在
x x0 处的瞬时变化率，
0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
0
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题， 以二元函数
所以
z 2y y x 2 y 2 4 y2 4 x y dz dx dy 1 x2 y2 4
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x2 y 2 , xy 2 2 例.f ( x, y ) x y 0, 求f xy (0,0)和f yx (0,0).
x y 0
2 2
,
x y 0
2 2
x4 y 4 4x2 y 2 2 2 , x y 0 f ( x, y ) y 2 2 2 解： (x y ) x 2 2 0, x y 0 f x (0, y ) f x (0, 0) y f yx (0, 0) lim lim 1. x0 x0 y y
(1,2)
1 . 2
例.f ( x, y ) x e
2
y
y ( x 1) arctan , 求f x (1, 0). x
2
(1,0) 2. 解法一: f ( x,0) x , 所以f x
解法二: y y f x ( x, y ) 2 xe arctan ( x 1) x
Review
极限与连续 判断函数在一点没有极限的方法 连续函数在有界闭集上的性质 极限与累次极限 连续与分别连续
§2. 多元函数的偏导数
1.偏导数
Def. 设f ( x, y )在P 0 ( x0 , y0 )的某个邻域中有定义, 固定y y0 ,将f ( x, y0 )看作x的一元函数,并在x0 求导数,即
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim . x 0 x
若这个导数存在,则称之为f ( x, y)在P 的 0关于x
f ( x0 , y0 ) f 偏导数, 记作 ,或 x x
( x0 , y0 )等. ( x0 , y0 ). 或f x 同样可以定义f y
Question: 要求f xx(0,0),是否必须计算出f x ( x, y)? Re mark: 混合偏导数一般情况下与求导顺序有关.
, f yx 同时在( x0 , y0 )连续, 则 Thm. 若f xy ( x0 , y0 ) f yx ( x0 , y0 ). f xy
1 z 例. z f ( xy) yf ( x y), 求 . x xy z 解: f ( xy ) f ( x y) yf ( x y ) y
2
z z xy x y yf ( xy) f ( x y) yf ( x y).
z 2 2 例 : z f ( x, y), x 2 y, f ( x, x ) 1, 求f ( x, y). y z 2 解:由 x 2 y, 将x看成常数,两边对y积分, 得 y 2 z f ( x, y ) x 2 y dy
x y y g ( x),
(0,0) 例:f ( x, y) x 2 y 2 在原点连续,但f x (0,0), f y
f ( x,0) f (0,0) x2 事实上,lim lim 与 都不存在. x0 x 0 x x
y2 f (0, y) f (0,0) lim lim 都不存在. y 0 y 0 y y
y x2 2 y 1 x y y (1 x) y 2 xe arctan 2 . 2 x x y (1,0) 2. 所以f x
Remark: 求具体点处的偏导数时,第一种方法较好.
Remark: 多元函数偏导数存在与连续性互不蕴含.
1 y x 2 , x 0 例:设f ( x, y ) ,则f ( x, 0) f (0, y ) 0, 0 其它情形 (0, 0) 0,但f 在(0, 0)不连续. f x (0, 0) f y
2)求分段函数的偏导函数时,用定义求分界点 处的偏导数,用 1)中方法求其它点处的偏导数. 一般地,分段函数的偏导函数仍为分段函数.
1 2 2 2 ( x y ) sin x y 0 2 2 x y 例.设f ( x, y) 2 2 0 x y 0 ( x, y). 求f x 1 2 x sin 2 x 0. (0, 0) lim 解：x 2 y 2 0时,f x x 0 x x2 y 2 0时, 1 ( x, y ) 2( x y ) sin 2 fx x y2 2 x( x y ) 2 1 cos 2 . 2 2 2 2 x y x y
f xx f f f f , f yy 2 2 x x x y y y
2 2
而 分别为f 关于x的二阶偏导数, f 关于y的二 f xy , f yx xy x y yx y x 为f 关于x, y的二阶混合偏导数.
x4 y 4 4x2 y 2 2 2 , x y 0, f ( x, y ) x 2 2 2 (x y ) y 2 2 0, x y 0, ( x, 0) f y (0, 0) fy x lim 1. f xy (0, 0) lim x 0 x x0 x
x y f 例. 设f ( x, y) arctan ,求 1 xy x
f ( x, y) 解: x 1 x y 1 1 xy
2
2
.
(1,2)
1 xy y( x y)
1 xy
2
1 (1 x ). f 令x 1, y 2, 得到 x
f ,或 x ( x0 , y0 )
,
P 0
Remark: 偏导数的几何意义.
Remark: 视( x0 , y0 )为变量,则得到偏导函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 和 . x y
Remark: 1)对某个变量求偏导数时,视其余变 量为常数,按一元函数求导法则和公式去求.
2 2
其中g ( x)为待定函数. 由f ( x, x ) 1, 有
2
g ( x) 1 2 x 4 2 2 4 f ( x, y) 1 x y y 2x
2.高阶偏导数
(x , y )为x , y 的二元函数,考虑它们的虑 视f x ( x, y ), f y 它们的偏导数,即高阶偏导数.例如,
作业: P63 No. 2, 3(4)(6)(7), 4(1)(5)(6)