第四节 多元复合函数的求导法则
9-4多元复合函数的求导法则
应点t 可导，且其导数可用下列公式计算： dz z du z dv ． dt u dt v dt
2019年9月7日星期六
3
注：公式记忆方法
z f (u,v) u (t) v (t)
复合关系图：
u
z
t
Q du d(xy) ydx xdy, dv d(x y) dx dy
dz (eu sin v y eu cos v)dx (eu sin v x eu cos v)dy eu (sin v y cos v)dx eu (sin v x cos v)dy exy[ y sin(x y) cos(x y)dx exy[x sin(x y) cos(x y)]dy
f11 xyf12;
u()
x
f
y
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
v()
z
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
中的 y 看作不变而对x 中的u 及 y 看作不 f
的偏导数
变而对x 的偏导数
x
(复合后的偏导数) (复合前的偏导数)
2019年9月7日星期六
11
特殊地 z f (u, x, y) ，其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y],
z f u f x u x x
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
高数第四节-多元复合函数的求导法则
u
x
F (x , y)
z
v
y
定理 2 ：设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点 ( x , y ) 偏
导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点 ( u , v ) 处具有连续
偏导数，则复合函数 z = f [ ( x , y ) , ( x , y ) ] 在点
zx , zxx , z xy.
解：令 v = x y , 则 z u v , u (x , y) , v x y
u
y
z
v
x
z z u z v u y
x u x v x x
2z xy
{
u x
y
}
' y
1
2u , xy
2z x2
2u x2
例6：设 z y 2 ( x y) , 为可微函数，求证
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz , 则 w f (u,v),
2w xz
f1 z
( yf2
yz f2), z
u
x
f1 f1(u, v), f2 f2(u, v), w
v
y z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
第四节：多元复合函数的求导法则
设 y f (u) , u (x) , 则 y f [ ( x) ] ,
d y d y du dx du dx
dy
du
du
y
u dx
x
dy
dx
设 z f ( u, v ) , u (x , y) , v (x , y) ,
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复合求导
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) x y zx y z w f2 yz x y z f 2 ( x y z, x y z ) 2w f12 x y f 22 x y x z 2 f z f y f 2 f f11 ,y引入记号 x ( x z ) f12 f y ,22f 2 , 为简便起见 1 12 u u v
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
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例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
d (x y)
( yd x xd y)
d ( x y) (dx d y ) dy
u u x
2
2 u 2 sin cos u sin r r r2
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2u x2
同理可得
u 2 sin cos u sin 2 2 r r r
高等数学 第四节 多元复合函数的求导法则
11
例 4 . 已知 e
−xy
∂z ∂z − 2z + e = 0 , 求 . 和 ∂x ∂y
z
解 . Q d (e − x y − 2 z + e z ) = 0 , ∴ e − x y d (− x y ) − 2 d z + e z d z = 0 ,
− e − xy ( x d y + y d x) = ( 2 − e z ) dz
dz=
− y e−xy (2−e )
z
dx+
− x e−xy (2−e )
z
dy
∴
∂ z y e−xy = z , ∂x e −2
∂ z x e−xy = z . ∂y e −2
12
复合函数的高阶偏导数
∂2z 2 2 2 例5 . 设 z = f ( x y , x − y ) , f ∈ C , 求 . ∂x∂y
= f x ⋅ x ′( t ) + f y ⋅ y ′( t ) + 0 ⋅ x ′ 2 + y ′ 2
即
du = f x ⋅ x′(t ) + f y ⋅ y′(t ) . dt
2
x = x (t ) 推广 . 对于 u = f ( x , y , z ) , y = y ( t ) , z = z (t ) f 可微, x(t ) , y(t ) , z(t ) 可导.
∂z ∂z 求 , . ∂x ∂y ∂z ′ 解. = f1′ ⋅ u x + f 2 ∂x
第四节多元复合函数的求导法则
第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。
在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。
多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。
根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。
例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。
根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。
3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。
偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。
同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。
总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。
通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。
在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。
这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。
四节多元复合函数求导法则市公开课金奖市赛课一等奖课件
例1 设z eu sin v，u x y，v xy，求：z ，z . x y
解： 由复合函数求导法则得
z z u z v x u x v x
= eu sin v 1 + eu cos v y
eu (sin v y cos v) ex y[sin(xy) y cos(xy)]
z z u z v y u y v y
=
u
2
1
2
u
2
第30页
再求二阶偏导数，得
2u x2
(u ) x x
(这里 u 仍为x, y的复合函数) x
=
u x
x
+
u x
x
u
cos
u
sin
cos
u
cos
u
sin
(
sin
)
第31页
u
cos
u
sin
=
2u cos 2
[ 2u
sin
u
(
sin 2
)
]
u
cos
u
在点(x,y)两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： z z u z v z w （5） x u x v x w x z z u z v z w （6） y u y v y w y
第12页
求下列函数复合函数导数或偏导数
(1) z f (u, v), u (x, y), v ( y) (2) z f (u, v,t), u (t), v (t) (3) z f (u, x, y), u (x, y)
2x cos t 2 y sin t
2sin t cos t 2 cos t sin t
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第四节 多元复合函数的求导法则要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。
重点：各种类型复合函数的求导与计算。
难点：抽象函数的二阶偏导数计算。
作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13一．多个中间变量，一个自变量情况定理1 如果函数()u t ϕ=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ϕψ=在点t 可导，且其导数公式为dz z du z dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂ （全导数） 证明 设t 有增量t ∆，相应函数()u t ϕ=及()v t ψ=的增量为,u v ∆∆，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ∆．又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f fz u v u v u vεε∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂ 这里，当0,0u v ∆→∆→时，120,0εε→→，上式除以t ∆得12z f u f v u vt u t v t t tεε∆∂∆∂∆∆∆=+++∆∂∆∂∆∆∆． 当0t ∆→时，0,0u v ∆→∆→，,u du v dvt dt t dt∆∆→→∆∆， 所以 0lim t dz z f du f dvdt t u dt v dt∆→∆∂∂==+∆∂∂，即 dz f du f dv z du z dvdt u dt v dt u dt v dt ∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ∂∂=+∂∂从形式上看是全微分z zdz du dv u v ∂∂=+∂∂两端除以dt 得到的，常将dzdt称为全导数．推论 若),,(w v u f z =，()u t ϕ=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数[](),(),()z f t t w t ϕψ=满足定理条件，则有全导数公式dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt∂∂∂=++∂∂∂ 例1．设函数yx u =，而tx e =，sin y t =，求全导数dtdu ．解dt du u dx u dyx dt y dt∂∂=+∂∂1sin ln cos (sin cos )y t y t t yx e x x t e t t t -=+=+． 二．多个中间变量，多个自变量情况定理2 若(,)u x y ϕ=及(,)v x y ψ=在点),(y x 具有偏导数，而函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=在点),(y x 两个偏导数存在，且有公式xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂； yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例2．设函数vu z =，而223y x u +=，y x v 24+=，求yz x z ∂∂∂∂,． 解16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x-∂∂∂∂∂=+=+⋅∂∂∂∂∂ 224212242226(42)(3)4(3)ln(3)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++u u y vu yv v z y u u z y z v v ln 221+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂- 224212242222(42)(3)2(3)ln(3)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++．注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：首先从自变量z 向中间变量,u v 画两个分枝，然后再分别从,u v 向自变量,x y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求z x ∂∂（z y∂∂）时，我们只要把从z 到x （y ）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，（y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂） 推论1. 设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，),(y x w w =在点),(y x 有偏导数，而函数),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 偏导数连续，则复合函数[](,),(,),(,)z f x y x y w x y ϕψ=在点),(y x 的两个偏导数存在，且有公式x w w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yww z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂．推论2. 设函数),(y x u ϕ=具有偏导数，而函数),,(y x u f z =可微，则复合函数],),,([y x y x f z ϕ=在点),(y x 偏导数存在，且有公式xfx u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yf y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂． 注意x z ∂∂与xf ∂∂区别: x z∂∂是把函数[](,),,f x y x y ϕ中的y 看成常数，对x 求偏导， xf∂∂是把),,(y x u f 中y u ,看常数，对x 求偏导． 前者是复合后对x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数．例3．设函数222),,(z y xe z y xf u ++==，而y x z sin 2=，求x u ∂∂和yu ∂∂． 解y x ze xe xzz f x f x u z y x z y x sin 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2+++=y x ze ye yzz f y f y u z y x z y x cos 222222222⋅+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂++++ yx y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=．例4．设函数t uv z sin +=，而te u =，t v cos =求全导数dtdz ． 解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂= t t u ve tcos )sin (+-+=t t t e tcos )sin (cos +-=． 例5．设抽象函数),(22xye y xf z -=，其中f 偏导数连续，求yz x z ∂∂∂∂,． 解xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，其中22y x u -=，xye v =， 212122f ye f x xe f x f xy xy'+'=⋅'+⋅'=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1212(2)2xy xyf y f xe yf xe f ''''=⋅-+⋅=-+其中u v u f u z f ∂∂=∂∂='),(1，vv u f v z f ∂∂=∂∂='),(2．三．复合函数的二阶偏导数若函数),(v u f z =，(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=二阶偏导数连续，则复合函数[](,),(,)z f x y x y ϕψ=存在二阶偏导数．记号2211u z f ∂∂=''，v u z f ∂∂∂=''212，u v z f ∂∂∂=''221，2222vz f ∂∂=''． 例6．设复合函数),32(yxy x f z +=，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2． 解2112f yf x v v z x u u z x z '+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)12(212f y f y y x z '+'∂∂=∂∂∂)1(221f y y y f '∂∂+∂'∂= ))(3(11))(3(222222221211yxf f y f y y x f f -''+⋅''+'--''+⋅''= 22122223111236f y f y x y f y x f '-''-+''-''=． 练习题 设函数2(,)yz f x y x =，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2．（y x z ∂∂∂23'1122122132122y x yf f yf f xf x x'''''''=-+-+） 复合函数求偏导数步骤：（1）搞清复合关系——画出复合关系图；（2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量．例7.设复合函数),(xyz z y x f w ++=，且f 具有二阶连续偏导数，求x w ∂∂，zx w∂∂∂2．解21f yz f xw'+'=∂∂)(2221212112xy f f yz f y f xy f z x w''+''+'+''+''=∂∂∂ 22122211)(f y f yz xy f z xy f '+''++''+''=． 例8.设函数),(y x f u =的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形式（1） 22)()(y u x u ∂∂+∂∂；（2） 2222yux u ∂∂+∂∂解 （1）直角坐标与极坐标关系θcos r x =，θsin r y =，则(,)(cos ,sin )(,)u f x y f r r F r θθθ====记这里(,)u f x y =看作由函数(,)u F r θ=及22y x r +=，xyarctan =θ，复合而成的复合函数，按复合函数求导公式，得x u x r r u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθru r u θθθsin cos ∂∂-∂∂=， 其中θθcos cos 22==+=∂∂r r y x x xr；r y x y xy x y x θθsin 1222222-=+-=+-=∂∂， 同理y u y r r u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθcos sin u u r rθθθ∂∂=+∂∂， 其中θθsin sin 22==+=∂∂r r y x y yr ；r y x x xy x y θθcos 112222=+=+=∂∂， 上边两式平方后相加，得 22222)(1)()()(θ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ur r u y u x u ． （2）y y u y r y u r yu ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂θθ)()(22 rr u r u r u r u r θθθθθθθθθcos )cos sin (sin )cos sin (∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=θθθθθθsin )cos cos sin (2222r u r r u r u ∂∂-∂∂∂+∂∂= 222cos sin cos (sin cos )u u u u r r r r rθθθθθθθθ∂∂∂∂++-+∂∂∂∂∂ r r u ru r u r r u r u θθθθθθθθθθ2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin ∂∂+∂∂-∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理r r u ru r u r r u r u x u θθθθθθθθθθ222222222222sin cos sin 2sin cos sin 2cos ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 上边两式相加得22222222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ur r u r r u y u x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂=222))((1θu r u r r r r四．全微分形式不变形设函数),(v u f z =具有连续偏导数，则全微分dv vzdu u z dz ∂∂+∂∂=， 若函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=有连续偏导数，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ= 的全微分为dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=dy yvv z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= )()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vzdu u z ∂∂+∂∂=． 可见无论z 是自变量y x ,的函数或中间变量v u ,的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性．例9.利用全微分形式不变性求微分)sin (v e d dz u=，其中xy u =，y x v +=．解 因为vdv e vdu e v e d dz uu u cos sin )sin (+== 又因为 xdy ydx xy d du +==)(，dy dx y x d dv +=+=)(，所以 sin ()cos ()u udz e v ydx xdy e v dx dy =⋅+++(sin cos )(sin cos )u u u u e v y e v dx e v x e v dy =⋅++⋅+dy y x y x x e dx y x y x y e xyxy))cos()sin(())cos()sin((+++++++=若先求出(sin()cos())xy ze y x y x y x∂=+++∂，(sin()cos())xy z e x x y x y y ∂=+++∂代入公式dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=得结果完全一样． 思考题1． 如何求复合函数的偏导数？需要注意什么问题？。