7(4)多元复合函数的求导法则
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多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
7-4 多元复合函数求导
多元复合函数的高阶导数 注意： 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号. 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号 高阶导数求导技巧与常用导数符号
例. 设
f 具有二阶连续偏导数 具有二阶连续偏导数,
所以 例1 . z = sinucos v, u = x y, v = x y , 求 ∂z , ∂z . ∂x ∂y
例
都可微， 设函数 z = f ( u, x , y ), u = ϕ ( x , y ) 都可微，
求复合函数 z = f (ϕ ( x , y ), x , y), u = ϕ ( x , y ) 的偏导数 .
∂z dz ∂u = ⋅ , 有公式(2) 则有公式 ∂ x du ∂x
∂z dz ∂u = ⋅ ∂ y du ∂y
又如 z = f ( u, v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ), w = τ ( x , y )
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v ∂z ∂w , = ⋅ + + ⋅ 则有公式(3) 则有公式 ∂ x ∂u ∂x ∂ v ∂ x ∂w ∂ x
解: dz = d(sin ucos v)
+ sinudcos v
= cos(xy)cos x ( ydx + xdy)
y
= [ y cos( xy ) cos x -yx
y
y −1
sin( xy )sinx ]dx
y
+ [ x cos( xy ) cos x y -x y lnxsin( xy )sinx y ]dy
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数的求导法则
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
eusin v x eucos v 1exy[x sin(xy)cos(xy)]
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设zf(u v) u(t) v(t) 则 dz z du z dv
dt u dt v dt
设zf(u v) u(x y) v(x y) 则
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uv
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例5 设uf(x y)具有连续的偏导数 把 ( u )2 ( u )2转换成
x y
极坐标系中的形式 解 uf(x y)f(cos sin)F( )
其中 xcosθ ysinθ x2 y 2 arctan y x
v et u (sin t) cos t etcos tetsin tcos t et(cos tsin t)cos t
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例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数
2w w 求 及 x xz
解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
而 zx sin y 求
2ze x
2
2
2
u u 和 x y
解 u f f z 2xex 解
2
y2 z2
y2 z2
2x sin y
多元复合函数求导的链式法则
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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主讲人： 苏本堂
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
高等数学
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
多元复合函数关系图与求导法则
z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法 则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情 形
• 多个自变量的情 形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法 则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法 则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
多元复合函数的求导法则
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
4
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂f x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2 ⋅ 2 xsin y = 2xe +2ze = ∂x 2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 x (1+ 2 x sin y) e ∂u ∂ f ∂ f ∂z x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y = + ⋅ = 2ye +2ze ∂y ∂y ∂z ∂y 4 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 ( y + x sin y cos y ) e 为中间变量时, 注:变量 x, y既是中间变量最终变量,当视 x, y 的函数 x, y, z 是独立的, 当视 x, y 最终变量时, z是 x, y ∂u ∂ f x, y, z 不是独立的. 故 与 在这里含义不同. ∂x ∂x ∂ f 是视 x, y为中间变量求导,故对 u求导时 x, y, z 是独立的,故
中间变量到达它就有几项之和);每一项都是对中间变量的 偏导数与该中间变量对自变量的导数之积.
例4. 设 z = f (cos e
解: 令 u = cos e
x+2 y
)
∂z ∂z ∂2 z 求 , ∂x ∂y ∂x∂y
z
u
x+2 y
x
y
∂z dz ∂u ' x+2 y x+2 y x+2 y = = f (cos e )(−sin e )e ∂x du ∂x ∂z dz ∂u ' x+2 y (−sin ex+2 y )ex+2 y 2 = = f (cos e ) ∂y du ∂y ∂2 z ∂ ∂z ∂ ' x+2 y x+2 y x+2 y = ( − f (cos e )sin e e ) = ∂x∂y ∂y ∂x ∂y '' x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y = [− f (cos e )(−sin e )e 2]sin e e
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12
多元复合函数的求导法则
三、全微分形式不变性
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数, 则有 z z 全微分 dz du dv; u v 当u ( x , y ), v ( x , y )时, 则有全微分 z z dz dx dy , x y z vv v z z zu u u z z vu dx dy dx dy y ux u y v v y x u v xy x z z du d v . u v
z z u z v z z u z v z , . x u x v x y u y v y
u x v y
8
多元复合函数的求导法则
4. z f [u, v, w)], u ( x, y), v ( x, y), w ( x, y )
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), x y xy y x yx
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
16
多元复合函数的求导法则
11
多元复合函数的求导法则
思考题解答
f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z )
k f ( tx , ty , tz ) t f ( x, y, z ) 令 u tx , v ty , w tz , 则
k f ( u , v , w ) t f ( x , y , z ), 两边对t求导,得 f u f v f w kt k 1 f ( x , y , z ) u t v t w t f f f t kt k 1 f ( x , y , z ) t x t y t z u v w k t k f ( x , y , z ) kf ( u, v , w ) f f f z) u kf (x u, y v, w x y v w z y z v u w x f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z
xy yx
21
多元复合函数的求导法则
多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微 分方程. 偏微分方程是描述自然现象、反映自然 规律的一种重要手段. 例如方程
z 2 z 2 a y x 2
2 2
(a是常数)称为波动方程, 它可用来描述各类波的 运动. 又如方程 2 2 z z 2 2 0 x y 称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体 运动等问题中有着重要的作用.
而对于二元函数
z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
z z 如何求 , x y
定理: 如果u ( x , y )及v ( x , y )都在点 ( x , y )
具有对 x和y的偏导数 , 且函数z f ( u, v )在对
应点( u, v ) 具有连续偏导数, 则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在对应点( x , y )的两个
偏导数存在, 且可用下列公式计算
z z u z v (*) , x u x v x
z z u z v . y u y v y
x u x x y u y y
u
x y
9
多元复合函数的求导法则
例2. 设 求
ue
x2 y 2 z 2
, z x sin y
2
u u , . x y
y 例3. 设 z f xy , , f 有连续偏导, x
多元复合函数的求导法则 3
当( x , y ) (0,0)时, 按定义得 f (0 x ,0) f (0,0) 0 lim 0 f x (0,0) lim x 0 x 0 x x f (0,0 y ) f (0,0) 0 lim lim 0 f y ( 0 ,0 ) y 0 y 0 y y f x (0,0 y ) f x (0,0) f x y (0,0) lim 0, y 0 y f y (0 x ,0) f y (0,0) f y x(0,0) lim 1. x 0 x
通过全微分求所有一阶偏导数,比链 导法则求偏导数有时会显得灵活方便.
15
多元复合函数的求导法则
四、高阶偏导数和高阶全微分
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z z 2 f xx ( x , y ), x x x
2 z z 2 f yy ( x , y ) y y y
3
多元复合函数的求导法则
注意:
1. (*)式中两边z的含义不同, 左边的z表示已经复合的函数, 右边的z表示还没有复合的函数, 2. (*)式两边都在点 ( x, y ) 取值.
4
多元复合函数的求导法则
分量原则
问:
项数
每一项
函数对某自变量的偏导数之结构
中间变量 的个数.
函数对中间变量的偏导数
z z u z v z w x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
z
u v w
x
y
5. z f (u, x, y), u ( x, y) z z u z z z u z z
求
z z , x y
10
多元复合函数的求导法则
设f ( x , y , z )是k次齐次函数 ,即 例4 k f ( tx , ty , tz ) t f ( x , y , z ), 为某一常数, 则结论
正确的是( C ). f f f ( A) x y z k f ( x , y , z ); x y z f f f ( B ) x y z k f ( x , y , z ); x y z f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z f f f ( D ) x y z f ( x , y , z ). x y z
引入记号: 设 z f u, v , 记
z z f1 , f 2 , u v
z z z z , , , 2 f 22 f11 f12 f 21 2 u uv vu v
2 2 2 2
17
多元复合函数的求导法则
18
多元复合函数的求导法则
x3 y 例 设 f ( x , y ) x 2 y 2 当( x , y ) (0,0), 当( x , y ) (0,0). 0
求f xy (0,0)和f yx (0,0)
解 当( x , y ) (0,0)时, 有 3 x 2 y( x 2 y 2 ) x 3 y 2 x f x ( x, y) ( x 2 y 2 )2 3 x2 y 2 x4 y 2 2 2 2 2, x y (x y )
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
5
多元复合函数的求导法则
z f [ ( x, y ), ( x, y )]
u
网络图
u
v
z
x
网络图原则
v
y
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
3 2 求 z x y xy 的四个二阶偏导数. 例 2 z z 2 解 3 x 2 y 2 y, 6 xy , 2 x x 2z 6 x 2 y 1; xy 2 z z 3 2 x 3 y x, 2 x , 2 y y 2z 6 x 2 y 1. yx
全 微 分 形 式 不 变 性 的 实 质
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多元复合函数的求导法则
引入记号: 设 z f u, v , 记
z z f1 , f 2 u v
14
多元复合函数的求导法则
例6. 设 求
u f ( x y , e , z)
2 2 xy
u u u , , . x y z
第四节
多元复合函数的 求导法则
复合函数的求导法则
全微分形式不变性 高阶偏导数与高阶微分 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
多元复合函数的求导法则
一、复合函数的求导法则(链导法则)
回忆: 对于一元函数 有
y f (u ), u ( x), dy dy du dx du dx
x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2. x y (x y )
19
x y 2 当( x , y ) (0,0), 2 设 f ( x, y) x y 求f xy (0,0)和f xy (0,0). 当( x , y ) (0,0). 0
6
多元复合函数的求导法则
例1. 设 求
z ln u v , 而 u e
2
x y2
, v x2 y
z z , x y
7
多元复合函数的求导法则
二. 介绍”网络图”
1. z f (u, v), u (t ), v (t )
dz z du z dv . dt u dt v dt
全导数
z
u v
t
u v w
2. z f (u, v, w), u u (t ), v v(t ), w w(t )
多元复合函数的求导法则
三、全微分形式不变性
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数, 则有 z z 全微分 dz du dv; u v 当u ( x , y ), v ( x , y )时, 则有全微分 z z dz dx dy , x y z vv v z z zu u u z z vu dx dy dx dy y ux u y v v y x u v xy x z z du d v . u v
z z u z v z z u z v z , . x u x v x y u y v y
u x v y
8
多元复合函数的求导法则
4. z f [u, v, w)], u ( x, y), v ( x, y), w ( x, y )
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), x y xy y x yx
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
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多元复合函数的求导法则
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多元复合函数的求导法则
思考题解答
f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z )
k f ( tx , ty , tz ) t f ( x, y, z ) 令 u tx , v ty , w tz , 则
k f ( u , v , w ) t f ( x , y , z ), 两边对t求导,得 f u f v f w kt k 1 f ( x , y , z ) u t v t w t f f f t kt k 1 f ( x , y , z ) t x t y t z u v w k t k f ( x , y , z ) kf ( u, v , w ) f f f z) u kf (x u, y v, w x y v w z y z v u w x f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z
xy yx
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多元复合函数的求导法则
多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微 分方程. 偏微分方程是描述自然现象、反映自然 规律的一种重要手段. 例如方程
z 2 z 2 a y x 2
2 2
(a是常数)称为波动方程, 它可用来描述各类波的 运动. 又如方程 2 2 z z 2 2 0 x y 称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体 运动等问题中有着重要的作用.
而对于二元函数
z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
z z 如何求 , x y
定理: 如果u ( x , y )及v ( x , y )都在点 ( x , y )
具有对 x和y的偏导数 , 且函数z f ( u, v )在对
应点( u, v ) 具有连续偏导数, 则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在对应点( x , y )的两个
偏导数存在, 且可用下列公式计算
z z u z v (*) , x u x v x
z z u z v . y u y v y
x u x x y u y y
u
x y
9
多元复合函数的求导法则
例2. 设 求
ue
x2 y 2 z 2
, z x sin y
2
u u , . x y
y 例3. 设 z f xy , , f 有连续偏导, x
多元复合函数的求导法则 3
当( x , y ) (0,0)时, 按定义得 f (0 x ,0) f (0,0) 0 lim 0 f x (0,0) lim x 0 x 0 x x f (0,0 y ) f (0,0) 0 lim lim 0 f y ( 0 ,0 ) y 0 y 0 y y f x (0,0 y ) f x (0,0) f x y (0,0) lim 0, y 0 y f y (0 x ,0) f y (0,0) f y x(0,0) lim 1. x 0 x
通过全微分求所有一阶偏导数,比链 导法则求偏导数有时会显得灵活方便.
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多元复合函数的求导法则
四、高阶偏导数和高阶全微分
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z z 2 f xx ( x , y ), x x x
2 z z 2 f yy ( x , y ) y y y
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多元复合函数的求导法则
注意:
1. (*)式中两边z的含义不同, 左边的z表示已经复合的函数, 右边的z表示还没有复合的函数, 2. (*)式两边都在点 ( x, y ) 取值.
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多元复合函数的求导法则
分量原则
问:
项数
每一项
函数对某自变量的偏导数之结构
中间变量 的个数.
函数对中间变量的偏导数
z z u z v z w x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
z
u v w
x
y
5. z f (u, x, y), u ( x, y) z z u z z z u z z
求
z z , x y
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多元复合函数的求导法则
设f ( x , y , z )是k次齐次函数 ,即 例4 k f ( tx , ty , tz ) t f ( x , y , z ), 为某一常数, 则结论
正确的是( C ). f f f ( A) x y z k f ( x , y , z ); x y z f f f ( B ) x y z k f ( x , y , z ); x y z f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z f f f ( D ) x y z f ( x , y , z ). x y z
引入记号: 设 z f u, v , 记
z z f1 , f 2 , u v
z z z z , , , 2 f 22 f11 f12 f 21 2 u uv vu v
2 2 2 2
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多元复合函数的求导法则
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多元复合函数的求导法则
x3 y 例 设 f ( x , y ) x 2 y 2 当( x , y ) (0,0), 当( x , y ) (0,0). 0
求f xy (0,0)和f yx (0,0)
解 当( x , y ) (0,0)时, 有 3 x 2 y( x 2 y 2 ) x 3 y 2 x f x ( x, y) ( x 2 y 2 )2 3 x2 y 2 x4 y 2 2 2 2 2, x y (x y )
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
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多元复合函数的求导法则
z f [ ( x, y ), ( x, y )]
u
网络图
u
v
z
x
网络图原则
v
y
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
3 2 求 z x y xy 的四个二阶偏导数. 例 2 z z 2 解 3 x 2 y 2 y, 6 xy , 2 x x 2z 6 x 2 y 1; xy 2 z z 3 2 x 3 y x, 2 x , 2 y y 2z 6 x 2 y 1. yx
全 微 分 形 式 不 变 性 的 实 质
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多元复合函数的求导法则
引入记号: 设 z f u, v , 记
z z f1 , f 2 u v
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多元复合函数的求导法则
例6. 设 求
u f ( x y , e , z)
2 2 xy
u u u , , . x y z
第四节
多元复合函数的 求导法则
复合函数的求导法则
全微分形式不变性 高阶偏导数与高阶微分 小结 思考题 作业
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第八章 多元函数微分法及其应用
多元复合函数的求导法则
一、复合函数的求导法则(链导法则)
回忆: 对于一元函数 有
y f (u ), u ( x), dy dy du dx du dx
x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 2 2 2. x y (x y )
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x y 2 当( x , y ) (0,0), 2 设 f ( x, y) x y 求f xy (0,0)和f xy (0,0). 当( x , y ) (0,0). 0
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多元复合函数的求导法则
例1. 设 求
z ln u v , 而 u e
2
x y2
, v x2 y
z z , x y
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多元复合函数的求导法则
二. 介绍”网络图”
1. z f (u, v), u (t ), v (t )
dz z du z dv . dt u dt v dt
全导数
z
u v
t
u v w
2. z f (u, v, w), u u (t ), v v(t ), w w(t )