多元函数微分学--多元复合函数求导
多元复合函数求导公式
多元复合函数求导公式多元复合函数求导是微积分中的重要概念，它描述了函数之间的复合关系，并通过求导来研究函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常遇到多个函数相互关联的情况，而多元复合函数求导公式能够帮助我们求解这些问题。
在介绍多元复合函数求导公式之前，我们先来了解一下什么是多元复合函数。
多元复合函数是指由两个或多个函数通过复合运算构成的新函数。
例如，设有函数f(x)和g(x)，则复合函数h(x)可以表示为h(x) = f(g(x))。
对于多元复合函数求导公式，我们需要考虑两种情况：一是一元函数的复合，即函数中只有一个自变量；二是多元函数的复合，即函数中有多个自变量。
我们来看一元函数的复合情况。
设有函数y = f(u)，u = g(x)，则复合函数y = f(g(x))的导数可以通过链式法则来求解。
链式法则是指，如果一个函数是由两个函数复合而成的，那么它的导数等于内层函数对自变量的导数乘以外层函数对内层函数的导数。
具体来说，设y = f(u)，u = g(x)，则有：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数f(u)对u的导数，du/dx表示函数g(x)对x的导数。
通过这个公式，我们可以计算复合函数的导数。
接下来，我们来看多元函数的复合情况。
设有函数z = f(u, v)，u = g(x, y)，v = h(x, y)，则复合函数z = f(g(x, y), h(x, y))的偏导数可以通过偏导数的链式法则来求解。
偏导数的链式法则是指，如果一个函数是由两个函数复合而成的，那么它的偏导数等于内层函数对自变量的偏导数乘以外层函数对内层函数的偏导数，再对所有自变量求和。
具体来说，设z = f(u, v)，u = g(x, y)，v = h(x, y)，则有：∂z/∂x = (∂z/∂u * ∂u/∂x) + (∂z/∂v * ∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u * ∂u/∂y) + (∂z/∂v * ∂v/∂y)其中，∂z/∂u和∂z/∂v分别表示函数f(u, v)对u和v的偏导数，∂u/∂x、∂u/∂y、∂v/∂x和∂v/∂y分别表示函数g(x, y)和h(x, y)对自变量的偏导数。
多元复合函数的求导法则
分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件， 且有相应的导数或偏导数。 1、全导数 情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y
多元复合函数的求导法则
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.
多元复合函数关系图与求导法则
z
exy [ y sin(x y) cos(x y)]
v
y
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy [x sin(x y) cos(x y)]
多元复合函数的求导法 则
思考题. 设 u f x , y , 求 u , u , u .
一个自变量的情形
因变量z到自变量x的路径有：
z z
u.
x
z du u dx
v. x z dv v dx
du
相加得 dz dx
z u dx
u
z
dv
z
dx
v
v
x x
注 (1) “连线相乘，分线相加” (2) 外层函数可微，内层函数可导.
多元复合函数的求导法则
多个自变量的情形（两个为例）
定理2 设函数 u u x, y ，v v x, y 在点 x, y D 处可微
• 一个自变量的情 形
• 多个自变量的情 形
多元复合函数的求导法则
一个自变量的情形
定理1.若函数u x ,v x 在点 x 可导，z f u,v
在点 u,v 处可微，则复合函数z f x,x在点x可导
且有
dz z du z dv dx u dx v dx
( 全导数公式 )
多元复合函数的求导法 则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
ux zvy
w
多元复合函数的求导法 则
例1.设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
经济数学微积分多元复合函数的求导法则
v 1, w 0,
x
x
zf uf, x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
zf uf . y u y y
别 类 似
把 z f (u, x, y)
• 拟按照各自的消费行为建立各自的消费函数模 型
⒉ 农业居民的消费行为分析
• （讨论）
• 关于两种假设的检验：绝对收入假设和生命周期 假设。
• 两种假设导致不同的政策选择。
• 模型检验表明绝对收入假设可以用来描述我国农 业居民的消费行为。说明目前我国农民的消费仍 然由收入决定，所以欲启动农村消费市场以拉动 经济增长，必须研究如何提高农民的收入。
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
定理 2 推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
e x (1 x) . 1 x2e2x
四、 z x
2 xf 1
ye xy
f
2,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、 u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
x
y
z
六、 2 z x 2
f11
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z z uzdv x u x y uy vdy
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。
设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。
我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。
然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。
将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。
假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。
多元函数复合函数求导
多元函数复合函数求导引言在微积分中，我们经常遇到多元函数的复合函数求导。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，求导是求函数的变化率，也是微积分的核心概念之一。
本文将深入探讨多元函数复合函数求导的方法和应用。
复合函数的定义复合函数是指多个函数相互嵌套组合而成的新函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则复合函数可以表示为f(g(x))。
其中，g(x)的输出作为f(x)的输入。
复合函数可以简化表达式和计算过程，使问题更加具体化和可解。
复合函数求导的链式法则链式法则是求解复合函数导数的重要工具。
它通过将复合函数的导数与内外函数的导数相乘来计算复合函数的导数。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为dy/dx=f’(g(x)) * g’(x)。
其中，f’(u)和g’(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
链式法则可以简化复杂函数的求导过程，特别是在涉及多层次嵌套的复合函数中。
通过反复应用链式法则，我们可以逐层计算复合函数的导数，从而得到最终结果。
一阶偏导数与复合函数求导对于多元函数的复合函数，我们可以使用一阶偏导数来求导。
一阶偏导数是指将多元函数中的一个变量视为常数，对其他变量进行求导的过程。
设有函数z=f(x,y)和x=g(t)，y=h(t)，则复合函数z=f(g(t),h(t))可以求得偏导数∂z/∂t=∂f/∂x * ∂x/∂t + ∂f/∂y * ∂y/∂t。
其中，∂f/∂x，∂f/∂y，∂x/∂t和∂y/∂t分别表示对应函数的偏导数。
一阶偏导数可以用来计算复合函数在某一点的斜率和变化率。
它是求导的基础，为进一步求解高阶导数奠定了基础。
高阶导数与复合函数求导除了一阶偏导数，我们还可以使用高阶导数来求解复合函数的导数。
高阶导数是指对原函数多次求导的过程。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的高阶导数可以通过连续应用链式法则来计算。
微积分-多元函数部分(多元复合函数的求导法则、方向导数与梯度)
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
P
当f 不为零时，
都可定出一个向量f
i
f
j ，这向量称为函数
x y
z f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
gradf
( x,
y)
f x
i
f y
j.
设e
cosi
sin
j 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
f cos f sin .
x
y
20
例 1 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）
沿与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
例1. 设 z eu sin v , u x y , v x y
求 z . x
z
解： z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
uv x yx y
ex y[ y sin( x y) cos(x y)]
但z f (0 x,0) f (0,0) lim (x)2 lim x 不存在
x
x
x0 x
x0 x
类似:
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= f 2 4 xyf11 + 2( x 2 y 2 ) f12 + xyf 22
2w 例6. w = f ( x + y + z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数,求 xz w = f1 + yzf 2 x 2w = f11 + xyf12 + yf 2 + yz ( f 21 + xyf 22 ) xz
1 z 1 z 1 z ∴ + = = 2 x x y y yf y
二. 复合函数的高阶偏导数
2z 2 z 例5. z = f ( x y , xy), f 具有二阶连续偏导数,求 2 , x xy
2 2
z = f (u, v), u = x 2 y 2 , v = xy
z z u z v = + = 2 xf1 + yf 2 x u x v x
f1 = f u (u , v) 注意: f 2 = f v (u , v)
2z u v u v = 2 f1 + 2 x[ f11 + f12 ] + y[ f 21 + f 22 ] 2 x x x x x
= 2 f1 + 4 x 2 f11 + 4 xyf12 + y 2 f 22
2 z u v u v = 2 x[ f11 + f12 ] + f 2 + y[ f 21 + f 22 ] xy y y y y
dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx
z
u v w
x
u z v
x yБайду номын сангаас
(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]
定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )] 在 点(x,y)可偏导,且
z = f [ ( x, y ), x, y ] 对x的偏导数
z = f (u , x, y ) 对x的偏导数
注意符号的区别
例1. z = e sin v, u = xy, v = x + y,
u
解法一: 将 u,v 带入解出偏导数; 解法二: 用链导法:
z z , 求 x y
z z u z v = + = e u sin v y + eu cos v 1 x u x v x
z u z v z u z v ( + )dy = ( + )dx + u y v y u x v x z u u z v v = ( dx + dy ) + ( dx + dy ) u x y v x y
=
z z du + dv u v
全微分形式不变性
注:(1).利用全微分形式不变性可得出与一元函数类似的微分 法则; (2).可以利用全微分形式不变性及微分法则求微分和偏导数. 例如前面例1: 解法三: dz = d (e u sin v) = e u sin vdu + e u cos vdv
第三节 多元复合函数微分法
第三节 复合函数的微分法
一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:
(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]
dx du dx
推广
定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数
= f11 + ( x + z ) yf12 + yf 2 + xy 2 zf 22
三. 全微分形式不变性 z z z = f (u , v) : dz = du + dv u v 若 u = ( x, y ) v = ψ ( x, y ) 则对 z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )] : z z dz = dx + dy x y
2 x sin y + 2 xe y z z z = f ( ), f (u ) 可微,证明 x + y =0 例3. x x y z dz u 1 z dz u y = = f ′(u ) = = f ′(u ) ( 2 ) y du y x x du x x
z z ∴x + y =0 x y
2. s = f ( xy, yz, zx), 其中f有连续偏导数, 求ds
s = yf1 + zf 3 , x s = xf1 '+ zf 2 ' , y s = yf 2 '+ xf 3 ' , z ∴ ds = ( yf1 '+ zf 3 ' )dx + ( xf1 '+ zf 2 ' )dy + ( yf 2 '+ xf 3 ' )dz.
du = d ( xy ) = ydx + xdy dv = d ( x + y ) = dx + dy
= e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )]dx + e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )]dy
∴ z = e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )] x z = e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )] y
z z u z v = + x u x v x
z z u z v = + y u y v y
类似的: z = f (u , v, w), u = ( x, y ), v = ψ ( x, y ), w = h( x, y ) u v w x y
z z u z v z w = + + x u x v x w x
= 2 ze
x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
y , f (u ) 可微,证明 例4. z = 2 2 f (x y )
1 z 1 z z + = 2 x x y y y
z yf ′ (2 x) 2 xyf ′ = = 2 x f f2 ′ ( 2 y ) f + 2 y 2 f ′ z f yf = = 2 f2 f y
练习
2z 1. z = f (e x sin y, x 2 + y 2 ), 其中f有二阶连续偏导数, 求 xy
z = f1 ' e x sin y + f 2 '2 x, x 2 z x = e sin y f1 '+2 xf 2 ' xy y
(
)
= e x cos yf1 '+e x sin y ( f11 ' ' e x cos y + 2 yf12 ' ' ) + 2 x( f 21 ' ' e x cos y + 2 yf 22 ' ' ) = e x cos yf1 '+e 2 x sin y cos yf11 ' ' + 2e x ( y sin y + x cos y ) f12 ' '+4 xyf 22 ' '.
�
dz f du f dv = + dx u dx v dx
u z v x
(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.
2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.
例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)
z
z z u z v z w = + + y u y v y w y
类似的: z = f (u , x, y ), u = ( x, y ) z = f [ ( x, y ), x, y ] z x u y x y
z f u f = + y u y y
z f u f = + x u x x
例2.
u=e
x2 + y2 + z 2
, z = x sin y
2
解法一: u = e u x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y =e (2 x + 4 x 3 sin 2 y ) x 解法二:
u f z f = + x z x x
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
z 求 x
= e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )]
z z u z v = e u sin v x + e u cos v 1 = + y u y v y
= e xy [ x sin( x + y ) + cos( x + y )]
由此例看出,链导法对于具体函数帮助不大