多元函数的一阶偏导数练习1
多元函数的偏导数与极值问题
显然有：z dz
全微分、偏导数、连续性之间的关系
全微分存在
z A x, yx B x, yy o x2 y2
可微
偏导存在
连续
例1（1） z
x yx
求： dz,
dz x1 ,
y2
dz x1
y2 x0.01 y 0.02
解
dz
2
1 x
yx
x
y
x
ln
y
dx
x x yx1dy
所以 z 3, 2 31是极大值。
最大最小值问题
若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在 极值点或边界上取得。
在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则 可判定函数在该驻点即取得最值。
例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？
2 yex2 y
2z x4ex2y y 2
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
xy
yx
若二元函数 z f x, y 的两个混合偏导 2 z , 2 z
xy yx
在区域 D 上连续，则它们必相等。
全微分的相关概念
如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。
x
S x 1 x 16 x2
2
令
Sx
1
2
16 x2
x2 16
1 z lnx 2y
解
zx
x
1 2y
zxx
x
1
2y2
2
zxy x 2 y2
一阶偏导数存在但不连续的连续例题
一阶偏导数存在但不连续的连续例题一、引言1.问题背景及意义在高等数学、工程数学、应用数学等课程中，偏导数的概念及其应用占据了重要地位。
偏导数是多元函数在某一点处的局部性质的描述，它可以反映函数在某一点处的变化情况。
然而，在实际问题中，函数的偏导数可能存在但不连续，这种现象具有一定的实际意义，因此研究一阶偏导数存在但不连续的连续例题具有重要的理论价值和实际应用背景。
2.研究对象与基本概念本文以一阶偏导数存在但不连续的连续函数为研究对象，探讨其在多元函数、泛函分析等领域的应用。
主要涉及的概念有一阶偏导数、连续函数、多元函数、泛函分析等。
二、一阶偏导数存在但不连续的连续例题分析1.例题1：一阶偏导数存在但不连续的函数已知函数f(x, y)在点(0, 0)处的一阶偏导数存在但不连续，求f(x, y)在点(0, 0)处的泰勒展开式。
解：根据泰勒公式，f(x, y)在点(0, 0)处的泰勒展开式为：f(x, y) ≈ f(0, 0) + x^2f_x(0, 0) + y^2f_y(0, 0) + (x^3f_xx(0, 0) +x^2f_y(0, 0)y + y^3f_yy(0, 0))/2! + ...2.例题2：一阶偏导数存在但不连续的多元函数已知函数f(x1, x2)在点(0, 0)处的一阶偏导数存在但不连续，求f(x1, x2)在点(0, 0)处的泰勒展开式。
解：根据泰勒公式，f(x1, x2)在点(0, 0)处的泰勒展开式为：f(x1, x2) ≈ f(0, 0) + x1^2f_x1(0, 0) + x2^2f_x2(0, 0) + (x1^3f_x1x1(0, 0) + x1^2f_x2(0, 0)x2 + x2^3f_x2x2(0, 0))/3! + ...3.例题3：一阶偏导数存在但不连续的泛函分析中的应用已知函数f(x, y)在区域D上连续，一阶偏导数存在但不连续，求f(x, y)在区域D上的最小值。
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
多元函数偏导数(第六讲)
第六讲 多元函数偏导数与最值问题一、多元函数偏导数（抽象函数、隐函数、方程组）例1．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -¶¶¶¶¶¶++=¶¶¶¶¶¶， 又 ,u v wx y z t t t ¶¶¶===¶¶¶有 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w -¶¶¶++=¶¶¶上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w ¶¶¶++=¶¶¶ 即有 (,,)f f fu v w kf u v w u v w¶¶¶++=¶¶¶于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z¶¶¶++=¶¶¶． 例2．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z j =，sin y x =，其中,f j 具有一阶连续偏导数，且0x j ¶¹¶，求du dx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，见复合关系图：有复合关系，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx¶¶¶¢¢¢=++=++¶¶¶ 由2(,,)0y x e z j =两边对x 求导，得xyzxyxuUn Re gi st er ed12320y dy dzx e dx dxj j j ¢¢¢++=g g ，又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx j j j ¢¢=-+¢g于是123cos (2cos )y z x y f du f f x x e x dx j j j ¢¢¢¢¢=+-+¢g ． 例3．已知函数(,)u v x y =，满足方程2222()0u u u ua x y x y¶¶¶¶-++=¶¶¶¶（1）试选择参数a ，b ，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e a b +=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y x =+，x y h =-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v ve v e v e x x xa b a b a b a a +++¶¶¶=+=+¶¶¶ 2222()()x y x y u v v v e v e x x x xa b a b a a a ++¶¶¶¶=+++¶¶¶¶ 222(2)x y v vv e x xa b a a +¶¶=++¶¶， ()x y u vv e y ya b b +¶¶=+¶¶， 22222(2)x y u v v v e y y ya b b b +¶¶¶=++¶¶¶ 将上述式子代入已知方程中，消去x yea b +变得到222222(2)(2)()0u u v v a a a a v x y x ya b a b a b ¶¶¶¶-+++-++-++=¶¶¶¶， 由题意，令2020a a a b +=ìí-+=î，解出22a aa b ì=-ïïíï=ïî，Un Re gi st er ed故原方程为 22220u ux y ¶¶-=¶¶．（2）令x y x =+，x y h =-，则v v v v v x x x x h x h x h ¶¶¶¶¶¶¶=+=+¶¶¶¶¶¶¶， v v v v v y y y x h x h x h¶¶¶¶¶¶¶=+=-¶¶¶¶¶¶¶ 22222222v v v v v x x x x xx h x hx x h x h h ¶¶¶¶¶¶¶¶¶=+++¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ 222222v v v x x h h ¶¶¶=++¶¶¶¶ 同理 2222222v v v vy x x h h ¶¶¶¶=-+¶¶¶¶¶ 将上面式子代入22220u ux y¶¶-=¶¶中得到20vx h¶=¶¶． 二、求闭区域上连续函数的最值 （1）先求开区域内的最值，（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．例4．求函数22(,)49z f x y x y ==++在闭区域{}22(,)4D x y x y =+£上最大值和最小值．解：先求(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由(,)0x f x y ¢=，(,)0y f x y ¢=得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界224x y +=上的情形，方法1：讨论22(,)49f x y x y =++在约束条件224x y +=下条件极值， 令 2222(,)49(4)F x y x y x y l =++++-Un Re gi st er ed求导，得2222082040Fx x x Fy y y Fx y l l lì¶=+=ï¶ï¶ï=+=í¶ïï¶=+-=ï¶î， 解方程组，得0x =，2y =±，4l =-或2x =±，0y =，1l =-， 求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，最小值(0,0)9m f ==．方法2：将条件224x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t j ==++求导，得 ()8cos sin 32sin cos 24sin cos t t t t t t t j ¢=-+=令()0t j ¢=，得到0t =，2t p =，则(0)13j =，(252pj =， 因为()t j 是周期函数，所以只讨论0t =，2t p=就可以了，结论同上．Un Re gi st er ed。
多元函数微分学解题技巧
2.全微分形式不变性
z f (u, v ), u ( x, y), v ( x, y)有连续偏导数，
z z 则dz dx dy x y
z z dz du dv u v
3.隐函数求导法
2 2 ( x y ) ( 1 ) lim ( x y ) e 练习 求 ( x , y )( , )
=0
x2 y 1 xy
1 cos(xy) 1 ( 2) lim 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y 2
1 (3) lim (1 ) ( x , y )( , ) x
答案： 2a
x y 2 2 tan ( x y ), ( x,y) (0,0) 2 2 例11 设f ( x , y ) x y 0, ( x,y) (0,0) 证 明f ( x , y )在 点(0,0)处 可 微 , 并 求df ( x , y ) |( 0 , 0 ) .
多元函数微分学
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论） 二、偏导数与全微分的计算 三、方向导数和梯度 四、应用（极值、切线、切平面）
一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）
1．重极限
0 y y0
lim f ( x, y) A ( x, y) ( x0 , y0 ) 是以“任意方式” x x
f x ( 0,0)不存在，f y ( 0,0) 0
例13. 设 z e z 则 x 例14
x
2 y 0 z x f ( x 2 y),且当 时,
.
(e x e ( x 2 y ) 2( x 2 y ))
2011竞赛辅导-多元函数微分学
二、 偏导数
（一） 多元函数的一阶偏导数与全微分
7. 设f ( x, y) ( x y) xy , 求f x (1,1), f y (1,0).
f x (1,1) 1 2 ln 2, f y (1,0) 0.
x 练习： 设f ( x, y ) x ( y 1) arcsin , 求f x ( x,1). 答案： 1 y f ( x , y ) f ( x , y ) 8. 设 在 全 平 面 上 有 0, 0, 则在下列 x y （C ） . 条件中能保证 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 )的是
, 证明对任意正数 t有 20. 设f ( x, y )具有连续偏导
f (tx, ty ) t k f ( x, y )的充要条件是 f ( x, y )满足 欧拉方程
f f x y kf ( x , y ). x y
（三） 隐函数求导
•由一个方程所确定的隐函数 •由方程组所确定的隐函数
C . 1;
1 1 dx dy 2e 2
D. 2.
10.(江苏06竞赛) 已知由 x ze y z 可确定 z z( x, y ),
则dz(e,0) (
1 z
)
5,176 li 4.16
x 练习：设f ( x , y, z ) y , 求df (1,1,1).
lim
f ( x, y ) 1, 则f ( x , y )在(0,0)处（D） . 2 2 x y
A. 极限存在但不连续
B. 连续但偏导数不存在 D. 可微
C. 偏导存在但不可微
(0,0)处可微的一个充分条件 是( C ) 5. 函数f ( x, y)在点 （09数二）
第7章多元函数的微分学总复习剖析
x2 y2
x2 y2
总复习（第7章） 四、抽象复合函数的一阶偏导数
——填空、选择
2、设z f( x2 y2,e xy ),其中f 为可微函数，求zx ,zy .
解 设u x2 y2 ,v e xy , 则z f(u,v),
zx zu ux zv vx fu(u,v) 2x fv(u,v) ye xy
1. u xe y z2
解 du u dx u dy u dz
x
y
z
e y z2dx xe y z2dy 2 xze ydz.
2. z ln( x2 y2)
解 dz z dx z dy
x
y
( x2
y
2
) x
dx
( x2
y
2
) y
dy
x2 y2
x2 y2
2x
2 y
dx
dy
1. x 2 y z 2xyz 0.
解 令F( x, y,z) x 2 y z 2xyz
Fx 1 2 yz, Fy 2 2xz, Fz 1 2xy
z Fx
x
Fz
1 2yz 1 2xy
z Fy
y
Fz
2 2xz 1 2xy
总复习（第7章）
2. x2 z2 ln z ln y
2 xf ( x2 y2 ,e xy ) ye xy f ( x2 y2 ,e xy )
zy zu uy zv v y fu(u,v) (2 y) fv(u,v) xexy 2 yf ( x2 y2 ,e xy ) xe xy f ( x2 y2 ,e xy )
总复习（第7章）
144 p1 4 p2
总复习（第7章）