数学物理方法--格林函数法
数学物理方法第十章 格林函数法
上式给出了泊松方程解的积分表达(biǎodá)，但由于G(M,M0)未知 且不同边值条件也需做进一步的分析。
共二十六页
§10 格林函数(háns
2、泊松方程(fāngchéng)边值问题的积分公式
(A)第一类边界条件 0
由
边界条件变为 u 1 g(M ) f (M )
基本(jīběn)公式变为
这里(zhèlǐ)G就相当于 格林第二公式中的v
(G u u G )d (Gu uG)d
n
n
[u(M ) (M M0 ) G(M , M 0 )h(M )]d
若能由此式化简整理得到u(M),则一定(yīdìng)是方程（1）的解
共二十六页
§10 格林函数(hán
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程
G(M , M0 ) (M M0 )
使之与边界条件
G 相0 容，
n
这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之
与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。
共二十六页
§10 格林函数(hánsh
(C)第三类边界条件 0, 0
积分变换法：无界区域(qūyù)的定解问题， 解一般为无穷积分
共二十六页
§ 10.1
函数(hánshù)
§10 格林函数(háns
共二十六页
2、定义(dìngyì)
(x)
0
x0 x0
(x)dx 1
更普遍的定义为
§10 格林函数(hánsh
—— 函数
(hánshù)
共二十六页
§10 格林函数(háns
u(M )
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
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下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
格林函数法
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
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几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
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1
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格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
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几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
数学物理方法格林函数
演化问题的格林函数
演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到 问题 等价问题
Gt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G | t 0 ( x )
Gtt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G |t 0 0 G | t t 0 ( x )
演化问题的基本解
无界输运问题的求解
2 ut a u xx f ( x, t ) u |t 0 0
f ( x, t ) d d f ( , ) ( x ) (t )
0
t
2 Gt a G ( x ) (t ) G |t 0 0
2 ( x ) t exp 2 4a (t ) u d d f ( , ) 2a ( t ) 0
u( x, t ) d d f ( , )G( x, ; t, )
0
t
( x ) 2 exp 2 4 a ( t ) G 2a ( t )
应用（求解数学物理方程的格林函数法）
稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到 原问题 方程
u f ( r )
点源问题
G ( r r ' )
点电荷电场
V q (r r ' ) / 0
解
u
f (r ' )d ' 1 q G V 4 | r r ' | 4 | r r ' | 4 0 | r r ' |
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
数学物理方程：第9章 格林函数法
第9章 格林函数法§9.1 格林函数的概念本节讨论：①格林函数的定义，②格林函数与基本解的比较，③格林函数与基本解的关系⒈ 格林函数的概念格林函数：称下述定解问题（B ）的解(,,,)G t x τξ为定解问题（A ）的格林函数。
（A ）：0(,)ϕ=⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩t S it i L u Lu f t x Bu g D u （B ）：0(,)00δτξ=⎧=+--⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩t S i t L G LG t x BG D G (9.1.1)此处：算子i D 对t 的i 阶导数，B 为边界算子，如第一、二、三类边界条件；式中ξ在边界域S 内部，式中0τ>即(0,)τ∈+∞。
其它同上述说明。
格林函数可细分为边值问题的格林函数、柯西问题的格林函数与混合问题的格林函数等。
例1 二维边值问题=∆=⎧⎨=⎩r R u f u g （边界为园）的格林函数为()0δξ=∆=-⎧⎨=⎩r R G x G 的解。
例2 常微分方程=Lu f 的格林函数为()δ=LG x 的解。
此时格林函数就是基本解。
例3 柯西问题20(,)()ϕ=⎧'=+⎪⎨=⎪⎩xx t u a u f t x u x 的格林函数为20(,)δτ=⎧=+-⎪⎨=⎪⎩t xx t G a G t x G 的解。
例4 传导问题2(,)(0,)()(,0)(),(,)()xx u a u f t x u x x u t g t u t l h t ϕ⎧'=+⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩的格林函数为2(,)(0,,,)0(,0,,)(,,,)0t xx G a G t x G x G t G t l δτξτξτξτξ⎧=+--⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩的解。
注：例1与例2中的问题与t 无关，可取τ=t ；例2与例3中∈x R ，可取ξ为0。
⒉ 格林函数与基本解的比较将不同定解问题的格林函数与基本解的定义共同列表如下：表9.1基本解与格林函数的相似性注意：①边值问题没有基本解的提法。
数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]
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第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
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G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
a2 r2 r1
G(r , r1)
1 R r1
a r1
1 R r2
其中
R r1 r12 r2 2rr1 cos
格林函数代表一个点源所产生的场，对点源产生的场 利用叠加定理则可知道任意源分布产生的场
2
r r'
b.有界空间 边界上可能出现感应电荷
(r ')
r
r'
r 处静电场是源电荷与感应电荷
的电势之和。
感应电荷是源电荷的结果。
在一般的定解问题中，是要求解满足一定的边界条 件和初始条件的解。相应的GREEN函数的表达式会 复杂一些。因为此时的点源产生的场还是受边界条 件或初始条件的限制。
M1(x1, y1, z1)
M1(x1, y1, z1) M1(x0, y0,z0 )
G(r , r0 )
1 4
[( x
x0 )2
(y
1 y0 )2
(z
z0 )2 ]1/ 2
1 4
[( x
x0 )2
(y
1 y0 )2
(z
z0 )2 ]1/ 2
12
1
T
G(r0, r ) f
(r0 )dV0
(r0
)
G(r0
n
,
r)
R r2 r22 r2 2rr2 cos
11
例 u 0 (z 0)
u ra f (x, y)
解
M0 (x0, y0, z0 )
半空间第一边值问题
计算格林函数：
M (x, y, z)
按电磁学思维模式， 应当引入镜像电荷 表示平面（z=0）上 的感应电荷。
镜像电荷的作用为使 平面（z=0）上的电势 为零。显然，这个电荷 位于相对于平面（z=0） 对称的几何点，且有 相反的电量。
1
4
G(r , r0)
f n
dS.
8
第三边值问题
u(r
,
r0
)
[
u n
u]
f
[
G n
G]
0
第三边值问 题格林函数
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
1
4
fG(r , r0 )dS.
9
12.2 电像法求格林函数
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程 G(r , r ') 4 (r r ') 单位负电荷在
(Gu uG)dV
0 z0
1
0 z0
4 [(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ]3/2 4 [(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ]3/2
1 2
[( x
x0 )2
(y
z0 y0 )2
(z
z0 )2 ]3/ 2
u(x, y)
T
1
4
T
u
(r
r
')dV
由Green公式：
Gu
V
uG(r , r
')dv
G
u n
u
G n
ds
以及 (r r '函) 数的性质： u(r ) (r r ')dv u(r )
V
u(r)
1
4
G(r
V
r ')dv 1 4
T
u vdV uvdV
T
T
4
第二格林公式：
交换
u(r )
和
v(r )
：
vu dS v udV vudV
T
T
与上式相减
(uv vu) dS (uv vu)dV
T
即 n
G(r , r0 ) 4 (r r0)
G(r , r0 ) 0
第一边值问 题格林函数
r r0
0
导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。
将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示
10
第十二章 格林函数法
第一节 泊松方程的格林函数法 第二节 用电像法求格林函数
11
12.1 泊松方程的格林函数法
有源问题
1. 源问题 例 静电场
a.无界空间
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
r r'
q 4
r
r'
r 处静电场
(r)
r
1 r '
u0 (r , r ') G(r , r ')
G(r
r
')
u(r n
)
u(r
)
G(r n
r
')
ds
7
5. 边值问题的格林函数
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
第一边值问题(狄里希利问题)
u(r , r ')
G(r , r ') 0
u f
第一边值问 题格林函数
u(r0 )
1
4