24解一元二次方程的方法练习
10道公式法解一元二次方程练习题及答案
10道公式法解一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。
公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。
50道一元二次方程带解题过程
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
用配方法解下列方程：
解：(1)移项，得
x2+10x=-9.
(1)x²+10x+9＝0 ;
配方，得
x2+10x+5²=-9+5²，
(2)x²+6x-4＝0;
(3)x²+4x+9＝2x+11.
(x+5)²=16.
由此可得
x+5=±4,
x1=-1，x2=-9.
随堂练习
用配方法解下列方程：
解：(2)移项，得
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
之间有什么关系?
( )²
4.x²+px+____=(x+__)²
.
公式法解一元二次方程专项练习106题(有答案过程)ok
公式法解一元二次方程专项练习106题（有答案）1．2x2﹣7x+3=0（公式法）2．2t2﹣t﹣3=0，3．2x2﹣7x+4=0．4．2x2+2x=15．5y+2=3y2．6．x2+3x﹣4=07. 2x2﹣4x﹣1=08．2x2﹣x﹣2=0．9．2x2﹣5x+1=0．10．x2﹣1=4x．11．x2+3x﹣3=0 12．3x2﹣4x﹣2=0．13．x2+x﹣4=0．14．2x2﹣6x+3=0．15．2x2﹣3x﹣1=0．16．2x2﹣2x﹣1=017．3x2﹣4x﹣1=0．18．2x2﹣x﹣4=019．2x2+x﹣2=020．3x2+6x﹣4=021．x2﹣x﹣3=0．22．3x2+4x﹣4=0，23．（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4．24．2x2﹣5x﹣1=0．25．．26．3x2+4x+5=0．28．x2﹣x﹣4=0．29．．30．2x2﹣2x﹣1=031．3x2+7x+10=1﹣8x．32．5x2﹣3x+2=0．33. 5x2﹣3x=x+1134．x2+3x+1=0，35．4x2=2x+136．5x2﹣3x=x+1．37．3x2+7x+4=038．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）39．3x2+5x+1=0；40．x2﹣4x+1=041. x2﹣4x+5=0 42. x2+5x+3=043．2x2﹣3x﹣6=0．44．3x2+4x+1=0 45．x2﹣4x﹣8=0 46．2x2﹣x﹣2=047．3x2+2（x﹣1）=0．48．x2﹣4x﹣7=049．y2﹣2y﹣4=050．x2﹣3x=2 51．2x2+x ﹣=0．52．x 2x+1=053．2x2﹣9x+8=0；54. x2﹣6x+1=0；55. x2+x﹣1=0；56. 2x2﹣6x+3=0；57．2x（x+4）=1 58．3x2+5（2x+1）=0．59．2x2﹣4x﹣1=060．3x2﹣6x﹣4=061．x2+2x﹣5=0 62．x2﹣4x﹣3=063．4x2﹣3x﹣1=063. x2+2x﹣2=0；64. y2﹣3y+1=0；65. x2+3=2x ．66．x2﹣4x=﹣367. 3x2﹣2x﹣1=0；68.；69. 2x2﹣7x+5=0；70. 2x2﹣7x﹣18=0．71. （x+1）（x+3）=6x+4；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．74. x（x+8）=16，75. x2﹣4x=4；76. 2x2﹣2x+1=0，77. 5x2+2x﹣1=078. 6y2+13y+6=079. 3•x2+6x+9=780. 2x2﹣3x+1=0；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．82. x2=3x+1；83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．85. 3x2=2﹣5x；86. y2﹣4y=1；87. （x+1）（x﹣1）=2x．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；89．x2﹣6x+11=0 90 ． 5x2﹣8x+2=0．91．x2﹣3x+1=0．92．x2=5﹣12x93. x2+x﹣1=0 94．3x2﹣4x﹣1=0 95．3x2+2（x﹣1）=0，96．97．3x2﹣4x﹣1=098.99. ．101．2x2+5x﹣1=0．102．2x2﹣x﹣1=0．103．．104．3x2+5x﹣1=0．105．5x2﹣8x+2=0，106．3x2+7x+10=1﹣8x，参考答案：1．2x2﹣7x+3=0（公式法）a=2，b=﹣7，c=3，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×3=49﹣24=25＞0，方程有两个不相等的实数根，即：，x1=3，2．2t2﹣t﹣3=0，∵a=2，b=﹣1，c=﹣3，∴x===，3．2x2﹣7x+4=0．∵a=2，b=﹣7，c=4，b2﹣4ac=49﹣32=17，∴x==，∴，∴x1=，x2=4．2x2+2x=1由原方程，得2x2+2x﹣1=0，∴该方程的二次项系数a=2，一次项系数b=2，常数项c=﹣1；∴x===，∴x1=，x2=5．5y+2=3y2．移项，3y2﹣5y﹣2=0，a=3，b=﹣5，c=﹣2，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴x=，∴x1=2，x2=﹣；6．x2+3x﹣4=0a=1，b=3，c=﹣4，△=9+4×1×4=25＞0，∴x==，∴x1=﹣4，x2=1．7. 2x2﹣4x﹣1=0a=2，b=﹣4，c=﹣1，△=16+4×2=24＞0，∴x==1±，∴x1=1+，x2=1﹣8．2x2﹣x﹣2=0．∵a=2，b=﹣1，c=﹣2，∴b2﹣4ac=17＞0∴x=．即x1=，x2=9．2x2﹣5x+1=0．∵a=2，b=﹣5，c=1，∴b2﹣4ac=17，∴x=，∴x1=，x2=10．x2﹣1=4x．原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）=20，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣11．x2+3x﹣3=0a=1，b=3，c=﹣3；∵b2﹣4ac=9+12=21＞0∴=∴，12．3x2﹣4x﹣2=0．a=3，b=﹣4，c=﹣2，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40＞0，x==，x1=，x2=13．x2+x﹣4=0．∴x==，∵x1=﹣2，x2=．14．2x2﹣6x+3=0．∵a=2，b=﹣6，c=3∴x=∴x1=，x2=；15．2x2﹣3x﹣1=0．a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=9+8=17，∴x=，x1=，x2=16．2x2﹣2x﹣1=0a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=12，∴x==，∴x1=，x2=17．3x2﹣4x﹣1=0．∵一元二次方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=﹣4，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=，x2=18．2x2﹣x﹣4=0∵2x2﹣x﹣4=0，∴=，∴x1=，19．2x2+x﹣2=0∵a=2，b=1，c=﹣2（1分）∵b2﹣4ac=12﹣4×2×（﹣2）=17＞0（2分）∴（4分）∴，20．3x2+6x﹣4=0∵a=3，b=6，c=﹣4，∴b2﹣4ac=62﹣4×3×（﹣4）=84，∴x==，即x1=，x2=﹣21．x2﹣x﹣3=0．∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13＞0，∴x==，∴x1=，x2=．22．3x2+4x﹣4=0，这里a=3，b=4，c=﹣4，b2﹣4ac=42﹣4×3×（﹣4）=64，x=，x1=，x2=﹣223．（3x﹣1）（x+2）=11x﹣4．3x2+6x﹣x﹣2=11x﹣4，整理得3x2﹣6x+2=0，∵△=（﹣6）2﹣4×3×2=12，∴x==∴x1=，x2=24．2x2﹣5x﹣1=0．2x2﹣5x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33，∴x=，即x1=，x2=25．．∵a=1，b=，c=﹣20，b2﹣4ac=（）2﹣4×1×（﹣20）=100＞0，∴x=，x=，解得x1=﹣+5，x2=﹣﹣5．26．3x2+4x+5=0．∵△=42﹣4×3×5=﹣44＜0，∴方程没有实数根．27．x2﹣4x﹣2=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．28．x2﹣x﹣4=0．a=1，b=﹣1，c=﹣4．b2﹣4ac=1+16=17＞0．∴=∴x1=，x2=29．．由原方程，得t2+2t﹣2=0，这里a=1，b=2，c=2．则t===﹣，即t1=t2=﹣30．2x2﹣2x﹣1=0∵a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）=12，∴x===，∴x1=，x2=31．3x2+7x+10=1﹣8x．原方程可化为x2+5x+3=0，解得：32．5x2﹣3x+2=0．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×5×2＜0，∴此方程无解33. 5x2﹣3x=x+11（公式法）5x2﹣3x=x+11，整理得：5x2﹣4x﹣11=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣11，∵△=16+220=236，∴x==，则x1=，x2=34．x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=b2﹣4ac=9﹣4=5，∴x=，则x1=，x2=35．4x2=2x+1移项得：4x2﹣2x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）=20，∴x==，∴x1=，x2=36．5x2﹣3x=x+1．方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．37．3x2+7x+4=03x2+7x+4=0，∵a=3，b=7，c=4，∴b2﹣4ac=49﹣48=1＞0，∴x=，∴x1=﹣1，x2=﹣．38．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）∵a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，∴x==，所以x1=，x2=39．3x2+5x+1=0；∵原方程的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=1，∴原方程的根是：x==，即x=；40．x2﹣4x+1=0a=1，b=﹣4，c=1，∴x====2±；41. x2﹣4x+5=0a=1，b=﹣4，c=5，∵△=b2﹣4ac=16﹣20=﹣4＜0，∴次方程无解．42. x2+5x+3=0a=1，b=5，c=3，∴x===43．2x2﹣3x﹣6=0．这里a=2，b=﹣3，c=﹣6，∵△=b2﹣4ac=9+48=57，∴x=，则x1=，x2=44．3x2+4x+1=0（用公式法）∵二次项系数a=3，一次项系数b=4，常数项c=1，∴△=b2﹣4ac=42﹣4×3×1=4＞0∴x==∴x1=﹣1 x2=﹣；45．x2﹣4x﹣8=0（公式法）∵方程x2﹣4x﹣8=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣4、常数项c=﹣8，∴x===2±2，∴x1=2+2，x2=2﹣2；46．2x2﹣x﹣2=0a=2，b=﹣1，c=﹣2，∵b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣2）=1+16=17＞0，∴x==，∴x1=，x2=47．3x2+2（x﹣1）=0．整理得，3x2+2x﹣2=0，∵a=3，b=2，c=﹣2，△=b2﹣4ac=4+24=28，x==，解得x1=，x2=48．x2﹣4x﹣7=0∵x2﹣4x﹣7=0的二次项系数是a=1、一次项系数是b=﹣4、常数项是c=﹣7，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣49．y2﹣2y﹣4=0（公式法）由原方程知，二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=﹣4，∴x==，∴，∴x1=1+，x2=1﹣；50．x2﹣3x=2x2﹣3x﹣2=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=51．2x2+x ﹣=0．∵关于x的一元二次方程2x2+x ﹣=0的二次项系数a=2，一次项系数b=1，常数项c=﹣，∴原方程的根是：=，即x=52．x 2x+1=0这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣153．2x2﹣9x+8=0；∵a=2，b=﹣9，c=8∴x=，x1=，x2=；54. x2﹣6x+1=0；∵a=1，b=﹣6，c=1∴x=，∴x1=3+2，x2=3﹣2；55. x2+x﹣1=0；∵a=1，b=1，c=﹣1，∴x==；56. 2x2﹣6x+3=0；∵a=2，b=﹣6，c=3，∴x===；57．2x（x+4）=12x2+8x﹣1=0，∵a=2，b=8，c=﹣1，△=b2﹣4ac=64+8=72，∴x===．即x1=，x2=58．3x2+5（2x+1）=0．3x2+5（2x+1）=0，整理得：3x2+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，∴b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，∴x==，则原方程的解为x1=，x2=59．2x2﹣4x﹣1=0（公式法）解：这里a=2，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）=24，∴x==，∴x1=，x2=60．3x2﹣6x﹣4=0（公式法）3x2﹣6x﹣4=0，这里a=3，b=﹣6，c=﹣4，∵b2﹣4ac=36+48=84＞0，∴x==，则x1=，x2=61．x2+2x﹣5=0∵a=1，b=2，c=﹣5，b2﹣4ac=24，∴x==﹣1，即x1=，x2=﹣1．62．x2﹣4x﹣3=0由题意得：a=1，b=﹣4，c=﹣3，∴x====2±63．4x2﹣3x﹣1=0a=4，b=﹣3，c=﹣1，△=9+16=25x==∴x1=1，x2=﹣．63. x2+2x﹣2=0；这里a=1，b=2，c=﹣2，∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴x==﹣1，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；64. y2﹣3y+1=0；这里a=1，b=﹣3，c=1．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，∴y=，∴y1=，y2=；65. x2+3=2x ．移项，得x2﹣2x+3=0，这里a=1，b=﹣2，c=3．∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．∴原方程没有实数根66．x2﹣4x=﹣3移项，得x2﹣4x+3=0．∵a=1，b=﹣4，c=3，∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×3=4＞0，∴x==，∴x1=1，x2=367. 3x2﹣2x﹣1=0；∵a=3，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）=16，∴x===，∴x1=1，x2=﹣．68.；∵a=2，b=﹣1，c=﹣，∴b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣）=5，∴x==，∴x1=，x2=．69. 2x2﹣7x+5=0；∵a=2，b=﹣7，c=5，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×5=9，∴x==，∴x1=，x2=1．70. 2x2﹣7x﹣18=0．∵a=2，b=﹣7，c=﹣18，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）=193，∴x==，∴x1=，x2=71. （x+1）（x+3）=6x+4；去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1=0，∵a=1，b=﹣2，=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8 ∴x===1±，∴x1=1+，x2=1﹣；72. x2+2（+1）x+2=0；∵a=1，b=2（+1），c=2，∴b2﹣4ac=[2（+1）]2﹣4×1×2=16，∴x===﹣（+1）±2，∴x1=﹣﹣3，x2=﹣+1；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．∵a=1，b=﹣（2m+1），c=m，∴b2﹣4ac=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m=4m2+1，∴x=，∴x1=，x2=74. x（x+8）=16，x2+8x﹣16=0，a=1，b=8，c=﹣16，b2﹣4ac=82﹣4×1×（﹣16）=128＞0，x=，x1=﹣4+4，x2=﹣4﹣4；75. x2﹣4x=4；x2﹣4x﹣4=0；a=，b=﹣4，c=﹣4，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4××（﹣4）=48＞0，x==±，x1=+，x2=﹣；76. 2x2﹣2x+1=0，a=2，b=﹣2，c=1，b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×1=0，x1=x2=．77. 5x2+2x﹣1=0∵a=5，b=2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=4+4×5×1=24＞0∴x1•x2=∴x1=．78. 6y2+13y+6=0∵a=6，b=13，c=6，∴△=b2﹣4ac=169﹣4×6×6=25＞0∴x=∴x1=﹣，x2=﹣．79. 3•x2+6x+9=7整理，得：x2+6x+2=0∴a=1，b=6，c=2∴△=b2﹣4ac=36﹣4×1×2=28＞0∴x1•2==﹣3±∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．80. 2x2﹣3x+1=0；根据原方程，得a=2，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=9﹣4×2×1=1＞0，∴x=，x==．∴x1=1，x2=；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．由原方程，得2y2﹣2y+3=y2+2y+1，即y2﹣4y+2=0，∴a=1，b=﹣4，c=2．b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0．∴x=x==∴x1=2+，x2=2﹣．82. x2=3x+1；方程化为x2﹣3x﹣1=0，∴a=1，b=﹣3，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13．∴x1=．83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．方程化为2t2﹣t+3=0，a=2，b=﹣1，c=3b2﹣4ac=1﹣4×2×3=﹣23＜0，∴原方程无实数根84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．∵a=1，b=﹣2a，c=﹣b2+a2∴b2﹣4ac=4a2+4b2﹣4a2=4b2∴x==a±|b|．85. 3x2=2﹣5x；a=3，b=5，c=﹣2 b2﹣4ac=52﹣4×3×（﹣2）=25+24=49＞0．x==．所以x1=﹣2，x2=．86. y2﹣4y=1；原方程变形为：3y2﹣8y﹣2=0．a=3，b=﹣8，c=﹣2．b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）=64+24=88．x==．所以x1=，x2=．87. （x+1）（x﹣1）=2x．原方程变形x2﹣2x﹣1=0．a=1，b=﹣2，c=﹣1．b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8+4=12＞0．所以x==．故x1=+，x2=﹣．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；整理，得4x2﹣7x﹣9=0，因为a=4，b=﹣7，c=﹣9．所以x=89．x2﹣6x+11=0由原方程，知a=，b=﹣6，c=11将其代入求根公式x=，得x=，∴原方程的根是：x1=4，x2=90 ． 5x2﹣8x+2=0．这里a=5，b=﹣8，c=2，∵b2﹣4ac=64﹣40=24＞0，∴x==，则x1=，x2=．91．x2﹣3x+1=0．x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=9﹣4=5＞0，∴x==，则x1=，x2=92．x2=5﹣12x方程化为一般形式为：x2+12x﹣5=0，∴a=1，b=12，c=﹣5，∴△=122﹣4×1×（﹣5）=4×41＞0，∴x===﹣6±，所以x1=﹣6+，x2=﹣6﹣．93. x2+x﹣1=0解：x2+x﹣1=0，b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5，∴x=，∴x1=，x2=．94．3x2﹣4x﹣1=0解：3x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴原方程的解是：x1=，x2=，这里a=2，b=﹣2，c=1，∴b2﹣4ac=﹣4×2×1=4，∴x==，∴x1=，x2=，∴原方程的解是x1=，x2=95．3x2+2（x﹣1）=0，整理得：3x2+2x﹣2=0，这里a=3，b=2，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=4+24=28，∴x==，则x1=，x2=96．方程整理得：x2﹣2x+1=0，这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣1．97．3x2﹣4x﹣1=03x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=16+12=28＞0，∴x==，则x1=，x2=98.2x2﹣x+1=0a=2，b=﹣，c=1△=10﹣8=2x=∴x1=，x2=99. ．解：整理得：x2﹣2x﹣1=0，∴b2﹣4ac=﹣4×1×（﹣1）=12，∴x==±，∴x1=+，x2=﹣100．3x2﹣4x﹣1=0．3x2﹣4x﹣1=0，a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴x1=，x2=101．2x2+5x﹣1=0．∵a=2，b=5，c=﹣1，△=b2﹣4ac=25+8=33，∴x===．即x1=，x2=102．2x2﹣x﹣1=0．∵原方程的二次项系数a=2，一次项系数b=﹣1，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=1，x2=﹣．103．．∵a=2，b=﹣，c=﹣，∴△=（﹣）2﹣4×2×（﹣）=6＞0，x==．104．3x2+5x﹣1=0．∵一元二次方程3x2+5x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=，x2=．105．5x2﹣8x+2=0，a=5，b=﹣8，c=2，b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×5×2=24＞0，x==，x1=，x2=．106．3x2+7x+10=1﹣8x，整理得：x2+5x+3=0，解得：x==，即：x1=，x2=；。
解一元二次方程练习题(配方法)
解一元二次方程练习题(配方法)1．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=02.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()512=-x 4、()162812=-x二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x三、用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x2、22314y y -= 3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x6、02322=--x x三、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=2、0)32()1(22=--+x x3、0862=+-x x4、22)2(25)3(4-=+x x5、0)21()21(2=--+x x6、0)23()32(2=-+-x x四、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=- 3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、22244a b ax x -=- 14、()b a x a b x +-=-2322 15、022=-+-a a x x16、3631352=+x x 17、()()213=-+y y 18、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax19、03)19(32=--+a x a x 20、012=--x x 21、02932=+-x x22、02222=+-+a b ax x 23、 x 2+4x -12=0 24、030222=--x x25、01752=+-x x 26、1852-=-x x 27、02332222=+---+n mn m nx mx x28、3x 2+5(2x+1)=0 29、x x x 22)1)(1(=-+ 30、1432+=x x31、y y 2222=+ 32、x x 542=- 33、04522=--x x34、()1126=+x x ． 35、030222=--x x 36、x 2+4x -12=037、032=-+x x 38、12=+x x 39、y y 32132=+40、081222=+-t t 41、1252+=y y 42、7922++x x =0一元二次方程解法练习题五、用直接开平方法解下列一元二次方程。
公式法解一元二次方程的例题20道
公式法解一元二次方程的例题20道一元二次方程是中学数学学习中的重要内容，公式法是解一元二次方程的一种常见方法。
通过求根公式，可以解任意形式的一元二次方程，这在代数学习中具有重要意义。
接下来，我将结合公式法解一元二次方程的例题，带你一起深入理解这一知识点。
1. 解题思路在使用公式法解一元二次方程时，我们首先要将方程化为标准形式：$ax^2+bx+c=0$，然后利用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$来求得方程的解。
在实际解题中，我们需要注意判别式$\Delta=b^2-4ac$的正负与零，以确定方程的解的个数及性质。
2. 例题1已知一元二次方程$2x^2-5x+2=0$，求方程的根。
解：根据公式法，首先计算判别式$\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=1$，由于$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{4}=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{4}=\frac{3}{2}$。
方程的解为$x_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{3}{2}$。
3. 例题2求一元二次方程$3x^2-4x+1=0$的根。
解：计算判别式$\Delta=(-4)^2-4\times3\times1=0$，由于$\Delta=0$，则方程有两个相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
方程的解为$x_1=x_2=\frac{2}{3}$。
4. 例题3已知一元二次方程$4x^2-12x+9=0$，求方程的根。
解：计算判别式$\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=-48$，由于$\Delta<0$，则方程没有实数根，只有一对共轭复数根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{12+\sqrt{-48}}{8}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$x_2=\frac{12-\sqrt{-48}}{8}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
一元二次方程 因式分解法练习
1、解方程：x(x﹣1)=4(1﹣x).(因式分解法) 3、解方程：x2﹣5x﹣36=0.(因式分解法) 5、解方程：3x(x﹣2)=2(x﹣2).(因式分解法) 7、解方程：2x2+5x﹣3=0．(因式分解法) 9、解方程：3x2﹣4x+1=0．(因式分解法)2、解方程：x2+10x+16=0.(因式分解法) 4、解方程：4x(2x+1)=3(2x+1).(因式分解法) 6、解方程：x2+3x﹣4=0.(因式分解法)8、解方程：7x(5x+2)=6(5x+2).(因式分解法) 10、解方程：x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0.(因式分解法)11、解方程：3x(x-1)=2(x-1).(因式分解法)12、解方程：3x(x－1)=2x－2.(因式分解法)13、解方程：x+3-x(x+3)=0．(因式分解法)14、解方程：(x-3)2=2x-6.(因式分解法)15、解方程：x2－2x－3=0.(因式分解法)16、解方程：(x-1)2-2(x2-1)=0.(因式分解法) 1、方程x(x+4)=﹣3(x+4)的解是．2、某三角形的边长都满足方程x2﹣5x+6=0，则此三角形的周长是．3、方程3(x－5)2=2(x－5)的根是__4、已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，该等腰三角形的周长为______．5、已知(a+b)2-2(a+b)-3=0，则a+b=______________.6、方程x2﹣3x﹣4=0的解是．7、方程x2﹣6x+9=0的解是．8、解方程x2﹣6x+5=0的解为．9、已知(a2+b2)2﹣(a2+b2)﹣6=0，则a2+b2=_________．10、方程(x+2)(x﹣3)=x+2的解是．11、方程3(x－5)2=2(x－5)的根是__12、方程的解是 .平行四边形的性质1．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．2．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______3．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC ＝10cm，则AC＝______，AB＝______．4．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．5．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．6.已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□A BCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC 的长．。
冀教版九年级上册《24.2解一元二次方程》练习题含答案解析
24.2 解一元二次方程练习题用适当的法解下列方程：（2）． （1）； （2）；（3）．（4）．1）． 2）． 3）．（1）；（2）； （3）；（4）．（3）()()03232=-+-x x x （4）06262=--x x21440y -=2(1)9x -=2(21)3x +=2(61)250x --=281(2)16x -=210x x +-=23610x x +-=21(1)2(1)02x x ---+=23(1)12x +=2410y y ++=2884x x -=2310y y ++=填空题1、()()023112=++++-m x m x m ，当m=________时，方程为关于x 的一元一次方程；当m__________时，方程为关于x 的一元二次方程2、方程02=-x x 的一次项系数是___________，常数项是__________3、方程062=--x x 的解是_______________________________4、关于x 的方程0132=+-x x _____实数根.（注：填写“有”或“没有”）5、若一个三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为_____________6、 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．解答题：1、（12分）已知一元二次方程0132=-+-m x x .（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根2．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是多少？x 22(21)10m x m x +-+=m3、（10分）已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．4、直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为多少？5、一根铁丝长48cm，围成一个面积为140cm2的矩形，求这个矩形的长和宽分别是多少？6、一个小组有若干个人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，求这个小组有多少人？7、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，求平均每月增长率为多少？8、将进货单价为30元的商品按40元售出时，每天能卖出500个. 已知这种商品每涨价1元，其每天销售量就减少10个，为了每天能赚取8000元的利润，且尽量减少库存，售价应定为多少？9、（11分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？10、（11分）某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获。
2.2-2.4 用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程(分层练习,7种题型)(解析版)
2.2-2.4用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程分层练习考查题型一直接开平方法解一元二次方程所以3x =-第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．详解】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．考查题型二配方法解一元二次方程考查题型三配方法的应用考查题型四公式法解一元二次方程1．解方程：22520x x -+=．【详解】解：22520x x -+=这里2,5,2a b c ==-=22=4(5)422251690b ac ∆-=--⨯⨯=-=>考查题型五根据判别式判断一元二次方程根的情况1．下列一元二次方程无实数根的是（）A ．220x x +-=B ．220x x -=C ．2x x 50++=D ．2210x x -+=【详解】解：A ．1890∆=+=>，方程有两个不等的实数根，不符合题意；B ．40∆=>，方程有两个不等的实数根，不符合题意；C ．120190∆=-=-<，方程没有实数根，符合题意；D ．440∆=-=，方程有两个相等的实数根，不符合题意；故选：C ．2．一元二次方程210x x +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根【详解】解：241450b ac ∆=-=+=>∴一元二次方程210x x +-=的根的情况是有两个不相等的实数根，故选：A.3．对于任意实数k ，关于x 的方程222(5)24500x k x k k -++++=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判定【详解】解：∵2225412450k k k ()()⎡⎤∆=-+-⨯⨯++⎣⎦2424100k k =-+-243640k ()=---<，∴方程无实数根．4．已知,,a b c 分别是ABC 的边长，则一元二次方程2()20a b x cx a b ++++=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断【详解】解：△=（2c ）2-4（a +b ）（a +b ）=4c 2-4（a +b ）2=4（c +a +b ）（c -a -b ）．∵a ，b ，c 分别是三角形的三边，∴a +b ＞c ．∴c +a +b ＞0，c -a -b ＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．故选：A ．考查题型六根据一元二次方程根的情况求参数1．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=．(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m 的值；(2)如果该方程有一个根小于0，求m 的取值范围．【详解】（1）解：依题意，得：22[(2)]4(1)m m m ∆=-+-+=，∵方程有两个相等的实数根，∴20m =，∴0m =．（2）解：[]2(2)1(1)(1)0x m x m x x m -+++=--+=解得11x m =+，21x =，∵方程有一个根小于0，∴10+<m ，∴1m <-．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣2）x +2m ﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m 的值．【详解】（1）解：证明：∵Δ=（m -2）2-4（2m -8）考查题型七因式分解法分解因式1．阅读下列材料：已知实数m ，n 满足()()2222212180m n m n +++-=，试求222m n +的值．解：设222m n t +=，则原方程变为()1)0(18t t +-=，整理得2180t -=，即281t =，∴9t =±．∵2220m n +≥，∴2229m n +=．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x ，y 满足()()222222322327x y x y +++-=，求22x y +的值．（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．【详解】解：（1）设2222x y m +=，则(3)(3)27m m +-=，∴2927m -=，即236m =，∴6m =±，∵22220x y +≥，∴22226x y +=，∴223x y +=．（2）设最小数为x ，则()()()123120x x x x +++=，即：()()22332120x x x x +++=，设23x x y +=，则221200y y +-=，∴112y =-，210y =，∵0x >，∴2310y x x =+=，∴12x =，250x =-<（舍去），∴这四个整数为2，3，4，5．2．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+= ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若已知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0y +1=0解得：x =1，y =﹣1。
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知识要点
★直接开平方法：对于形式如()n m x =+2
（n ≥0）的方程，根据平方根的意义，即两边同时开平方，变形为n m x ±=+，得到两个一次方程，解一次方程得到未知数的值。
★配方法：把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为()n m x =+2
的形式，从而得到这个一元二次方程的根。
步骤如下：
(1)把常数项移到方程的右边；
(2) 把二次项系数化为1，(如果二次项系数不是1，给方程两边同除以二次项系数)
(3) 给方程两边都加上一次项系数的一半的平方
(4) 方程左边是一个完全平方式，将方程变形为()n m x =+2
的形式 在()n m x =+2中，当0>n 时，方程有两个不相等的实数根n m x n m x --=+-=21,。
当0=n 时，方程有两个相等的实数根m x x -==21。
当0<n 时，方程有两个相等的实数根。
★公式法：一元二次方程的求根公式：a ac b b x 242-±-=(b 2
-4ac ≥0)，步骤如下： (1) 把方程化为一般形式，进而确定a 、b 、c 的值（注意符号）
(2) 求出b 2-4ac 的值，（先判别方程是否有根）
(3)在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入求根公式，求出a ac b b 242-±-的值，
最后写出方程的根。
★分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。
一般步骤如下：
(1) 把方程整理使其右边化为0；
(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；
(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；
(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
提示：分解因式法应用面广，它不仅可以解一元二次方程，对高次的求解更有独到之处。
根的判别式：
b 2-4ac=△，当b 2-4a
c ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相
等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
即不解方程就可判断方程解的情况。
根与系数的关系: 由求根公式可知，a
c x x a b x x =⋅-
=+2121,，即不解方程可知方程的两根之和与两根之
积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根平方和等一类的问题。
☆利用一元二次方程解决实际问题时，一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，解完一元二次方程，要按题意检验这些根是不是符合实际问题的解。
易错易混点
(1) 用配方法解一元二次方程时，二次项系数化1时易错；(2) 不能确定a 、b 、c 的值，代入公式时，代入不准确； (3) 方程两边同除以一个含有未知数的式子。
1. 用配方法解方程：2x 2-4x-10=0
2. 解方程：8x 2+10x=3
3. 用分解因式法解一元二次方程：()()2222
-=-x x 典型例题
1. 当x 取___________时，x 2-5x+7有最小值，最小值是_____________。
2. 已知是方程2x 2-x-7=0的两根，则=___________。
3. 已知一三角形的两边长分别为1和2，第三边的长是方程2x 2-5x+3=0的根，则该三角形
的周长为_____________。
4. 已知方程01222=-++-a a ax x 有两个实数根，化简：a a a +++-2122。
5. 已知a 2-3a=1，b 2-3b=1，并且a ≠b ，那么
2211b a +=___________。
6. 一元二次方程x 2-px+q=0的两个根为3，-4，那么二次三项式x 2-px+q 可分解为（ ）
A. (x-3)(x+4)
B. (x+3)(x-4)
C. (x-3)(x-4)
D. (x+3)(x+4)
7. 若方程0122=++x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A. k ＞-1
B.k ≥-1
C. k ＞1
D. k ≥0
8. 用适当的方法解方程：
(1) ()25192
=+x ； (2) 012632=--x x ； (3) ()()2
2524329-=+x x ; (4) x 2-4x-6=0 9. 按要求解下列方程：
(1) x 2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x 2+10x=3 (用公式法解)
(3) 2(x-2)2=x 2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法解)
学习自评
1. 方程4x 2+5=0的根是（ ） A. 25 B. 25- C. 2
5± D. 无实根
2. 用配方法将方程0542
=--a a 变形得（ ）
A. ()922-=-a
B. ()922-=+a
C. ()922=+a
D. ()922=-a 3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2
-8x+7=0的两个根，则这个直角
三角形的斜边长是（ ） A.3 B. 3 C. 6 D. 9
4. 三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2-16x+60=0的一个实数根，
则该三角形的面积是（ ）
A. 24
B. 24或58
C. 48
D. 58
5. 已知()()152=+++y x y x ，则x+y 的值为（ ）
A. 3或5
B. 3或-5
C. -3或5
D. -3或-5
6. x 2-_________+9=(x-______)2；x 2-5x+6=(__________)(___________).
7. 若x 2+4x+m 2是一个完全平方式，则m 的值为___________。
8. 把方程()()222312-=+y y 化成一般形式为__________________。
9. 若a+b+c=0，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0必有一根为___________。
10. 完成下列配方过程
：x 2+2px+1=[ x 2+2px+(_________)]+(________)=(x+______)2+(________).
11. 已知实数a 、b 、c 满足等式()02212=+-+++-c b a b a ，则方程ax 2+bx+c=0的
根是_________。
12. 若x 1，x 2是方程x 2-3x-2=0的两个根，则x 1+x 2=________，x 1+x 2=________，
x 12+x 22=________，=+2
111x x ___________。
13. 用适当的方法解方程：
(1) x 2+2x=2； (2) 4x 2-7x+2=0; (3) x 2+3x-4=0
(5) 2x 2-3x+8
1=0; (5) 2x(x+1)=3(x+1); (6) ()()2222181x x x x +=++ 14. (1)用配方法证明-10x 2+7x-4的值恒小于0；
(2) 由第(1)题，你能否得到启发而写出三个值恒大于0的二次三项式。
15. 三角形两边长分别是2和3，第三边是方程()6323-=-x x x 的解，求这个三角形的周
长
16. 在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分
作为耕地，要使耕地的面积为540m 2，道路的宽为多少？
17. 某电脑公司今年每个月的销售量都比上个月增长相同的百分数，已知该公司今年4月份
的电脑销售量为500台，6月份比5月份多售出120台，求该公司今年销售量的月增长率是多少?。