分形几何简介
《分形几何简介》课件
分形的类型
自相似分形
自相似分形是指在不同尺度下具有相似结构的 图形，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
原子分形
原子分形是由单一基本元素重复形成的图案， 类似于雪花和花纹图案。
组分形
组分形是由多个不同形状的图形组合而成，例 如分形树和分形花朵。
拓扑分形
拓扑分形通过改变图形的拓扑结构，如将平面 断开或折叠，创建具有分形性质的图像。
分形的应用
分形图像的生成
分形几何的特性使其成为生成艺 术和图像的强大工具。许多美丽 的分形艺术作品都是通过数学算 法生成的。
分形在自然界中的应用
分形在工程领杂结构和形态，如树叶的纹理、 山脉的形状和云朵的分布。
分形几何的优势在于能够设计更 高效的结构和表面，如天线、电 路板和隔音材料的优化设计。
分形几何的未来
• 分形几何将继续发展，为我们提供对自然界和复杂系统的更深入理解和建模能力。 • 在科学和工程领域，分形几何将继续发挥重要作用，帮助解决复杂问题。 • 分形几何的应用将在未来社会的许多领域中持续拓展，包括建筑设计、艺术创作和生物医学等。
结束语
分形几何的意义远超出了几何学的范畴，它让我们对世界的复杂性有了更深入的认识，启发着我们的思维和创 造力。未来，分形几何将为科学、艺术和工程等领域带来更多的突破和创新。
《分形几何简介》
通过探索分形几何的奇妙世界，我们将带您踏上一段迥异于传统几何学的旅 程。了解分形几何的基本概念和其在科学和工程等领域的应用。
什么是分形几何
分形几何是一门研究非整数维度空间中的几何形状和模式的学科。不同于传 统几何学，分形几何更加接近自然界中的复杂结构和形态。
几何图形与分形
传统的几何图形基于欧氏几何学，具有整数维度，并且具有平滑的结构。分形的定义则更加灵活和重复，能够 描述自相似和具有复杂结构的图形。
分形几何
图 1 科赫曲线
图 2 科赫雪花——面积有限，长度无限
以Koch曲线为例，以一维来度量它，它的 长度趋于无穷，而以二维来度量它，它的 面积为零，那么，它究竟是几维图形?1维？ 2维？ ？？？？维吗？
经典的维度定义有问题吗？
在经典几何下，点被定义成0维的，点没有 长度；直线被定义成1维，只有长度，没有 面积，平面图形被定义成2维的，有面积， 没有体积，立体图形是3维的，有体积。
经典几何讨论的维度都是整数，它们的数 值与决定几何形状的变量个数及自由度是 一致的，这是一个很自然的想法。
相似维数的定义
一般地，如果某图形是由把全体缩小为1/a 的aD个相似图形构成的，那么此指数D就 具有维度的意义。此维数被称为相似维数。
相似维数常用DS表示，按照定义，DS完全 没有是整数的必要。如某图形是由全体缩 小1/a的b个相似形组成，则
用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成 一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为“分 形艺术”。“分形艺术” 以一种全新的艺术风格展示给 人们， 使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、 对称等特征的美学标准。这里值得一提的是对称特征， 分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对 称。同时自相似性又揭示了一种新的对称性， 即画面的 局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。 这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的 对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性 质和信息。这一点与上面所讲的例子：“一头牛身体中 的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息”， 完全吻合。 不管你是从科学的观点看还是从美学的观点 看，这都是那么富有哲理，分形艺术是科学上的美和美 学上的美的有机结合。
图 3 Mandelbrot集合
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
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我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一种研究自相似性形态的数学工具，指的是通过某种规则将形状无限细分而形成的一类具有自相似和自同构特性的几何对象。
分形几何研究的对象是具有复杂结构，但又存在某种“无限重复”的特征的物体。
分形几何的发展始于20世纪60年代末，由波兰数学家曼德布洛特提出的“曼德布洛特集合”起始。
曼德布洛特集合是一种通过迭代算法生成的美丽几何图形，具有自相似性和自同构性。
分形几何的应用极为广泛，涉及到艺术、自然科学、经济学、社会学等多个领域。
在艺术领域，分形几何被称为“几何里的艺术家”。
分形艺术家使用计算机软件，通过迭代重复和自相似性的特征，制作出多样化、繁复而又富有自然美感的几何图案。
著名的分形艺术家有迈克尔·波斯纳和罗杰·潘罗斯等。
他们的艺术作品对自然界的模仿、对礼物生命的呈现，精细而获得了广泛而热烈的反响。
此外，在科学领域，分形几何的应用也十分广泛。
例如，在天体物理学中，人们发现短时尺度的火花电放电现象，既有类似闪光灯光亮、语言简单、明显可见的特点，也有类似雷电光展现、花式炫耀的特点。
而通过分形几何方法，人们发现闪电显示具有分形特性，即闪电能从云层中一点开始向不同方向分支扩散，直至铺满整片云层。
而这种分形几何的特性，也被应用在气象学、地质学、分子物理学等学科中，对于研究高分辨率细节提供了一些新的思路和方法。
总之，分形几何的研究和运用，具有广泛的科学和文化意义。
它不仅为我们揭示了许多自然规律和物理特性，也为我们提供了艺术表达和审美的另一种视角。
几何里的艺术家，为我们打造了一个充满神秘美学的世界。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何几何不仅仅是数学中的一个概念，它也是艺术中的一种灵感源泉。
而分形几何则将几何之美发挥到了极致，成为了一种兼具科学和艺术特质的美学形式。
在分形几何的世界里，数学的精密和艺术的想象交织在一起，勾勒出了独特的美丽景观。
本文将带领读者一起探索几何里的艺术家——分形几何。
1. 分形几何的起源分形几何一词最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博特在1975年提出。
分形一词源于拉丁文“fractus”，意为碎片、断裂。
在数学上，分形是指一种具有自相似性的几何形态，即整体的部分在不同尺度上都与整体类似。
这种自相似性使得分形几何成为了一种富有美感和艺术感的数学形式。
分形几何得到了诸多科学和艺术领域的关注，成为了一种跨学科的研究领域。
2. 分形几何和艺术在艺术领域，分形几何为艺术家们带来了无限的灵感。
通过计算机技术和数学算法，艺术家们可以创造出种种奇妙的分形图像，这些图像既具有科学的精密性，又富有艺术的想象力。
分形艺术作品常常展现出几何的美感和图案的丰富多样性，在细节的赏析上更是令人叹为观止。
分形艺术作品已经成为了一种独特的艺术风格，吸引了众多艺术家和观众的关注。
3. 分形几何的应用除了在艺术领域中发挥重要作用之外，分形几何在科学领域中也有着广泛的应用。
在物理、生物、地质等领域，分形几何被用来研究复杂系统的形态和特性。
分形几何的自相似性和分形维度等特性，为科学家们提供了一种独特的研究方法，帮助他们理解和解释自然界中的复杂现象。
分形几何的应用范围正在不断拓展，有望成为解决复杂问题的重要工具。
4. 分形几何与人类文化分形几何不仅仅是一种数学形式，它还深刻地影响着人类文化的发展。
在建筑、绘画、音乐等领域，分形几何都留下了深远的痕迹。
建筑设计师们常常运用分形几何的原理来设计出富有美感和结构稳定性的建筑物；绘画艺术家们则通过分形几何的图案来展现出作品的纷繁多样；音乐创作家们也借助分形几何的节奏和和谐结构来创作富有艺术感的音乐作品。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是指生物学家、数学家Mandelbrot于20世纪60年代提出的一种新的几何方法。
它主要是以图形展示自然界里颇多的自相似性和重复性，我们在自然界中可以看到很多地方都能体现出分形几何的形态。
目前，分形几何的研究成果已经被广泛运用在计算机图形学、自然科学、金融、物理学等方面，并在各个领域都取得了很好的应用效果。
分形几何不同于常规的几何学，它将几何形态转换为数学符号来分析形态的特征。
分形几何的美感与特性分形几何的美在于它具有迷人的自相似性和重复性，这个特性使得分形几何的形态无论在大小还是在宏观与微观的层次上表现出了一致性。
这种自相似性不但具有几何形态的美感，并且在自然界的很多生物和物体中都可以看到它的存在。
譬如火花、雨滴和云朵都具有分形几何的形态，对此我们可以用数学符号和计算机程序来表达和描述这些自然现象。
在分形几何中，出现的大多数形态都是基于数学方程式的操作得到，这些数学方程式需要通过反复的迭代运算才能得到最终的形态，几何学家调用的工具主要是数学符号和计算机程序。
因此，分形几何不仅展示了具有美感的自相似性和重复性，还向我们展示了无穷的变幻和生命力，在人类的审美中表现出了多姿多彩的美，可以说是几何美学中的一种绚丽多彩的表现形式。
分形几何的计算机图形学应用分形几何在计算机图形学中的应用很广泛，计算机图像能够更加真实地表现物体的特性和微观结构，分形几何的技术能够很好地表现出物体的自相似性和重复性，因此在图像处理和计算机图形学中应用颇多。
其中一个应用场景是在动画电影中，我们常常看到很多自然界中的生物，譬如花朵、藤蔓和蘑菇等生物，它们都具有分形结构，设计师用计算机图形学的方法可以让这些生物呈现出美妙的自然形态。
另外，分形几何还被广泛运用在生成式艺术中，生成式艺术是一种基于数学或人工智能算法的艺术形式，使用分形几何的技术可以生成独特的图案和模型，比如拓扑结构和有机体结构等。
分形几何中的自相似性和重复性不仅提供了美感和独特的艺术表现形式，还为我们提供了一种模拟生命活动的方式，是数学艺术范畴中一个多功能的形式。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
什么是分形几何？
什么是分形几何？什么是分形几何？1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其愿意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入了，所以存在分维。
其实，Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere （“破碎”、“产生无规碎片”）。
此外与英文的fraction （“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。
在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。