高等数学上册试题B
高等数学b教材答案
高等数学b教材答案[注: 以下是对高等数学B教材中部分练习题的答案，仅供参考，请谨慎使用。
]第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1. a) 函数的定义域为实数全体，值域为非负实数。
b) 函数的定义域为实数全体，值域为（-∞，1)∪[3, +∞)。
c) 函数的定义域为（-∞，1）∪(1, +∞)，值域为(-∞,-2)∪(0,+∞)。
1.2 函数的极限与连续性2. a) lim(x→2) f(x) = 3。
b) lim(x→3) f(x) = 1。
c) lim(x→0) f(x) = 1/3。
1.3 无穷小与无穷大3. a) 若 h(x) 是 f(x) 的无穷小，那么 a·h(x) （a为非零常数）也是 f(x) 的无穷小。
b) 若 h(x) 是 f(x) 的无穷小，那么 f(x) + h(x) 也是 f(x) 的无穷小。
c) 若 h(x) 是 f(x) 的无穷大，那么 f(x)·h(x) 也是 f(x) 的无穷大。
1.4 函数的连续性4. a) f(x) 在 x = 1 处连续。
b) f(x) 在 x = 0 处不连续。
c) f(x) 在 x = 2 处连续。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与基本性质1. a) f'(x) = 2x + 3。
b) f'(x) = -2x + 1。
c) f'(x) = 3x^2 - 2x + 1。
2.2 高阶导数与微分2. a) f''(x) = 12x - 2。
b) f''(x) = -4x + 2。
c) f''(x) = 6x - 2。
2.3 微分学的应用3. a) 当 x = 2 时，f'(x) = 4。
b) 当x = π/2 时，f'(x) = -1。
c) 当 x = 1 时，f'(x) = 2。
第三章：积分学3.1 不定积分1. a) F(x) = x^2 + C。
高数B上练习题2020
高数练习题1、设()f x 的定义域为[0,1],1()()(02f x a f x a a ++-<<则)的定义域为( )2、设的定义域为则))((,1)(x f f x xx f +=…………………………….……… ( )3、在区间(0,)+∞内下列函数中无界的是 ……………………………………( )①sin y x x = ②cos y x = ③ 211y x=+④x y e -= 4、当0→x 时，下列无穷小量与x 不等价的是 ……………………………( )① sin x ②tan x ③ )1ln(2x + ④arctan x 5、当0→x 时，下列无穷小量中与x 等价的是………………………………( ),③ )1ln(2x + , ④)tan(sin 2x .6、设'0000()()()limh f x h f x h f x h→+--=存在，则………………………..….. ( )7、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 8、下列极限存在的是 …………………………………( )① x x e 1lim ∞→ ②xx x x sin lim +∞→③ x x x x 320lim+→ ④xx 1sin lim 0→9、=--+=→hh x f h x f x f h )()(lim,4ln )(0则设……………………………….. ( )10、=--+→h h h h )6cos()6cos(lim 0ππ…………………………………………….. ( )11、设f (x )有二阶连续导数，且又0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则………………....( ) ①0x =是f (x )的极小值点, ②0x =是f (x )的极大值点,③(0,(0))f 是曲线y =f (x )的拐点, ④0x =不是f (x )的极值点. 12、设f (x )的导数在x a =处连续，又()lim1,x af x x a→'=--则……………………....( ) ①x a =是f (x )的极大值点, ②x a =是f (x )的极小值点, ③(,())a f a 是曲线y =f (x )的拐点, ④x a =不是f (x )的极值点.13、2141,,y x ax b x y x a b =++==+若曲线在处与直线相切则各为 …….….( ) 15、下列结论中错误的是………………………………………………………( ) ① xdx xdx ⎰⎰>43432ln ln ②xdx xdx ⎰⎰>21212ln ln ③ dx x dx x 321212⎰⎰≤④dx x dx x 3112⎰⎰≥16、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )①x x e e 22-- ②x x e e 22-+ ③)(2122x x e e -- ④)(2122x x e e -+17、20sin xdx π=⎰……………………………………………..…………( )18、已知(sin )()(),sec f x F x f x dx x'==⎰则 19、=⎰dx x x 22cos sin 120、已知22(),(1)f x dx x c xf x dx =+-=⎰⎰则 21、 已知()F x 是()f x 的一个原函数, ()0a ≠，则()f b ax dx -⎰= 22、设x e -是()f x 的一个原函数,，则()xf x dx ⎰=二、填空题1、设()f x 的定义域为(0,1),(2)f x 则的定义域为 。
高数上学期题库及答案
高数上学期题库及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-2, 1]上的最大值是：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 极限lim(x→∞) (1-1/x)^x的值是：A. 0B. 1C. e^-1D. e答案：D3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C二、填空题4. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是______。
答案：2π5. 若f(x)=x^3-6x^2+11x-6，则f'(x)=______。
答案：3x^2-12x+11三、解答题6. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
解：首先求导数y'=3x^2-12x+11，令y'=0，解得x=1和x=3（重根）。
由于是重根，需要计算二阶导数y''=6x-12，代入x=1和x=3，得到y''(1)=-6，y''(3)=6。
因此，x=1处为极大值点，x=3处为极小值点。
计算端点和极值点的函数值，得到y(1)=0，y(3)=-2，所以最大值为0，最小值为-2。
7. 求曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标。
解：联立方程组：\[\begin{cases}y = x^2 \\y = 4x\end{cases}\]解得x=0（舍去，因为不在第一象限）和x=4，代入任一方程得y=16，所以交点坐标为(4,16)。
四、证明题8. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
证明：由于f(x)在[a,b]上连续，根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点。
根据达布定理，对于任意的ε>0，存在一个分割P：a=x_0<x_1<...<x_n=b，使得U(P,f)-L(P,f)<ε。
高数上考试题及答案
高数上考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. x+1答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：D4. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D5. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(x^2)dx 从0到1C. ∫(e^x)dx 从-∞到0D. ∫(sin(x))dx 从0到π答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=2x-3的反函数是________。
答案：f^(-1)(x)=(x+3)/22. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是________。
答案：1/33. 微分方程dy/dx=2x的通解是y=________。
答案：x^2+C4. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
答案：e^x+C5. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
答案：0三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
答案：12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2处的二阶导数。
答案：123. 已知函数f(x)=ln(x)，求其在区间[1,e]上的平均值。
答案：1四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。
答案：略（此处应包含详细的证明过程，由于篇幅限制，省略具体证明步骤）。
五、应用题（每题15分，共15分）1. 一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，求其在前3秒内行驶的距离。
答案：50米。
高等数学b上教材习题答案
高等数学b上教材习题答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念与计算1.2 导数的几何意义与应用第二章：微分中值定理与导数的应用2.1 微分中值定理2.2 泰勒展开式2.3 各种形式的不定型2.4 一元函数的单调性与极值2.5 导数的应用第三章：不定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式3.3 第一类换元法3.4 第二类换元法3.5 分部积分法3.6 有理函数的积分3.7 函数的定积分与微积分基本定理3.8 第一类曲线积分与换元法第四章：定积分的应用4.1 轴线分割法与几何量的计算4.2 平面图形的面积4.3 等面积曲线第五章：定积分与微分方程5.1 不定积分与常微分方程5.2 可分离变量方程5.3 齐次方程5.4 一阶线性微分方程5.5 高阶线性非齐次微分方程5.6 简单常系数线性微分方程第六章：向量与多元函数的微分学6.1 向量的概念与运算6.2 曲线的切线与法线6.3 多元函数的极限与连续6.4 多元函数的偏导数6.5 隐函数与参数方程求导6.6 多元复合函数的导数6.7 多元函数的微分6.8 多元函数的极值与条件极值6.9 向量场与梯度第七章：多元函数的积分学7.1 重积分的概念与性质7.2 重积分的计算方法7.3 重积分的应用7.4 曲线与曲面积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数8.2 无穷级数的收敛性8.3 正项级数的审敛法8.4 幂级数的收敛性8.5 幂级数的和函数与展开式8.6 幂级数的运算8.7 幂级数的收敛半径与收敛区间第九章：多元函数积分学的应用9.1 空间曲线与空间曲线积分9.2 向量场与曲面积分9.3 散度与环量9.4 斯托克斯公式9.5 高斯公式第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 含有分离变量的一阶方程10.3 齐次方程与可降阶的齐次方程10.4 一阶线性微分方程10.5 二阶常系数齐次线性微分方程10.6 二阶常系数非齐次线性微分方程10.7 可降阶的线性微分方程10.8 二阶线性微分方程的振动方程以上是《高等数学B上教材》的习题答案，包括了各章节的主要内容和格式。
高等数学上册试题及参考答案3篇
高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。
由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。
大学高等数学上考试题库及答案
大学高等数学上考试题库及答案一、选择题1. 若函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则f(2)的值为：A) -3 B) -1 C) 1 D) 32. 设函数g(x) = (x + 3)^2 - 4，则g(-5)的值为：A) -7 B) -1 C) 3 D) 73. 已知直线L1的斜率为2，过点(3, 4)，则直线L1的方程为：A) y = 2x + 4 B) y = 2x + 5 C) y = 3x + 1 D) y = 3x + 44. 若a·b = 0，且a ≠ 0，则b的值为：A) 0 B) 1 C) -1 D) 无法确定5. 设f(x) = 2x^2 - 3x + 1，g(x) = x - 2。
则f(g(2))的值为：A) -1 B) 1 C) 3 D) 7二、填空题1. 计算lim(x→2) [(x + 1)(x - 2)] / (x - 2)的值： ______2. 若h(x) = (x - 3)^2 - 4，则h(-1)的值为： ______3. 求方程x^2 + ax + b = 0的解，其中a = 2，b = -3。
解为 x = ______4. 设函数y = f(x)的反函数为y = f^(-1)(x)，则f^(-1)(f(3))的值为：______5. 解方程3^x = 27的解为： ______三、解答题1. 计算lim(x→∞) (3x^2 - 2x + 1) / (4x^2 + 5x - 2)的值，并说明计算步骤。
2. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2的导函数。
3. 求方程组：2x + 3y = 53x - 2y = -1的解，并验证解的正确性。
4. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点，并判断其是极大值点还是极小值点。
5. 证明：若函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)是增函数，则a的值范围为(______, ______)。
高数B试题及答案
高等数学B （上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。
3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++， （2分）123123y y x x x '=+++++， （2分） 故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解： sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos ln sin y x x = （3分）()()cos 12sin cotlnsin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+， （3分）由4200S x '=-+=，知 （3分） 当宽5x =时，长20210y x =-=， （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。
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高等数学上册试题B一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。
共24分）1．（3分）设()x f 的定义域为[]1,0，()x f ln 的定义域为（ ） Ａ．[]1,0 Ｂ．()2,0 Ｃ．[]e ,1 Ｄ．()1,02．（3分）设()x x x f =，()22x x =ϕ，则()[]x f ϕ是（ ） Ａ．xx 2 Ｂ．22x Ｃ．x x 22 Ｄ．xx23．（3分）在区间()+∞∞-,内，函数()()1lg 2++=x x x f 是（ ）Ａ．周期函数 Ｂ．有界函数 Ｃ．奇函数 Ｄ．偶函数4．（3分）()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,2tan x a x xxx f ，当a 为何值时，()x f 在0=x 处连续（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．4-5．（3分）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,11x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（ ） Ａ．0 Ｂ．0 Ｃ．e Ｄ．e 16．（3分）函数1+=x y 在0=x 处满足条件（ ） Ａ．连续但不可导 Ｂ．可导但不连续 Ｃ．不连续也不可导 Ｄ．既连续已可导7．（3分）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=且()()()()d c b c a c k f ---='，则=k （ ） Ａ．a Ｂ．b Ｃ．c Ｄ．d8．（3分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（ ）Ａ．x 2sin 21与x 2cos 41- Ｂ．x ln ln 与x 2lnＣ．2xe 与xe 2 Ｄ．2tanx 与x x 2sin 1cot +-二、填空题9．（3分）=→x x x x 2sin 1sinlim 22010．（3分）设()231ln e x y ++=，则='y11．（3分）设⎩⎨⎧==t y t x ln 2，则=dxdy12．（3分）曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则=a ，=b13．（3分）()x F 是()x f 的一个原函数，则()=⎰--dx e f e xx14．（3分）函数()⎰--x t tdte e2的驻点=x15．（3分）=-⎰π2sin 1dx x 16．（3分）=⎰-22cos 2xdx xe x1=-yxe 确定函数()x y y =，求()0y '18．（5分）求nx mx x sin ln sin ln lim0→19．（5分）求⎰dxe x120．（5分）()⎰-321ln e e x x dx21．（5分）⎰--223cos cos ππdxx x22．（5分）讨论⎰-1121dx x 的收敛性。
四、证明题（共10分）23．（10分）证明：不论()x f 是定义在()l l ,-内的怎样的函数，()()x f x f -+是偶函数，()()x f x f --是奇函数。
24．五、应用题（共12分） 24．（12分）讨论a 为何值时，()()⎰-=ππ02sin dxx a a I 取最小值。
《高等数学（上）考试试题》(每小题4分，5个小题，共计20分) _________)41()21()31(2023010=+++∞x x x 。
个实根有且仅有则_______0)(),4)(3)(2)(1()(='----=x f x x x x x x f 。
________),1sin(2=''+=y x y 则。
________)()(212='+=y x y x ex y x的导数，则其反函数。
0()()()lim 12x f a f a x f x x→--=为可导函数且满足，()y f x =则曲线在点())a 处的切线斜率为________。
(每小题4分，5个小题，共计20分)0x →时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价的无穷小，则常数)(=aB 、32C 、23-D 、32- 21()1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，当 处处可导，则有()， 当21b =-， B 、2,1a b =-= C 、1,2a b =-= D 、12a b ==-，[]2()(0)ln(13)lim 4,(0)xf x f x f x -+'=则等于)(B 、4C 、1D 、43(),y f x x x dy =在点处可导则它在点处的微分是指)(()x B 、()f x ∆ C 、x ∆ D 、()f x x '∆0>k ，函数()ln x f x x k e=-+在),0(+∞内零点个数为)(B 、2C 、3D 、0三、解答题 (每小题7分，6个小题，共计42分)1． 计算极限xxx e x sin 120)(lim +→。
2．dxdy y xy e x y y xy 求确定由方程设,)sin()(=+=。
3．dx dyx y y e t ty t t x t试求确定了函数，设),()1(ln =≠⎩⎨⎧==。
4．4． , 6)0(,0)0()0(,)(=''='=f f f x f 且具有连续二阶导数设函数求 420)(s i n lim x x f x →。
5．．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→πππn n n n n n 2221211lim 6．，判断其类型的连续性，若有间断点讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→。
四、证明题 (每小题9分， 2个小题，共计18分)1．.ln ,0成立时证明：当aab a b b a b b a -<<-<< 2．),0(0)(),0(],0[)(a a f a a x f ∈=ξ，证明存在一点内可导，且连续，在在设，0)()(3='+ξξξf f 使得。
答案：一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)1．10)23( 2.4 3．)1sin(4)1cos(2222x x x y +-+='' 4．)0(4)2(22>++-x xe e x x x 5． 2 二、选择题 (每小题4分，5个小题，共计20分) 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B三、解答题 (每小题7分，6个小题，共计42分)1．3sin 11120sin 12022})]1(1{[lim )(lim e e x ex xe x ex x x xxx x x=-++=+-+-+→→。
2．e y xy y xy xy y xy()()cos()+'++'='， ))cos((1))cos((xy e x xy e y y xyxy +-+='。
3． t tt t t t dtdx dt dyy =++=='1ln )1(ln 。
4．都连续在及则具有连续二阶导数因0)(),()(,)(='''x x f x f x f x f则lim (sin )lim (sin )sin x x f x x f x x x →→='⋅02402324 220)(sin lim 21xx f x '=→ xx x f x 22sin )(sin lim 2120''=→ )(sin lim 2120x f x ''=→)0(21f ''= 3= 5．πππππ+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++≤+22222221211n n n n n n n n n n ，由夹逼准则有 11211lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→πππn n n n n n 。
6．22,||11()lim 0,||11,||1n n n x x x f x x x xx x →∞->⎧-⎪===⎨+⎪<⎩， 在分段点1x =-处，因为11lim ()lim ()1x x f x x --→-→-=-=，11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，即11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠,1x =-是()f x 的跳跃间断点（第一类）； 在分段点1x =处，因为11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-，即11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠,1x =是()f x 的跳跃间断点（第一类）。
四、证明题 (每小题9分， 2个小题，共计18分)1．可导连续在则令证明,),0()(,ln )(:+∞=x f x x f))(()()(),,(],[)(,0a b f a f b f b a b a x f b a -'=-∈<<ξξ使则至少存在理上应用拉格朗日中值定在对时当)(1ln ln ln a b a b a b -==-ξ即，0)(>-<<a b b a 且又ξ，a b 111<<ξ则，.ln ,0成立时故：当a ab a b b a b b a -<<-<<。
2．证明：令3()()F x x f x =，因为()f x 在[0,]a 连续，在(0,)a 内可导，所以()F x 在[0,]a 连续，在(0,)a 内可导，且3(0)()()0F F a a f a ==⋅=，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点(0,)a ξ∈，使得23()3()()0F f f ξξξξξ''=+=，即3()()0f f ξξξ'+=。
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.)(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。