椭圆高考题目汇总教师版含答案
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段4. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点 5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。
6. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。
解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。
（略）2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是椭圆的右半部分 .5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；114416922=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；137148,113522222=+=+y x x y 或（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 13922=+y x2. 简单几何性质1．求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36=e 。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析． 【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =． 则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-． 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=． 再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤． 同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<， 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解 【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，， 又点(21)A ，在椭圆上， 所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =， 因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-， 与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>， 由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤． 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ， 如图所示：A 、B 、C 、D 四点， 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角， 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=， 由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ， 所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-， 即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
10-18高考真题分类第26讲 椭圆【教师讲义】
2 4 x2 (3 x2 ) 2 m 1 3 4 上，所以 ，得 y2 m ， 2 4 4 x2 y 2 m 2 4
2 所以 x2 m (3 2 y2 ) 2
1 2 5 9 m m 4 2 4
1 (m 5) 2 4 ≤ 4 ， 4 所以当 m 5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值
x y m mc 1，由题意可知 M (c, m ) ，(0, ) a b 2 a mc m m m a 2 2 ，化简 和 B(a, 0) 三点共线，则 c a c 1 得 a 3c ，则 C 的离心率 e ．故选 A． a 3
x2 2 6．(2016 年浙江)已知椭圆 C1 ： 2 y 1 ( m 1) m
x2 y 2 m ( m 1)上两点 A ， B 满足 4
b2 a 2 c 2 ，∴
(a 2 c 2 )c 2 3a 2c 2 4a 2 (a 2 c 2 ) ，
∴ 4a
4
AP 2 PB ，则当 m =___时，点 B 横坐标的绝对值
最大____． 【答案】5 【解析】设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，由 AP 2 PB ， 得
所以 e
2 ． 2
15．(2014 辽宁)已知椭圆 C ： C ，点 M 与 C 的焦点 不重合， 若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A ，B ， 线段 MN 的中点在 C 上，则 | 【答案】12 【解析】设 MN 交椭圆于点 P ，连接 F1 P 和 F2 P ，
【答案】C 【解析】
F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形
c 3 3 PF2 F2 F1 2( a c) 2c e a 4 2
「最新」人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案-可编辑修改
高中数学高考总复习椭圆习题(附参考答案)一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c 2－a 2＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝1[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.3．分别过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径的圆在椭圆的内部，∴c <b ，从而c 2<b 2＝a 2－c 2，a 2>2c 2，即e 2＝c 2a 2<12，又∵e >0，∴0<e <22，故选B.4．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2. 又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[答案] A[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A. 6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )A.513B.1213C.35D.45[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513.(理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( )A.3＋12 B.5－12 C.3－12D.5＋12[答案] B[解析] ∵FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，FB →·AB →＝0， ∴－ac ＋b 2＝0，∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0， ∵e >0，∴e ＝5－12. 7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 12＋1e 22＝( )A ．2 B. 2 C. 3D ．3[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF 1|－|PF 2||＝2a ′，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将两式两边平方相加得：|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(a 2＋a ′2)，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴a 2＋a ′2＝2c 2， ∴1e 12＋1e 22＝1⎝⎛⎭⎫c a 2＋1⎝⎛⎭⎫c a ′2＝a 2＋a ′2c 2＝2. 8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝83；正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] A[解析] ∵a ＝2，∴△ABF 1的周长为|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，故①正确；∵F 2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x 24＋y 22＝1中得3x 2－42x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝423，∴|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪423－0＝83，故③正确．9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|P A |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，49 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 [答案] C[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，已知k ∈⎝⎛⎭⎫13，12，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b2a . 斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. (理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝12，即e ＝22. (理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，22[解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b >c ，∴b 2>c 2，即a 2>2c 2， ∴c a <22. 12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.[答案] 54[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知， sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·P A →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案]22<e <1 [解析] 在椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1上存在点P ，使OP →·P A →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得 (a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0， ∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c 2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1. (理)已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA |＋|MB |的最大值是________．[答案] 10＋210[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M 1、M 2.任取椭圆上一点M ，则|MB |＋|BF |＋|MA |≥|MF |＋|MA |＝2a ＝|M 1A |＋|M 1F |＝|M 1A |＋|M 1B |＋|BF | ∴|MB |＋|MA |≥|M 1B |＋|M 1A |＝2a －|BF |. 同理可证|MB |＋|MA |≤|M 2B |＋|M 2A |＝2a ＋|BF |， 10－210≤|MB |＋|MA |≤10＋210.14．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4， 即ab ＝2 3.因为0<a ≤2,0<b ≤3， 所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM 、k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．[解析] (1)∵圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1，得b ＝ 2. 又2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )， 由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程， 即有x 02a 2＋y 02b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1.两式相减得：y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0， k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 02x 2－x 02＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝3c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )， 所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2 ＝(x －m )2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． [解析] (1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0) ∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝3c ＝2 3∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b2＝1消去x 得，(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－43b 23a 2＋b2 ①y 1·y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2②∵AF 2→＝2F 2B →，∴－y 1＝2y 2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b 23a 2＋b 2③－2y22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b 2④③2④得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4) ＝16b 2(3a 2＋b 2)(a 2－4) ⑤ 又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12. (1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c 又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A (2,3) ∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， 直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k .则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0 设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k y 02－3＝k (x 0＋22－2)解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)． ∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2. 由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)． 故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)， ∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB |最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1 把(1,1)代入得14＋1b 2＝1∴b 2＝43，则椭圆方程为x 24＋y 243＝1 ∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为⎝⎛⎭⎫263，0，⎝⎛⎭⎫－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，取椭圆上一点M (－2,0)，则|AM |＝10∴|AM |>|AB |.从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立．(3)设AC 方程为：y ＝k (x －1)＋1联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋1x 24＋3y 24＝1消去y 得 (1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0∵点A (1,1)在椭圆上∴x C ＝3k 2－6k －13k 2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k (x －1)＋1同理x D ＝3k 2＋6k －13k 2＋1又y C ＝k (x C －1)＋1，y D ＝－k (x D －1)＋1y C －y D ＝k (x C ＋x D )－2k所以k CD ＝y C －y D x C －x D ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一)定义:命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。
命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。
已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。
已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。
x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。
选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。
二)标准方程求参数范围试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。
m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。
若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在的象限是第二象限。
方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。
已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1.1.根据下列条件求椭圆的标准方程：1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)；3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。
二、简单几何性质椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。
椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
椭圆的面积为S=πab。
点M(x,y)满足x2/25+(y+3)2/16=1，求点M的轨迹方程。
2.已知动点P(x,y)过定点A(-3,0)，并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动点P的轨迹方程。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
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考点11 椭圆1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ．45 B ．35 C ．25D ．15【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e .【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+，∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+，∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 35c e a ==，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ⋅u u u r u u u r的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则22220000x y 3x 1y 3434+==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴⋅=⋅++u u u r u u r 2001x x 34=++()201x 224=++，又[]0x 2,2∈-，()[]OP FP 2,6∴⋅∈u u u r u u r ，所以 ()max6OP FP ⋅=u u u r u u u r.3.（2010·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出2AF ,AB ,2BF 满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+ 得 43AB a =，l 的方程为y x c =+，其中c =设()()1122,,,A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得，2222222()2()0a b x a cx a c b +++-= 则 212222a c x x a b -+=+，2221222()a cb x x a b-=+. 因为直线AB 斜率为1，所以21AB x =-=得 222443a ab a b =+，故222a b =,所以E的离心率2c e a a ===. （Ⅱ）设,A B 两点的中点为()00,N x y ，由（Ⅰ)知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=. 由PA PB =，可知1PN k =-.即0011y x +=-，得3c =，从而3a b ==. 椭圆E 的方程为221189x y +=. 【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.4.（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，，离心率是3，直线y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x,y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。
要求学生掌握椭圆标准中,,a b c 的关系，离心率ce a=.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（Ⅲ）问中y 最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想. 【思路点拨】由焦点可求出c ，再利用离心率可求出,a b 。
直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离. 【规范解答】（Ⅰ）因为3c a =，且c =1a b == 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<由2213y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =所以圆P.由||t =，解得t =±所以点P 的坐标是（0，.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程222()3(1)x y t t +-=-.因为点(,)Q x y 在圆P 上。
所以由图可知y 223(1)y t t x t =±--≤。
设cos ,(0,)t θθπ=∈，则cos 2sin()6t πθθθ==+当3πθ=，即12t =，且0x =，y 取最大值2.【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：d r >时相离；d r =时相切；d r <时相交； （2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.5.（2010·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =u u u r u u u r.(I) 求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.【思路点拨】（I ）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，得出a 、b 、c 间的关系，求出离心率.（II ）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和222a b c =+，求出a 、b ，写出椭圆方程.【规范解答】y1122122222422222212222212(,),(,) (0 0)(I) ),)(3)301(2)(2),,332,2A x y B x y y y l y x c c y x c x a b y cy b x y a b c a c a y y a b a b AF FB y y <>=-=⎧=-⎪++-=⎨+=⎪⎩+-==++=-=u u u r u u u r设直线的方程为其中联立消去得解得因为所以21222315(II)|AB|-y |,425153,3344C 195c e a c b a a a b a x y =======+=2得离心率因为。
由得。
所以＝，得所以椭圆的方程为【方法技巧】1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，使问题得以解决.2、弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 6.（2010·天津高考文理科·Ｔ20）已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>）的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =u u u r u u u rg，求0y 的值. 【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。
【思路点拨】（1）建立关于a,b 的方程组求出a,b ；（2）构造新的一元二次方程求解。
【规范解答】（1）由e 2c a ==，得2234a c =，再由222c a b =-，得2a b =由题意可知，1224,22a b ab ⨯⨯==即 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩ 得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为2214x y +=。
(2)解：由（1）可知A （-2,0）。
设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程组消去y 整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=由2121642,14k x k --=+得21122284,,1414k kx y k k -==++从而 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k kk k-++ 以下分两种情况：（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。
线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →→→→=--=-±g ）由4，得=（2）当k 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为（后边的Y 改为小写）222218()1414k k Y x k k k-=+++ 令x=0，解得02614ky k=+ 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →→=--=-）2101022222(28)6462(()14141414k k k k QA QB x y y y k k k k→→--=---++++++g ）= 42224(16151)4(14)k k k +-=+=整理得2072,=75k k y ==±±故综上00==y y ±7.（2010·福建高考理科·Ｔ17）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2 , 3），且点F （2 ，0）为其右焦点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.【思路点拨】第一步先求出左焦点，进而求出a,c,然后求解椭圆的标准方程；第二步依题意假设直线l 的方程为32=+y x t ，联立直线与椭圆的方程，利用判别式限制参数t 的范围，再由直线OA 与直线l 的距离等于4列出方程，求解出t 的值，注意判别式对参数t 的限制.【规范解答】（I ）依题意，可设椭圆的方程为()222210+=>>x y a b a b，且可知左焦点为()2,0'-F ，从而有22358=⎧⎨'=+=+=⎩c a AF AF ，解得42=⎧⎨=⎩a c ，又2222,12=+∴=a b c b ，故椭圆的方程为2211612+=x y ；（II ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为32=+y x t ，由221161232⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x t得2233120++-=x tx t ，因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以()()22343120∆=-⨯⨯-≥t t，解得-≤≤t OA 与直线l 的距离等于44,=∴=±t，由于⎡±-⎣，所以符合题意的直线l 不存在.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式∆的限制。