厚壁圆筒应力
06_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹塑性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
因为“弹性筒”内壁面同时也是“塑性筒”的外 壁面，所以在交界面上( r=Rc )，也满足 Mises 条件
r R
c
r r R
c
2 s 3
联立上述三式，得到弹、塑性区界面压力pc的另一表达 式如下
pc
s R R
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
（2）高压厚壁筒提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
下图为经过自增强处理后，单层厚壁筒中的应力 分布情况。自增强法最早出现于20世纪初，首先应用 于炮筒的制造。目前已经应用于石油化工中的高压及 超高压容器、超高压管道、超高压压缩机气缸等。
残余应力的计算是依据“卸载定理”的，参见教 材。该部分须掌握残余应力的分布图。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（1）爆破过程 OA：弹性变形 AB：进入屈服 BC：屈服并强化 CD：爆破 pc:塑性垮塌压力， 工程上称为爆破 压力。
2.3.3 屈服压力和爆破压力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（2）理想弹塑性材料
2.3.2 弹塑性应力
对于理想弹塑性材料，忽略材料的硬化阶段，同 时认为材料的屈服极限为常数。
2.3 厚壁圆筒应力分析
（3）塑性失效准则
2.3.2 弹塑性应力
筒体为理想弹塑性材料，当屈服区扩展至外壁 面，使筒体整体屈服，此时承受的内压力为筒体承 受的最高极限载荷。 （4）屈服条件 当材料从弹性阶段进入理想塑性阶段时，应满 足一定的条件，以此来判定材料是否进入屈服阶段， 此条件称为“屈服条件”（屈服失效判据）。 常用的屈服条件有：Tresca屈服条件和Mises 屈服条件。
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析一、应力分析方法1.在应力分析中，通常采用静力学的方法，根据力学定律对厚壁圆筒进行应力分析。
2.厚壁圆筒的应力分析可以分为轴向应力、周向应力和切向应力三个方向上的应力分析。
二、应力计算公式1.轴向应力：σa=(P·r)/t其中，σa表示轴向应力，P表示圆筒受到的内外压力，r表示圆筒内径，t表示圆筒壁厚。
2.周向应力：σc=(P·r)/(2t)其中，σc表示周向应力。
3. 切向应力：τ = (P · ri) / t其中，τ 表示切向应力，ri 表示圆筒中心点到任意一点的径向距离。
三、实例分析假设有一个内径为 10cm，外径为 15cm，壁厚为 2cm 的厚壁圆筒，内外压力分别为 5MPa 和 10MPa。
现对该厚壁圆筒进行应力分析。
1.轴向应力：根据公式σa = (P · r) / t，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t =2cm，计算得σa = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σa =(10×7.5) / 2 = 37.5MP a。
2.周向应力：根据公式σc = (P · r) / (2t)，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t= 2cm，计算得σc = (5×7.5) / (2×2) = 9.375MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σc =(10×7.5) / (2×2) = 18.75MPa。
3.切向应力：根据公式τ = (P · ri) / t，代入 P = 5MPa，ri = 7.5cm，t =2cm，计算得τ = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，ri = 7.5cm，t = 2cm，计算得τ =(10×7.5) / 2 = 37.5MPa。
压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。
高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。
一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。
本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。
承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。
即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。
2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。
当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。
厚壁圆筒或管道中的应力计算
厚壁圆筒或管道中的应力计算（1）概述当厚壁管或圆柱体受到内部和外部压力时，会在壁中产生环箍和纵向应力。
（2）轴向方向应力σa = (p i r i2 - p o r o2 )/(r o2 - r i2) (1)σa=轴向应力（MPa，psi）pi=管道或圆柱体中的内部压力（MPa，psi）p o=管道或圆柱体中的外部压力（MPa，psi）r i=管道或圆柱体的内径（mm，in）r o=管子或圆柱体的外半径（mm，in）（3）周向应力-环向应力圆周方向上的应力——环向应力——在管或圆筒壁上的一点上可以表示为：σc = [(p i r i2 - p o r o2) / (r o2 - r i2)] - [r i2 r o2 (p o - p i) / (r2 (r o2 r i2))] (2)其中：σc=周向应力（MPa，psi）r=管道或圆筒壁中点的半径（mm，in）（r i<r<r o）r=r i时的最大应力（管道或圆柱体内部）(4)合成应力气缸壁中单个点的组合应力不能通过使用矢量加法的单个矢量来描述。
相反，可以使用描述两个物理向量之间的线性连接的应力张量（矩阵）。
径向应力管壁或圆筒壁中某一点处的径向应力可以表示为：σr= [(p i r i2 - p o r o2) / (r o2 - r i2)] + [r i2 r o2 (p o - p i) / (r2 (r o2 - r i2))] (3) r=r o时的最大应力（管道或圆柱体外部）(5)示例-厚壁圆筒中的应力在内径为200mm（半径为100mm）、外径为400mm（半径为200mm）的圆柱体中，相对于外部压力存在100MPa的压力。
轴向应力可计算为:σa=（（（100 MPa）（100 mm）2-（0 MPa）（200 mm）2）/（（200 mm =33.3 MPa内壁（100 mm）的周向应力（环向应力）可计算为:σc=[（（100 MPa）（100 mm）2-（0 MPa）（200 mm）2）/（200 mm=167 MPa内壁（100 mm）的径向应力可计算为:σr=[（（100 MPa）（100 mm）2-（0 MPa）（200 mm）2）/（200 mm=-100MPa。
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析
未来发展方向和前景展望
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有限元法的优缺点及其在 工程实践中的应用案例
厚壁圆筒的弹塑性应力分析中的材料模型
理想弹塑性模型：假设材料在受力过程中遵循胡克定律，忽略材料的应变率效应 和温度效应。
弹塑性有限元法：将厚壁圆筒离散化为有限个单元，每个单元的应力应变关系通 过弹塑性本构方程描述。
增量理论：基于增量形式的本构方程，考虑了前一次加载时残留在材料中的应力 场对当前加载的影响。
厚壁圆筒的弹塑性应力 分析的未来发展
PART 01 添加章节标题
PART 02
压力容器厚壁圆 筒的弹塑性应力
分析概述
压力容器厚壁圆筒的结构特点
厚壁圆筒由金属材料制成，具有高强度和耐腐蚀性能。 厚壁圆筒的结构设计应满足压力容器的工艺要求和使用条件。 厚壁圆筒的厚度通常较大，以承受内压和其他附加载荷。 厚壁圆筒的制造过程中需要进行焊接、热处理、无损检测等质量控制措施。
PART 06
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析的未
来发展
新型材料对厚壁圆筒弹塑性应力分析的影响
新型材料的出现将改变厚壁圆筒的弹塑性应力分析的边界条件和载荷条件。 新型材料的力学性能对厚壁圆筒的弹塑性应力分析的精度和可靠性提出了更高的要求。 新型材料的加工制造技术将促进厚壁圆筒的弹塑性应力分析方法的改进和发展。 未来将有更多的新型材料应用于厚壁圆筒的制造，需要进一步研究这些材料对弹塑性应力分析的影响。
提高压力容器的安裂而引起的安全事故 为压力容器的设计、制造和使用提供科学依据
PART 03
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析方法
有限元法在厚壁圆筒弹塑性应力分析中的应用
有限元法的定义和原理
厚壁圆筒的弹塑性应力分 析的数学模型
厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力分析1、概述K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。
厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。
所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。
2、解析解一、内压为i p ，外压为0p 的厚壁圆筒，需要求出径向应力r σ、周向应力θσ和轴向应力z σ，其中轴向应力z σ不随半径r 变化。
（1）几何方程如图所示，取内半径r ，增量为dr 的一段区域两条弧边的径向位移为ω和ωωd +，其应变的表达式为：r rd rd d r drd dr d r ωθθθωεωωωωεθ=-+==-+=))(（周向应力：径向应力：（1）θσ对r 求导，得：()θθσσωωωωωσ-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=r rr dr d r r r dr d r dr d 112 （2） （2）物理方程 根据胡克定理表示为[]z Eσσμσεθθ+-=r (1（3） 两式相减，消去z σ得：[]θθσσμεε-+=r E ）（1-r []z r Eσσμσεθ+-=(1r（4） 将（4）代入（2）得：[]）z r Edr d σσμσεθθ+-=(1（5） 对（3）的θε求导得，z σ看做常数：⎪⎭⎫⎝⎛-=dr r d dr d E dr d σμσεθθ1 （6） 联立（5）、（6）得：[]θθθσσμσμσ-)1-r rdr d dr d +=（ （7） （3）平衡方程如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标 系，把θσ向x 轴和y 轴分解，得：⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+2sin 2θθd p p p r dr r （8）其中()θσσd dr r d p r r dr r ++=+)（ （9）θσrd p r r =由于θd 很小，22sin θθd d ≈⎪⎭⎫⎝⎛，略去二阶微量r r d d σ，得 drd rrr σσσθ=- （10） 联立（7）（10）得0322=+drd dr d r r r σσ （11）对（11）进行求得r σ，在代入（10）得22rBA rB A r +=-=θσσ （12） 其中A 、B 是两个积分常数，要求A ，B 需要两个方程，根据内外壁边界条件0,,p R r p R r r i r i -==-==σσ （13）将（13）代入（12）得：22020202202002)(ii i i i i RR R R p p B R R R p R p A --=--=（14）最后剩下z σ未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。
第三节-厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力分析3.3.1弹性应力 3.3.2弹塑性应力3.3.3屈服压力和爆破压力33.4提高屈服承载能力的措施3.3.1弹性应力 3.3.2弹塑性应力一、弹塑性应力描述弹塑性疗壁圆筒的儿何与载荷参数：尺，/>; RJ;陽P () 本小节的U 的：求弹性区和塑性区里的应力假设：a.理想弹塑性材料b.圆筒体只取远离边缘区第三节 厚壁圆筒应力分析内压t 塑性区t2-22处于弹塑性状态的厚壁圆筒图2-23理想弹•塑性材料的应力■应变关系1、塑性区应力平衡方程：刃-旦drMises屈服失效判据:CF e-丐=—=丁2联立积分，得<T r=-^trJnr+Ar = &：6=-Pi内壁边界条件，求出A后带回上式得将r = R e: cr r= -p c代入(2-42)得2 ! R<p(=--a s ln-+Pl结论：① b = pjbj②q, cr^=/(lnr) rt,③cr：=-(b「+ b&) H const (区别:弹区cr. =-© + b&) =const )2 2弹性区内壁处于屈服状态:（刃）Y一（6）“ =眉$Kc=Ro/Rc(2-46)(2-26) (2-40) (2-41)将(2-42)带入(2-40)得(2-42 )(2-43)(2-44 )(2-45 ) 山表2J拉美公式得出:与2-45联立导出弹性区与塑性区交界面的pi与Rc的关系Pi =由（2-34）式（以代代替门）得若按屈雷斯卡（H.Tresca）屈服失效判据，也可导岀类似的上述各表达式。
各种应力表达式列于表2-4中结论：② 6 a d=f(r) rT->(r z. T,与「无关二、残余应力肖厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内爪力pi —残余应力思考：残余应力是如何产生的卸载定理：卸载时应力改变量Ab = b-b和应变的改变量△£ = £-£之间存在着弹性关系= 图2・24。
厚壁圆筒应力
min p0
K2 1 K2 1
maxp0
2K2 K21
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
2.3 厚壁圆筒应力分析
仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：
①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力（正值），
径向应力 r 为压应力（负值）。
2.3 厚壁圆筒应力分析
②在数值上有如下规律：
1 E
r
z
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
r
1 E
r
z
1 E
r
z
r1 Er
d
dr
1rr
ddr1rEr
ddrE 1ddrddrr
d d rd d rr1 rr
r
r dr
dr
rdd2r2r
3dr
dr
0
（2－33）
r
A
B r2
应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。
b. 平衡方程
r d rr dd r rrd 2 dsr 2 i n 0
r
r dr
dr
（2-26）
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变）
◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
（详细推导见文献[11]附录）
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
周向热应力
t
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讨论
2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力
1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
2.3 厚壁圆筒应力分析
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内
所引起的应力，称为热应力。
单向约束：
po=0 任意半径 r 内壁处
处
r=Ri
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
pi
外壁处 r=Ro
0
仅受外压
任意半径 r 处
po K 2 K 2 1
1
Ri2 r2
pi=0 内壁处
r=Ri
0
外壁处 r=Ro
po
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
Pi
K K
2 2
11
pi
K
2
2 1
po K 2 K 2 1
二、温度变化引起的弹性热应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
zR i2p R i0 2 R R i0 2 2p0piR R i0 2 2 R p0 i2R 0 2＝ A （2-25）
m'1
n' 1
w+dw
m1
n1
m'
n'
w
m
n
d
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续）
径向应变 周向应变
r
wdw wdw
dr dr
rwrddrdw r
变形协调方程
d
dr
1rr
（2-27） （2-28）
2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
r
1 E
r
z
;
A B r2
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 r Ri 时，r pi ； 当 r R0 时，r p0 。
由此得积分常数A和B为：
A piRi2 p0R02 R02 Ri2
B pi p0 Ri2R02
R02 Ri2
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力
piR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2
厚壁容器：
Do/Di 1.11.2
应力
径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力 仅是半径的函数。
位移
周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
1
Ri2 r2
po
2K 2 K 2 1
po
K K
2 2
11
z
pi
K
1 2 1
po
K K2
2
1
2.3 厚壁圆筒应力分析
z
z
z
pi K2 1
r min 0
r max pi
max pi
K2 1 K2 1
min pi
2 K2 1
r r min 0
r max p0
r
z
p0
K2 K2 1
min p0
K2 1 K2 1
maxp0
2K2 K21
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
2.3 厚壁圆筒应力分析
仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：
①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力（正值）， 径向应力 r 为压应力（负值）。
2.3 厚壁圆筒应力分析
②在数值上有如下规律：
径向应力
rpiR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2 （2-34）
轴向应力
z
piRi2 p0R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
r
仅受内压
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0 2 rRi K2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
例题
应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。
b. 平衡方程
r d rr dd r rrd 2 dsr 2 i n 0
r
r dr
dr
（2-26）
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变）
内壁周向应力
有最大值，其值为：maxpi
K2 1 K2 1
外壁处减至最小，其值为：
minpi
2 K2 1
内外壁 之差为 p i ；
径向应力内壁处为 p i ，随着 r 增加， 径向应力绝对值
逐渐减小，在外壁处 r =0；
轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力
和的一半，即
z 12 r
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 (位移－应变） d. 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
p0
po
pi
pi
a.
po
m1 n1
m n
pi
b.
m1
m
dr
r+
dr dr
dr
n1
r
n
r
Ri Ro
c.
d.
图2-15 厚壁圆筒中的应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
一、压力载荷引起的弹性应力
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
1 E
r
z
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
r
1 E
r
z
1 E
r
z
r1 Er
d
dr
1rr
ddr1rE r
ddrE 1ddrddrr
d d rd d rr1 rr
r
r dr
dr
rdd2r2r
3dr
dr
0
（2－33）
r
A
B r2