2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章 第2节 一元二次不等式及其解法
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知，
（2x－1）x，x≤0， f(x)＝ －（x－1）x，x＞0.
作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
1 由图可知，当 0＜m＜ 时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实 4 数根 x1，x2，x3. 不妨设 x1＜x2＜x3，易知 1 x2＞0，且 x2＋x3＝2× ＝1， 2 1 ∴x2x3＜ . 4
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)不等式 x(1－2x)＞0 的解集是 (
1 A.－∞，2 1 C．(－∞，0)∪2，＋∞ 1 B.0，2 1 D.2，＋∞
)
B
2．(教材习题改编)设一元二次不等式 ax2＋bx＋1＞0 的解集为
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1 ≤a≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3，1]．
解法二：令 g(x)＝x2－2ax＋2－a， 由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，＋∞)上恒成立， Δ＞0， 2 即 Δ＝4a －4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0. 解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
[听课记录]
(1)由题意得
x 8 y＝1001－10·1001＋50x .
因为售价不能低于成本价， 所以
x 1001－10 －80≥0.
所以 y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．
(2)由题意得 20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得 8x2－30x＋13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4 所以 x
1 x－1＜x＜ ，则 2
a＋b 的值为 ( )
A．－1 C．－3
B．1 D．2
1 b －1＋2＝－a， C [由根与系数的关系，得 －1×1＝1， 2 a 解得 a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.]
x－2 3．(2014· 南昌模拟)不等式 2 ＜0 的解集为 x －1 ( A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＜2 且 x≠1} C．{x|－1＜x＜2 且 x≠1} D．{x|x＜－1 或 1＜x＜2} x－2 D [因为不等式 2 ＜0 等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0，所以 x －1 该不等式的解集是{x|x＜－1 或 1＜x＜2}．] )
（x－2）（x＋1）＞0， x＞2或x＜－1， ⇔ ⇔ （x－3）（x＋2）≤0 －2≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，
. x | － 2 ≤ x ＜－ 1 ， 或 2 ＜ x ≤ 3 原不等式的解集为
(2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0. 由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论． 当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a； 当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a.
[关键要点点拨]
解一元二次不等式应注意的问题： (1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数． (2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解 集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况． (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符 号．
(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根
第二节
一元二次不等式及其解 法
[主干知识梳理] 一元二次不等式的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集
的关系，可归纳为：
判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
当 0＜a＜1 时， 1 解为 1＜x＜ . a 综上，当 0＜a＜1 时，
1 不等式的解集为 x1＜x＜a；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅； 当 a＞1
1 时，不等式的解集为xa＜x＜1.
一元二次不等式恒成立问题 [典题导入] 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，
[规律方法]
1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函 数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是 相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． 2．一元二次不等式恒成立的条件： (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要条件是： a＞0且b2－4ac＜0.
一元二次不等式的应用
[典题导入] 某商品每件成本价为 80 元， 售价为 100 元， 每天售出 100 8 件．若售价降低 x 成(1 成＝10%)，售出商品数量就增加 x 成．要 5 求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为 y， 试求 y 与 x 之间的函数关系式 y＝ f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元， 求 x 的取值范围．
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程 有两相异实根 有两相同实根
ax2＋bx＋c＝0
(a≠0)的根Leabharlann 无实根x＝x1或x＝x2 x＝x1
一元 二次 不等
ax2＋bx＋ c>0(a>0)
{x|x<x1
或x>x2}
{x|x≠x1}
R
式的
解集
ax2＋bx＋
c<0(a>0)
{x|x1<x<x2}
∅
∅
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
5．(教材习题改编)若不等式－x2＋2x－m＞0，在x∈[－1，0]
上恒成立，则m的取值范围是__________．
解析 由m＜－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x， x∈[－1，0]的最小值即m＜umin. 又u在[－1，0]上递增， ∴umin＝－1－2＝－3.
∴m＜－3.
答案 (－∞，－3)
4．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝
{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝ __________，n＝________． 解析 因为|x＋2|<3，即－5<x<1， 所以A＝(－5，1)，又A∩B≠∅，所以m<1，B＝(m，2)， 由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1. 答案 －1 1
f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
[听课记录] 解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2， 此二次函数图象的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1) 时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a， 解得－3≤a＜－1；
及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．
一元二次不等式的解法
[典题导入]
解下列不等式： (1)0＜x2－x－2≤4； (2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．
[听课记录]
(1)原不等式等价于
2 2 x － x － 2 ＞ 0 ， x －x－2＞0， 2 ⇔ 2 x －x－2≤4 x －x－6≤0
综上，a＜0 时，解集为 x|x＜5a，或 x＞－a；a＞0 时，解集为 . x|x＞5a，或x＜－a
[规律方法]
1．解一元二次不等式的一般步骤： (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2 ＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
1 （2x－1）x＝ ， 1－ 3 1＋ 3 4 令 解得 x＝ 或 x＝ (舍去)． 4 4 x＜0， 1－ 3 ∴ ＜x1＜0， 4 1－ 3 ∴ ＜x1x2x3＜0. 16 1－ 3 【答案】 ( ，0) 16
【高手支招】 “三个二次”间关系，其实质是抓住二次函 数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2
即(3x－4)(x＋2)≤0. 4 解得－2 ≤x≤ ， 3
4 所以原不等式的解集为 x－2≤x≤3.
(2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为
1 a＞0，所以x－a (x－1)＜0.
所以当 a＞1 时， 1 解为 ＜x＜1； a 当 a＝1 时，解集为∅；
1 的取值范围是2，2 .
[规律方法] 解不等式应用题，一般可按如下四步进行： (1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式； (4)回答实际问题．
[跟踪训练]
3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式
进行分类讨论，分类要不重不漏．
[跟踪训练] 1．解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，
可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上 网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每 小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小 时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那
么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解析 假设一次上网 x 小时，则公司 A 收取的费用为 1.5x 元，公 x（35－x） 司 B 收取的费用为 元． 20 若能够保证选择 A 比选择 B 费用少，则 x（35－x） ＞1.5x(0＜x＜17)， 20 整理得 x2－5x＜0，解得 0＜x＜5， 所以当一次上网时间在 5 小时内时，选择公司 A 的费用少；超过 5 小时，选择公司 B 的费用少．
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知，
（2x－1）x，x≤0， f(x)＝ －（x－1）x，x＞0.
作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
1 由图可知，当 0＜m＜ 时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实 4 数根 x1，x2，x3. 不妨设 x1＜x2＜x3，易知 1 x2＞0，且 x2＋x3＝2× ＝1， 2 1 ∴x2x3＜ . 4
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)不等式 x(1－2x)＞0 的解集是 (
1 A.－∞，2 1 C．(－∞，0)∪2，＋∞ 1 B.0，2 1 D.2，＋∞
)
B
2．(教材习题改编)设一元二次不等式 ax2＋bx＋1＞0 的解集为
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1 ≤a≤1. 综上所述，a 的取值范围为[－3，1]．
解法二：令 g(x)＝x2－2ax＋2－a， 由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，＋∞)上恒成立， Δ＞0， 2 即 Δ＝4a －4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0. 解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
[听课记录]
(1)由题意得
x 8 y＝1001－10·1001＋50x .
因为售价不能低于成本价， 所以
x 1001－10 －80≥0.
所以 y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．
(2)由题意得 20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得 8x2－30x＋13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4 所以 x
1 x－1＜x＜ ，则 2
a＋b 的值为 ( )
A．－1 C．－3
B．1 D．2
1 b －1＋2＝－a， C [由根与系数的关系，得 －1×1＝1， 2 a 解得 a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.]
x－2 3．(2014· 南昌模拟)不等式 2 ＜0 的解集为 x －1 ( A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＜2 且 x≠1} C．{x|－1＜x＜2 且 x≠1} D．{x|x＜－1 或 1＜x＜2} x－2 D [因为不等式 2 ＜0 等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0，所以 x －1 该不等式的解集是{x|x＜－1 或 1＜x＜2}．] )
（x－2）（x＋1）＞0， x＞2或x＜－1， ⇔ ⇔ （x－3）（x＋2）≤0 －2≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，
. x | － 2 ≤ x ＜－ 1 ， 或 2 ＜ x ≤ 3 原不等式的解集为
(2)由 x2－4ax－5a2＞0 知(x－5a)(x＋a)＞0. 由于 a≠0 故分 a＞0 与 a＜0 讨论． 当 a＜0 时，x＜5a 或 x＞－a； 当 a＞0 时，x＜－a 或 x＞5a.
[关键要点点拨]
解一元二次不等式应注意的问题： (1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数． (2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解 集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况． (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符 号．
(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根
第二节
一元二次不等式及其解 法
[主干知识梳理] 一元二次不等式的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集
的关系，可归纳为：
判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
当 0＜a＜1 时， 1 解为 1＜x＜ . a 综上，当 0＜a＜1 时，
1 不等式的解集为 x1＜x＜a；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅； 当 a＞1
1 时，不等式的解集为xa＜x＜1.
一元二次不等式恒成立问题 [典题导入] 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，
[规律方法]
1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函 数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是 相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． 2．一元二次不等式恒成立的条件： (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要条件是： a＞0且b2－4ac＜0.
一元二次不等式的应用
[典题导入] 某商品每件成本价为 80 元， 售价为 100 元， 每天售出 100 8 件．若售价降低 x 成(1 成＝10%)，售出商品数量就增加 x 成．要 5 求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为 y， 试求 y 与 x 之间的函数关系式 y＝ f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元， 求 x 的取值范围．
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程 有两相异实根 有两相同实根
ax2＋bx＋c＝0
(a≠0)的根Leabharlann 无实根x＝x1或x＝x2 x＝x1
一元 二次 不等
ax2＋bx＋ c>0(a>0)
{x|x<x1
或x>x2}
{x|x≠x1}
R
式的
解集
ax2＋bx＋
c<0(a>0)
{x|x1<x<x2}
∅
∅
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
5．(教材习题改编)若不等式－x2＋2x－m＞0，在x∈[－1，0]
上恒成立，则m的取值范围是__________．
解析 由m＜－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x， x∈[－1，0]的最小值即m＜umin. 又u在[－1，0]上递增， ∴umin＝－1－2＝－3.
∴m＜－3.
答案 (－∞，－3)
4．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝
{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝ __________，n＝________． 解析 因为|x＋2|<3，即－5<x<1， 所以A＝(－5，1)，又A∩B≠∅，所以m<1，B＝(m，2)， 由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1. 答案 －1 1
f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
[听课记录] 解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2， 此二次函数图象的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1) 时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a， 解得－3≤a＜－1；
及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．
一元二次不等式的解法
[典题导入]
解下列不等式： (1)0＜x2－x－2≤4； (2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．
[听课记录]
(1)原不等式等价于
2 2 x － x － 2 ＞ 0 ， x －x－2＞0， 2 ⇔ 2 x －x－2≤4 x －x－6≤0
综上，a＜0 时，解集为 x|x＜5a，或 x＞－a；a＞0 时，解集为 . x|x＞5a，或x＜－a
[规律方法]
1．解一元二次不等式的一般步骤： (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2 ＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
1 （2x－1）x＝ ， 1－ 3 1＋ 3 4 令 解得 x＝ 或 x＝ (舍去)． 4 4 x＜0， 1－ 3 ∴ ＜x1＜0， 4 1－ 3 ∴ ＜x1x2x3＜0. 16 1－ 3 【答案】 ( ，0) 16
【高手支招】 “三个二次”间关系，其实质是抓住二次函 数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2
即(3x－4)(x＋2)≤0. 4 解得－2 ≤x≤ ， 3
4 所以原不等式的解集为 x－2≤x≤3.
(2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为
1 a＞0，所以x－a (x－1)＜0.
所以当 a＞1 时， 1 解为 ＜x＜1； a 当 a＝1 时，解集为∅；
1 的取值范围是2，2 .
[规律方法] 解不等式应用题，一般可按如下四步进行： (1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式； (4)回答实际问题．
[跟踪训练]
3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式
进行分类讨论，分类要不重不漏．
[跟踪训练] 1．解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，
可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上 网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每 小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小 时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那
么该同学如何选择ISP公司较省钱？
解析 假设一次上网 x 小时，则公司 A 收取的费用为 1.5x 元，公 x（35－x） 司 B 收取的费用为 元． 20 若能够保证选择 A 比选择 B 费用少，则 x（35－x） ＞1.5x(0＜x＜17)， 20 整理得 x2－5x＜0，解得 0＜x＜5， 所以当一次上网时间在 5 小时内时，选择公司 A 的费用少；超过 5 小时，选择公司 B 的费用少．
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【金榜教程】高三总复习人教A版数学(理)配套：第6章 第2讲 PPT 课件
第六章 第2讲
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第六章 第2讲
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1. 一元二次不等式的解集 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2 ＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：
第六章 第2讲
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即 f(x)＝ax2－x＋2a 的图象不在 x 轴的下方， ∴aΔ>≤0，0， 即a1>－08a2≤0 ， 解得 a≥ 42，即 a 的取值范围是[ 42，＋∞).
第六章 第2讲
________．
(2)[2012·重庆高考]不等式2xx－＋11≤0 的解集为(
)
A. －12，1 B. －12，1
第六章 第2讲
第21页
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C. －∞，－12∪[1，＋∞) D. －∞，－12∪[1，＋∞) [解析] (1)(x－2)(x－3)≤0,2≤x≤3， ∴解集为{x|2≤x≤3}．
第六章 第2讲
第30页
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②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]． 法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－ a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章 第1节 数列的概念与简单表示法
由an与Sn的关系求通项an [典题导入] 已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们
的通项an.
(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1. [听课记录] (1)由题可知， 当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝ 4n＋1. 当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1， 故an＝4n＋1.
nπ C．an＝2－sin 2
)
（－1）n＋1 B．an＝ 2 （－1）n－1＋3 D．an＝ 2
[听课记录]
由
nπ an＝2－sin 2 可得
a1＝1，
a2＝2为：0，1，0，1，„，则{an}的一个通项公式为 ________． 答案
出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，„，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的
函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
由数列的前几项求数列的通项公式
[典题导入]
(2014· 西安五校联考)下列公式可作为数列{an}： 1， 2， 1， 2， 1，2，„的通项公式的是 ( A．an＝1
[体验高考] 1．(2013· 新课标全国Ⅰ高考)设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn， cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n＝1，2，3，„.若 b1＞c1，b1＋c1 cn＋an bn＋an ＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ ，cn＋1＝ ，则 2 2 ( A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 )
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第5节-合情推理与演绎推理
第24页，共45页。
类比推理
[典题导入] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，c 内 切圆半径为 r，则三角形面积为 S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间， 类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1，S2， S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为____________”．
命题(猜想)
第3页，共45页。
二、演绎推理 1．定义：从 一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况 下的结
论，我们把这种推理称为演绎推理． 2．特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理． 3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
第4页，共45页。
①大前提—已知的 一般原理 ； “三段论”
第五节 合情推理与演绎推理
第1页，共45页。
一、合情推理
[主干知识梳理]
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的 部分对象 具 由两类对象具有类似特征
有某些特征，推出该类事物
的 全部对象 都具有这些特征 和其中一类对象的某些已
的推理，或者由 个别事实 概 括出 一般结论 的推理
知特征推出另一类对象也 具有这些特征的推理
(小前提)
故Snn是以 2 为公比，1 为首项的等比数列． (大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(结论)
第30页，共45页。
(2)由(1)可知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11＝4·n－n－1＋1 2·Sn－1 ＝4an(n≥2)． 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.
(3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以 ED＝AF.(结论) 上面的证明可简略地写成：
类比推理
[典题导入] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，c 内 切圆半径为 r，则三角形面积为 S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间， 类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1，S2， S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为____________”．
命题(猜想)
第3页，共45页。
二、演绎推理 1．定义：从 一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况 下的结
论，我们把这种推理称为演绎推理． 2．特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理． 3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
第4页，共45页。
①大前提—已知的 一般原理 ； “三段论”
第五节 合情推理与演绎推理
第1页，共45页。
一、合情推理
[主干知识梳理]
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的 部分对象 具 由两类对象具有类似特征
有某些特征，推出该类事物
的 全部对象 都具有这些特征 和其中一类对象的某些已
的推理，或者由 个别事实 概 括出 一般结论 的推理
知特征推出另一类对象也 具有这些特征的推理
(小前提)
故Snn是以 2 为公比，1 为首项的等比数列． (大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(结论)
第30页，共45页。
(2)由(1)可知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11＝4·n－n－1＋1 2·Sn－1 ＝4an(n≥2)． 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.
(3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以 ED＝AF.(结论) 上面的证明可简略地写成：
金榜e讲堂高三人教版数学理一轮复习直线的倾斜角与斜率直线的方程优质课赛课一等奖市公开课获奖课件
第27页
[跟踪训练] 3．(2014·江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成
45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝12x 上时，求直线 AB 的方程．
第28页
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角范围；二是要考虑
正切函数单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，
则需要分类讨论．
第13页
直线倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
kOB＝tan(180°－30°)＝－ 33，
所以直线
lOA：y＝x，lOB：y＝－
3 3 x.
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
所以 AB 的中点 Cm－2 3n，m＋2 n，
第29页
由点 C 在直线 y＝12x 上，且 A，P，B 三点共线得
mmm＋－ －2 n01＝＝12－·mn－－3n20－3n1，，解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ 3－3 1＝3＋2 3， 所以 lAB：y＝3＋2 3(x－1)， 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
第44页
[体验高考] (·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C半径为1， 圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C 切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 横坐标a取值范围．
[跟踪训练] 3．(2014·江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成
45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝12x 上时，求直线 AB 的方程．
第28页
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角范围；二是要考虑
正切函数单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，
则需要分类讨论．
第13页
直线倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
kOB＝tan(180°－30°)＝－ 33，
所以直线
lOA：y＝x，lOB：y＝－
3 3 x.
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
所以 AB 的中点 Cm－2 3n，m＋2 n，
第29页
由点 C 在直线 y＝12x 上，且 A，P，B 三点共线得
mmm＋－ －2 n01＝＝12－·mn－－3n20－3n1，，解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ 3－3 1＝3＋2 3， 所以 lAB：y＝3＋2 3(x－1)， 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
第44页
[体验高考] (·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C半径为1， 圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C 切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 横坐标a取值范围．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第7节-数学归纳法
中 n∈N*且 n≥2)，其展开后含 xr 项的系数记作 ar(r＝0，1， 2，…，n)． (1)求 a1(用含 n 的式子表示)； (2)求证：a2＝3n＋ 4 2C3n＋1.
第34页，共45页。
【思路导析】 (1)a1 为含 x 项的系数；(2)可使用数学归纳法证明． 【解析】 (1)a1＝1＋2＋…＋n＝n（n＋2 1）. (2)证明：证法一：利用数学归纳法 ①当 n＝2 时，f(x)＝(1＋x)(1＋2x)＝1＋3x＋2x2， 此时 a2＝2. 又3n＋4 2C3n＋1＝2C33＝2，所以命题成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，命题成立，即 a2＝3k＋4 2C3k＋1. 则当 n＝k＋1 时，
第28页，共45页。
[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归 纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个 特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种 方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题 中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
第29页，共45页。
第22页，共45页。
[跟踪训练] 2．用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n∈N*，n≥2)．
证明 (1)当 n＝2 时，1＋212＝54＜2－12＝32，命题成立．
第23页，共45页。
(2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12＜2－1k. 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋（k＋11）2＜2－1k＋（k＋11）2 ＜2－1k＋k（k＋1 1）＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
第25页，共45页。
第34页，共45页。
【思路导析】 (1)a1 为含 x 项的系数；(2)可使用数学归纳法证明． 【解析】 (1)a1＝1＋2＋…＋n＝n（n＋2 1）. (2)证明：证法一：利用数学归纳法 ①当 n＝2 时，f(x)＝(1＋x)(1＋2x)＝1＋3x＋2x2， 此时 a2＝2. 又3n＋4 2C3n＋1＝2C33＝2，所以命题成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，命题成立，即 a2＝3k＋4 2C3k＋1. 则当 n＝k＋1 时，
第28页，共45页。
[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归 纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个 特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种 方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题 中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
第29页，共45页。
第22页，共45页。
[跟踪训练] 2．用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n∈N*，n≥2)．
证明 (1)当 n＝2 时，1＋212＝54＜2－12＝32，命题成立．
第23页，共45页。
(2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12＜2－1k. 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋（k＋11）2＜2－1k＋（k＋11）2 ＜2－1k＋k（k＋1 1）＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
第25页，共45页。
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学理一轮复习课件：第2章第4节函数的奇偶性及周期性学习资料
(2)设偶函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(2)＝0，则不等式
f（x）＋f（－x）
x
>0
的解集为
()
A．(－2，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
[听课记录] ∵f(x)为偶函数， ∴f（x）＋xf（－x）＝2f（xx）>0. ∴xf(x)>0. ∴xf（>0x，）>0或xf（<0x，）<0. 又 f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故 x∈(0，2)或 x∈(－∞，－2)． 答案 B
()
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．周期函数
D [当x∈[0，1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知
f(x)为周期函数．故选D.]
2．(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)
＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于
()
A．4
B．3
C．2
D．1
B [∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
答案 0
(2)(2014·晥南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2 ＋ 2x(x≥0) ， 若 f(3 － a2)>f(2a) ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． 解析 因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数， 又因为f(x)是R上的奇函数， 所以函数f(x)是R上的增函数， 要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－3<a<1. 答案 (－3，1)
[规律方法] 函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章第11节变化率与导数、导数的计算-文档资料
【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问 题中此点不一定是切点，此点也可能不在曲线上，所以要先 判断再去解决，切忌盲目地认为给出点就是切点．
[体验高考] (2012·安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)＝ax＋a1x＋ b(a＞0)． (1)求 f(x)的最小值； (2)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝32x， 求 a，b 的值．
【错因】 上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点， 从而导致解答中缺少一种解的可能性． 【解析】 ①当P(－2，－2)为切点时， 切线方程为y＝9x＋16； ②当P(－2，－2)不是切点时， 设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3， 所以切线的斜率k＝3a2－3，
故切线方程为 y－b＝(3a2－3)(x－a)， 又切线过点(－2，－2)， 所以－2－b＝(3a2－3)·(－2－a), 解得ab＝ ＝1－，2或ab＝ ＝－ －22， ，(舍去)，所以切线方程为 y＝－2. 综上，所求的切线方程为 y＝9x＋16 或 y＝－2. 【答案】 y＝9x＋16 或 y＝－2
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝ ex
f′(x)＝
1 xln a
f′(x)＝
1 x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
5．(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3) (x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________． 解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1) (x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案 －120
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第5节-椭圆
5－m＞0， C [由方程表示椭圆知m＋3＞0，
5－m≠m＋3，
解得－3＜m＜5 且 m≠1.]
第8页，共62页。
3．(2012·淮南五校联考)椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值
为
A．－21
B．21
()
C．－1295或 21
D.1295或 21
第9页，共62页。
C [若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 由ac＝45，即 53－k＝54，得 k＝－1295； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， 由ac＝45，即 4k－＋5k＝54，解得 k＝21.]
第26页，共62页。
[跟踪训练]
2．(1)(2014·合肥一中最后冲刺)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的
两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|P→F1＋P→F2|的最小 值是( )
A．0
B．1
C．2
D．2 2
C [由椭圆 x2＋2y2＝2，可得x22＋y2＝1，则 c＝1.
第33页，共62页。
因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)， 所以A→C·D→B＋A→D·C→B＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3， y2)·( 3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋22k＋2＋31k22. 由已知得 6＋22k＋2＋3k122＝8，解得 k＝± 2.
(ⅰ)求O→A·O→B的最值； (ⅱ)求证：四边形 ABCD 的面积为定值． 解析 (1)由题意 e＝ac＝ 22，a42＋b22＝1.又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8， b2＝4，椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章-第1节-数列的概念与简单表示法
第29页，共44页。
[互动探究] 在本例条件下，设 bn＝ann，则 n 为何值时，bn 取得最小值？并求 出最小值． 解析 bn＝ann＝n2－21nn＋20＝n＋2n0－21， 令 f(x)＝x＋2x0－21(x>0)，则 f′(x)＝1－2x02 ， 由 f′(x)＝0 解得 x＝2 5或 x＝－2 5(舍)．
1，2，…的通项公式的是
A．an＝1
B．an＝（－12）n＋1
()
C．an＝2－sinn2π
D．an＝（－1）2 n－1＋3
第14页，共44页。
[听课记录] 由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1， a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
答案 C
第15页，共44页。
[互动探究] 若本例中数列变为：0，1，0，1，…，则{an}的一个通项公式为 ________． 答案 an＝01（ （nn为 为奇 偶数 数） ）.，或 an＝1＋（2－1）n或 an＝1＋co2s nπ
第32页，共44页。
[跟踪训练]
3．数列{an}的通项 an＝n2＋n 90，则数列{an}中的最大值是
A．3 10
B．19
()
1
10
C.19
D. 60
C
[an＝n＋19n0，由基本不等式得，n＋19n0≤2
1， 90
由于 n∈N*，易知当 n＝9 或 10 时，an＝119最大．]
第33页，共44页。
第17页，共44页。
[跟踪训练] 1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)－1，23，－13，34，－15，36，….
[互动探究] 在本例条件下，设 bn＝ann，则 n 为何值时，bn 取得最小值？并求 出最小值． 解析 bn＝ann＝n2－21nn＋20＝n＋2n0－21， 令 f(x)＝x＋2x0－21(x>0)，则 f′(x)＝1－2x02 ， 由 f′(x)＝0 解得 x＝2 5或 x＝－2 5(舍)．
1，2，…的通项公式的是
A．an＝1
B．an＝（－12）n＋1
()
C．an＝2－sinn2π
D．an＝（－1）2 n－1＋3
第14页，共44页。
[听课记录] 由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1， a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
答案 C
第15页，共44页。
[互动探究] 若本例中数列变为：0，1，0，1，…，则{an}的一个通项公式为 ________． 答案 an＝01（ （nn为 为奇 偶数 数） ）.，或 an＝1＋（2－1）n或 an＝1＋co2s nπ
第32页，共44页。
[跟踪训练]
3．数列{an}的通项 an＝n2＋n 90，则数列{an}中的最大值是
A．3 10
B．19
()
1
10
C.19
D. 60
C
[an＝n＋19n0，由基本不等式得，n＋19n0≤2
1， 90
由于 n∈N*，易知当 n＝9 或 10 时，an＝119最大．]
第33页，共44页。
第17页，共44页。
[跟踪训练] 1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)－1，23，－13，34，－15，36，….
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第1节-不等关系与不等式
第1页，共49页。
第一节
不等关系与不等式
第2页，共49页。
[主干知识梳理] 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0⇔ a＞b ；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b ．
第3页，共49页。
二、不等式的基本性质 性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒ a>c
第38页，共49页。
解法二：由ff（（1－）1） ＝＝ a＋a－ b，b， 得ab＝ ＝1212[[ff（ （－ 1）1） －f＋（f－ （11） ）]].， ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
第39页，共49页。
又∵1≤f(－1)≤2， 2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. 即 5≤f(－2)≤10.
第25页，共49页。
∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选 C.
答案 C
第26页，共49页。
[规律方法] 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题
与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并 应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到 其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真 假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性 认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为 假命题．
A．大于0
B．等于0
C．小于0
D．不确定
A [由a<0，ay>0知y<0，
第一节
不等关系与不等式
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[主干知识梳理] 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b＞0⇔ a＞b ；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b ．
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二、不等式的基本性质 性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒ a>c
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解法二：由ff（（1－）1） ＝＝ a＋a－ b，b， 得ab＝ ＝1212[[ff（ （－ 1）1） －f＋（f－ （11） ）]].， ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
第39页，共49页。
又∵1≤f(－1)≤2， 2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. 即 5≤f(－2)≤10.
第25页，共49页。
∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选 C.
答案 C
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[规律方法] 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题
与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并 应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到 其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真 假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性 认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为 假命题．
A．大于0
B．等于0
C．小于0
D．不确定
A [由a<0，ay>0知y<0，