四川大学数一二线性代数期末考试试卷A

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1

四

川大学期末考试试卷(A )

科 目：《大学数学》（线性代数）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 2

32

32

3

a a a

b b

b c c c = __abc()_____.

2． 向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性___

____.

3． 设A =378012002⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

, A *是A 的伴随矩阵, 则 |1

5-A*| = _________.

4． 当t 满足______的条件时, 2

2

2

12311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5． 设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.

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2 二、选择题（每小题3分，共15分）

1． 设矩阵,23⨯A ,32⨯B 33⨯C , 则下列式子中, ( )的运算可行.

(A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -.

2． 设D=123

012247

-, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333

A A A ++=

( )

.(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3． 设A 为4m ⨯矩阵, 秩(A)=2,

123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性

无关解向量, 则( )为AX =0的通解.

(A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +-

(C)

1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+

4． 设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ).

(A) 1

1

--=BC A X ; (B) 1

1

--=C BA X ; (C) 1

1

--=A BC X ; (D) 1

1

--=BA C X .

5． 设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值.

(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件

三、计算下列各题(每小题10分，共30分)

1． 计算行列式 1112

0132.1223

1

420

------

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3

2． 解矩阵方程,X B AX +=其中21125111,3001214A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

.

X=[-1 5]

5/4 2 .-1/2 .-1 3

．

求

向

量

组

]1,3,2,1[1-=α, ]1,10,11,5[2--=α,

]9,1,8,3[3-=α, ]19,9,2,0[4-=α的秩与它的一个极大线性无关组.

四、解答下列各题(每小题12分，共24分)

1．讨论当b取何值时, 非齐次线性方程组

1234

1234

1234

2373

35135

543

x x x x

x x x x

x x x x b

+++=

⎧

⎪

+++=

⎨

⎪++-=

⎩

有解; 当有

解时, 求方程组的通解.

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4

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5

23

2232133),,(x x x x x f +=323121244x x x x x x -++ 化为标准形.

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6 五、证明题(每小题8分, 共16分)

1． 设12321311A λ-⎡⎤⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

, 如果存在三阶矩阵 0,B ≠ 满足AB =0, 试求λ的值,

并证明. rank B *=0, 其中B *是B 的伴随矩阵.

2． 设A 是一个三阶矩阵,向量组123,,()I ααα中的三个向量分别是A 属于特征值0,1,3的特征向量, 向量组

)(,,421II ααα线性相关, 证明: 向量组

)(,,4321III αααα-线性无关.