矢量分析
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
矢量分析
∇ × ∇ϕ = 0
梯度
三、矢量场的通量、散度
1、通量
r 定义：若矢量场 A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面 S
r 上。定义 A 在曲面上的积分为通量。
r r Ψ = ∫ A ⋅ dS
s
曲面 S 的方向 开表面： 作一封闭线圈，选定绕行方向后，沿绕行方向 按右手螺旋法则，拇指方向为开表面方向 闭合面：外法线方向
s l
无旋场 性质
r ∇× A = 0
r ∇ ⋅ (∇ × A) = 0
旋度
例题讲解（课本） 例题1-8 例题1-9 例题1-10
例题
五、亥姆霍兹定理
内容：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度 以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯 一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零 则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
基础
矢量表示式
r r r r A = er Ar + eϕ Aϕ + e z Az
微分长度
r r r r dl = er dr + eϕ rdϕ + e z dz
微分面积
r r dS r = er rdϕdz r r dS ϕ = eϕ drdz r r dS z = e z rdrdϕ
微分体积
dV = rdrd ϕdz
只改变大小，不改变方向 矢量与矢量点乘
s r r r A ⋅ B = A B cosθ AB = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
r r r r A⋅B = B⋅A
基础
说明： 1、两个矢量的标量积或点积，是一个标量 。 2、Θ是A、B之间较小的夹角，小于Π弧度。 3、其结果表示一个矢量的模和另一个矢量在该矢量 上的投影和乘积。 矢量与矢量叉乘
矢量分析
矢 量 分 析一：定义标量：只有大小，没有方向的物理量。
如质量，时间，温度等矢量：即有大小，又有方向的物理量。
如力，位移，速度等 二：矢量表示法线段的长度表示矢量的大小箭头的指向表示矢量的方向 记为：A或x o三：矢量的模和单位矢量模： 矢量的大小，记为A单位矢量：若矢量0A的模为1，且方向与 A 相同,则称0A 为A方向上的单位矢量。
有A =A0A----大小和方向分离表示四：矢量运算相等：两个大小相等且方向相同的矢量相等。
平移：矢量平移后，大小和方向均保持不变。
负矢量：大小相等，方向相反的矢量，记为-A加法：既矢量合成，服从平行四边形法则=A+ BA可演化成三角形法则多矢量合成服从多边形法则减法：既矢量的分解，是加法的逆运算)(BABAC-+=-=大小Am数乘：AmAm=⨯方向: m＞0 与A同向m＜0 与A反向五：矢量的坐标表示222ZY X Z Y X A A A A kA j A i A A ++=++= 令 两矢量kB j B i B B kA j A i A A Z Y X Z Y X++=++=则有kmA j mA i mA k A j A i A m A m k B A j B A i B A B A z y x z y x z z y y x x ++=++=±+±+±=±)()()()( B A = 当且仅当 z z y y x x B A B A B A===六：标积（点积）两矢量相乘得到一个标量A B Cos B A B A C⋅==⋅=θ c由定义可知当θ=0时 C οS θ=1 BA B A=⋅ B当θ=π/2时 C οS θ=00=⋅B A七：矢积（叉积）A两矢量相乘得到一个矢量B A C⨯= 大小: ),(B A Sin B A Sin B A =θ方向: 右手系由定义可知当θ=0时 Sin θ=0 0=⨯B A当θ=π/2时 Sin θ=1 B A B A=⨯)(A B B A⨯-=⨯ 不服从交换律八：矢量的求导令存在矢量 k t A j t A i t A t A z y x )()()()(++=则有:k dtt dA j dt t dA i dt t dA dt t A d z y x)()()()(++=例： 一人字原点出发，先向东走了30米，又向南走了10米，再向西北走了18米，求合位移的大小和方向。
第1章 矢量分析
y = −x + 2
解：
W =∫
b
a
r r 0 2 3 F ⋅ dl = ∫ 2 ydx + ∫ xydy + ∫ zdz
x =1 y =1 z =0
0 2(− x + 2 )dx + 2 (− y + 2 ) ydy + 3 zdz = ∫ ∫y =1 ∫z =0 x =1 13 = J 6
−1
• 物理意义：表示一个矢量与另一个矢量投影 物理意义： 的乘积
A
θ
B
A 在 B 方向上的投影
两个矢量的点乘满足： 两个矢量的点乘满足：
1） A • B = B • A ） 2） ( A+ B ) •C = A • C + B • C ）
3) A • A = A 2 直角坐标系中， A • A = Ax2 + Ay2 + Az2 直角坐标系中 4) 两个单位矢量的点乘 两个单位矢量的点乘： ai • aj = 推论： 推论： A • B = 0 ⇔ A ⊥B 可作为两矢量相互垂直的判据） （可作为两矢量相互垂直的判据） 1 0 i=j i≠j
kA= (k Ax) ax+ (k Ay ) ay + (k Az ) az 若k=-1，则得两个矢量相减： ，则得两个矢量相减：
A + ( -B )= A – B= (Ax-Bx) ax + (Ay-By ) ay+ (Az-Bz) az
2. 矢量的乘法运算
两个矢量的乘积有两种定义： 两个矢量的乘积有两种定义：点乘和叉乘
（2）两个矢量的叉乘 叉积、矢量积 两个矢量的叉乘（叉积 矢量积） 两个矢量的叉乘 叉积、 —— 结果是矢量
矢量分析
定理2 若有向曲线C上取 取定一点M0 作为计算弧长s的起点，并 C之正向作为 并以 s增大的方向；M为C上的 的一点，在点M处 沿C之正向作一与C相切的 的射线，则函数 l u在点M处沿l方向的方向导 导数等于u对s的 l 全导数： du(s) ∂u |M = |M （ ） 2.3 ds ∂l
数量场等值线
u( x, y) = c
M0 过数量场中每一点 （x0，y0，z0 都有 ） 唯一等值面 u( x, y, z) = u（x0，y0，z0 ）。
R −x − y −z
2 2 2 2 2
如数量场: u( x, y, z) =
2 2 2
等值面:
R −x − y −z =c
R 00 过（， ）的等值面: ， 2 R −x − y −z =
最大值，所以梯度向量的方向为±( 0，0，1)，
0， 0， grad u| = ±32 ( 0，0，1) = ± ( 0， 32) M
模为32，即 32，
∂u ∂u ∂u u u u 又 因 为 grad u|M = （ ， ， ） (4a + 3c,4a - b,2b - 2c ) == ∂x ∂y ∂z x y z 比较上两式得 4a + 3c = 0, 4a - b = 0, 2b - 2c = ±32
于是所求曲面方程为
7 ( x -1) - 3 ( y +1) +8(z - 2) = 0
第8.3节 节
矢量场
1. 矢量场的矢量线 r r
矢量 A = A M） 场 （
r r 在直 角坐标系下，A = A x y z ， （ ， ，） 它的坐标表示式为 为 r r r A = Ax x y z i + Ay x y z j （ ， ，） （ ， ，） r + Az x y z k。 （ ， ，）
矢量分析报告
矢量分析报告简介矢量分析是地理信息系统（GIS）中常用的一种分析方法，通过对矢量数据进行处理和分析，从中提取有用的信息并得出结论。
本文档将介绍矢量分析的基本概念和方法，并以实际案例解释如何应用矢量分析来解决各种问题。
什么是矢量数据？在GIS中，矢量数据是用于表示现实世界中的地理对象的一种数据模型。
它利用矢量空间来描述和存储地理对象，在计算机中以点、线和面的形式表示。
矢量数据具有以下特点： - 离散性：矢量数据以离散的点、线和面对象形式存储。
- 拓扑性：矢量数据中的要素之间具有拓扑关系，可以通过空间关系进行分析。
- 位置和属性：矢量数据不仅包含地理位置信息，还包含与之相关的属性数据。
矢量数据的基本属性矢量数据包含两个基本属性：几何属性和属性数据。
几何属性几何属性描述了地理对象的位置和形状。
在矢量数据中，几何属性可以是点、线或面。
•点（Point）：在地理空间中的一个离散位置。
点没有长度或面积，仅有一个坐标位置。
•线（Line）：由一系列连接的点组成的几何对象。
线可以表示道路、河流或边界等。
•面（Polygon）：由一系列闭合的线组成的几何对象。
面可以表示土地使用类型、行政区划等。
属性数据属性数据是与几何对象相关联的数据。
它描述了地理对象的特征和属性。
属性数据可以是任何类型的信息，如名称、面积、人口数量等。
这些属性数据通常以表格的形式存储，其中每一行代表一个地理对象，每一列代表一个属性。
矢量分析方法矢量分析基于矢量数据进行，可以帮助我们理解和解释地理现象，从而做出决策。
以下是常用的矢量分析方法：缓冲区分析缓冲区分析用于确定距离某个地理对象一定范围内的其他地理对象。
它可以帮助我们分析空间关系、评估风险和规划用地。
缓冲区分析的步骤如下：1.选择要进行缓冲区分析的对象。
2.指定缓冲区的半径或距离单位。
3.进行缓冲区分析并可视化结果。
叠加分析叠加分析用于确定两个或多个矢量对象之间的空间关系。
通过叠加分析，我们可以识别出重叠、相交、包含和邻近等关系。
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
矢量分析
对于矢量也存在相应的函数，称为矢性函数
例如：卫星的速度是时间 t 的矢性函数
V V t
第一章
矢量分析
场的定义：
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某 个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了 该物理量的一个场。
若该物理量为标量，则称标量场,
可用标量函数表示f(x,y,z)；
x
证明：M点的坐标为M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函数φ在 M0处可微，故
( M ) ( M 0 ) x y z x y z
第一章
矢量分析
z
两边除以ρ，可得
x y z x y z cos cos cos x y z
x 2 y 2 c2 解之即得矢量方程 z c1 x
c1和c2是积分常数。
第一章
矢量分析
1.2 标量场的方向导数和梯度
1.2.1 标量场的方向导数
方向导数表征标量 场空间中，某点处场值沿
各个方向变化的规律。
方向导数的定义：
图 1-2 方向导数的定义
第一章
矢量分析
设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方
A B
矢量的加法运算
A B B A
A B
A B
A B A ( B)
矢量的减法运算
A B
第一章
矢量分析
两个矢量的乘积
两个矢量的乘积有两个定义： 点积
运算结果 运算结果
标量 矢量
标积 矢积
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矢量代数赵黎晨第一节 矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。
因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若 123(,,)a a a a = 123(,,)b b b b = 则 a , b 的点乘(也称标量积)112233a b a b a b a b ⋅=++ (cos a b b a a b α⋅=⋅=)a ,b 的叉乘(也称矢量积))()()(122133113223321321321321b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==⨯的大小b a⨯sin a b α，α为a , b 的夹角方向：既垂直于a，又垂直于b ,与b a ,满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性 a b b a⨯-=⨯2.三个矢量的混合积112233()()()()c a b c a b c a b c a b ⋅⨯=⨯+⨯+⨯=)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+-几何解释:以c b a,,为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。
()()()()a b c a c b b a c c b a ⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。
()()a b c a b c ⋅⨯=⨯⋅3.三个矢量的叉乘令 ()c a b f ⨯⨯=则123123233231131221e e ef c c c a b a b a b a b a b a b =---1212213311312233122331112233111223311()()()()()()()()f c a b a b c a b a b a c b c b b c a c a a c b c b c b b c a c a c a a c b b c a =---=+-+=++-++=⋅-⋅同理 222()()f a c b b c a =⋅-⋅333()()f a c b b c a =⋅-⋅故 ()()()c a b f c b a c a b ⨯⨯==⋅-⋅ 而 ()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。
两者取和。
(“远正近负，再取和”)二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。
这是需要引入场的概念。
如果在全部空间或部分空间里的每一点．．．，都对应着某个物理量的一个确定的值．．．．．．，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。
1.数学上，场是空间时间的函数 时间坐标 t空间坐标 (,,)x x y z ix jy kz =++，,,i j k 构成右手系。
标量场 空间的每一个点对应一个标量 矢量场 空间的每一个点对应一个矢量 张量场 空间的每一个点对应一个张量2.物理上， 描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量3.记号 标量场 ()x φφ= 矢量场 ()F F x =张量场 T T x →→→→=（）4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。
三、场分析及其微分特征量（矢量微分） 整体上来看 分析场的奇异性，敛散性局域上来看 函数某点附近的性质，微分特征量。
1.梯度在标量场中，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。
但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。
而研究标量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。
为此，引入方向导数，梯度的概念。
(1)方向导数方向导数给出了函数()x φ在给定点处沿某个方向的变化率问题。
然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。
函数()x φ在M 点l 方向上的方向导数为（场的空间坐标为()x x l =）()()(),(),()d x dx l y l z l dl dlφφ=x y zx l y l z lφφφ∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂ l 方向上的单位矢量0x y z l ij k l l l ∂∂∂=++∂∂∂。
cos x l α∂=∂，cos y l β∂=∂，cos zlγ∂=∂在M 点l 方向上的方向余弦。
其余三个数x φ∂∂，y φ∂∂，zφ∂∂也可视为某一矢量的坐标x y z G e e e x y zϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂。
(2)梯度在直角坐标系下，定义梯度(gradient)：x y z grad e e e x y zϕϕϕϕϕ∂∂∂=∇=++∂∂∂。
这样上式可以表示为()0d l dlφφ=∇⋅。
从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数()x φ上升最快的方向，大小为其改变率数值。
(3)梯度的性质（1）梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布； （2）方向导数是梯度在该方向上的投影； （3）梯度的方向为指向()x φ增加最快的方向。
2.散度： (1)通量通量的定义，设有矢量场F ，沿某一有向曲面S 的某一侧面的曲面积分sF dS Φ=⋅⎰叫做矢量场F 向积分所沿一侧穿过曲面S 的通量。
说明：1.积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分;2.通量可以叠加;3.若为闭合面，sF dS Φ=⋅⎰，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。
根据通量的正负可以得知S 内有产生通量Φ的正源（源）或负源（汇、壑、闾）。
但仅此还不能了解源在S 内的分布情况以及源的强弱程度等问题。
为了描述上述问题，我们引入散度的概念。
(2)散度散度(divergence)的定义0lims sV sF dS divf fV →⋅=∇⋅=⎰散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。
也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处源的强度（散发通量或吸收通量的能力）。
其符号的正负表示在该点处有散发通量之正源或有吸收通量之负源，其绝对值divf 就相应的表示在该点处散发通量或吸收通量的强度。
对于流体来说，散度表示稳定流动的不可压缩流体在源点处的源头强度，（单位时间单位体积内所产生的流体质量）。
(3)散度的性质（1）与坐标系的选取无关，取决于场的分布。
（2）在直角坐标系下有 y x z f f f divf f x y z∂∂∂=∇⋅=++∂∂∂ 3．旋度（1）环量的定义： 设有矢量场F ，则沿场中某一闭合的有向曲线l 的曲线积分lF dl Γ=⋅⎰称为此矢量场按积分所取方向沿曲线l 的环量。
我们已知磁场中有lH dl I ⋅=⎰由上式可以知道，磁场H 的环量，I 为通过磁场中以l 为边界的一块面积S 的总的电流强度。
显然，仅此还不能了解磁场中任一点M 处通向任一方向n 的电流密度（即在点M 处沿n 的方向，通过与n 垂直的单位面积的电流强度）。
为了研究这一类问题，我们引入环量面密度的概念。
（2）环量面密度。
设M 为矢量场F 中的一点，在M 点处取定一个方向n ，再过M 任作一微小曲面S ∆，以n 为其在M 点处的法矢，对此曲面，我们同时又以S ∆表其面积，其周界l ∆之正向取作与n 构成右手螺旋关系。
则矢量场沿l ∆之正向的环量∆Γ与面积S ∆之比，当曲面S ∆在保持M 点于其上的条件下，沿着自身缩向M 点时，若S∆Γ∆的极限存在，则称其为矢量场F 在点M 处沿方向n 的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作n μ，即，lim limln S M S MF dl S Sμ∆∆→∆→⋅∆Γ==∆∆⎰例如，在磁场强度H 所构成的磁场中的一点M 处，沿方向n 的环量面密度，limlimln S MS MH dl I dISS dSμ∆∆→∆→⋅∆===∆∆⎰(电流密度) 。
又如在流速场v 中的一点M 处，沿方向n 的环量面密度为limlimlt tn S MS Mv dlQ dQ SS dSμ∆∆→∆→⋅∆===∆∆⎰即为在点M 处与n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为环流密度（或环流强度）。
单位时间单位面积流走的电荷电量。
从上面我们可以看出，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方向导数与方向有关一样。
然而在标量场中，梯度矢量，在给定点处，它的方向表出了最大方向导数的方向， 其模即为最大方向导数的数值， 而且它在任意方向的投影，就给出该方向上的方向导数。
这种情况，给我们一种启示，能否找到这样一种矢量，它与环量面密度的关系，正如梯度与方向导数之间的关系一样。
这个矢量我们称之为旋度. 下面，我们给出旋度的定义， （3）旋度若在矢量场F 中的一点M 处存在这样的一个矢量R ，矢量场F 在点M 处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是R ，则称矢量R 为矢量场F 在点M 处的旋度(rotation, curl)，记作rotF ，即rotF R =简言之，旋度矢量在数值和方向上标出了最大的环量面密度。
(4)旋度的性质（1）旋度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即有n n rot F μ=。
limln S F dl n rotF Sμ∆∆→⋅=⋅=∆⎰例子1:在磁场H 中，旋度rotH 是在给定处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模即为最大电流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电流密度。
在电学上称rotH 为电流密度矢量。
例子2:在流速场v 中，旋度rotv 是在给定处，它的方向是最大环流密度的方向，其模即为最大环流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的环流密度。
（3）在直角坐标系中()()()xy zy y x x z z x y z x y ze e ef f f f f f rotf f e e e x y z y z z x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 例题：设一刚体绕过原点O 的某个轴l 转动，其角速度为123i j k ωωωω=++，则刚体上的每一点处都具有线速度v ，从而构成一个线速度场。