行列式经典例题
大学——行列式经典例题
例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式
解方法1
由题设知， an =0,
a 〔2 1 , L
,a
1n
n 1
丄
故
0 1
L n 1
0 1 L n 1
1
L n
2
r
i
r 1
1
1 L
1
D n
M
O
i n ,n
1,L ,2
M
O
n 1 n
2 L 0
1
1 L
1
n 1 n L L n 1
2
L L
1
C j C
n
M O O
L ( 1)n 12* 2
(n 1)
j 1,L ,n 1
M
0 2
L 0
1
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行?第二步用的每列加第
n 列.
证明：考察范德蒙行列式：
=(a 一②o -打)3 -刃3 一
(匚
-y)
1 L n 1
1
1 L
1 1 0
L
n 2
r i r i 1 1 1 L
1
M
O
i 1,2,L ,n 1
M O
n 1
n 2
L
n 1
n 2 L
方法2 D n
Cj q
j 2,L ,n
例2. 1
1 M n 1
设a ,
0 L 2 L O 2n 3 L
b ,
c 是互异的实数
=0
=(1)n 12n 2(n 1)
的充要条件是a + c =0.
=-1 ■■■■ J J - I .■- ■ ■ J I .
1 1 1
a b c
行列式云即为y2前的系数?于是
1 1 1
a b c
口m ={a-b)[a - e)(b-c){a-\-b-\-c)
=0
所以的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D
a n 1 a n 2 a i
解：方法1递推法按第列展开,
D n = x D n 1 + (-1) a n
由于D1 = x + a
1，D2
2
1+ a n=x(x D n 2+a n 1) + a n=x D n 2+ a2 a1
n 1
a n 必+ a n = L = x D 1+ a
n
2X
n
+ a n 1x + a n =x
n
a〔x L a n 1x a n
方法2第2列的x倍，第3列的x 倍, ，第n列的x n1倍分别加到第1列上
q XC2
D n
a n xa n 1 a n 1 a n 2 K x a1
=(-1)
x
0 K 0 0
x
1 K 0
0 0
1 K
, .、2n 1
x K
+
+ ( 1) a 2
M M
M M
M M
M M 0
0 K x 1
0 K
1
x
1 K 0 0
v \
0 x K
0 0
x)
M
M
M M 1
0 0 L
0 x
K 0
0 1 x 1
n (-1)
(-1)
1X
n 2
a n + ( 1)2n (a 1
n 1
a n + 2
(-1)
n 2 (1) a
n
C | x 2
C 3
a n xa n 1
a n 2 a n 1
a
n a n 3
a i
按*展开
1)n1
n n 1
x a 1X
L a n 1X a n
方法 利用性质, 将行列式化为上三角行列式.
1
C 2
C 1
x
1 C 3
C
2
x
D nL
1
C
n $
x
按J 展开
=a n
a n
a n
a n 1
3n_ -2
x
k n
k n = x
a n 1X
方法
按r n 展开
D n
1)
n1
(
a n 1 n x
+j
x
+x)
n
a x
n
(-1)
2n1
(— 1) a 2x n
2n , . n 1
+ (— 1) ( a 1+x) x
a n
b n
解 采用升阶（或加边）法?该行列式的各行含有共同的元素
b n
这个题的特殊情形是
可作为公式记下来.
例5.计算n 阶“三对角”行列式
K 0 0
1
K 0 0 D n =
0 1 +
K
0 0
M M
M
M
M
a n a n 1X L a 1X n 1
例4.
计算 n 阶行列式:
D n
a 1 M
a 2 a 2
b 2 M
a n a n M
a 2 原行列式值不变的情况下，增加一行一列, 简后出现大量的零元素. 适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化 升阶 D n
1 a
0 a 1 b|
a 2
a n ai
1 C i
c
j 2,
L
,n 1
a 2
a 2
b 2 M a n a n M L r
n 1
r
i
a 2
b 1
a 1
b
1
a n a 2
b 2 M
b n
a n
=db 2L a 1 bi 0 b n (1
a 2 0
a n 0
b 2
M
31
b 1
b n
b n
D n
a 1 x a 2 a n a 1 M a 2
M a n M =x
1
(x
aj
a 1
a 2
a n
0 0
上式右端第一个行列式等于a
D n 1，而第二个行列式
1 D n = 0
1 M M 0
0 K 0
K 0 + K 0 M
M
0 K 1
1 M 0 0
K 0 0 K 0 0 K 0 0 M M M
0 K 0
K
1
由递推公式得
2 ,
=
a
D n 2 +
方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式
按q 展开
D n
(
)D n 1 —
按^展开
(
)D n 1 —
即有递推关系式 D n = (
0 K
0 0
1
K
0 0
M M M
M
M
0 K
1
(n 1)
D n 2
)
D n 1 一
D n 2
(n 3)
递推得到
D n
D n (D n
D n 2)
=
2
(D n
D n 3)
(D 2
DJ
而D 1 (
D 2 =
a+
a+
代入得D n
D n 1
D n
D n
(2.1)
D n
D n 1
1
)
n
+ n1 + +
当a=B 寸
解方法1递推法.
故 n D n 1?
1
2)
D n
(D n 1 n 1
—a
=3 1
=(
所以对于n N ，等式都成立
例6. 计算n 阶行列式:
a 2 M
a n
K 0 0
0 0 K
0 0
1
K 0 0
1
0 K
0 0
1 K 0 0 c aq 1
1
K
0 0 M
M M M M
i 2,L ,n
M M M
M M 0
0 0 K
0 0 K
1
0 K
1
已与 2.1 ）式相
同.
1
n
D n D n
n
于是得递推公式 方法3 在方法
中得递推公式
)D n 1
D n
又因为当 D i =
D 2
=(
)2
=(
)3-2
于是猜想D n
)(
2
)=
1
-,下面用数学归纳法证明.
当n=1时，等式成立，假设当 当n=k+1是，由递推公式得
时成立.
)D k
D k1
D n
其中6a2L a n 0 .
解这道题有多种解法.
方法1化为上三角行列式
1 a1 1 L 1 a1
C1 _C j
b 1 L 1
ri H a1 a2 a j 0 a2
D n
i 2,L ,n M O j 2,L ,n M O
a1 a n 0 a n
n1
a11
n1
i 1 a i ，于是D n a&L a n 1
n
其中b 1 a i a i
方法
i 2 a i i 1 a i
升阶（或加
边）
升阶
D n
a
1
1
M
r i
a2
M
2,3,L,n
a1
M
a n
1
C1
a-
Cj1
1,2,L ,n 1
a j
a1
a2
a n
方法3递推法?将D n改写为
1 a1 1 L 1 1 a
2 L
M M
1 1 L
1 0 1 0 M 1 a n
由于
a2
M
1 a i
a n
1
1
1 a1
1
1
1 a2
L
L
+
M M M M
1 1 1 L a n
1 a1 1 L
按
c
n拆开
1 1 a
2 L
M M
1 1 L
1 a1 1 L 1
a1
1 1 a2L 1 r i R a2
M M M /|i 1,L ,n 1
1 1 L 1 1 1 L 1
a t a? L a n 1