部分数学建模习题解答[1]

第一章第5题一个男孩和一个女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校里上学，每天同时放学后分别以2km/h和1km/h的速度步行回家。

一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又从女孩处跑向跑回男孩处，如此往返的奔跑，直至回到家中。

问小狗总共奔波了多少路程？解：由于男孩、女孩与小狗跑的时间一样，所以把时间设为t，则有2t+1t=3，得到t=1h。

所以小狗跑了6km/h*1h=6km。

第一章10题一位探险家必须穿过一片宽度为800 km的沙漠，他仅有的交通工具是一辆每升汽油可行驶10km的吉普车．吉普车的油箱可装10升汽油。

另外吉普车上可携带8个可装5升汽油的油桶，也就是说，吉普车最多可带50升汽油(最多能在沙漠中连续行驶500 km)。

现假定在探险家出发地的汽油是无限充足的．问这位保险家应怎样设计他的旅行才能通过此沙漠？他要通过沙漠所需的汽油最少是多少升？为了穿越这片800km宽的沙漠，他总共需要行驶多少公里路程。

总共要花费多少升的汽油?思路：1、若沙漠只有500公里或者更短，这时很简单，一次搞定。

2、若沙漠有550km，怎么办？需要保证的是：车到了离沙漠终点还有500km的地方，能恰恰加满油且不会有多余。

方案可为：600-550＝50，从起点处加5*3(升)＝15升油，开出50km，设一加油站，存下5升，剩下5升刚好使得汽车返回起点。

再在起点处加满50升油，到加油站时，只乘45升了，把存放在那儿的5升油加上。

则可跑出沙漠。

（这样共加油15＋50＝65，总路程为150+500＝650km）3、再看2的情况，符合这种情况的沙漠的最大距离是多少呢：答案是500*（1+1/3）公里。

即在起点准备100升油，第一次装50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起点，这时车里的油也正好用完，然后再在起点处装50升，跑了550/3公里后，车内剩下（50*2/3）升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好为50升油，则可跑出沙漠。

4。

当沙漠的距离超过了500*（1+1/3）km（但又超过得不多）又当如何？这时我们可以把前面的500*（1+1/3）km看成一段整体，需要保证的是：在距离沙漠终点500*（1+1/3）km 处恰恰有100升油（由3的分析可知）。

怎么来保证呢，我们假设沙漠的距离只比500*（1+1/3）多了1公里，因为汽车的容量是50升，所以100升油最少从起点运3次油才能满足。

除了3次装油，还有两次折回，所以往返正好有5次，这5次能保证的距离是500/5，所以这时我们又把沙漠的距离延伸到了：500*（1+1/3+1/5），起点应该储备150升油。

5。

当沙漠的距离超过了500*（1+1/3+1/5）km，要保证在距离沙漠终点500*（1+1/3+1/5）km的地方有150升油。

综上所述：总有某一个值k,使得fdis=500*（1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)）<800，但500*(1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)+1/(2k+1)）>800，应该在起点准备多少油呢？这时多了一小段出来，按情形2的分析，在起点准备的油应当是：（(800 - fdis)/油耗）*往返次数+ k*50。

经计算：fdis=766.66,k=3,故应准备的油应为：（(800 – 766.66)/10）*7 + 3*50＝173.338。

第一章11题如果你有一个3L的桶和5L的桶，问如何才能准确地称出4L的水？如果你要的不是4L而是别的数量，你又该怎么办？解：准确称出4L水的方法：先把3L的桶装满水，倒入5L的桶中，再把3L的桶装满，又倒入5L的桶中直到倒满，此时3L的桶中还剩下1L；再将5L桶中的水倒掉，将3L桶中剩下的1L倒入5L桶中，再用3L桶装满水倒入5L桶中即可得到4L水。

y∈）表示要的任意L的水，a表示得到y L水所要用到3L桶的次数，b 设y（[0,8]表示得到y L水所要用到5L桶的次数。

则可以得到如下模型：=+，a，b为整数。

35y a b例如1、y=1L时，a=2，b= -1，表示3L的桶用了两次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。

2、y=2L时，a= -1，b=1。

3、y=3L时，a=1，b=0。

4、y=4L时，a=3，b= -1，表示3L的桶用了三次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。

5、y=5L时，a=0，b=1。

6、y=6L时，a=2，b=0。

（注，此时5L的桶有用来中间存贮）7、y=7L时，a= -1，b=2。

8、y=8L时，a=1，b=1。

第一章第13题第二章1题第i 个前初的兔子对数为i f011,1f f ==，2012f f f =+=，3213f f f =+=，4235f f f =+= 5438f f f =+=，64513f f f =+=，76521f f f =+=，86734f f f =+=98755f f f =+=，108989f f f =+=，11109144f f f =+=（对）（理解：第i 个月的兔子=第i-1个月的兔子+第i-2个月的兔子，12i i i f f f --=+） 第二章2题这相当于一根棒的两端甲A ，乙B ，设初始位置甲A(0,0),棒长为R,乙的初始坐标为（D,0）,顺时针运动，设甲的切向速度为v1,乙的径向速度为v2,则有转速w=v1/R,设x 轴正方向单位向量为i,y 正方向为j,则有乙的合速度为v1*(i*cos(wt)+j*sin(wt))+V2*(j*cos （wt ）-isin(wt)），即有乙坐标的参数方程为x=D+[V1*cos(wt)-v2*sin （wt ）]*t y=[V1*sin(wt)+v2*cos （wt ）]*t, 这就是乙的运动路线了第二章3题 最小二乘法设y ax b =+，让总偏差最小，总偏差记为ε，()2161iii y ax b ε==-+⎡⎤⎣⎦∑，要求ε达到最小()()()161611220i i i i i i i i y ax b x y ax b x a ε==∂=-+⋅-=--+⋅=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∑∑ ()16120i i i y ax b b ε=∂=-+=⎡⎤⎣⎦∂∑()16161611116161621111616i i i i i i i i i ii i i y x y x a x y x ======-=-∑∑∑∑∑∑，()()16161616211112161621116i i i i i i i i i i i i i x y x y x b x x ======-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑16112584123251284813377137081395014229146301488015288152991516815582158401620016728232566i ii y x==+++++++++++++++=∑()2161204492102521316216092220122500234092371624025243362464925281256002624426896378220ii x ==+++++++++++++=∑()216232566245815110.7194163782202458a ⨯-⨯==⨯-()22458232566378220151116.073245816378220b ⨯-⨯==--⨯0.719416.073y x =-数学建模2.10将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，桌子四条腿的连线呈长方形，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？ 若桌子四条腿共圆，结果又如何？ 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对于问题一和问题三我们都这样假设 （1）地面为连续曲面（2）方桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

问题一现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。

问题二现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以圆桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、C 的初始位置在y 轴上，而B 、D 则在y 轴上。

当方桌绕中心0旋转时，B 、D 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，我们令0'()f θ为A 、C 离地距离之和，'()g θ为B 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），0'()f θ,'()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故0'()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设'(0)0f =,'(0)0g >g （若'(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知0'()f θ,'()g θ均为θ的连续函数，'(0)0f =,'(0)0g >且对任意θ有00'()'()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00'()'()0f g θθ=。