中科大数理方程ppt
合集下载
数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
数理方程课件
第十七页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十八页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十九页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第二十页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第二十一页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第二十二页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第二十三页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第九页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十一页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十二页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十三页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十四页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十五页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第十六页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第一页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第三页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第四页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第五页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第六页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第七页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第八页，编辑于星期一：二十一点 八分。
第二十四页，编辑于星期一：二十一点 八分。
数理方程 绪论PPT共39页
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
数理方程 绪论
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
谢谢！
数理方程 绪论
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
数理方程课件2.2
n 1
ny 0 b
ny C0 Cn Dn cos 0 b n 1
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。
因此：
C0 0, Cn Dn 0 (n 1, 2,).
na na n b b Cn e Dn e Ay 得： D0 a cos b y Ay n 1
的值代入式(2.2.4)： X ( x) X ( x) 0
解得
X 0 C0 D0 x
n 0
Dn e
nx b
X n ( x) Cn e
nx b
(n 1,2, )
0
Y0 ( y) A0
0
X 0 C0 D0 x n Yn ( y ) An cos y (n 1, 2,) nx b nx X n ( x) Cn e b Dn e b (n 1,2, )
例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 E0 是 铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆 柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是 匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究 导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
得：
( 2 ) ( )
本征值问题：
'' 0, ( 2 ) ( )
1） 0
微分方程的通解是: ( ) Ae 不具周期性，所以舍去。 2） 0 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 3） 0 微分方程的通解是:
故问题的一般解为：
u ( x, y ) X 0 ( x)Y0 ( y ) X n ( x)Yn ( y )
ny 0 b
ny C0 Cn Dn cos 0 b n 1
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。
因此：
C0 0, Cn Dn 0 (n 1, 2,).
na na n b b Cn e Dn e Ay 得： D0 a cos b y Ay n 1
的值代入式(2.2.4)： X ( x) X ( x) 0
解得
X 0 C0 D0 x
n 0
Dn e
nx b
X n ( x) Cn e
nx b
(n 1,2, )
0
Y0 ( y) A0
0
X 0 C0 D0 x n Yn ( y ) An cos y (n 1, 2,) nx b nx X n ( x) Cn e b Dn e b (n 1,2, )
例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 E0 是 铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆 柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是 匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究 导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
得：
( 2 ) ( )
本征值问题：
'' 0, ( 2 ) ( )
1） 0
微分方程的通解是: ( ) Ae 不具周期性，所以舍去。 2） 0 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 3） 0 微分方程的通解是:
故问题的一般解为：
u ( x, y ) X 0 ( x)Y0 ( y ) X n ( x)Yn ( y )
数理方程课件3-3
第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；
P( x) p( x) x 1 Q( x) q( x) x2 2 x2 本例中，
所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数
Q0 2 , Q2 1, Qn 0 (n 0, 2) P0 1, Pn 0 (n 1)
ck
1 k (2 k )
ck 2
下面求用 c1 表示 c2k 1 的公式。重写系数关系式：
( k ) 2 2 ck ck 2 0
2 2 1 由 x 的系数，得： c1 ( 1) 0
x 次项开始，对应的系数为 c0 ，之前 （由于级数从
c2 k (1)k 1 22 k k !( 1)( 2)...( k ) c0
…
1 1 c2 k 4 c2 k 4 (2k 2)(2 2k 2) 2(k 1) 2( k 1)
1 2k (2 2k ) c2 k 2 1 c2 k 2 2k 2( k )
1
第一解对应判定方程的第一个根： 1 将其代入递推关系式： ck ( k )2 2 ck 2 得：
ck 1 k (2 k ) ck 2
1
可见，待定系数 c2k 将可以依次类推，用 c0 表示； c2k 1 可用 c1 表示。
ck
1 k (2 k )
数理方程课件33数理方程数理方程视频数理方程与特殊函数数理方程课后习题答案数理方程试卷北航数理方程数理方程常用公式数理方程pdf数理方程复习
§3-3 贝塞尔方程的级数解
用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的 级数解
数理方程第3讲.ppt
O x1
x2
x
12
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
(3.17)
f1f(13(x3)x) f2f(2x()x) 3x02
(3.18) (3.19)
从(3.19)得
1 3
f1(3x)
f2 ( x)
C,
(3.20)
从(3.18)与(3.20)可得
20
f1(3x)
9 4
x2
C,
f1 ( x)
1 4
x2
C,
SrM
u(x rx1, y
S1o
S
ry1,
z
rz1,
t
)
d,
(3.25)
其中=x+rx1,=y+ry1,=z+rz1 是球面SrM 上的
点的坐标, S1o是以原点为中心的单位球面,
d是单位球面上的面积元素,
dS
是
S
M r
上的面
积元素, 显然有 dS=r2d. 在球面坐标系中,
x1=sin qcos , y1=sin qsin , z1= cos q, d=sin qdqd.
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
中科大史济怀数学分析课件 10.1-10.6
注记 10. 2 若函数项级数 un ( x ) 在 E 上一致收敛,则它必在 D E 上一致收敛；若 un ( x ) 分别在有限个点集 E1 , E2 , , E N 上一致收敛,
n 1
则它必在 E Ek 上一致收敛.
k 1
N
定理 10.3(Cauchy 一致收敛原理) 函数项级数 un ( x ) 在非空点集 E
k n 1
n p
uk ( x )
k n Байду номын сангаас1
a
n p
k
,
这说明 un ( x ) 在 E 上一致收敛.□
n 1
178
定理 10.5(一致收敛的 Dirichlet 判别法) （1） （2）
若 an ( x )bn ( x ) 满足
n 1
{ bn ( x )} 对每个 x E 单调,并且在 E 上一致收敛于零；
n 1
则
k n 1
u ( x) S
k
n p
n p
( x ) Sn ( x )
2
2
.
“当”.若 0, N * ,使得 n N , p * , x E 都成立 Sn p ( x ) Sn ( x ) ,
2
则 固定的 x E ,存在有限极限 lim Sn ( x ) S ( x ) ,即 un ( x ) 在 E 上收
bn ( x )
4M
(n N , x E ) .于是, n N , p * , x E ,成立
k n 1
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
傅立叶级数
傅立叶展开定理：周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数，展开式系数为
预
备
an
1
f (x)cos nxdx,bn
狄利克雷收敛定理：
1
f (x)sin nxdx
知 若函数在一个周期内连续或只有有限个第
识 一类间断点且在一个周期内至多只有有限
个极值点，则当x是连续点时，级数收敛
于该点的函数值；当x是间断点时，级数
由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界 条件的解通过变量分离, 将其转化为常微 分方程的定解问题. 为此，我们首先给出 二阶线性常微分方程求解公式。
二阶线性常系数齐次微分方程的一般形式为
y”+ p y’+q y = 0
预 特征方程： r2 + p r +q = 0
备 特征根： r1 和 r2 . 当
变
T '/(a2T) X"/ X
量
流
T 'a2w2T 0
X"w2X 0
程
图
T Aexp(a2w2t)XBiblioteka sin x,k L
uk Tk (t) X k ( x)
u u(x,t)
u Tk Xk
例２．细杆的热传导问题
长为 的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点 的温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自 由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为
u(x,0,t) u(x,b,t) 0,
0 x a,t 0.
解：设 u(x, y,t) X (x)Y ( y)T (t) 0
0 xl
，且
例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.
第二类边界条件
解：令 引入参数 得
,得 化简:
分离变量：
(i)
时，
由边值条件
得C1 =C 2=0 从而
，无意义
(ii)
时,
,
由边值条件
(iii)
时,
由边值条件
则
而
从而
本征值 本征函数
T 的方程
其解为
所将以
展开为傅立叶余弦级数，比较系数得
故
代入初解始为条傅件立: 叶余弦级数，由端点处的二类齐次边 界条件 决定.
收敛于该点左右极限的平均值。
傅立叶级数推广
若函数f(t)的周期为T=2L，则傅里 叶展开式为
f
(t)
1 2
a0
n1(an
cos
n t
L
bn
sin
n t
L
)
1
an L
L L
f
(t) cos
n t
L
dt,
bn
1 L
L L
f
(t) sin
n t
L
dt
1. 有界弦的自由振动
例1. 研究两端固定均匀的自由振动. 定解问题为：
知
r1 ≠ r2 都是实根时，其通解为
识
y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x)
r1 、r2是两个相等的实根时，其通解为
y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x)
r1,2=α±iβ是一对共轭复根时,其通解为 y(x) =exp(αx)(A cosβx + Bsinβx)
2.有限长杆的热传导问题
对于齐次热传导方程的定解问 题, 其解题过程和波动方程的过程 类似. 所以下面的例题我们仅给出 主要步骤.
例１．齐次热传导方程的定解问题
其中 f x为给定的函数.
令 代入方程及边界条件中, 并引入参数 得
当
或
时,
当
时,
由边界条件
特征值问题
从而 特征函数为：
T 的方程
2u
t 2 u
x0
a2 0,
2u x 2
u
xl
0,
0,
0 xl t0
u
t
0
( x),
u ( x), 0 x l
t t0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设
且
方程和边界条件中得
由
不恒为零，有：
不恒为零，代入 ①
取参数
利用边界条件 ④
②
…..…….. ③
④
则 ⑤
参数 称为特征值.
求此杆的温度分布。 解：定解问题为
设
且
由
及齐次边界条件，有
得本征值问题
当
或
时,
当
时,
由
得
故 X ( x) Acos x
由
得
即
令
有
函数方程
y
r3 r2 r1 r1 r2 r3
r
由图1看出，函数方程 有成对的无穷多个实根
故本征值为：
图1
由初始条件得 对应的本征函数
可将以证明展成以 的方程：
第三章 分离变量法
分离变量法是求解线性偏微分方程定解问 题的普遍方法之一，它适用于各种类型的 偏微分方程。基本思想是将多元函数化为 单元函数，将偏微分方程化为常微分方程 进行求解。具体做法是：首先求出具有变 量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后 由其余的定解条件确定叠加系数。
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解
(i) 0 方程通解为
由边值条件得：
C1 =C 2=0 从而
(ii) 0 时，通解
由边值条件
， 0无意义.
0 无意义
(iii） 0时，通解
由边值条件：
得 故
即： 而
从而
再求解T：
其解为 所以
叠加
两端 固定 弦本 的征 振动
用叠加原理。
复习分离变量法：
求解下列定解问题
uut(t
x,
c2 (uxx y,0)
uyy
(x,
), y),
ut
(x,
y, 0)
(x,
y),
0 x a, 0 y b, t 0, 0 x a, 0 y b,
u(0, y,t) u(a, y,t) 0,
0 y b,t 0,
解得 所以
将
叠加, 利用初始条件确定系数
u
x, t
n1
C e
na l
2
t
n
sin
n
l
x
将初始条件
u(x,0) f (x) 代入上式，得
n1
C sin n
n
l
x
f (x)
所以系数
C n
2l
l
0
f
xsin
n
l
xdx
分
u |t0 (x)
ut a2uxx
u |x0 u |xL 0
离
u T (t)X (x) X (0) X (L) 0
函数系 解为
故
为基底的付氏级数，确定 在 上正交
分离变量法解题步骤
（一）将偏微分方程化为常微分方程 －－（方程齐次）
（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 －－（边界条件齐次）
（三）将特征值代入另一常微分方程， 得到
（四）将
叠加，利用初始条件确定系数
注 分离变量法适用范围：偏微分方程是线
性齐次的，并且边界条件也是齐次的。 其求解的关键步骤：确定特征函数和运
…….⑤
代入初始条件得：
定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x＝0
和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。
将
展开为Fourier级数，比较系数得
定理：若在区间 上，
则无穷级数解
为如下混合问题的解
utt a2uxx 0
0 xl
u u
x0 t0
0
(
x
)
u xl 0 0 xl
ut t0 ( x)