矩阵代数基本知识
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
矩阵代数的基本概念与应用
矩阵代数的基本概念与应用矩阵代数是现代数学的一个重要分支，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的工具。
在计算机图像、多维数据分析、神经网络及人工智能等领域，矩阵代数的应用越来越广泛。
一、矩阵的定义及运算矩阵是一个由数个数构成的矩形排列，即由$m$行$n$列的数排成一个$m\times n$的矩形，通常用大写字母表示，如$A$，$B$等。
矩阵的加法：设$A=(a_{ij})$,$B=(b_{ij})$是同型矩阵，则$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$。
矩阵的数乘：设$k$是一个实数，则$kA=(ka_{ij})$。
矩阵的乘法：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times p$矩阵，则$AB=C$是$m\times p$矩阵，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。
矩阵的转置：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$的矩阵，则$A^T=(a_{ji})$是$n\times m$的矩阵。
二、矩阵的行列式及特征值矩阵的行列式：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，则$A$的行列式$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$，其中$S_n$表示$n$个元素的置换群。
矩阵的特征值和特征向量：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，若存在一个非零向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$和一个标量$\lambda$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是对应于$\lambda$的特征向量。
三、矩阵的求逆矩阵的逆：设$A$是$n$阶方阵，若存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$B$是$A$的逆矩阵，$A$可逆。
线性代数知识点总结第二章
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵概念 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m n A A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引发混淆时，也可表示为E )（讲义P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式通过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数能够不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B+，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（讲义P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪ ⎪---⎝⎭设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
大学线性代数2矩阵代数知识点总结
2矩阵代数1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。
例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。
2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。
4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。
6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。
设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。
因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。
设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。
因此，每个初等矩阵均可逆。
7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。
此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。
8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[A e1 e2 ... e n] = [A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。
[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9. 可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a) A可逆b) A与n阶单位矩阵等价c) A有n个主元位置d) 方程Ax=0仅有平凡解e) A各列线性无关f) 线性变换x|->Ax是一对一的g) 对R n中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h) A各列生成R ni) 线性变换x|->Ax将R n映上到R nj) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik) A T可逆l) A的列向量构成R n的一个基m) ColA=R nn) dim(Col(A))=no) rank(A)=np) Nul(A)=0q) dim(Nul(A))=0r) det(A)≠0 <=> A可逆s) A可逆当且仅当0不是A的特征值t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。
线性代数知识点汇总1
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
大一线性代数矩阵知识点总结
大一线性代数矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它是一种方便表示和处理线性变换的数学工具。
在大一线性代数课程中，我们将学习矩阵的相关知识，本文将对一些重要的矩阵知识点进行总结。
1. 矩阵的定义和表示方式- 矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列，用大写字母表示，如A、B等。
- 矩阵可以用方括号表示，如A=[a_ij]，其中a_ij代表矩阵A 的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算- 矩阵的加法：对应元素相加。
- 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以相同的数。
- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行乘法运算，结果的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
3. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 单位矩阵：主对角线元素为1，其它元素为0的方阵，用I 表示。
4. 矩阵的转置- 矩阵的转置就是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵，用A^T表示。
5. 矩阵的行列式- 行列式是一个标量，表示一个方阵所围成的平行四边形的有向面积。
- 行列式常用符号为|A|或det(A)，其中A为方阵。
6. 逆矩阵- 对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
- A的逆矩阵记为A^{-1}。
7. 矩阵的特征值和特征向量- 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
8. 矩阵的特征分解- 对于一个可对角化的矩阵A，存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^{-1}，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵。
9. 矩阵的秩- 矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，用rank(A)表示。
10. 线性方程组与矩阵- 线性方程组可以用矩阵的形式表示，例如AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
以上是大一线性代数矩阵知识点的简单总结。
矩阵在线性代数中起着重要的作用，它不仅可以用于表示线性变换，还可以用于解决线性方程组和求解特征值等问题。
线性代数知识点全面总结
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。 3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。 4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
0 D= B
1 x1 x
2 1
A (1)mn A B 。 0
1 x2 x2
2
4、范德蒙得行列式 1 xn xn
2
( xi x j )。
n i j 1
x1n-1
x2 n-1 xn n-1
四、典型例题
1、3～4阶的行列式
2、简单的n阶行列式
3、用公式
5、若A可逆，则存在有限个初等方阵P1,P2,…,Pl,使 A ＝ P1P2…Pl 。 6、n 元齐次线性方程组Am×nx = 0 有非零解的充分必 要条件是系数矩阵的秩r(A) < n 。
7、n 元非齐次线性方程组Am×nx = b 有解的充分必要 条件是系数矩阵的秩r(A) 等于增广矩阵r(A，b) 的秩。
秩：矩阵非零子式的最高阶数.
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附录I 矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。
一、 向量矩阵的定义 将n p ⨯个实数111212122212,,,,,,,,,,,,p p n n np a a a a a a a a a 排成如下形式的矩形数表，记为A111212122212p p n n np a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则称A 为n p ⨯阶矩阵，一般记为()ij n p a ⨯=A ，称ij a 为矩阵A 的元素。
当n p =时，称A 为n 阶方阵；若1p =，A 只有一列，称其为n 维列向量，记为11211n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若1n =，A 只有一行，称其为p 维行向量，记为()11121,,,p a a a当A 为n 阶方阵，称1122,,,nn a a a 为A 的对角线元素，其它元素称为非对角元素。
若方阵A 的非对角元素全为0，称A 为对角阵，记为11221122(,,,)nn nn a a diag a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A进一步，若11221nn a a a ====，称A 为n 阶单位阵，记为n I 或=A I 。
如果将n p ⨯阶矩阵A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是p n ⨯的矩阵，记为112111222212n n p pnp a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 称其为矩阵A 的转置矩阵。
若A 是方阵，且'=A A ，则称A 为对称阵； 若方阵()ij n n A a ⨯=，当对一切i j <元素0ij a =，则称11212212n n nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 为下三角阵；若'A 为下三角阵，则称A 为上三角阵。
二、 矩阵的运算1．对()ij n p a ⨯=A 与()ij n p b ⨯=B 的和定义为： ()ij ij n p a b ⨯+=+A B2．若a 为一常数，它与矩阵n p ⨯阶矩阵A 的积定义为： ()ij n p a aa ⨯=A3．若()ik p q a ⨯=A ，()kj q n b ⨯=B ，则A 与B 的积定义为： 1()qik kjp n k ab ⨯==∑AB根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1．加法满足结合律和交换律 ()()++=++A B C A B C+=+A B B A2．乘法满足结合律()()a a ββ=A A ， ()()()a a a ==AB A B A B ()()=A BC AB C3．乘法和加法满足分配律()a a a +=+A B A B ， ()a a ββ+=+A A A()+=+A B C AB AC ，()+=+A B C AC BC 4．对转置运算规律()'''+=+A B A B ， ()()a a ''=A A()'''=AB B A ， ()''=A A另外，若()ij n n a ⨯=A 满足''==A A AA I ，则称A 为正交阵。
三、 矩阵分块对于任意一个n p ⨯阶矩阵A ，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：111212122212p p n n np a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 写成11122122⎛⎫= ⎪⎝⎭AA A A A其中1111(ij n p a ⨯=A )，1212(ij n p a ⨯=A )， 2121(ij n p a ⨯=A )，2222(ij n p a ⨯=A )，且12n n n +=，12p p p +=。
分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。
不难证明：11122122''⎛⎫'= ⎪''⎝⎭A A A A A 。
四、 方阵行列式的性质一个n 阶方阵()ij n n a ⨯=A 中的元素组成的行列式，称为方阵A 的行列式记为A 或det A 。
它有以下我们熟知的性质： 1．若A 的某行（或列）为零，则0=A ； 2．'=A A ；3．将A 的某行（或列）乘以数c 所得的矩阵的行列式等于c A ； 4．若A 是一个n 阶方阵，c 为一常数，则nc c =A A 5．若A 的两行（或列）相同，则0=A ；6．若将A 的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于-A ；7．若将A 的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于A ；8．若A 和B 均为n 阶方阵，则=AB A B ； 9．若A 为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则1niii a==∏A10．0'≥AA11．若A 和B 都是方阵，则==A CA 0A B 0B C B12．若A 和B 分别是n p ⨯和p n ⨯的矩阵，则n p +=+I AB I BA五、 逆矩阵设A 为n 阶方阵，若0≠A ，则称A 是非退化阵或称非奇异阵，若0=A ，则称A 是退化阵或称奇异阵。
若A 是n 阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B ，使得n ==AB BA I ，B 称为A 的逆矩阵，记为1-=B A 。
逆矩阵的基本性质如下： 1．11--==AAA A I2．11()()--''=A A3．若A 和B 均为n 阶非退化阵，则 111()---=AB B A4． 设A 为n 阶非退化阵，b 和a 为n 维列向量，则方程：=Ab a 的解为1-=b A a 5．11--=AA6．若A 是正交阵，则1-'=A A7．若A 是对角阵，1122(,,,)nn diag a a a =A 且0ij a ≠，1,,i p =，则11111122(,,,)nn diag a a a ----=A。
8．若A 和B 非退化阵，则11111-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A A CB 0B 0B11111-----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A 0A 0C B B CAB 9．设方阵A 的行列式A 分块为：11122122=A A A A A若11A ，22A 是方阵且是非退化，则1111222111122211122221--=-=-A A A A A A A A A A A六、 矩阵的秩设A 为n p ⨯阶矩阵，若存在它的一个r 阶子方阵的行列式不为零，而A 的一切(1)r +阶子方阵的行列式均为零，则称A 的秩为r ，记作()rk r =A 。
它有如下基本性质：1．()0rk =A ，当且仅当=A 0；2．若A 为n p ⨯阶矩阵，则0()min(,)rk n p ≤≤A ；3．()()rk rk '=A A ；4．()min((),())rk rk rk ≤AB A B ； 5．()()()rk rk rk +≤+A B A B ；6．若A 和C 为非退化阵，则()()rk rk =ABC B 。
七、 特征根和特征向量设A 为p 阶方阵，则方程0p λ-=A I 是λ的p 次多项式，由多项式理论知道必有p 个根（可以有重根），记为1λ，2λ…，p λ，称为A 的特征根或称特征值。
若存在一个p 维向量i u ，使得()0i p i λ-=A I u ，则称i u 为对应于i λ的A 的特征向量。
特征根有如下性质：1．若A 为实数阵，则A 的特征根全为实数，故可按大小次序排列成12p λλλ≥≥≥，若i j λλ≠，则相应的特征向量i u 与j u 必正交。
2．A 和'A 有相同的特征根。
3．若A 与B 分别是p q ⨯与q p ⨯阶阵，则AB 与BA 有相同的非零特征根。
实际上，因为p p p q q q λλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭I A I A I AB 00I B I B I p p p q q q λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭I 0I A I A B I B I 0I BA所以p p q q λλλλλ-=-I AB 0I AB I 0I BAq p p q λλλλ-=-I AB I BA那么，两个关于λ的方程0p λ-=I AB 和0q λ-=I BA 有着完全相同的非零特征根（若有重根，则它们的重数也相同），从而AB 和BA 有相同的非零特征根。
4．若A 为三角阵（上三角或下三角），则A 的特征根为其对角元素。
5．若1λ，2λ…，p λ是A 的特征根，A 可逆，则1-A 的特征根为11λ-，12λ-，…，1p λ-。
6．若A 为p 阶的对称阵，则存在正交矩阵T 及对角矩阵=Λ 1(,,)p diag λλ，使得'=A T ΛT实际上，将上式两边右乘T ，得=AT T Λ将T 按列向量分块，并记为12(,,,)p =T u u u ，于是有112120(,,,)(,,,)0p p p λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭A u u u u u u121122(,,,)(,,,)p p p λλλ=Au Au Au u u u那么i i i λ=Au u ， 1,2,,i p =这表明12,,p λλλ是A 的p 个特征根，而12,,,p u u u 为相应的特征向量。
这样矩阵A 可以作如下分解：111210(,,,)0p p p pi i ii λλλ='='⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭'=∑A TAT u u u u u u u称之为A 的谱分解。
八、 矩阵的迹若A 是p 阶方阵，它的对角元素之和称为A 的迹，记为1()piii tr a==∑A 。
方阵的迹具有下述基本性质：1．若A 是p 阶方阵，它的特征根为1λ，2λ…，p λ，则1()pii tr A λ==∑；2．()()tr tr =AB BA ； 3．()()tr tr '=A A4．()()()tr tr tr +=+A B A B 5．()()tr tr αα=A A九、 二次型与正定阵 称表达式11ppij i j i j Q a x x ===∑∑为二次型，其中ij ji a a =是实常数；1x ，2x ，…，p x 是p 个实变量。
若()ij p p a ⨯=A 为对称阵，1(,,)p x x '=X ，则11ppij i j i j Q a x x =='==∑∑X AX若方阵A 对一切0≠X ，都有0'>X AX ，则称A 与其相应的二次型是正定的，记为0>A ；若对一切0≠X ，都有0'≥X AX ，则称A 与二次型是非负定的，记为0≥A 。