现代数字信号处理课后习题解答

习 题 二1、求证：,()(,)x i j x i j xi xj R t t C t t m m =+。

证明：(,)(,)(,,,)x i j i j i jijijijR t t E x x x x p x x t t dx dx==⎰⎰(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)i j i j j i i j i j j i i j i jx i j i x j x i x j x i j i j i ji j i x j x x x i j i j i j x i j x x x x x x x i j x x C t t E x m x m x m x m p x x t t dx dx x x x m x m m m p x x t t dx dx R t t m m m m m m R t t m m =--=--=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰ 2、令()x n 和()y n 不是相关的随机信号，试证：若()()()w n x n y n =+，则w x ym m m =+和222w x y σσσ=+。

证明：(1)[()][()()][()][()]x ym E n E x n y n E x n E y n m m ωω==+=+=+ (2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yE n m E x n y n m m E x n m y n m E x n m E y n m E x n m y n m m m m m m m m m ωωσωσσσσ=-=+-+=-+-=-+-+--=++--+=+即222x y ωσσσ=+3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明： ①当0τ=时，2(0),(0)x x x x R D C σ==；②当τ=∞时,2(),()0x x x R m C ∞=∞=。

证明：（1）1212()[()()]()()(,,)x R E x t x t x t x t p x x dx dx ττττ=+=+⎰⎰22(0)()(,)[]x R x t p x dxE x Dxτ===⎰2C ()()x x x R m ττ=-222C (0)(0)x x xx xR m Dx m σ=-=-=（2）2()lim ()lim []()()x x i j i j xR R E x x E x E x m τττ→∞→∞∞====2222()lim[()]lim ()0x x x x x x x C R m R m m m ττττ→∞→∞∞=-=-=-=4、设随机信号00()cos sin x t A t B t ωω=+，0ω为正常数，A 、B 为相互独立的随机变量，且()()0E A E B ==,2()()D A D B σ==.试讨论()x t 的平稳性。

解：（1）均值为0000[()][cos sin ][cos ][sin ]0x m E x t E A t B t E A t E B t ωωωω==+=+= （2）自相关函数为0000200002000020000(,)[(),()][(cos sin )(cos ()sin ())][cos cos ()cos sin ()sin cos ()sin sin ()][cos cos ()][cos sin ()][si x R t t E x t x t E A t B t A t B t E A t t AB t t AB t t B t t E A t t E AB t t E AB ττωωωτωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτ+=+=++++=+++++++=++++20000n cos ()][sin sin ()]t t E B t t ωωτωωτ+++A Q 、B 相互独立0EAB EAEB ∴==故：20(,)cos x R t t τσωτ+=与起始时间无关 （3）2(0)x Dx R σ==<∞可见，该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义平稳的随机信号。

5、设随机信号2()x t At Bt =+，A 、B 是两个相互独立的随机变量，且()4,()7,()0.1,()2E A E B D A D B ====。

求()x t 的均值、方差、相关函数和协方差函数。

解：（1）222()[()][][][]47x m t E x t E At Bt E At E Bt t t ==+=+=+ （2）2222224322243234[()][()][2][][]2[]0.1562Dx E x t E At Bt E A t B t ABt E A t E B t E ABt t t t ==+=++=++=++2223422240.1562(47)15.947x xDx m t t t t t t t σ=-=++-+=-- （3）222222222222(,)[(),()][()(()())][()()()()]0.1()2()28()28()x R t t E x t x t E At Bt A t B t E A t t B t t ABt t ABt t t t t t t t t t ττττττττττττ+=+=++++=+++++++=+++++++(,)(,)()()x x x x C t t R t t m t m t τττ+=+-+22()[()][()()]4()7()x m t E x t E A t B t t t ττττττ+=+=+++=+++ 22222222(,)0.1()2()28()28()(47)[4()7()]15.9()47()x C t t t t t t t t t t t t t t t t t t τττττττττ+=+++++++-++++=-+-+6、若两个随机信号()x t ，()y t 分别为()()cos x t A t t =，()()sin y t B t t =，其中()A t ,()B t 是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。

试证明()()()z t x t y t =+是广义平稳的。

证明：E[z(t)] = E[A(t) cos t + B(t) sin t] = E[A(t)] cos t + E[B(t)] sin t = 0z A B R (t , t +)= E[z(t)z(t+)]= E{[A(t) cos t + B(t) sin t][A(t+) cos(t+) + B(t+) sin(t+)]}= E[cos t cos(t + )A(t)A(t+) + sin t sin(t + )B(t)B(t + )]= cos t cos(t + )R () + sint sin(t+)R ()= ττττττττττττττA cos ()R ττz A D(z) = R (0) = R (0) = D(A) < ∞均值为零、自相关函数与时间t 无关、方差有限，故其是广义平稳的7、设随机信号0()cos()x t A t ωϕ=+，式中A 、ϕ为统计独立的随机变量，ϕ在[0，2π]上均匀分布。

试讨论()x t 的遍历性。

解：（1）首先讨论()x t 的平稳性1,02()20,p ϕπϕπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ()()p x p x x dx d ϕϕϕϕ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩0200200()[()]()()cos()()1cos()2sin()20x m t E x t x t p x dxx A t p d x A t d At ππϕωϕϕϕϕωϕϕπωϕπ∞-∞∞-∞==∂∂=+∂∂=+=+=⎰⎰⎰0200()[()]()()cos()()1cos()2[]00x m t E x t x t p x dxA t p d A t d E A πωϕϕϕωϕϕπ∞-∞∞-∞===+=+=•=⎰⎰⎰[]0022000200(,)[(),()]cos()cos(())()11[cos((2)2)cos ]222cos 4cos 2x R t t E x t x t xA t A t p d x E A t d E A D A πττϕωϕωτϕϕϕϕωτϕωτϕππωτπωτ∞-∞+=+∂∂=+++∂∂⎡⎤=+++⎣⎦⎡⎤⎣⎦==⎰⎰ 与t 无关[](0)2x D A Dx R ==<∞故()x t 是平稳随机信号 （2）遍历性01lim()21lim cos()0()2TT x T T Tx TT m x t dt TA t dt m t T ωϕ-→∞-→∞==+==⎰⎰ 0020001()lim()()21lim [cos()cos(())]21lim [cos(22)cos ]22TT x TT TTT T T T R x t x t dtT A t A t dt T A t dt T ττωϕωτϕωϕωτωτ-→∞-→∞-→∞=+=+++=+++⎰⎰⎰ 20cos 2()x A R ωττ=≠ 故()x t 不具有广义遍历性8、随机序列0()cos()x n n ωϕ=+，ϕ在[0，2π]上均匀分布，()x n 是否是广义平稳的？解：由已知得1,02()20,p ϕπϕπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它①()[]02002000()cos()()1cos()21[cos cos sin sin ]20x m n E x n n p d n d n n d ππωϕϕϕωϕϕπωϕωϕϕπ+∞-∞==+=+=-=⎰⎰⎰○2 002000020000(,)[(),()]cos()cos()()11[cos()cos ()]221cos ()41cos ()21cos 2x R m n E x m x n xm n p d x m n m n d m n d m n ππϕωϕωϕϕϕϕωωϕωϕπωϕπωωτ∞-∞=∂∂=++∂∂=+++-=-=-=⎰⎰⎰○31(0)2x Dx R ==<∞ 均值为与t 无关常数，自相关函数与t 无关，瞬时功率有限，故平稳 9、若正态随机信号()x t 的相关函数为：①12()x R be ττ-=； ②sin ()x R bπττπτ=试分别写出随机变量()x t ，(1)x t +，(2)x t +的协方差矩阵。