幂函数与二次函数(一轮复习课件))
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湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第四节 幂函数与二次函数
求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
考点三
二次函数的图象与性质(多考向探究预测)
考向1二次函数的图象
例题(多选)(2023·湖南岳阳高三检测)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0),
则下列结论正确的是(
= 7.
= 8,
4
故 f(x)=-4x2+4x+7.
(方法 2 利用二次函数的顶点式)设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
2+(-1)
因为 f(2)=f(-1),所以二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 x= 2
又根据题意函数有最大值 8,所以 n=8,
所以 y=f(x)=a
1 2
x- +8.
( 1 )-( 2 )
x1≠x2,都有 - >1,不妨令 x1>x2,则
1 2
( 1 )-( 2 )
2
>1⇔f(x
1)-x1>f(x2)-x2,令 g(x)=f(x)-x=ax -2x+1,则函数 g(x)在[1,+∞)上
所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,
所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
引申探究2将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得
的线段长为2,且∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
解 因为f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
因此
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习
单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二 求二次函数的解析式
【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确 定此二次函数的解析式．
【思路探索】 根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式； 根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数
∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学(理)一轮复习课件：第二章第四节 幂函数与二次函数(广东专用)
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
综上可知，当 0＜λ≤2 时，函数 g(x)在[－1＋2 λ，＋∞)上 是增函数．
因此 g(x)在(0,1) 上是增函数， 又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝2－|λ－1|＞0， 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有唯一的零点．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若12＜t＜34，求证：方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0，12) 上各有一个实根．
【证明】 (1)由于 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． (2)当12＜t＜34时，f(－1)＝3－4t＞0.
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴方程为 x＝－m2 . ∴－m2 ＝1，∴m＝－2.
【答案】 A
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
3．(2011·陕西高考)函数 y＝x31的图象是( )
【解析】 因为当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x31（广东专用）
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax ＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1.所以f(x)＝x2－x＋1.
人教a版高考数学(理)一轮课件：2.6二次函数、幂函数
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶
定点
(0,0),(1,1)
(1)幂函数因幂指数不同而性质各异,图象更是多样,应熟 悉其图象的分布,着重掌握图象在第一象限的部分,抓住特殊点(1,1),并注意 把 y=x 和 y=x-1 进行比较,掌握它们的变化规律.关于幂函数 f(x)=xα 中的 α 可限定在集合 1,2,3, ,-1 中进行比较. (2)在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为指大 图低),在(1,+∞)上,幂函数的指数越大,函数图象越远离 x 轴.
1 2
)
【答案】B 【解析】设 f(x)=x ,则 3 3 = 故 α=-3,f(x)=x-3.
α
3 3
α
3 ,即32
=3
-
α 2.
5.(2012·湖北武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数, 且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为 f(x)= . 【答案】 -2x2+4 【解析】 由于 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2,结合已知条件可得 ab+2a=0,又函数 f(x) a ≠ 0, 的值域为(-∞,4],则 b = -2, 因此 f(x)=-2x2+4. 2a2 = 4.
1 2
(3)幂函数 y=xα(α∈R)的图象主要分为以下几类: ①当 α=0 时,图象是过(1,1)点的平行于 x 轴但抠去(0,1)点的一条“断” 直线; ②当 α 为正偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、二象限及原点; ③当 α 为正奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、三象限及原点; ④当 α 为负偶数时,幂函数为偶函数,图象在第一、 二象限,且不过原点; ⑤当 α 为负奇数时,幂函数为奇函数,图象在第一、 三象限,且不过原点.
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第4节 幂函数与二次函数
第
一
章
[课程标准要求]
2
3
1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.
2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,
2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.
法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
2
即 y= x -x-4.
(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+
.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
一
章
[课程标准要求]
2
3
1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.
2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,
2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.
法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
2
即 y= x -x-4.
(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+
.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
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(1)试比较a＝1.2
1 2
，b＝0.9－
1 2
，c＝1.1
1 2
的大小关系
________．
(2)正整数p使函数f(x)＝xp－2在(0，＋∞)上是减函数，则
p＝________，函数的单调递减区间________.
第二章 第4讲
第8页
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第二章 第4讲
第6页
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4. 常用幂函数的性质
函数
特征 y＝x
性质
定义域 R
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
特殊点
(1,1) (0,0)
y＝x2
R [0，＋∞)
偶 x∈[0，＋∞)
时，__ x∈(－∞，0]
时，__
(1,1) (0,0)
第二章 第4讲
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第4讲 幂函数与二次函数
泰安二中数学2020年3月25日星期三
第二章 第4讲
第1页
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1. 二次函数的定义
形如：f(x)＝____________的函数叫做二次函数．
第3页
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(1) 函 数 f(x) ＝ ax2 ＋ ax ＋ 1 在 x 轴 的 上 方 则 a 的 取 值 范 围 ________．
(2)f(x) ＝ x2 － 2x ＋ 2 的 定 义 域 ， 值 域 均 为 [1 ， b] ， 则 b ＝ ________.
第二章 第4讲
第5页
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设 f(x) ＝ (m － 1)xm2 － 2. 如 果 f(x) 是 正 比 例 函 数 ， 则 m ＝ ________，如果f(x)是反比例函数，则m＝________，如果f(x)是 幂函数，则m＝________.
第12页
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[审题视点] 先利用幂函数的定义确定出m的取值范围，再 利用f(x)在(0，＋∞)上是增函数确定m的具体值．
[解] ∵f(x)是幂函数， ∴m2－m－1＝1， ∴m＝－1或m＝2， 当m＝－1时，m2＋m－3＝－3， 当m＝2时，m2＋m－3＝3， ∴f(x)＝x－3或f(x)＝x3，
y＝x3
R R 奇
增
(1,1) (0,0)
1 y＝x2
y＝x－1
[0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
[0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
非奇非偶
奇
x∈(0，＋∞) 时，__ 增
x∈(－∞，0) 时，__
(1,1) (0,0)
(1,1)
第二章 第4讲
第7页
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2. 二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域
单调性
最值
顶点
对称轴
R
R
__________
__________
在__________上递减，在_________上递 增.
在______上递增，在______上递减．
当x＝－2ba时，函数有最小值________
3. 幂函数的概念 形 如 ________ 的 函 数 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 ________ 是 自 变 量，________是常数．
第二章 第4讲
第4页
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幂函数与指数函数有何不同？y＝(x＋1)3，y＝x3－1，y ＝ x是幂函数吗？
当x＝－2ba时，函数有最大值________
(－2ba，4ac4－a b2)
函数的
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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
4ac4－a b2一定是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值吗？
第二章 第4讲
第二章 第4讲
第11页
金版教程 ·高三数学
核心要点研究 课前自主导学
核心要点研究
课课精彩无限
经典演练提能
限时规范特训
例1 [2013·苏州调研]已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋
m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的
值为( )
A．－1
B．2
C．－1或2
D．3
第二章 第4讲
课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
1 个必会代表 函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12 ，y＝x－1 可做为研究和学习 幂函数图象和性质的代表．
2 种必会方法 1. 函数 y＝f(x)对称轴的判断方法 对于二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，若有 f(x1)＝f(x2)， 那么函数 y＝f(x)的图象关于 x＝x1＋2 x2对称． 2. 对于二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a －x)成立的充要条件是函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对 称(a 为常数)．
1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 2. 会求二次函数在闭区间上的最值． 3. 能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决有关问题．
4. 了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝x21 的图象，了解它们的变化情况.
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金版教程 ·高三数学
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3个熟知规律 1. 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函 数的图象数形结合来解，一般从四个方面分析：①开口方向； ②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号． 2. 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二 次函数的图象、性质求解． 3. 研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应 二次不等式的解集来确定图象形状.