第7章 随机利率模型 ppt课件
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随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
《随机数学模型》PPT课件
❖ 如果对尚属正常的零件做预防性更换，就可 以避免一些废品、次品的损失。如果策略得 当，有可能将损失降到最低程度。
完整版课件ppt
2
分析
解决这个问题的关键在于正确估计零件寿命。 由于零件在制造及运行过程中受到多种因素的 影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试 验分析及理论分析来确定零件的寿命分布及其 他数字特征。一般来说，不同的零件寿命分布 不一样，预防性更换的策略也不一样。
设 k 个 总 体 G1, G2 ,,G k 相 应 的 p 维 样 本 空 间 为
R1, R2 ,, Rk ，即为一个划分，故我们可以简记一个判别规 则为 R (R1, R2 ,, Rk ) 。从描述平均损失的角度出发，如果 原来属于总体 Gi 且分布密度为 fi (x) 的样品，正好取值落入了 R j ，我们就将会错判为属于 G j 。
第9章 随机数学模型
我们在处理实际问题时，往往会遇到 许多不确定的因素，引入随机变量描述这 种不确定的行为，通常是对实际问题最恰 当的描述。由此建立的数学模型称为随机 数学模型。
完整版课件ppt
1
9.3零件的预防性更换
❖ 运行中的零件会发生故障或损坏，如果等到 损坏时才更换零件可能会带来较大的经济损 失，比如产生废品等。
❖ 求平均期望损失的最小值
c(T)0h(T)r(T)TR (t)dtF(T) c2
0
c1c2
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5
T
h(T)r(T) R (t)dtF(T)
c2
0
c1c2
h (0 ) 0 ,h ( ) r ( )E X 1 ,d h d rT R (t)d t
d Td T0
❖ 定存在理唯：当一r的(T有)是限单的调最增小函值数点，（且正r(值)ETX*）c1，c1c2且时最， 小值为 。 c(T)(c1c2)r(T)
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2
分析
解决这个问题的关键在于正确估计零件寿命。 由于零件在制造及运行过程中受到多种因素的 影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试 验分析及理论分析来确定零件的寿命分布及其 他数字特征。一般来说，不同的零件寿命分布 不一样，预防性更换的策略也不一样。
设 k 个 总 体 G1, G2 ,,G k 相 应 的 p 维 样 本 空 间 为
R1, R2 ,, Rk ，即为一个划分，故我们可以简记一个判别规 则为 R (R1, R2 ,, Rk ) 。从描述平均损失的角度出发，如果 原来属于总体 Gi 且分布密度为 fi (x) 的样品，正好取值落入了 R j ，我们就将会错判为属于 G j 。
第9章 随机数学模型
我们在处理实际问题时，往往会遇到 许多不确定的因素，引入随机变量描述这 种不确定的行为，通常是对实际问题最恰 当的描述。由此建立的数学模型称为随机 数学模型。
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1
9.3零件的预防性更换
❖ 运行中的零件会发生故障或损坏，如果等到 损坏时才更换零件可能会带来较大的经济损 失，比如产生废品等。
❖ 求平均期望损失的最小值
c(T)0h(T)r(T)TR (t)dtF(T) c2
0
c1c2
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5
T
h(T)r(T) R (t)dtF(T)
c2
0
c1c2
h (0 ) 0 ,h ( ) r ( )E X 1 ,d h d rT R (t)d t
d Td T0
❖ 定存在理唯：当一r的(T有)是限单的调最增小函值数点，（且正r(值)ETX*）c1，c1c2且时最， 小值为 。 c(T)(c1c2)r(T)
金融数学课件--(11)随机利率
随机利率 Stochastic interest rates
孟生旺
中国人民大学统计学院
随机利率
随机利率：利率是随机波动的， 即未来的利率是一组随机 变量。 如果能够对未来利率的概率分布作出一定假设，那么就可 以得到未来的利率水平和与之相关的现金流的一些结论。
把利率视为随机变量，并定义随机变量 it 为适用于时刻 t-1 至时刻 t 的利率。
在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为1.1069，故
E P V n E A V n 0 .9 0 4 1 1 .1 0 6 9 1 .0 0 0 7 1
可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。
独立同分布假设下的累积值和现值
如果利率 i1 , i 2 , i n 是独立同分布的随机变量，它们具有
2 设诸 it 的方差为 s2，即 var( it ) s 表示累积值 AVn的方差。
，则可以用 i 和 s2来
累积值AVn的二阶原点矩为
E A Vn
2
1 i 2 1 i 2 1 i 2 E 1 2 n
t 1 n
n
2 E 1 it
n n
其中
1 v E 1 it
，t =1，2，…，n。
在通常情况下
1 1 E 1 it 1 E it
，即 v
1 1 i
。
注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
2
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孟生旺
中国人民大学统计学院
随机利率
随机利率：利率是随机波动的， 即未来的利率是一组随机 变量。 如果能够对未来利率的概率分布作出一定假设，那么就可 以得到未来的利率水平和与之相关的现金流的一些结论。
把利率视为随机变量，并定义随机变量 it 为适用于时刻 t-1 至时刻 t 的利率。
在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为1.1069，故
E P V n E A V n 0 .9 0 4 1 1 .1 0 6 9 1 .0 0 0 7 1
可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。
独立同分布假设下的累积值和现值
如果利率 i1 , i 2 , i n 是独立同分布的随机变量，它们具有
2 设诸 it 的方差为 s2，即 var( it ) s 表示累积值 AVn的方差。
，则可以用 i 和 s2来
累积值AVn的二阶原点矩为
E A Vn
2
1 i 2 1 i 2 1 i 2 E 1 2 n
t 1 n
n
2 E 1 it
n n
其中
1 v E 1 it
，t =1，2，…，n。
在通常情况下
1 1 E 1 it 1 E it
，即 v
1 1 i
。
注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
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第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
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夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
随机理论模型.ppt
D87.5% (89.4%)
的途径： • 习题1
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c3
x
(r
x)
p(r
)dr
J(u)在u+x=S处达到最小
I(x)
J(u)与I(x)相似
I(S)+c0
I(x)在x=S处达到最小值I(S) I(S)
I(x)图形 I(S)
0s
I
(x)
c 0
I
(S)
的最小正根
s
S
x
9.4 轧钢中的浪费
背 轧制钢材 • 粗轧(热轧) ~ 形成钢材的雏形 景 两道工序 • 精轧(冷轧) ~ 得到钢材规定的长度
求 m 使浪费最小。
=l/=10
z*=-1.78
-1.0 3.477 2.0 0.420
-0.5 1.680
2.5 0.355
10 z
*= -z*=11.78 m*= *=2.36(米)
5
F(z)
z -2.0 * -1.0 0
1.0
2.0 z
9.5 随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
PN
P
记 J (m) m P(m)
更合适的目标函数
P(m)
l
六年级数学下册《利率》课件
本金和利息在贷款期限内一起计算利息，通常用于长期投资或储蓄。
单利和复利计算公式
单利公式为 S = P × (1 + r × t)，复利公式为 S = P × (1 + r/n)^(nt)，其中S为本金和利 息之和，P为本金，r为年利率，t为时间（年），n为每年计息次数。
利息的税收问题
利息所得税
国家对个人或企业取得 的利息收入征收的税种
各国利率水平。
利率的预测方法
经济模型预测
利用宏观经济模型和计量经济学方法，对未来经济状况和利率水 平进行预测。
金融市场预测
通过分析金融市场上的价格、交易量和预期等信息，对未来利率变 动进行预测。
专家意见和市场调查
综合专业机构和经济学家的观点，以及市场调查数据，对未来利率 走势进行判断。
利率变动对经济的影响
贷款利率的影响因素
01
02
03
04
基准利率
基准利率是金融机构发放贷款 时所参考的基本利率，也是市 场利率体系中的基础利率。
风险因素
贷款的风险越高，利率也越高 ，以补偿可能出现的违约风险
。
供求关系
当市场上资金供大于求时，利 率会下降；反之则会上升。
经济周期
经济繁荣时期，企业盈利增加 ，投资需求增加，导致利率上
六年级数学下册《利率 》课件
汇报人： 202X-01-02
目录
• 利率简介 • 利息的计算 • 贷款和还款 • 实际应用 • 利率的变动和预测
利率简介
01
利率的定义
总结词
利率是借款或储蓄的报酬或收益 ，通常以百分比形式表示。
详细描述
利率是借款或储蓄的报酬或收益 ，通常以百分比形式表示。它是 衡量资金成本或资金收益的重要 指标。
单利和复利计算公式
单利公式为 S = P × (1 + r × t)，复利公式为 S = P × (1 + r/n)^(nt)，其中S为本金和利 息之和，P为本金，r为年利率，t为时间（年），n为每年计息次数。
利息的税收问题
利息所得税
国家对个人或企业取得 的利息收入征收的税种
各国利率水平。
利率的预测方法
经济模型预测
利用宏观经济模型和计量经济学方法，对未来经济状况和利率水 平进行预测。
金融市场预测
通过分析金融市场上的价格、交易量和预期等信息，对未来利率变 动进行预测。
专家意见和市场调查
综合专业机构和经济学家的观点，以及市场调查数据，对未来利率 走势进行判断。
利率变动对经济的影响
贷款利率的影响因素
01
02
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基准利率
基准利率是金融机构发放贷款 时所参考的基本利率，也是市 场利率体系中的基础利率。
风险因素
贷款的风险越高，利率也越高 ，以补偿可能出现的违约风险
。
供求关系
当市场上资金供大于求时，利 率会下降；反之则会上升。
经济周期
经济繁荣时期，企业盈利增加 ，投资需求增加，导致利率上
六年级数学下册《利率 》课件
汇报人： 202X-01-02
目录
• 利率简介 • 利息的计算 • 贷款和还款 • 实际应用 • 利率的变动和预测
利率简介
01
利率的定义
总结词
利率是借款或储蓄的报酬或收益 ，通常以百分比形式表示。
详细描述
利率是借款或储蓄的报酬或收益 ，通常以百分比形式表示。它是 衡量资金成本或资金收益的重要 指标。
利率练习课件ppt
长期利率的变动
受到预期通货膨胀、经济增长和风险溢价的共同影响。
利率变动对经济的影响
01
02
03
04
对投资的影响
利率变动会影响企业的投资决 策，因为借贷成本直接影响项
目的可行性。
对消费的影响
利率变动会影响消费者的借贷 成本和储蓄收益，从而影响消
费行为。
对汇率的影响
利率差异会导致国际资本流动 ，从而影响汇率。
产品开发
金融机构需要不断进行市场调研和产品创新，以满足客户多样化 的需求。
产品推广
通过各种渠道和营销手段，将创新型利率产品推向市场，提高产 品的知名度和市场份额。
06 利率案例研究与实践
案例一：某国央行利率决策过程分析
总结词
深入了解央行利率决策机制
详细描述
该案例通过分析某国央行在制定和调整利率时所考虑的经济指标、政策目标以及与其他国家央行的互动，帮助学 员了解央行利率决策的全过程，包括数据收集、模型预测和政策制定等环节。
调整基准利率、存款准备金率、公开市场操作等 。
利率调控的效果
影响货币供应量、投资和消费，进而影响经济增 长和通货膨胀。
利率政策与其他政策的协调
财政政策与利率政策的协调
财政政策通过增加政府支出或减税来刺激经济增长，利率政策通 过降低利率来鼓励投资和消费。
汇率政策与利率政策的协调
汇率政策通过调整汇率来促进国际贸易和投资，利率政策通过影响 资本流动来影响汇率。
ห้องสมุดไป่ตู้依据。
金融风险管理
利率是金融机构面临的主要风险 之一，通过利率预测和分析，有
助于制定风险管理策略。
宏观经济政策制定
利率是货币政策的重要工具，对 利率的预测和分析有助于政策制
受到预期通货膨胀、经济增长和风险溢价的共同影响。
利率变动对经济的影响
01
02
03
04
对投资的影响
利率变动会影响企业的投资决 策，因为借贷成本直接影响项
目的可行性。
对消费的影响
利率变动会影响消费者的借贷 成本和储蓄收益，从而影响消
费行为。
对汇率的影响
利率差异会导致国际资本流动 ，从而影响汇率。
产品开发
金融机构需要不断进行市场调研和产品创新，以满足客户多样化 的需求。
产品推广
通过各种渠道和营销手段，将创新型利率产品推向市场，提高产 品的知名度和市场份额。
06 利率案例研究与实践
案例一：某国央行利率决策过程分析
总结词
深入了解央行利率决策机制
详细描述
该案例通过分析某国央行在制定和调整利率时所考虑的经济指标、政策目标以及与其他国家央行的互动，帮助学 员了解央行利率决策的全过程，包括数据收集、模型预测和政策制定等环节。
调整基准利率、存款准备金率、公开市场操作等 。
利率调控的效果
影响货币供应量、投资和消费，进而影响经济增 长和通货膨胀。
利率政策与其他政策的协调
财政政策与利率政策的协调
财政政策通过增加政府支出或减税来刺激经济增长，利率政策通 过降低利率来鼓励投资和消费。
汇率政策与利率政策的协调
汇率政策通过调整汇率来促进国际贸易和投资，利率政策通过影响 资本流动来影响汇率。
ห้องสมุดไป่ตู้依据。
金融风险管理
利率是金融机构面临的主要风险 之一，通过利率预测和分析，有
助于制定风险管理策略。
宏观经济政策制定
利率是货币政策的重要工具，对 利率的预测和分析有助于政策制
利率课件ppt
对国际收支的影响
01
利率水平与汇率关系
利率差异会影响国际资本流动和汇率变动。当国内利率高于国际市场利
率时，外国资本流入国内市场，导致本币升值；反之则本币贬值。
02 03
汇率变动对国际收支的影响
汇率变动会影响出口和进口价格，进而影响国际收支状况。本币升值可 能导致出口商品价格上涨，降低出口竞争力；本币贬值则可能增加出口 竞争力，促进出口增长。
对通货膨胀的影响
利率水平与物价水平关系
利率是货币的价格，直接影响货币供应和需求。当货币供应过多而需求不足时 ，会导致物价上涨，引发通货膨胀。因此，提高利率可以抑制通货膨胀。
利率政策对物价稳定的作用
中央银行通过调整利率水平来控制货币供应和需求，保持物价稳定。当通货膨 胀率过高时，央行可能会提高利率，减少货币供应，降低物价上涨压力。
政策调整影响
如果货币政策或财政政策发生调整 ，如降息或加息，利率走势可能会 相应变化。
06
实际案例分析
企业如何应对利率变化
短期策略
企业可以采取短期财务策略，如 调整债务和现金储备，以应对利
率变化带来的现金流波动。
长期策略
企业需要制定长期财务规划，包 括资本支出、投资决策等，以适 应利率变化带来的经济环境变化
利率种类
基准利率
由中央银行确定的利率 ，是其他利率的基础和
参照。
浮动利率
根据市场供求关系而自 由变动的利率。
固定利率
在借贷期内固定不变的 利率。
优惠利率
金融机构给予特定对象 低于一般利率的利率优
惠。
利率的作用
01
02
03
04
调节货币政策
通过调整利率水平，影响经济 活动，实现货币政策目标。
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第一个条件表明零息票债券的价格非负，第二个条件表明到期时零息票债券的价格为1，第三个条件表明期限 无限长的零息债券的价格为零。
（1）Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况 Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况为：在第n期，贴现函数有n+1中可能状态。贴现函数的每个 状态都都独立于通向该节点的路径，仅由初始点到该节点之间的向上移动和向下移动的次数决定。 在该二叉树模型中，每个节点对应一组折现率，因此每个节点都对应一组与之关联的各种零息债券的价格。
§7.2 Ho-Lee模型 1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间） 该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价， 以保证不出现套利机会，是无套利模型。 sn ：第n期市场的状态空间；
Di(n) (T )（贴现函数）：第n期、状态 i sn 出现、到期时刻为T的零息票债券的价格。 在任意时刻n、状态i，利率期限结构由一系列贴现函数来完全描述。其中贴现函数 Di(n) ( )满足：
图7-1 零息债券价格的二叉树模型
（2）极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率 在极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率满足：
drt a(t)dt dWt 其中，a(t) 为时间t的函数，描述了 rt 变动的趋势； 为一常数，描述了利率的波动幅度；Wt 为标准布朗运动。
说明：当期限[T，S]无限小时单利和复利相等。
【例题7.1】零息债券的远期利率由表达式f(0，T)=0.05+0.01T给出，其中T为年数。面值为100美元，到期以面 值赎回，则到期日为5年的零息债券的价格为（ ）。
A．94.65 B．88.69 C．68.73 D．36.79 E．25.36 【答案】C 【解析】到期日为5年的零息债券的价格为：
说明：Fl (t,T , S ) 和 Fc (t,T , S) 是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。
（5）远期瞬时利率 远期瞬时利率的定义为： 由定义可知 rt f (t,t) 。 由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：
这个式子结合 R(t,T ) ln B(t,T ) 可以推出： T t
5
5
B(0,5)
100e
0
f (0,t )dt
100e
0
(0.050.01t
)
dt
68.73（美元）
2．利率模型的评价标准 利率模型能够满足一些优良的性质，这些优良的性质包括： （1）模型应该是无套利的。即利率应该是非负的。 （2）利率应该具有均值回复特征。即利率围绕某一均值波动，如利率超过均值，则在未来有下降的趋势；反 之，如低于均值，则未来有上升的趋势。 （3）被用于计算债券以及利率衍生品价格时应较为简单。 （4）应该是动态的，能充分反映市场利率的变化。 （5）参数容易估计，且模型能较好的拟合历史数据。 （6）有明显的经济意义。 说明：许多常用的随机利率模型只具有上面的部分性质，但在实际应用中往往忽略模型的某些缺陷。
3．均衡模型与无套利模型 （1）均衡利率模型（绝对定价模型） 可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一 般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。 单因素模型：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源； 多因素模型：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。 说明：在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到； （2）无套利模型（相对定价模型或拟合模型） 基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的 利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。 说明：在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。
R(t，T)是零息债券在[t，T]上的平均收益率。 说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个 随机变量。
（4）远期单利和远期复利 t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期单利 Fl (t,T , S ) 的定义为：
t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期复利Fc (t,T , S) 的定义为：
有1单位货币，即
A
(T
)
1
，需在0时刻投入
A
1 (T
)
单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为：A
(t)
(t) (T )
所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为 (t) 。 (T )
（3）连续复利收益率 用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为： 由这个等式可以推出：
d (t) rt (t)dt 其中 rt 是瞬时利率。由上式可以进一步的推出：
说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程 (t)也是随机的。
（2）随机折现因子 ①在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：
②随机折现因子的含义 假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t>0时刻银行账户将有 A 单(t )位货币。若希望在T(T>t)时银行账户
第7章 随机利率模型 【考试要求】 7.1 引言 相关概念 利率模型的评价标准 均衡模型与无套利模型 7.2 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型的应用 7.3 连续时间随机利率模型下零息债券的定价 随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 利率风险的市场价格 零息债券价格满足的偏微分方程 基于鞅方法的零息债券定价公式
7.4 Vasicek模型 Vasicek模型及模型求解 Vasicek模型下的债券的定价 7.5 CIR模型 CIR模型及模型求解 CIR模型下债券的定价 7.6 单因素模型的局限性 单因素模型的局限 多因素模型简介
【要点详解】 §7.1 引言
1．相关概念 （1）银行账户过程 定义 (t)为t时刻银行账户过程(的价值)。假设β(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程：
（1）Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况 Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况为：在第n期，贴现函数有n+1中可能状态。贴现函数的每个 状态都都独立于通向该节点的路径，仅由初始点到该节点之间的向上移动和向下移动的次数决定。 在该二叉树模型中，每个节点对应一组折现率，因此每个节点都对应一组与之关联的各种零息债券的价格。
§7.2 Ho-Lee模型 1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间） 该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价， 以保证不出现套利机会，是无套利模型。 sn ：第n期市场的状态空间；
Di(n) (T )（贴现函数）：第n期、状态 i sn 出现、到期时刻为T的零息票债券的价格。 在任意时刻n、状态i，利率期限结构由一系列贴现函数来完全描述。其中贴现函数 Di(n) ( )满足：
图7-1 零息债券价格的二叉树模型
（2）极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率 在极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率满足：
drt a(t)dt dWt 其中，a(t) 为时间t的函数，描述了 rt 变动的趋势； 为一常数，描述了利率的波动幅度；Wt 为标准布朗运动。
说明：当期限[T，S]无限小时单利和复利相等。
【例题7.1】零息债券的远期利率由表达式f(0，T)=0.05+0.01T给出，其中T为年数。面值为100美元，到期以面 值赎回，则到期日为5年的零息债券的价格为（ ）。
A．94.65 B．88.69 C．68.73 D．36.79 E．25.36 【答案】C 【解析】到期日为5年的零息债券的价格为：
说明：Fl (t,T , S ) 和 Fc (t,T , S) 是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。
（5）远期瞬时利率 远期瞬时利率的定义为： 由定义可知 rt f (t,t) 。 由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：
这个式子结合 R(t,T ) ln B(t,T ) 可以推出： T t
5
5
B(0,5)
100e
0
f (0,t )dt
100e
0
(0.050.01t
)
dt
68.73（美元）
2．利率模型的评价标准 利率模型能够满足一些优良的性质，这些优良的性质包括： （1）模型应该是无套利的。即利率应该是非负的。 （2）利率应该具有均值回复特征。即利率围绕某一均值波动，如利率超过均值，则在未来有下降的趋势；反 之，如低于均值，则未来有上升的趋势。 （3）被用于计算债券以及利率衍生品价格时应较为简单。 （4）应该是动态的，能充分反映市场利率的变化。 （5）参数容易估计，且模型能较好的拟合历史数据。 （6）有明显的经济意义。 说明：许多常用的随机利率模型只具有上面的部分性质，但在实际应用中往往忽略模型的某些缺陷。
3．均衡模型与无套利模型 （1）均衡利率模型（绝对定价模型） 可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一 般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。 单因素模型：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源； 多因素模型：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。 说明：在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到； （2）无套利模型（相对定价模型或拟合模型） 基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的 利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。 说明：在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。
R(t，T)是零息债券在[t，T]上的平均收益率。 说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个 随机变量。
（4）远期单利和远期复利 t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期单利 Fl (t,T , S ) 的定义为：
t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期复利Fc (t,T , S) 的定义为：
有1单位货币，即
A
(T
)
1
，需在0时刻投入
A
1 (T
)
单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为：A
(t)
(t) (T )
所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为 (t) 。 (T )
（3）连续复利收益率 用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为： 由这个等式可以推出：
d (t) rt (t)dt 其中 rt 是瞬时利率。由上式可以进一步的推出：
说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程 (t)也是随机的。
（2）随机折现因子 ①在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：
②随机折现因子的含义 假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t>0时刻银行账户将有 A 单(t )位货币。若希望在T(T>t)时银行账户
第7章 随机利率模型 【考试要求】 7.1 引言 相关概念 利率模型的评价标准 均衡模型与无套利模型 7.2 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型的应用 7.3 连续时间随机利率模型下零息债券的定价 随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 利率风险的市场价格 零息债券价格满足的偏微分方程 基于鞅方法的零息债券定价公式
7.4 Vasicek模型 Vasicek模型及模型求解 Vasicek模型下的债券的定价 7.5 CIR模型 CIR模型及模型求解 CIR模型下债券的定价 7.6 单因素模型的局限性 单因素模型的局限 多因素模型简介
【要点详解】 §7.1 引言
1．相关概念 （1）银行账户过程 定义 (t)为t时刻银行账户过程(的价值)。假设β(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程：