线性代数知识点相关习题打印
一、填空题（共15分，每空3分）1．行列式的余子式和代数余子式；例1、行列式123756840D=中元素6的余子式的值为_____-12____；代数余子式的值为_______12______.例2、设三阶行列式1230450Dλλ=-，则元素2的代数余子式12A的值为___-20_____.2. 行列式计算；(一个具体的行列式，不超过四阶，不含字母)例1．行列式0002001003002000--的值为____12_____例2．2100032100430005=______120________.例3．111123149=______2________.3.求矩阵的秩；（一个具体的矩阵）要点：矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。
例1. 设矩阵111222333A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A的秩为( 1 ).例2. 设矩阵051022003A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A的秩为( 2 ).4.线性相关与线性无关，求参数；要点：1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于0.2）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例例1. 若向量组(1, 1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, )λ-线性相关，则λ=____-4_________. 例2. 若向量组(1, 1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, )λ-线性无关，则≠λ___-4_________. 例3．若向量组)6,4,1(-与),-8,2(λ线性相关，则λ=______12_________.5.向量正交，求参数。
（两个或者三个向量正交） 要点：向量b a ,正交当且仅当0,=）（b a例1 设向量(2,5,4)-与向量(1,1,)t t -正交，则t =____3_______.例2 设三个向量 )0,,1(t ，),1,0(t ，)1,0,0(-t 两两正交，则t =_____0______.二、选择题（共15分，每小题3分） 1.矩阵与行列式的性质；（比如各种运算律）例1. 设A 、B 为两个n 阶方阵，则（ B ）.(A) =AB BA ；(B) T T T T +=+A B B A ； (C) T T T T =A B B A ； (D) ()T T T =A B AB . 例2. 设A 为二阶方阵，且2=A ，则1(3)-=A （ A ）. (A)118； (B) 92； (C) 32； (D) 16. 例3.设A 、B 为两个n 阶方阵，则（ B ）.(A) =AB BA ；(B)A B B A +=+； (C)B A B A ==则若,； (D). B A O C BC AC =≠=则若,,2. 线性相关与线性无关；例1. 关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（ B ）.(A) 如果12,,,m ααα线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余1m -个向量线性表示；(B) 如果n 个n 维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零； (C) 如果12,,,m ααα线性相关，则存在一组全不为零的数12,,,m k k k ，使得1122m m k k k +++=ααα0；(D) 如果n 维向量12,,,m ααα线性无关，则必存在n 维向量β，使得12,,,,m αααβ线性无关.例2. 下列向量组中，线性无关的是（ C ）.(A) 104203, , 302401⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (B) 121, , 135-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (C)111011, , 00111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (D) ()()(), , 1,0,1,22,0,2,41,1,1,1.3.方程组有解的充分必要条件；例1 n 元线性方程组=Ax b 有解的充分必要条件是)()(b Ar A r =.例2 n 元线性方程组=Ax b 有唯一解的充分必要条件是n b Ar A r ==)()(例3 n 元线性方程组=Ax b 有无穷多组解的充分必要条件是 ()(|) r r n =<A A b . 例4 n 元齐次线性方程组=Ax 0仅有零解的充分必要条件是 () r n =A . 例5 n 元齐次线性方程组=Ax 0有无穷多解的充分必要条件是n A r <)(.4.特征值的性质；要点：1. 上（下）三角矩阵，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素2.n A λλλ 21⋅=3.nn n a a a A tr +++=+++= 221121)(λλλ4.若A 的特征值是λ，则)(A ϕ的特征值是)(λϕ。
例1 . 设3是方阵A 的特征值，则矩阵2A 具有特征值为（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例2. 设3是方阵A 的特征值，则矩阵E A A 322+-具有特征值为（ D ）.(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.例3矩阵135022003-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值为_____1, 2, 3________.例3.设A 为n 阶方阵，则 ( C ).(A) A 的全部特征向量构成向量空间； (B) A 有n 个线性无关的特征向量； (C) A 的全部特征值的和为tr()A ；(D) A 的全部特征值的积为tr()A .例4矩阵11113111b ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 的特征值可能是（ A ）. (A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，1-.5.相似矩阵性质要点：1. 如果B A ~,C B ~,则C ~A2.如果B A ~,则B A =，A 和B 可逆性相同3. 如果B A ~,则A 和B 具有相同的特征多项式和特征值，具有相同的迹4. 如果B A ~,则-1-1~B A ，T T B A ~5.kE kE E E ~,~例1设A 、B 、C 为n 阶方阵，~A B ，~B C ，则A 、C 的关系不正确的是( D ).(A) ~A C ； (B) →A C ； (C) =C A ； (D) =A C .例2. 与矩阵1203⎛⎫= ⎪⎝⎭A 不相似的矩阵是（ C ）.(A) 1023⎛⎫⎪⎝⎭； (B)3501⎛⎫⎪⎝⎭； (C) 1133⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 2112⎛⎫⎪⎝⎭. 三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。
例1.已知，123130052-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求：(1) T AB ；(2) 3-A . 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ；(2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A四、（10分）求解矩阵方程。
例 1.解矩阵方程=AX B ，其中121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，012123T⎛⎫= ⎪⎝⎭B . 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .五、（10分）求非齐次线性方程组的通解（要求用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。
例1.求非齐次线性方程组12341234123412341 12033x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对增广矩阵施行初等行变换： 11111111111111101110(|)11120000111113300000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b （3分）10001011010001100000⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭（5分）对应齐次线性方程组的一个基础解系为()0,1,1,0T=ξ（7分），所求方程组的一个特解为()1,1,0,1Tη=-（9分），于是所求方程组的通解为k =+x ξη，k ∈R .（10分） 例2.求线性方程组12341234 24522454x x x x x x x x -++=⎧⎨-+--=-⎩的通解. （用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，得112451124511203(|)224540003600012----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 对应齐次线性方程组的一个基础解系为()()12, 1,1,0,02,0,1,0T T==-ξξ，所求方程组的一个特解为()3,0,0,2Tη=-，于是所求所求方程组的通解为1122k k =++x ξξη，12,k k ∈R .六、（10分）求向量组的秩，极大无关组，并把不属于这个向量组的其余向量用极大无关组线性表示。
要点：1.所给的向量是列向量，直接使用初等行变换2.所给的向量是行向量，需要先转置，再进行初等行变换例 1. 求向量组 1(1,2,3,1)α=--，2(3,1,5,3)α=--，3(2,1,2,2)α=-，4(1,3,1,1)α=--的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解：对()1234TT T T A αααα=进行初等行变换，得1321132113211012211305550111011135210444000000001321000000000000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5分）于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为12, αα，（8分）且有312=-+ααα，4122=-+ααα (10分)例2.求向量组 1(1,2,1)T α=--，2(1,2,1)T α=-，3(2,1,8)T α=，4(3,1,7)T α=--的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解：对()1234A αααα=进行初等行变换，得1123112311231101221100550011(3)0011118700101000000000--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分（5分）于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为13, αα，（8分）且有21α=-α ，413αα=--α(10分).七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化.（不需要单位化，只包含两个或者三个向量）例1 用施密特正交化方法把线性无关的向量组12110,100αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，3111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦正交化. 解：取11=βα（2分）21221110(,)=1(,)0αββαβββ⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4分） （6分） 3132331211220(,)(,)=0(,)(,)1αβαββαββββββ⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（8分）（10分） 例2用施密特正交化方法把线性无关的向量组1(1,0,0,0)T α=，2(1,1,0,0)T α=3(1,1,1,0)T α=正交化.解：令11(1,0,0,0)Tβα==（2分）2122111110101(,)1000(,)1000αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6分）31323312112211001010(,)(,)111001(,)(,)110000αβαββαββββββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分） 八（12分）已知一个二阶实对称矩阵A ，求矩阵A 的特征值与特征向量，并求一个正交矩阵P ，把矩阵A 对角化。
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数-章节知识点及习题
第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。
练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。
练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。
练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。
练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。
=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。
==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
(word完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案,推荐文档
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数知识重难点和常考题型汇总
②、
a11 a21
a12
a22
a1 n a2 n
x1
x2
b1
b2
Ax
b
（向量方程，
A为mn
矩阵， m
个方程， n 个未知数）
am1
am 2
amn xm
bm
⑦、 r( AB) min(r( A), r(B)) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； 3
Ⅱ、 r( A) r(B) n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r( AB) r( A) r(B) n ；
③、 a1
a2
an
x1
x2
（全部按列分块，其中
b1 b2
）；
xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3，代数余子式和余子式的关系：
M ij (1)i j Aij
Aij (1)i j M ij
4，设 n 行列式 D ：
n ( n 1)
线性代数(完整版)
线性代数复习题一、选择题1、 课本P44第5题四元素乘积243241k i a a a a 是四阶行列式ij a （i,j=1,2,3,4）中的一项，i,k 的取值及该项前应冠以的符号，有下列四种可能情况：（1）i=3，k=1，前面冠以正号 (2)i=3,k=1,前面冠以负号 （3）i=1, k=3,前面冠以正号 （4）i=1.k=3,前面冠以负号 选项正确的是（C ）A 、1.3正确B 、1.4正确C 、2.3正确D 、2.4正确 解：当i=3,k=1时，N(3241)+N(1432)=4+3=7,该项前面冠以负号当i=1,k=3时，N(1243)+N(1432)=1+3=4,该项前面冠以正号 故选择C2、 课本P44第7题 下列选项中不属于五阶行列式ij a （i,j=1,2…5）中的一项的是（C ）A 、5445322311a a a a a B 、2534431251a a a a a -C 、4521345213a a a a a -D 、1122334455a a a a a解：选项C 中，N(15324)+N(32415)=4+4=8，前面应该冠以正号，而选项中是负号，故不属于五阶行列式中的一项3、 3、课本P45第9题若行列式D=,1333231232221131211=a a a a a a a a a 则行列式3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---==（ A ） A 、-12 B 、12 C 、-24 D 、24解：333231232221131211333231232221131111333231312322212113121111343434242424324324324a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+=--- =333231232221131211)3(*40a a a a a a a a a -+=（—12）*1=—12设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a ，则行列式313332313121231221211113121111423312693423a a a a a a a a a a a a a a a --+-+----=（ B ） A 、12D B 、24D C 、-24D D 、36D解：313332313121231221211113121111423312693423a a a a a a a a a a a a a a a --+-+----=—3313332313121231221211113121111423423423a a a a a a a a a a a a a a a ------ =—3（313331312123212111131111434343a a a a a a a a a a a a ---+313332312123122111131211424242a a a a a a a a a a a a ------） =—3313332312123122111131211424242a a a a a a a a a a a a ------=（-3）*（-2）313332312123122111131211444a a a a a a a a a a a a --- =6313332312123122111131211444a a a a a a a a a a a a ---=6（333231231221*********a a a a a a a a a +313231211221111211a a a a a a a a a ---） =6333231231221131211444a a a a a a a a a =6*4333231231221131211a a a a a a a a a =24D ，故选择B5、 课本P46第12题设aa 0100200001000=—1，则a=( A )A 、—1/2B 、1/2C 、—1D 、1解：aa 0100200001000=1*41)1(+-0200100a =（—1）*（—2a ）=2a=—1,则a=—1/2,选择答案A876543210000000a a a a a a a a 中的7a 的代数余子式为（ B ）A 、542632a a a a a a -B 、632542a a a a a a -C 、542631a a a a a a -D 、854863a a a a a a -解：7a 的代数余子式为0000)1(6543241a a a a a +-=-（542632a a a a a a -）=632542a a a a a a -，选择B7、 课本P47第17题行列式vud c y x b a000000=（ C ）A 、abcd-xyuvB 、adxv-bcyuC 、（ad-bc ）（xv-yu ）D 、（ab-cd ）（xy-uv ）解：vud c y x b a000000=a*vud yx 0000)1(11+-+c*vuy x b 0000)1(31+-=a （xdv-ydu ）+c （byu-bxv ）=ad （xv-yu ）+bc （yu-xv ）=（ad-bc ）（xv-yu ），选择答案C8、 课本P48第23题若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-0002321321321x x kx x kx x x x x 有非零解，则k 必须满足（ D ）A 、k=4B 、k=—1C 、k ≠—1且k ≠4D 、k=—1或k=4解：1111112kk D --==1111211kk --=kkk k +----1103120112=kkk +----+11312)1(211=（-2k-1）(1+k)-3(1-k ²)=（1+k ）(k-4)由于齐次线性方程组有非零解，所以D=0，即（1+k ）(k-4)=0,解得k=-1或者k=4,选D9、 课本P48第24题若第8题中的齐次线性方程组仅有零解，则K 必须满足（ C ）A 、k=4B 、k=—1C 、k ≠—1且k ≠4D 、k ≠—1或k ≠4解：由于齐次线性方程组仅有零解，则D ≠0，所以（1+k ）(k-4)≠0，解得k ≠—1且k ≠4，选C 10、 课本P105第1题有矩阵2*33*22*3,,C B A ,下列矩阵运算可行的是（ B ） A 、AC B 、ABC C 、BAC D 、AB-BC解：只有左边矩阵的列数与右边矩阵的行数一样，两者才可以相乘， 如3*22*3*B A 是可以相乘的，但是2*32*3*C A 不可以相乘的。
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识
《线性代数》知识点-归纳整理-大学线代基础知识-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 3 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 3 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 4 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 4 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 5 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 5 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 5 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 7 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 8 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 8 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 8 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 8 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 9 -17、充分性与必要性的证明题 ................................................................................................................................... - 10 -18、伴随矩阵 ............................................................................................................................................................... - 10 -19、矩阵的标准形： ................................................................................................................................................... - 11 -20、矩阵的秩： ........................................................................................................................................................... - 11 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ............................................................................................................................... - 11 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 11 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 11 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 13 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 13 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 13 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 14 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 14 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 14 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 14 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 14 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 14 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 14 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。
线性代数习题集(带答案)
. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
大一线性代数知识点例题
大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。
3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。
4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。
a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。
b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。
5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。
a) 计算 T((3, 2))。
b) 判断 T 是否为一一映射。
6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。
7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。
a) 计算 A 和 B 的内积。
b) 判断 A 和 B 是否正交。
c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。
8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。
以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。
希望能够为你的学习提供一些帮助。
(完整版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。