第三节刚度矩阵(汇编)
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第三节 刚度矩阵
——节点载荷与节点位移之间的关系
一、 单元刚度矩阵
1. 单元刚度矩阵
xj
单元e 是在节点力作用下处于平衡。节点i 的节点力为
{}T
i xi
yi R R R ⎡⎤=⎣⎦ （i , j , m 轮换）
则单元e 的节点力列阵为
{}
T
e
T
T T m
i j
T
xm ym xi yi xj yj R R R R R R R R R R ⎡⎤⎣
⎦
⎡⎤⎣⎦
=
=
单元应力列阵为
{}
T
e
x y xy σσστ⎡⎤⎣⎦
=
假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e 的三个节点的虚位移为
{}
*
*****
*e
T m
m i i j j
u v u v u v δ⎡⎤⎣
⎦
= 单元虚应变列阵为
{}
****T
x y xy εεεγ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
=
参照式（3-7），则单元虚应变为
{}
{}**e
e
B εδ⎡⎤⎣⎦=
作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：
{}{}*
e
T
e R δ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单元内的应力在虚应变上所做的功为：
{}{}*
T
e tdxdy εσ∆
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
⎰⎰
根据虚位移原理，可得单元的虚功方程
{}
{}{}
{}**e
T
T
e e R tdxdy δεσ∆
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=
⎰⎰
或
{}{}
{}{}*
*
e
T
T
T
e e B R tdxdy δδσ∆
⎛
⎫⎛⎫⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
⎝
⎭
=⎰⎰
故有
{}
{}e
T
B R tdxdy σ∆
⎡⎤⎣⎦
=
⎰⎰
将式（3-10）代入，的
{}
{}{}e
e
e
T
T
D B D B R B B tdxdy
tdxdy δδ∆∆
⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==
⎰⎰⎰⎰
（3-27）
简记为
{}{}e
e e
k R δ⎡⎤
⎣⎦
= （3-29）
--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程） 其中
T
e
D B B k tdxdy ∆
⎡⎤⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=
⎰⎰
（3-28） e
k ⎡⎤⎣⎦称之为单元刚度矩阵（简称为单刚）
，是66⨯矩阵。 如果单元的材料是均质的，矩阵D ⎡⎤⎣⎦中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵B ⎡⎤⎣⎦中的元素也是常
数，当单元的厚度也是常数时，注意到
dxdy ∆
=∆⎰⎰
，于
是单元刚度矩阵可简化为
T
e
B D B t k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
∆= （3-30） 将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：
66
e
ii ij im
ji jj jm mm mi
mj k
k k k k k k k k k ⨯⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
= （3-31）
其中任一子块[]rs k (r ，s=i ，j ，m ）是一个2×2子矩阵，
为
[][][][]T
r
s
rs k B D B t =∆ (r ，s=i ，j ，m ）
（1）对于平面应力问题
将[]B 和平面应力问题的弹性矩阵[]D 代入，得
T
rs r s k B D B t ⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=∆ ()
2
112
2
114122r s r s r s r s r s r s r s r s b b c c b c c b Et c b b c
c c b b μμμμμμμ--⎡
⎤
++⎢⎥
=⎢⎥
---∆⎢⎥
++⎢⎥⎣
⎦
(r ，s=i ，j ，m ） （3-32）
（2）对于平面应变问题
将[]B 和平面应变问题的弹性矩阵[]D 代入，得
()()()()()()()
12122112114112121212121e rs k b b c c b c c b r s r s r s r s E t c b b c c c b b r s r s r s r s
μμμμμμμμμμ
μμμμμ⎡
⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
--++----=
+-∆--++--- (r,s=i ，j ，m ） （3-33）
（注：是将式（3-32）中的,E μ分别换成2
1E μ
- 和
1μ
μ
-）
2. 单元刚度矩阵的性质 （1）
e
k ⎡⎤
⎣⎦
的物理意义
式（3-29）可完整写为
13141516
111221222324252633343536
3132434445464142555152535456616263646i i j
j
m
m
e
U k k k k k k V k k k k k k k k k k U k k k k k k k k V k k k k k k U k k k k k V
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
566i
i j j m m e
u v u v u k v ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎣⎣
⎦⎦
⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎭
可见每个节点在x 和y 方向上有二个平衡方程，3个节点共有六个平衡方程。
单元刚度矩阵[]e
k 中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：