概率论第四章课后习题解答
概率论第四章习题解答
1第四章随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A 组1、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.400.300.30求()E X 、(35)E X +、2()E X ？解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-⨯+⨯+⨯=-；(35)3()5 4.4E X E X +=+=；2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-⨯+⨯+⨯=.2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元求产品的平均价值？解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为X 0 8 10 p0.00140.80880.1898则()80.1898100.80889.61E X =⨯+⨯≈(元).3、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()E X ？解：由分布函数知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它则4()()24x E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰.4、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()E X ？解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p pk p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知 211()[1(1)]E X p p p =⨯=--.5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即的泊松分布，即()!kp X k e k λλ-== (0,1,2,)k =求()E X 、2()E X ？解：1()!(1)!kk k k E X k ee ee k k λλλλλλλλλ-+∞+∞---======-∑∑；12201(1)()[]!(1)!!kk kk k k k k E X keee k k k λλλλλλλλ-+∞+∞+∞---===+===-∑∑∑1210[]()(1)!!k kk k e e e e k k λλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--===+=+=+-∑∑. 6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布X 10 11 12 13 p0.40.30.20.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？ 解：(1)()100.4110.3120.2130.111E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(月)；(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-⨯=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即1()a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它求()E X 、2()E X ？解：()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞-∞+===-⎰⎰；22222()()3baxa ab b E X x f x dx dx b a +∞-∞++===-⎰⎰. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即的指数分布，即0()0x ex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩０求()E X 、2()E X ？解：0()()xxE X xf x dx x edxxdeλλλ+∞+∞+∞---∞===-⎰⎰⎰1xxxeedxλλλ+∞+∞--=-+=⎰；2222202()()2xxxE X x f x dxx edxx exedxλλλλλ+∞+∞+∞+∞----∞-∞===-+=⎰⎰⎰.9、离散型随机变量X 的概率分布为X 0 2 6 p3/12 4/12 5/12求()E X 、[ln(2)]E X +？解：34519()0261212126E X =⨯+⨯+⨯=；34513[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126E X +=+⨯++⨯++⨯=.10、设2~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？解：22()21(||)||2x E X x e dx μσμμπσ--+∞-∞-=-⎰令x t μσ-=，由偶函数性质有222022(||)()2t t E X e d μσσππ+∞--==⎰.11、设某商品需求量(10,30)X U ，销售商进货量n 在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润Y 与X 、n 的关系为500300()1030500100()1030n X n n X Y X n X X n +-≤<≤⎧=⎨--≤<≤⎩则利润平均值为10101()[[500100()][500300()]20n n E Y X n X dx n X n dx =--++-⎰⎰ 27.53505250n n =-++由题意知27.535052509280n n -++≥解得62263n ≤≤，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A 发生，则赔偿顾客a 元.以往资料表明事件A 发生的概率为p .为使公司收益期望值为0.1a ，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取x 元保费，公司的收益为Y 元则Yx x a - p1p -p按题意()(1)()0.1E Y x p x a p a =-+-= 解得0.1x ap a =+.13、设随机变量X 的密度函数为1cos0()220x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.对X 进行独立重复观测4次，Y 表示观测值大于/3π的次数，求2Y 的数学期望？解：显然~(4,)Y b p ，其中p 是(/3)X π>的概率，故31()cos 0.5322xp p Xdx πππ=>==⎰所以44()0.50.5kkkp Y k C -==⨯ (0,1,2,3,4)k =则有42244()0.50.55k kkk E Y k C -==⨯=∑.14、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布求22Z X Y =+的数学期望？解：由题意知X 、Y 的联合密度函数为2221(,)2x y f x y eπ+-=于是22222221()(,)2x y E Z x y f x y dxdy x y edxdy π++∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰令cos x r θ=、sin y r θ=得222222201()22r r E Z r e drd r e drππθπ+∞+∞--===⎰⎰⎰.15、已知(,)X Y 的分布如下，令max{,}Z X Y =，求()E Z ？YX0 5 10 15 0 0.02 0.06 0.02 0.10 5 0.04 0.15 0.20 0.10 100.010.150.140.01解：由题设可得Z 的分布为Z 0 510 15 p 0.020.25 0.52 0.21()00.0250.25100.52150.219.6E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.16、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X 、()E Y 、()E XY 、22()E X Y +？解：12004()(,)125xE X xf x y dxdydx xy dy+∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 1303()(,)125x E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰；；131()(,)122xE XY xyf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 122222220016()()(,)()15xE XY xy f x y dxdydx xy y dy+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰. 17、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ？解：22007()(,)()88xE X xf x y dxdyxy dxdy+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰. 18、甲乙二人相约在12:00~13:00之间会面，设X 、Y 分别表示甲乙到达时间，且相互独立已知X 、Y 的密度函数为2301()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它、201()0y y f y <<⎧=⎨⎩其它求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为||X Y -，由于X 、Y 的联合密度函数为2601,01(,)0x y x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它11200(||)||6E X Y x y x ydxdy ⇒-=-⎰⎰112200001()6()|64xyx y x ydydx y xx ydxdy =-+-=⎰⎰⎰⎰.19、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求数学期望()E X 、()E Y ？解：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)(,)0(,)c x y G f x y x y G∈⎧=⎨∉⎩，由密度函数性质解出9/2c =下面分别求出边沿密度函数当12x -≤≤时，有22222()(2)99x X xf x dy x x +==+-⎰，故此 22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 当01y ≤≤时，有24()99y Y y f y dx y--==⎰当14y <≤时，有222()(2)99y Y y f y dx y y --==+-⎰，所以 40192()(2)1490Y y y f y y y y ⎧≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它从而22121()()(2)92XE X xfx dx x x x dx +∞-∞--==+-=⎰⎰； 1401428()()(2)995Y E Y yf y dy y yd y y y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰. 20、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.40 0.30 0.30求()D X ？解：由题意易知()0.2E X =-、2() 1.8E X =，所以22()()[()] 1.80.04 1.76D X E X E X =-=-=.21、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()D X解：由题意易知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它，且()2E X=，则242(2)4()(())()43x D X x E X f x dx dx +∞-∞-=-==⎰⎰. 22、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求()D X ？ 解：由题意易知()E X λ=、22()E X λλ=+，故22()()[()]D X E X E X λ=-=.23、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)80x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()D X ？解：由题意易知7()8E X =，故2222001711()[()](,)()()8636D X x E X f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞-∞=-=-+=⎰⎰⎰⎰. 24、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求方差()D X 、()D Y ？解：由题意易知22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它、40192()(2)1490Y yy f y y y y ⎧≤≤⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它1()2E X =、8()5E Y =22222127()()(2)910X E X x f x dx x x x dx+∞-∞--==+-=⎰⎰14222214247()()(2)9914Y E Yy f y dyy ydyy y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰229()()[()]20D X E X E X =-=；22279()()[()]350D YE Y E Y =-=.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设X 表示取出合格品前已取出次品的数目，则X0 1 2 p8/10 16/90 2/90故2()9E X =、24()15E X =所以2288()()[()]405D XE X E X =-=.26、设随机变量X 的密度函数为||1()2x f x e -=.求()E X 、()D X ？解：||1()()02x E X xf x dx x e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰； 222||2011()(())()222x xD XE X E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞=-====⎰⎰⎰.27、设X 为随机变量，证明:对任意常数C ，有2()()D X E X C ≤-，当()C E X =时等号成立.证明：22222()(2)()2()E X C E X CX C E X CE X C -=-+=-+22222()[()]{[()]2())}()[()]E X E X E X CE X C D X E X C =-+-+=+-由于2[()]E X C -非负，从而有2()()D X E X C ≤-，且当()C E X =时2()()D X E X C =-.28、设U 服从(-2，2)上的均匀分布，定义X 、Y 如下1111U X U -<-⎧=⎨>-⎩、1111U Y U -<⎧=⎨>⎩求()D X Y +？解：先求X Y +的分布(2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=-==-=-=<-<=<-= (2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=====≥-≥=≥= (0)1(2)(2)1/2p X Y p X Y p X Y +==-+=-+=-=所以()0E X Y +=，从而2()()2D X Y E X Y +=+=.29、已知()750E X =、2()15D X =.请估计概率(700800)p X <<？ 解：由切比雪夫不等式有2215(700800)(|750|50)10.9150p X p X <<=-<≥-≈.30、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率(||6)p X Y +≥的上限？解：因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以，所以2()1(||6)(|()()|6)612D X Y p X Y p X YE X Y ++≥=+-+≥≤=. 31、设()4D X =、()9D Y =、0.5XY ρ=，求(23)D X Y -？ 解：(,)()()3XY Cov X Y D X D Y ρ==(23)4()9()2(2,3)16813661D X Y D X D Y Cov X Y -=++-=+-=.32、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求(,)Cov X Y ？解：由题意易知4()5E X =、3()5E Y =、1()2E XY =，故 1431(,)()()()25550Cov X Y E XY E X E Y ⨯=-=-=⨯. 33、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求协方差(,)Cov X Y 与相关系数XY ρ？解：由题意易知1()2E X =、8()5E Y =、9()20D X =、279()350D Y =2221225()994x x G E XY xy dxdy xdx ydy +-===⎰⎰⎰⎰所以9(,)()()()20Cov X Y E XY E X E Y =-=； (,)0.751()()XYCov X Y D X D Y ρ=≈.34、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为YX-1 0 1 00.07 0.18 0.15 100.080.320.20求22(,)Cov X Y解：先求2X 、2Y 、22X Y 的分布2(0)0.4p X ==、2(1)0.6p X == 2(0)0.5p Y ==、2(1)0.5p Y == 22(0)0.72p X Y ==、22(1)0.28p X Y ==所以2()0.6E X =、2()0.5E Y =、22()0.28E X Y =，由此得222222(,)()()()0.02Cov X Y E X Y E X E Y =-=-.35、随机变量(,)X Y 的密度函数为201,11(,)0x x y f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其它求()D X Y +？解：当01x <<时，有11()22X x f x d y x -==⎰；当01y <<时，有11()22Y y f y d x y -==⎰，故2()()3E X E Y ==、1()()18D X D Y == 由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，即X 与Y 不独立.所以11015()212xE XY xydxdy -==⎰⎰541(,)()()()12936Cov X Y E XY E X E Y =-=-=- 1()()()2ov(,)18D X Y D X D Y C X Y +=++=.36、将1枚硬币抛n 次，以X 、Y 分别表示正面向上与反面向上的次数，求(,)Cov X Y 、XY ρ解：由于X Y n+=，即Y n X=-，于是1XYρ=-；又因~(,0.5)X b n 、~(,,0.5)Y b n ，所以()()/4D X D Y n ==，故(,)(,)(,)()/4Cov X Y Cov X n X Cov X X D X n =-=-==.37、设X 与Y 独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令2U X Y =+、2V X Y =-求U 与V 的相关系数？解：由于()(2)4()()5D U D X Y D X D Y λ=+=+= ()(2)4()()5D V D X Y D X D Y λ=-=+=所以(,)(2,2)Cov U V Cov X Y X Y =+-4()(,2)(2,)()3D X Cov Y X Cov X Y D Y λ=+--=由此得(,)35(),()XYCov X Y D X D Y ρ==. 38、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1||0,01(,)0y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它判断X 与Y 之间的相关性与独立性.解：由于12()3x xE X xdydx -==⎰⎰、、10()0x xE Y ydydx -==⎰⎰、10()0xxE XY xydydx -==⎰⎰，则(,)()()()0Cov X Y E X E Y E XY =-=故X 与Y 之间不相关；又因当01x <<时，有()2xXxf x dy x-==⎰，即201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它同理可以求出110()1010X y y f x y y +-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 之间不独立.39、设a 为区间(0,1)上一定点，随机变量(0,1)X U ，Y 是X 到a 的距离.问a 为何值时X 与Y 是不相关？解：由题设知()0.5E X =、||Y X a =-，所以11201()||()()2aaE Y x a dx a x dx x a dx a a =-=-+-=-+⎰⎰⎰3101()()()323a a a a E XY x a x dx x x a dx =-+-=-+⎰⎰31(,)3212a aCov X Y =-+令31(,)03212a a Cov X Y =-+=，可得方程2(21)(221)0a a a ---=在(0,1)内解得0.5a =，即0.5a =时，X 与Y 不相关. 40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布.(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90? 解：设第i 个数的舍入误差为i X (1,,)i n = ，故()0i E X =、()1/12i D X = (1,,)i n =记1ni i X X ==∑(1) 由林德伯格－列维中心极限定理有15001150001515000(||15)(||)15001/1215001/12i i x p X p =-⨯-⨯>=>∑151[2()1]0.180215001/12≈-Φ-=；(2) 由林德伯格－列维中心极限定理有1100100.90(||10)(||)2()11/121/121/12ni i x n n p X p n n n =-⨯-⨯≤<=≤≈Φ-∑即10()0.951/12n Φ≥，由于(1.645)0.95Φ=，则101.6451/12n ≥因此443.45n £，再由n 为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m ，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m 的概率？解：以X 表示100根木材中长度短于3m 的数目，则~(100,0.2)X b ，于是()20E X =，()16D X =.由于100n =较大，则由中心极限定理，近似有2~(20,4)X N ，由此有20302010(30)1(30)1()1()0.0062444X p X p X p --≥=-<=-<≈-Φ-=. 42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，种蛋糕，每种蛋糕被购买的概每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第i 只蛋糕价格为iX (1,,300)i = .则i X的分布为i X1 1.2 1.5 p0.30.20.5于是可得() 1.29i E X =、2() 1.713iE X =、()0.0489i D X =令3001i i X X ==∑表示总收入，则由林德伯格－列维中心极限定理有300 1.29400300 1.29(400)()1(3.39)0.00033000.04893000.0489X p X p -⨯-⨯≥=>≈-Φ=⨯⨯；(2) 记Y 为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则~(300,0.2)Y b ，于是()60E Y =、()48D Y =，由中心极限定理，近似有~(60,48)X N ，由此有606060(60)1()1(0)0.54848Y p Y p --≥=-<≈-Φ=.43、进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少?此时A 发生的次数在什么范围内?解：设X 为1000次试验中事件A 发生的次数，则~(1000,0.25)X b ，由二项分布的性质知()250E X =、()187.5D X =，而事件A 发生的频率为/1000X .根据题意，可得如下不等式(|0.25|)0.951000X p ε-≤≥即(|250|1000)0.95p X ε-≤≥，由棣莫弗―拉普拉斯定理有25010001000(||)2()10.95187.5187.5187.5X p εε-≤≈Φ-≥即1000()0.975(1.96)187.5εΦ≥=Φ解得0.026ε³，这表明1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件A 发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以X 表示同时工作的车床数，则~(150,0.6)X b ，于是()90E X =、()36D X =，由题意知x 应使得下式成立(0)0.995p X x ≤≤≥由中心极限定理，近似有~(90,36)X N ，故有090909090(0)()()(15)0.9956666X x x p X x p ----≤≤=<<≈Φ-Φ-≥ 查标准正态分布表得90 2.586x -≥，即105.28x ≥，取整得106x =.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能151061590⨯=()kw .B 组1、将n 只球(1n 号)随机的装入n 只盒子(1n 号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记X 为配对数，求()D X ？解：引入随机变量i X (1,)i n = ，1i X =表示第i 号配对，0i X =表示第i 号不配对，则1n X X X =++ ，且1(1)i p X n ==(1,)i n = 即1()i E X n = (1,)i n =于是1()()1n E X E X X =++=因为i X 之间不独立，所以11111()()2(,)nn ni i i i j ii ij D X D X Cov X X -=====+∑∑∑∑下面考虑i j X X 的分布，由于i j X X 的取值只能是0、1，且1(1)(1,1)(1)i j i j p X X p X X n n =====- 所以1()(1)i j E X X n n =-，因此 21()()()()(1)i j i j i j Cov X X E X X E X E X n n =-=- 2211()21(1)nn D X Cnn n -⇒=+=-.2、设随机变量X 的分布函数为()F x ，其数学期望存在，证明()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞=--⎰⎰.证明：00()()()()E X xf x dxxf x dxxf x dx +∞+∞-∞-∞==-⎰⎰⎰由于00()()()xxf x dxxdy f x dx +∞-∞=-⎰⎰⎰改变积分次序有00()(())()yxf x dxf x dx dyF y dy +∞-∞-∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰同理有()[1()]xf x dx F y dy +∞+∞=-⎰⎰ 0()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞⇒=--⎰⎰.3、设随机变量X 的分布函数为0111()arcsin 11211x F x x x x π⎧<-⎪⎪=+-≤<⎨≥⎪⎩求()E X ？解：由上一题结论有()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞=--⎰⎰111111[1arcsin ](arcsin )022x dx x dx ππ--=---+=⎰⎰.4、设连续随机变量X 的密度函数为()f x 若对任意常数c 有()()f c x f c x +=- (0)x >且()E X 存在.证明()E X c =.证明：令x t c =-则有()()()()()()E X xf x dxc t f c t dtcf c t dttf c t dt +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==++=+++⎰⎰⎰⎰由密度函数性质有()()cf c t dt cf c t dt c +∞+∞-∞-∞+=+=⎰⎰令u t =-，有()()()()tf c t dttf c t dtuf c u duuf c u du +∞+∞-∞-∞+=-=+=-+⎰⎰⎰⎰故()0tf c t dt +∞-∞+=⎰所以()E X c =.5、证明事件A 在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设X 表示事件A 在一次试验中发生的次数，则(1,)X b p ，其中p 是事件A 发生的概率，则()(1)0D X p p =-≥由均值不等式得，当0.5p =时，()D X 有最大值0.25. 6、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()D X解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p p k p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知211()[1(1)]E X p p p =⨯=--又111[(1)](1)()(1)(1)k k k E X Xk k p Xk pk k p +∞+∞-==+=+==+-∑∑将21(1)x -的展开式两端求导得 1321223(1)(1)k x k kx x -=⋅+⋅++-+- 3222[(1)][1(1)]E X X pp p ⇒+==--222()()[()][(1)][()]D X E X E X E X X X E X ⇒=-=+-- 221[(1)]()[()]p E X X E X E X p-=+--=. 7、一只昆虫所生虫卵X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为p ，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y 的期望与方差？解：由题意知()!np X n en λλ-==(0,1,2,)λ= ，而n 个虫卵发育成k ()k n ≤个幼虫的概率为(|)(1)k kn knp Y k X n C p p -===- (0,1,,)k n =由全概率公式，对任意0,1,,k n = 有()()(|)(1)!nkkn kn n k n k p Y k p X n p Y k X n e C p p n λλ+∞+∞--========-∑∑(1)()[(1)]()()!()!!!k n kk kp pn k p p p p e e e e k n k k k λλλλλλλλ-+∞----=-===-∑即Y服从参数为pλ的泊松分布所以()()E Y D Y p λ==.8、设随机变量X 的密度函数()f x 是偶函数，且2(||)E X <+∞，证明X 与2X 不相关，但不独立.证明：因()f x 是偶函数，所以()xf x 、3()x f x 是奇函数，故此3()()0E X E X ==222(,)()()()0Cov X X E X X E X E X ⇒=⋅-=因而，X 与2X 不相关；选取0a >使得()1p X a ≤<，考察如下特定事件概率22(,)()()()p X a X a p a X a p X a p a X a ≤≤=-≤≤>≤-≤≤ 22()()p X a p X a =≤≤即2222(,)()()p X a X a p X a p X a ≤≤≠≤≤ 故X 与2X 不独立.9、设1X 、…、n X 中任意两个的相关系数都是ρ，试证:11n ρ≥--. 证明：因为111110()()2(,)nnni iiiji i i j D X D X Cov X X-====≤=+∑∑∑∑1111()2()()nni i i j i ij D X D X D X ρ-====+∑∑∑11111()[()()]()[1(1)]n ni ni i j i i i j i D X D X D X D X n ρρ-====≤++=+-∑∑∑∑11n ρ⇒≥--.。
概率论习题及解答-第四章特征函数
ξ = a min{Y, x} − bx.
从而平均利润
∫∞ E(ξ) = aE(min{Y, x}) − bx = a min{y, x}λe−λydy − bx
(∫ x
∫∞ 0
)
=a
yλe−λydy +
xλe−λydy − bx
(0
∫x x
)
= a − xe−λx + e−λydy + xe−λx − bx
∑ ∞
∑ ∞ ∑i
E(η) = iP(η = i) =
P(η = i)
i=1
i=1 k=1
∑ ∞ ∑ ∞
∑ ∞
=
P(η = i) = P(η k).
注意到
P(min{ξ1, ξ2, · · · , ξn}
k=1 i=k
k) = P(ξ1 k, ξ2
k=1
k, · · · , ξn
( ∑ )n
k) =
记 µk = p0 + p1 + · · · + pk−1, νk = 1 − µk, 试证明
∑ ∞ E(min{ξ1, ξ2, · · · , ξn}) = νkn,
k=1
∑ ∞ E(max(ξ1, ξ2, · · · , ξn)) = (1 − µnk ).
k=1
4
证明: 若 η 为取非负整值随机变量, 则
得
∑ ∞
∑ ∞
E(max{ξ1, ξ2, · · · , ξn}) = P(max{ξ1, ξ2, · · · , ξn} k) = (1 − µnk ).
k=1
k=1
练习4.1.11 设随机变量 ξ, η 独立同分布, ξ ∼ N (a, σ2), 试证明
概率论第四章 习题答案
1 ⎛2⎞ 1 DX = EX − ( EX ) = − ⎜ ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 18 1 2 DZ = 4 DX = 4 × = . 18 9
【解毕】
9．在一次拍卖中，两人竞买一幅名画，拍卖以暗标的形式进行，并以最高价成交．设两人 的出价相互独立且均服从（1，2）上的均匀分布，求这幅画的期望成交价． 解：设两人的出价分别为随机变量 X , Y ，则这幅画的期望成交价为 Z = max { X , Y } 由题意知， X 与Y 独立，且 X ∼ U (1, 2); Y ∼ U (1, 2) 先求 Z 的分布函数 当 1 < z < 2 时， F ( z ) = P ( Z £ z ) = P (max { X , Y } £ z ) = P ( X £ z ,Y £ z )
= P( X £ z ) P (Y £ z ) = ( z -1)2
当 z £ 1 时， F ( z ) = 0 ；当 z ³ 2 时， F ( z ) = 1 于是 Z 的密度函数为 f ( z ) = ï í
ì2( z -1),1 < z < 2 ï ï 0, 其它 ï î 5 3
EZ = ò
+¥
3 X .求： （ 1）常数 a, b, c; （2） Ee . 4
【解】 （1）由概率密度的性质知，有
+∞ 2 4
1=
又因为
−∞
∫
f ( x )dx = ∫ axdx + ∫ ( cx + b )dx = 2a + 6c + 2b.
0 2
+∞
2
4
2 = EX =
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xiaxdx + ∫ x ( cx + b )dx
《概率论与数理统计》第04章习题解答
第四章 正态分布１、解：(0,1)ZN（1）{ 1.24}(1.24)0.8925P Z ∴≤=Φ={1.24 2.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P Z <≤=Φ-Φ==-= {2.37 1.24}( 1.24)( 2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986P Z -<≤-=Φ--Φ-=-Φ+Φ=-+=（2）{}0.9147()0.9147 1.37{}0.05261()0.0526()0.9474 1.62P Z a a a P Z b b b b ≤=∴Φ==≥=-Φ=Φ==，，得，，，得2、解：(3,16)XN8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744P X --∴<≤=Φ-Φ=Φ-Φ=-= 5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95X N C P X C X N C P X C -≤=>≥、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使解：（1）(25,36){25}0.9544X N P X C -≤=，{2525}0.9544P C X C ∴-≤≤+=25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266C C C C CC CC +---Φ-Φ=-Φ-Φ=Φ-=Φ=∴==即， （2）(3,4){}0.95XN P X C >≥，331()0.95()0.952231.6450.292C CCC ---Φ≥Φ≥-≥≤-即，，4、解：（1）2(3315,575)XN4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)( 1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673P X --∴≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= （2）27193315{2719}()( 1.04)1(1.04)10.85080.1492575P X -≤=Φ=Φ-=-Φ=-=(25,0.1492)YB ∴4440{4}(0.1492)(10.1492)0.6664ii i i P Y C -=∴≤=-=∑5、解：(6.4,2.3)X N{}{}1()81(1.055)10.85540.14462.3(85}0.17615 6.451(0.923)(0.923)0.82121()2.3P X P X X P X -Φ>-Φ-∴>>======->-Φ-Φ-Φ6、解：（1）2(11.9,(0.2))XN12.311.911.711.9{11.712.3}()()(2)(1)(2)1(1)0.20.20.977210.84130.8185P X --∴<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设A ={两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间} 则2()(0.8185)0.6699P A ==（2）设X , Y 分别是两只电阻器的电阻值，则22(11.9,(0.2))(11.9,(0.2))X N Y N ，，且X , Y 相互独立[]22212.411.9{(12.4)(12.4)}1{12.4}{12.4)}1()0.21(2.5)1(0.9938)0.0124P X Y P X P Y -⎡⎤∴>>=-≤⋅≤=-Φ⎢⎥⎣⎦=-Φ=-=7、一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160μ=，均方差为的正态分布，若要求{120200}0.80P X <<≥，允许最大为多少解：因为2(160,)XN σ由2001601201600.80{120200}()()P X σσ--≤<<=Φ-Φ从而 40402()10.80()0.9σσΦ-≥Φ≥，即，查表得401.282σ≥，故σ≤8、解：（1）2(90,(0.5))XN8990{89}()(2)1(2)10.97720.02280.5P X -∴<=Φ=Φ-=-Φ=-= （2）设2(,(0.5))X N d由808080{80}0.991()0.99()0.99 2.330.50.50.5d d d P X ---≥≥∴-Φ≥Φ≥≥，，，即 从而d ≥ 9、解：22~(150,3),~(100,4)X Y X N Y N 与相互独立，且则（1）2221~(150(100,3)4)(250,5)W X Y N N =+++=()222222~2150100,(2)314(200,52)W X Y N N =+-⨯+-⨯+⨯=-22325~(125,)(125,(2.5))22X Y W N N +== （2）242.6250{242.6}()( 1.48)1(1.48)10.93060.06945P X Y -+<=Φ=Φ-=-Φ=-= 12551255125522212551251255125()1()(2)1(2)2.5 2.522(2)220.97720.0456X Y X Y X Y P P P ⎧+⎫++⎧⎫⎧⎫->=<-+>+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭--+-=Φ+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ=-⨯=10、解：（1）22~(10,(0.2)),~(10.5,(0.2))X N Y N X Y ，且与相互独立22~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.282))X Y N N ∴--⨯=-0(0.5){0}()(1.77)0.96160.282P X Y ---<=Φ=Φ=（2）22~(10,(0.2)),~(10.5,)X N Y N X Y σ设，且与相互独立222~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.2))X Y N N σ∴--⨯=-+0.90{0}P X Y ≤-<=Φ=Φ由1.28≥，故σ≤11、设某地区女子的身高（以m 计）2(1.63,(0.025))WN ，男子身高（以m 计）2(1.73,(0.05))MN ，设各人身高相互独立。
概率论第四、五章课后习题答案
第四章 随机变量的数字特征2．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。
以X 表示一天中调整设备的次数，试求E (X )。
(设诸产品是否为次品是相互独立的。
)解：先求检验一次，决定需要调整设备的概率。
设抽检出次品件数为Y ，则Y ~b (10,0.1).记需调整设备一次的概率为p ，则2639.01.09.01109.01}1{}0{1)1(910=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=-=>=Y P Y P Y P p 又因各次检验结果相互独立，故)2639.0,4(~b X X 的分布律为于是0556.12639.0444)1(43)1(62)1(41)(43223=⨯==⨯+-⨯+-⨯+-⨯=p pp p p p p p X E以后将会知道若X ~b (n ,p )，则np X E =)(.6．(1)设随机变量X 的分布律为求)53(),(),(22+XE X E X E(2)设)(~λπX ，求)11(+X E解：(1)E (X )=(-2)⨯0.4+0⨯0.3+2⨯0.3=-0.2 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2⨯0.4+02⨯0.3+22⨯0.3=2.8E (3X 2+5)=[3⨯ (-2)2+5]⨯0.4+[3⨯ 02+5]⨯0.3+[3⨯22+5]⨯0.3=13.4如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3⨯2.8+5=13.4(2)因)(~λπX ，故!}{k ek X P k λλ-==)1(1)1()1!(!)!1()!1(}{11)11(1100λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞=-∞=-∞=+-∞=-∞=-=-=-==+=+==+=+∑∑∑∑∑eeej ej ek ek ek X P k X E j jj jk k k k k7. (1)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x求(I)Y =2X ；(II) Y =e -2X 的数学期望(2)设随机变量n X X X ,,2,1 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布,(I)求},,max{2,1n X X X U =的数学期望；(II)求},,min{2,1n X X X V =的数学期望。
概率论与数理统计(第三版)第四章课后答案
第四章数字待征4・1 解：£(X) = Vx p ；=iE (门=2＞少产09I•.甲机床生产的零件茨品数多于乙机床生产蹒件次融，又•.•两硼床的^的产量相同 ••.乙机床生产的豹的质量较好.4・2解；X 的所有可能取值为：3, 4, 5E(X) = Vxp. =3x0・l + 4x0.3 + 5x0.6 =4.5P{X= 5}=fl0.6尸心3}=P{X = 4} =00$T =0001*OOS-粹(000—畔1-了 +呻i =ooor z OOH护(x)/J =(y)jL l = £Oxt = ^ = CY)y (LO £)&-/!«审伽里必坊叱也範銮黔砲OK申站尋卄d .[(d_DT】= 二Y = — = ^-i)^Z= d^Z = Cr)j……£ = [ = “¥«_【対={—汕4.10裁见课本后面231页参考答秦心腿抿題1泊: 4.11解：设i酒为“，方差为(J：，则X~N( UP(A F>96)=1-P(X<96)= 1-P( )所以酸在60到84的抚率为P(60 S X S 84) = P(竺丄 < 丄上12 a4151)=20(1)-1-2x0.8413 ・1=0.68264.!2E(X 2) = OxO4+l :xO.3 + 22xO2+3:xO 1 = 2£(5X 2 + 4) = 4x0.4+(5xl 2 + 4)x0.3 + (5x22 + 4)x0 2+(5x3:+ 4)x0.1 = 14EQ ・)=£(2X) = F 2xe^dx =£( V) = H V |： + 不呦4.13 H ：=2(-厂)|； = 24 15聲看课本后面231页答案E(T) = E(<?4) = {「Q-3x4.14 H： r = —3设球的肓径为x 则：/(x) = ^-a■a<x<b其它4^Xi够胡_子)胡尹兄◎挣牛在 夕卜吕(》如4.16 解:仁(x)=匸/(〔>)4 = f. 12yd> = 4xf (v)=匸fg)e=j l lydx=12y -12y3£W =匸/「(X)•曲叮 4.X逐 WE(T)=匸/ (x) ydy = [ 12y -12y*d> = |E(AT)= [f f(x,y)xydxdy = [f 12xy dxdy = ' 12xtic =0<><xS 03 0 2E(X、心(环讼諒4.&=|£(丫)=匚/())y0 = fl2y°-12ydy =；4"解•.X与Y相互独立，■• •EQT) = E(X)E(D = f 疋还f〉/迪.二(扌斗：)J； "(4)°JO= jx(一“i|；+J；/•⑥)=亍［5 + (r 灯)卩彳x(5+l) = 44.18, 4.19, 4・20势看课本后面231, 232页答秦• 9•4上设X表示10颗骰子皈的点数之和，X （心1丄…10）表示第:颗般子出现的点«，则X^X:，且X\,X“・X*是*1独立同分布的，又E(A；)=1X1+2X1+...+6X1=A1o o 6 610 10 九^£(A^ = £(yXJ = X£W = 1Ox^ = 35MI Z64.22爹看课本后面232页答案4.23 E(X\ = OxO4 + l2xO.3 + 22xO2+35xO 1 = 2D(X)= £(X:)-[£(X)]2 =2-l2=l£(F2)=O X O.3+12X O5+22X O.2+32X O=1.3z)(y)=£(r2)-[£(r)j2=1.3-0.^ =0.49 4.24E（X：）叮斗皿+胆毎存*卜护+护|；十¥ = ¥DW = E(X:) - [E(X)f =y-4 = |Var(X) = E(X:)-[E(X)f =[我[[加r]，0 其它-1 < > < 1 其它4.25Zr(x) = {呼—0 其它二扌-1<X<10其它w •计 m 吏支ue >n ¥x =p > “轻H£5>^V 3«20)P A#・0Z —X GUNbl -%十»・x )4+・：+(E 4.+c r )4MKs s(T )Q +(电Q «(W+...+W +WQ »§(小)2•士小 N+示)3 Hf …咅麗&。
概率论与数理统计》课后习题答案第四章
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
概率论第四章习题解答
X9
EX 9
9
9
8 9
20
2024年8月31日7时4分
P104 练习4.2 题1 SD 1
1,1
f XY
x,
y
1 0
0 x 1, x y x 其它
yx
DZ D2X 1 4DX
EX xf x, ydxdy
0D
y x 1
1 0
x x
xdy
dx
1 2x2dx 2
P113 习题四 一 填空题 7 X与Y相互独立
f
X
x
2x
0
0
x 其它
1，fY
y
x y t
FT t PT t P X Y t fXY x, y dxdy
x yt
1当t 0时：FT t 0dxdy 0
0
x yt
2 当0 t时：FT
t
t
dx
tx 25e5x5 ydy
0
0
1 e5t 5te5t
t,0
x
FT
t
1
e5t
0
5te5t
t0 t0
33
2 EX 2
xi2 pij
i1 j1
20.1 30.3 30.1 2
33
3 EY 2
yi2 pij
12 0.212 0.112 0.1 22 0.1
22 0.132 0.332 0.1 4.8
i1 j1
12 0.2 12 0.1 12 0.1
12 0.1 12 0.1 0.6
2024年8月31日7时4分
P100 练习4.1 题12
2
f XY
x,
y
x
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概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。
“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。
解 （1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以 151115()234988884E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
（2）因为Y 的取值为2,3，4，9当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故121{2}3015C P Y ===； 当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故135151{3}30302C P Y ==== 当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故1442{4}303015C P Y ==== 当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故 993{9}303010P Y ====112314673()234915215103015E Y =⨯+⨯+⨯+⨯==。
（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。
由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。
1(1)(2)(3)(4)(5)6P X P X P X P X P X ==========(7)(8)(9)(10)P X P X P X P X =======(11)(12)P X P X ==== 111=⨯= 6121711215759()63663612i i E X i i ===+=+=∑∑2 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。
以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否为次品是相互独立的。
）解 （1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)kk k P Y k C -== （2）一次检验中不需要调整设备的概率{1}{0}{1}P Y P Y P Y ≤==+=101191010(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)k k k C C -=+ 109(0.9)(0.9)34860.38740.7361=+=+=则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律由于X 取值为0，1，2，3，4。
0.2369p =，则(4,0.2369)X B :于是 0044{0}(0.2639)(0.7361)0.2936P X C ===134{1}(0.2639)(0.7361)40.26390.39890.4211P X C ===⨯⨯= 2224{2}(0.2639)(0.7361)60.06960.54180.2263P X C ===⨯⨯=334{3}(0.2639)(0.7361)40.01840.73610.0542P X C ===⨯⨯= 444{4}(0.2639)0.0049P X C ===（4）求数学期望()00.293610.421120.226330.054240.0049E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.0556=。
3 有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。
将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X ＝3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。
）试求()E X 。
解 （1）求X 的分布律由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有3464= 种放法。
其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而 1{4}64P X ==； 又{3}X = “3X=”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个盒子中，共有328=种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合3X=这一要求，需要除去，故有3217{3}6464P X -===“2X=”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有3327=种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有328=种放法，即2号盒子是空的，这不符合2X=这一要求，需要除去，故有333219{2}6464P X -===171937{1}1{1}164646464P X P X ==-≠=---= 即（2）求()E X37197110025()1234 1.5625646464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯===。
4（1）设随机变量X 的分布律为132{(1)}3j j j P X j +=-=，（1,2,3,j =L ），说明X 的数学期望不存在。
（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。
试说明要游戏结束的摸球次数X 的数学期望不存在。
解 （1）因为级数111113332(1){(1)}(1)3j j j j j j j j j P j j j ∞∞+++==--=-⋅∑∑11(1)2j j j +∞=-=∑， 这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。
所以其数学期望不存在。
（2）以k A 记事件“第k 次摸到黑球”，以k A 记事件“第k 次摸到白球”，以k C 表示事件“游戏在k 次摸球时结束”，1,2,3,k =L 。
按题意，121k k k C A A A A -=L ，由乘法公式得1211122211()(|)(|)(|)()k k k k k P C P A A A A P A A A A P A A P A ---=L L L 而 11{1}()2P X P A ===2211111{2}()(|)()32P X P A A P A A P A ====⨯ 21221112111(|)(|)()43243P A A A P A A P A =⨯⨯=⨯，一般地，若当X k =时，盒中共有1k +只球，其中只有一只白球，故1211211122211()()(|)(|)(|)()k k k k k k P X k P A A A A P A A A A P A A A A P A A P A ----===L L L L1121211111432k k k k k k k--=⨯⨯⨯⨯=⨯+-+L 若()E X 存在，则根据数学期望的定义，就有111111()()11k k k E X kP X k k k k k ∞∞∞======⨯=++∑∑∑，而调和级数111k k ∞=+∑却是发散的，此即表明数学期望()E X 不存在。
5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以min 计）是一个随机变量，其概率密度为221,01500,15001()(3000),15003000,15000,x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪-⎪=-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它 求()E X解 按连续型随机变量的数学期望的定义有01500()()()()E X xf x dx xf x dx xf x dx ∞-∞-∞==+⎰⎰⎰300015003000()()xf x dx xf x dx ∞++⎰⎰201500201500x dx dx -∞=⋅+⎰⎰300022150030001(3000)01500x x dx dx ∞-+-+⋅⎰⎰ 315000231500x =⨯323000150021(1500)15003x x -+-6 设随机变量X 的分布律为求()E X ，2()E X ，2(35)E X + （2）设()X πλ:，求11E X ⎛⎫⎪+⎝⎭解 ()20.400.320.302E X =-⨯+⨯+⨯=-； 2222()(2)0.4(0)0.3(2)0.3 2.8E X =-⨯+⨯+⨯= 或 所以 2()00.340.7 2.8E X =⨯+⨯=。
222(31)(3)(5)3()53 2.8113.4E X E X E E X +=+=+=⨯+=（2）因为 !k k e p k λλ-=，0,1,2,k =L所以 001111!(1)!k k k k e E e X k k k λλλλ-∞∞-==⎛⎫=⋅= ⎪+++⎝⎭∑∑ 1011(1)(1)!!k kk k ee e k k λλλλλλλ+∞∞--=====-+∑∑11(1)(1)e e e λλλλλ-=-=-（注 在公式0()k k k E X x p ∞==∑中现在的11k x k =+，!k k e p k λλ-=，0!k k e k λλ∞==∑） 7 （1）设随机变量X 的概率密度为,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩求（ⅰ）2Y X =，（ⅱ）2XY e-=的数学期望；（2）设随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布（ⅰ）求12max{,,,}n U X X X =L 的数学期望， （ⅱ）求12min{,,,}n V X X X =L 的数学期望。
解 （1）0()(2)2()2x E Y E X xf x dx xe dx ∞∞--∞===⎰⎰02()x x xee dx ∞-∞-=-+⎰022xe -∞=-=2220()()()Xx x x E Y E e e f x dx e e dx ∞∞-----∞===⎰⎰3301133x xe dx e ∞--∞==-=⎰。
（2）因为（ⅰ）因为随机变量1X ，2X ，…，n X 相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为1,01()0,i X x f x <⎧=⎨⎩＜其它其分布函数为0,0(),011,1i X x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩1,2,,i n =L而 12max{,,,}n U X X X =L 的分布函数为即max 0,0(),011,0nz F z z z z <⎧⎪=≤<⎨⎪>⎩，于是1max ,01()0,n nz z f z -⎧≤<=⎨⎩其它111max 00()()11n n n nE Z zf z dz nz dz z n n ∞+-∞====++⎰⎰。