陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 简单的线性规划问题知识汇总素材 北师大版必修5
高中数学 北师大必修五 3.3.2简单的线性规划问题
变式训练 1 (2010 年高卷天津卷)设变量 x，y 满
x＋y≤3，
足约束条件x－y≥－1， y≥1，
则目标函数 z＝4x＋
2y 的最大值为( ) A．12
B．10
C．8
D．2
解析：选 B.画出可行域如图中阴影部分所示，目标 函数 z＝4x＋2y 可转化为 y＝－2x＋2z， 作出直线 y＝－2x 并平移，显然当其过点 A 时纵截 距2z最大，解方程组xy＝＋1y＝3 得 A(2,1)，∴zmax＝10.
第三章 不等式
3.3.2 简单的线性规划问题
问题: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种
产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件 耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件, 按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙种产品获利3万元, 采用哪种生产安排利润最大?
y x x y 1 y 1
y x
x y 1 x+y=1
y
目标函数： Z=2x+y
y=x
y 1
A
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
2x+y=0
x C
Zmax=3
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距 最大或最小的直线
x 0
变式2（: 1）不等式组
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 不等关系与不等式知识汇总素材 北师大版必修5
3.1 不等关系与不等式
1.实数性质.
设a,b∈R,则a>b a-b>0,a=b a-b=0,a<b a-b<0.
2.不等式的对称性和传递性.
a>b b<a;若a>b,b>c,则a>c.
3.不等式的运算性质.
①a>b a+c>b+c;a>b,c>d a+c>b+d.
②a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.
③a>b>0,c>d>0ac>bd>0.
④a>b,ab>0.
⑤设n∈N*,则a>b>0 a n>b n.
⑥设n∈N*,则a>b>0>.
4.不等式性质的应用.
①比较两个量的大小，②证明不等式，③求变量的范围.
5.不等式大小比较的常用方法：
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 两角和与差的余弦函数参考教案 北师大版必修4
两角和与差的余弦函数
（一）教学目标：
1、知识目标：（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式；2）灵活正反运用两角差的余弦。
2、能力目标：（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。
（2）培养学生注重知识的形成过程。
3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。
（二）教学重点、难点
重点：（1）两角差的余弦；（2）灵活应用两角差的公式解决问题
难点：（1）两角差的余弦的推导；（2）两角差的余弦的灵活应用
（三）教学方法：
本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。
这样学生易接受。
（四）教学过程
五、教后反思：。
高中数学北师大版必修5《第3章44.3简单线性规划的应用》课件
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌 4 个，绘画标牌 5 个．现 有两种规格的原料，甲种规格每张 3 m2，可做文字标牌 1 个，绘画标 牌 2 个；乙种规格每张 2 m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求 两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
22
[解] 设需要甲种原料 x 张，乙种原料 y 张，则可做文字标牌(x ＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
8
90 [该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x，y∈N*，计算区域内与121，92最近的点为(5,4)，故当 x＝5，y＝4 时， z 取得最大值为 90.
]
9
【例 1】 某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品 的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际 情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最 大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查， 得到关于两种产品的有关数据如下表
x＋y≥35 000， 由题意得y≥15x，
0≤x≤50 000， y≥0， 而 z＝0.28x＋0.9y.
16
如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，
作一组平行直线 0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原
点最近的直线经过直线
x ＋ y ＝ 35
000
和直线
y
＝
1 5
x
D．46xx＋ ＋53yy><2224
[答案] A
6
2．A，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道 工序才能成为成品．已知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时，在乙机 器上加工 1 小时；B 产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加 工 3 小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时，乙机器 至多只能使用 9 小时．设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，列出满 足生产条件的约束条件为________．
高中数学 第三章 截距法解线性规划问题要点解读素材 北师大版必修5
截距法解线性规划问题由于线性规划的目标函数：可变形为，则为直线的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论：（1）当时，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z取得最小值的点。
（2）当时，与时情形正好相反，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z取得最大值的点。
例1. 设x，y满足约束条件求的最大值、最小值。
解：如图1作出可行域，目标函数表示直线在y轴上的截距，可见当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0，0）时，截距值最小。
图1例2. 设满足约束条件求的最大值和最小值。
解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B时纵截距最大，取得最小值，所以；过点A时纵截距最小，z在A（）处取最大值，。
图2精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 简单线性规划教案2 北师大版必修5
§4.2 简单线性规划（2）【教学目标】1.进一步熟练二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法；2.巩固用图解法求线性目标函数的最大、最小值问题. 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】1．准确求得线性规划问题的最优解 2．目标函数的几何意义 【教学过程】前面我们讨论了目标函数中y 的系数大于0的情况，现在我们讨论y 的系数小于0的情况例1：在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+02142x y x y x 下，求目标函数y x z -=3的最小值和最大值解：当3,1,0,2,4--=z 时，可得一组平行直线43:2-=-y x l 23:1-=-y x l03:0=-y x l13:3=-y x l 33:4=-y x l0l 向上平移时，所对应的z 随之减由图可知，当直线小，当直线0l 向下平移时，所对应的z 随之增大作出可行域可知，y x z -=3随直线03:0=-y x l向上平移而减小，随l 403:0=-y x l 向下平移而增大，所以在顶点B 处取最小值，在顶点A 处取得最大值由)3,2(0242-⇒⎩⎨⎧=+=+B x y x 知9min -=z ， 由)1,2(142A y x y x ⇒⎩⎨⎧=-=+知5max =z【抽象概括】目标函数的最大值与最小值总是在区域边界交点（顶点）处取得，所以，求解实际问题时，只需求出区域边界的交点，再比较目标函数在交点外的函数值大小，根据问题需求选择所需结论例2．求b a z 24-=在约束条件⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a 下的最大值与最小值，解：不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知z 的最大值、最小值在顶点D C B A ,,,处取得由)23,21(21A b a b a ⇒⎩⎨⎧=+-=- 由)0,2(22B b a b a ⇒⎩⎨⎧===+由)1,3(42C b a b a ⇒⎩⎨⎧=+=- 由)25,23(14D b a b a ⇒⎩⎨⎧-=-=+目标函数值1-=A z ，8=B z ，10=C z ，1=D z 比较得：10max ==C z z ，1min -==A z z 【思考交流】 在上述约束条件下 （1）求①ab u =的取值范围 ②22b a w +=的取值范围 （2）设2()f x ax bx =+，且2)1(1≤-≤-f ，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围.解：（1）①目标函数0--==a b a b u 的几何意义：可行域内点),(b a E 与坐标原点)0,0(O 连线的斜率由图可知3max ==O A u u ，0min ==O B u u 故：abu =的取值范围为]3,0[ ②目标函数22b a w +=的几何意义：可行域内点),(b a E 与坐标原点)0,0(O 间的距离的平方显然10||2max ==OC w最小值为原点到直线2=+b a 距离的平方22min ==d w故：22b a w +=的取值范围为[2，10]（2）(1)f a b -=-，(1)f a b =+，(2)42f a b -=-，由例2知，]10,1[)2(-∈-f ． 解：（2）]10,1[)1()1(3)2(-∈+-=-f f f错解：由⎩⎨⎧≤≤≤-≤-4)1(22)1(1f f 即⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤⇒250321b a ⎩⎨⎧≤-≤-≤≤⇒0251242b a 故：]12,3[24)2(-∈-=-b a f【思考】上错解错在哪里？为什么会出现取值范围扩大了？练习：已知函数2()f x ax c =-满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的取值范围.解：∵()f x a c =-，(2)4f a c =-，(3)9f a c =-，∴约束条件组41145a c a c -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩，目标函数(3)9t f a c ==-，由不等式组作出平面区域如图，作直线0l ：9c a =，作一组平行线l ：9a c t -=， 当l 过点(0,1)A 时，min 9011t =⨯-=-， 当l 过点(3,7)C 时，max 93720t =⨯-=， 所以，(3)[1,20]f ∈-．课堂小结：图解法求线性规划问题的最大、最小值.BcACD0laO作业：1．求54z x y =+的最大值，使式中,x y 满足约束条件321041100,0,x y x y x y x y Z +<⎧⎪+-≤⎪⎨>>⎪⎪∈⎩．2、在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≤≥+≤+0,052128y x x y y x y x 下，（教材P109页B 组第1题变式） 求：（1）y x z -=2的值域 ]16,5[-∈z （2）22++=x y u 的值域 ]27,51[∈u （3）22)2()2(+++=y x w 的值域 ]104,18[∈w。
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，则需要m>f（x）max。
（2）S 3 8 0 0 04 0 0 0x2
4 0 0 0 0 0 x2
3 8 0 0 021 61 0 8
1 1 8 0 0 0
当且仅当 4000x2 400000 即 x
x2
10 时 Smin 118000元
答：计划至少要 11.8万元才能建造这样的休闲小区．
例2、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂
则f(t)在[200，400]上是增函数。
哪些内容;其次是理解关,即能准确理解和把握这些量之 当200≤t1<t2≤400时，4·104<t1t2<42•104,
(2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值
(因2)为若xD,yE,a做都为间是输正水的数管，道关且，x<则系y,需所求以;然yy的+a最>后0小,y值-建x>0 立数学模型,再讨论不等关系;最后得出 结论. 通过本节课的这些例子,希望同学们能够认真的体会,掌握!
解： ;则然f后(t)在建[立20数0，学4模0设型0]上,再第是讨增一论函不数、等。关第系二;最后次得出购结芯论. 片的价格分别为每片a元和b元，
在给定区间不等式的能成立和恒成立是两类不同的问题。
【2】解决取值范围问题时,要注意主变量,参变量的分离,
10a 0 b 0 a 0 b 例3、某城市出租车公司有两种计费方案可供乘客选择：第一种方案，租用起步价a元，每千米价为b元的出租车；
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 不等式课件 北师大版必修
（2）作差比较法是比较两个实数（代数式）大小的基本 方法，它的一般步骤是：①作差；②变形；③判断．
二、一元二次不等式及其解法
解不等式：
5(x22)12(x1)
一元二次不等式的解法
当 a 0 时，若方程 ax2bxc0的两实根 x1 x，2 则不等式
一、不等式的基本性质
1、若a＜b＜0，则下列不等式中，不能成立的是 （）
1
（A）
＞
a
1 （B）
1
＞
b
ab
（1 C）|a|＞|b|（D）a2＞b2 a
2、已知
a、 b、 c、 d均为实 ab 数 0， ， cd 且 ab
则下列不等式中成立的是（ ）
(A ) b c a d(B ) b c a d( C )a b(D )a b cd cd
项、分解不当，应重新拆项、分解或改用其他方法． 一个负数则不等号反向．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式
两边同时乘方（或开方）时，要求不等式两边均为正数．
A．ac<bd B．
如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数；
都是非负实数．这两个公式都是带有等号的不等式，当且仅当
3．应用不等式的性质证明不等式一般是从已知的不等式出发 ，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．
4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相 加或相乘来完成的．如果是有等号的，还应注意两端能否取 “=”．
5．实数的运算性质与作差比较法的一般步骤： （1）实数的运算性质与大小顺序之间的关系
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简单的线性规划问题
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；
（4）验证.
4. 两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。