分析化学第2章 误差及分析数据的统计处理
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第二章 误差与分析数据的统计处理
《分析化学》第二章
随机误差
1. 随机误差 由于某些难以控制和无法避免的原因所造成的
误差。如温度、湿度、电流强度等的偶然波动，给试验结果 带来的影响。
2. 随机误差的特点
①分布对称可抵偿：绝对值相同的正负误差出现机会相等， 它们的总代数和等于0； ②单峰且有界：小误差出现的机会大，大误差出现的机会小， 极大误差出现的机会趋于零。
《分析化学》第二章
分 析 化 学
Analytical Chemistry
西北大学化学与材料科学学院
《分析化学》第二章
第二章 误差与分析数据的统计处理
《分析化学》第二章
2-1 定量分析中的误差 2-2 分析结果的数据处理
内容
2-3 误差的传递 2-4 有效数字及其运算规则 2-5 标准曲线的回归分析
吸光度A
0 0.032
0.02 0.135
0.04 0.187
0.06 0.268
0.08 0.359
0.10 0.435
试列出标准曲线的回归方程并计算未知试样中Mn的含量。
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.05 0.1 0.15 y = 3.9543x + 0.0383 R 2 = 0.9953
《分析化学》第二章
第二章
小
结
2.1 误差的基本概念: 准确度与精密度、误差与 偏差、系统误 差与随机误差;
2.2 有限数据的统计处理:
异常值的检验（Q检验法，G检验法）；
2.4 有效数字：定义、修约规则、运算规则 。 2.5 标准曲线的回归分析
《分析化学》第二章
本章作业
P27---P28
习题2、6、10、11
G计算 x x1 s
分析化学 第二章 误差及分析数据的统计处理
物体 真实值 A 1.6380g B 0.1637g
测定值 1.6381g 0.1638g
绝对误差 0.0001g 0.0001g
相对误差 0.006% 0.06%
结 称量时，质量越大，相对误差越小； 论 用相对误差表示测定结果的准确度更为确切。
9
准确度的应用
化学分析的准确度要求是：< 0.1% 仪器分析中一般仪器准确度为：2 %
称量误差 = 天平称量误差 ×100% 称样量
滴定误差 = 滴定管测量误差 ×100% 消耗标液体积
分析天平的读数：两次读数，误差为0.0002 g。 滴定管的读数：两次读数，误差为0.02 mL。
10
例1 如果要求分析结果达到0.1%的准确度，使用 感量为0.1 mg的分析天平称量样品时，应称取 的质量是多少克？ 解: —0—.0m0—02— < 0.1% m > 0.2 g
特点：其大小可变，重复测定时有大有小， 有正有负，具有相互抵偿性。
随机误差-----精密度
22
2.1.4 公差
公差是生产部门对分析结果误差允许的一种限量。
如钢铁中碳含量的公差范围，国家标准规定下表所示：
碳含量 0.10范围(%) 0.20
公差 0.015
（ ±%）
0.200.50
0.020
0.501.00
二、可以传递的误差分类
过失
错误不能传递
系统误差 随机误差
可以传递 传递方式如何？是否一致 ？
（一）系统误差的传递
(1) 系统误差在加减法运算中的传递
R=f (A,B…）=A+B-C
ER
=
∂R ∂A
EA
+
∂R ∂B
第2章 分析化学中的误差及数据处理
第2章 误差及分析数据 的统计处理
本章所要解决的问题：
对分析结果进行评价，判断误 差产生的原因，尽量采取措施减少 误差。
2013-6-28 1
2.1 定量分析中的误差
• • •
•
误差客观存在 定量分析数据的归纳和取舍（有效数字） 计算误差，评估和表达结果的可靠性和精密 度 了解原因和规律，减小误差，测量结果→真 值(true value)
19
1. 系统误差(systematic error)
由一些固定的原因所产生，其大小、正 负有重现性，也叫可测误差。 1.方法误差 分析方法本身所造成的 误差。 2.仪器和试剂误差 3.操作误差 4.主观误差
2013-6-28
20
系统误差的性质可归纳为如下三点：
1）重现性 2）单向性 3）数值基本恒定 系统误差可以校正。
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7、重复性
r 2 2Sr
R 2 2SR
8、再现性
SR
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j 1 i 1
m
n
( xij x j )
m( n 1)
16
2.1.3 准确度和精密度的关系
准确度(accutacy)：测量值与真实值相接 近的程度。用误差来评估。 精密度(precision)：各个测量值之间相 互接近的程度。用偏差来评估。 实际工作中并不知道真实值，又不刻意区 分误差和偏差,习惯把偏差称做误差。但 实际含义是不同的。 系统误差是分析误差的主要来源，影响结 果的准确度 偶然误差影响结果的精密度
4. 校正方法 (correction result ) 用其它方法校正某些 分析方法的系统误差。
本章所要解决的问题：
对分析结果进行评价，判断误 差产生的原因，尽量采取措施减少 误差。
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2.1 定量分析中的误差
• • •
•
误差客观存在 定量分析数据的归纳和取舍（有效数字） 计算误差，评估和表达结果的可靠性和精密 度 了解原因和规律，减小误差，测量结果→真 值(true value)
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1. 系统误差(systematic error)
由一些固定的原因所产生，其大小、正 负有重现性，也叫可测误差。 1.方法误差 分析方法本身所造成的 误差。 2.仪器和试剂误差 3.操作误差 4.主观误差
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系统误差的性质可归纳为如下三点：
1）重现性 2）单向性 3）数值基本恒定 系统误差可以校正。
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7、重复性
r 2 2Sr
R 2 2SR
8、再现性
SR
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j 1 i 1
m
n
( xij x j )
m( n 1)
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2.1.3 准确度和精密度的关系
准确度(accutacy)：测量值与真实值相接 近的程度。用误差来评估。 精密度(precision)：各个测量值之间相 互接近的程度。用偏差来评估。 实际工作中并不知道真实值，又不刻意区 分误差和偏差,习惯把偏差称做误差。但 实际含义是不同的。 系统误差是分析误差的主要来源，影响结 果的准确度 偶然误差影响结果的精密度
4. 校正方法 (correction result ) 用其它方法校正某些 分析方法的系统误差。
第二章 误差及分析数据的统计处理
d Rd = ×100% = 0.14/15.82×100% = 0.89% X
S=
∑(x − x)
n i=1 i
2
n −1
0.152 + 0.132 + 0.212 + 0.072 = = 0.17 3
S 0.17 CV = ×100% = ×100% =1.1% 15.82 X
补充:计算器统计功能的使用
极值反应不灵敏
3 标准偏差与相对标准偏差 标准偏差与相对标准偏差(CV)或称变异系数 或称变异系数
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影响； 使用标准偏差是为了突出较大偏差的影响； 1）标准偏差又称为均方根偏差，当平行测定次数趋 ）标准偏差又称为均方根偏差， 又称为均方根偏差 于无穷大时，标准偏差定义为： 于无穷大时，标准偏差定义为：
在分析化学中， 在分析化学中，各种分析方法的原理与步骤各不相 同，但大多是通过从研究对象中采取一部分样品进行实 以获取关于物质组成、结构、和性能等的准确信息。 验，以获取关于物质组成、结构、和性能等的准确信息。 这里所说的准确是相对的， 误差是客观存在的。 这里所说的准确是相对的，而误差是客观存在的。 在一定条件下，测量结果只能接近于真实值， 在一定条件下，测量结果只能接近于真实值，而不 能达到真实值。 能达到真实值。
(3) 操作误差：是指在正常条件下，分析 操作误差：是指在正常条件下， 人员的操作与正确的操作稍有差别而引 起的误差。 起的误差。 如：滴定管的读数偏高或偏低；对颜 滴定管的读数偏高或偏低； 色不够敏锐； 色不够敏锐；
3. 系统误差的特点
(1) 重现性：在同一条件下测定时，它会 重现性：在同一条件下测定时， 且方向是一致的。 重复出现 ，且方向是一致的。 (2)单向性：测定结果系统偏高或偏低 单向性： 单向性 (3)误差大小基本不变：对测定结果的影 误差大小基本不变： 误差大小基本不变 响比较恒定
分析化学第二章误差与分析数据处理
选择合适的分析方法
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
第二章_误差及数据分析的统计处理--分析化学-检验
一、误差的种类、性质、产生的原因及减免
系统误差也叫可测误差，它是定量分析误差的主要 来源，对测定结果的准确度有较大影响。
(1) 特点
a.对分析结果的影响比较恒定； b. 在 同 一 条 件 下 ， 重 复 测 定 ， 重复出现； c.影响准确度，不影响精密度；
d.可以减小或消除。
产生的原因?
产生的原因
b.滴定管读数
0.4 0.3 0.2 0.1
u xm
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准差
0 -4 -3 -2 -1 0
s
1
2
3
4
-3s -2s -s m-3s m-2s m-s
m
68.3% 95.5% 99.7%
0
s 2s 3s m+s m+2s m+3s
x-m x
u
图3-1标准正态分布曲线
随机误差分布服从正态分布—无限多次测定
特点:
1. 极大值在 x = μ 处. 2. 拐点在 x = μ ± σ 处. 3. 于x = μ 对称. 4. x 轴为渐近线.
随机误差分布的性质： 1.对称性 2.单峰性 3.有界性 4.抵偿性
表1.
称为置信区间：真 实值在指定概率下 出现的区间 随机误差的区间概率
第二章：误差及数据分析的统 计处理
主要内容
3.1 定性分析误差 3.2 有效数字及其应用 3.3 分析数据处理与分析结果的表示方法
在任何测量中误差都是客观存在的
§ 3-1 定量分析中的误差
1.误差及其产生的原因
分析结果与真实值之间的差值称为误差。分析结果 大于真实值，误差为正；分析结果小于真实值，误差为 负。 根据误差的性质与产生的原因，可将误差分为系 统误差和偶然误差两类。
(完整版)分析化学答案
第二章：误差及分析数据的统计处理思 考 题１．正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。
答：准确度是测定平均值与真值接近的程度，常用误差大小来表示，误差越小，准确度越高。
精密度是指在确定条件下，将测试方法实施多次，所得结果之间的一致程度。
精密度的大小常用偏差来表示。
误差是指测定值与真值之差，其大小可用绝对误差和相对误差来表示。
偏差是指个别测定结果与几次测定结果的平均值之间的差别，其大小可用绝对偏差和相对偏差表示，也可以用标准偏差表示。
２．下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，应如何消除？答：（1）引起系统误差，校正砝码； （2）引起系统误差，校正仪器；（3）引起系统误差，校正仪器；（4）引起系统误差，做对照试验； （5）引起偶然误差；（6）引起系统误差，做对照试验或提纯试剂。
３．用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一种更合理？答： 用标准偏差表示更合理。
因为将单次测定值的偏差平方后，能将较大的偏差显著地表现出来。
４．如何减少偶然误差？如何减少系统误差？答： 在一定测定次数范围内，适当增加测定次数，可以减少偶然误差。
针对系统误差产生的原因不同，可采用选择标准方法、进行试剂的提纯和使用校正值等办法加以消除。
如选择一种标准方法与所采用的方法作对照试验或选择与试样组成接近的标准试样做对照试验，找出校正值加以校正。
对试剂或实验用水是否带入被测成分，或所含杂质是否有干扰，可通过空白试验扣除空白值加以校正。
５．某铁矿石中含铁39.16%，若甲分析得结果为39.12%，39.15%和39.18%，乙分析得39.19%，39.24%和39.28%。
试比较甲、乙两人分析结果的准确度和精密度。
由绝对误差E 可以看出，甲的准确度高，由平均偏差d 和标准偏差s 可以看出，甲的精密度比乙高。
所以甲的测定结果比乙好。
６.甲、乙两人同时分析一矿物中的含硫量。
每次取样3.5g ，分析结果分别报告为 甲：0.042%，0.041%乙：0.04199%，0.04201% .哪一份报告是合理的？为什么？答：甲的报告是合理的。
02 第二章 误差与分析数据的处理
1.频数分布
频数是指每组中测量值出现的次数，频数与数据 总数之比为相对频数，即概率密度。
整理上述数据，按组距0.03来分成10组，得频数分布表：
分 组
1.265% 1.295% 1.295% 1.325% 1.325% 1.355% 1.355% 1.385% 1.385% 1.415% 1.415% 1.445% 1.445% 1.475% 1.475% 1.505% 1.505% 1.535% 1.535% 1.565%
因此，应该了解分析过程中误差产生的原因及其出现的 规律，以便采取相应措施，尽可能使误差减小。另一方面 需要对测试数据进行正确的统计处理，以获得最可靠的数 据信息。
2.1 定量分析中的 误差
误差与准确度
准确度（accuracy）是指分析结果（测定平均值）与真值
接近的程度，常用误差大小表示。误差小，准确度高。
两组精密度不同的测量值的正态分布曲线
正态分布规律
（1）x=μ时，y最大。即多数测量值集中在μ附近，或者说
总体平均值是最可信赖值或最佳值。 （2）x=μ时的直线为对称轴。即正负误差出现的概率相等。 （3）x→〒≦时，曲线以x轴为渐近线。即大误差出现的 概率小，出现很大误差的测定值概率趋近零。 （4） ↗, y↘ ，即测量精密度越差，测量值分布越分散， 曲线平坦。
2.正态分布
在分析化学中，测量数据一般符合正态分布规律。正态分 布是德国数学家高斯首先提出的，又称高斯曲线，下图即为正 态分布曲线N(μ,σ2)，其数学表达式为
1 y f(x) e 2
(x ) 2 2 2
y表示概率密度；x表示测量值； μ是总体平均值；σ是总体标准偏差 μ决定曲线在x轴的位臵；σ决定 曲线的形状：σ小，数据的精密度好， 曲线瘦高；σ大，数据分散，曲线较扁平。
第二章分析化学中的误差与数据处理
极差： R
3.0 3.0
3.1 3.0
3.1 3.2
dr
2.76 2.76
s
0.08 0.14
R x x max min
2018/12/8
8
2.1.2 准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
2018/12/8
x4
9
准确度与精密度的关系 1.精密度好是准确度好的前提; 2.精密度好不一定准确度高
2018/12/8
ER=mEA+nEB-pEC ER/R=EA/A+EB/B-EC/C
ER/R=nEA/A
ER=0.434mEA/A
13
2. 随机误差 a. 加减法 R=mA+nB-pC b. 乘除法 R=mA×nB/pC c. 指数运算 R=mAn d. 对数运算 R=mlgA
sR2=m2sA2+n2sB2+p2sC2 sR2/R2=sA2/A2+sB2/B2+sC2/C2 sR/R=nsA/A sR=0.434msA/A
2018/12/8
11
随机误差: 又称偶然误差 不可校正，无法避免，服从统计规律 不存在系统误差的情况下，测定次数越多其 平均值越接近真值。一般平行测定4-6次 过失 2.1.4 公差 是生产部门根据实际情况规定的误差范围。
2018/12/8 12
由粗心大意引起，可以避免的
2.1.5 误差的传递 1. 系统误差 a. 加减法 R=mA+nB-pC b. 乘除法 R=mA×nB/pC c. 指数运算 R=mAn d. 对数运算 R=mlgA
正态分 布概率 积分表
2
3.0 3.0
3.1 3.0
3.1 3.2
dr
2.76 2.76
s
0.08 0.14
R x x max min
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2.1.2 准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
2018/12/8
x4
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准确度与精密度的关系 1.精密度好是准确度好的前提; 2.精密度好不一定准确度高
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ER=mEA+nEB-pEC ER/R=EA/A+EB/B-EC/C
ER/R=nEA/A
ER=0.434mEA/A
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2. 随机误差 a. 加减法 R=mA+nB-pC b. 乘除法 R=mA×nB/pC c. 指数运算 R=mAn d. 对数运算 R=mlgA
sR2=m2sA2+n2sB2+p2sC2 sR2/R2=sA2/A2+sB2/B2+sC2/C2 sR/R=nsA/A sR=0.434msA/A
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随机误差: 又称偶然误差 不可校正，无法避免，服从统计规律 不存在系统误差的情况下，测定次数越多其 平均值越接近真值。一般平行测定4-6次 过失 2.1.4 公差 是生产部门根据实际情况规定的误差范围。
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由粗心大意引起，可以避免的
2.1.5 误差的传递 1. 系统误差 a. 加减法 R=mA+nB-pC b. 乘除法 R=mA×nB/pC c. 指数运算 R=mAn d. 对数运算 R=mlgA
正态分 布概率 积分表
2
浙江大学分析化学 2.误差及分析数据的统计处理
系统误差产生的原因
a.方法误差—— 选择的方法不够完善 例： 重量分析中沉淀的溶解损失； 滴定分析中指示剂选择不当。 b.仪器误差——仪器本身的缺陷 例： 天平两臂不等，砝码未校正； 滴定管，容量瓶未校正。
系统误差产生的原因:
c.试剂误差—— 所用试剂有杂质 例：去离子水不合格； 试剂纯度不够（含待测 组份或干扰离子）。 d.主观误差—— 操作人员主观因素造成 例：对指示剂颜色辨别偏深 或偏浅；滴定管读数不准。
如何判断是否存在系统误差
• 对照试验(标准试样,标准物质) • 加入回收实验 在没有标准样品可 供分析的情况下，人们可采用加入 回收实验检查方法的准确度。 • 回收率= (X2-X1)/X加入 • X1_ 加入前测定值__ • X2 加入后测定值 • X加入加入量
取5mL水样在10mL容量瓶中用水稀释至刻度后， 用滴定法测得铜离子为100 mmol/L 3; 另取5 mL 相同的水样,加入10mL容量瓶中后, 再加入1ml 浓 度为1mol/L的铜离子标准溶液后,用水稀释至刻度, 用滴定法测得铜离子含量为191 mmol/L, 求回收 率.
-1 U 1
-2 U 2
测定值的置信区间
u =（ x- ）/ u =±1 x=± 68.3% u=±2 x=±2 95.5% u=±3 x=±3 99.7
置信度表示测定值落在某 一定范围内的概率。 例如:在u分别为1,2,3时，测 定值落在（μ ± u ）范围 (置信范围) 内的概率分别为 68.3, 95.5和99.7%
平均偏差（d） =(0.1+0.1+0+0.1+0.1)/5=0.08 乙组 平均值=3.0 d1=-0.2, d2=0, d3=0, d4=0, d5=0.2 平均偏差（d） =(0.2+0+0+0+0.2)/5=0.08
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绝对误差与相对误差有正负之分，即有正误差和负误差。
绝对误差与相对误差有正负之分，即有正误差和负误差。 准确度通常用相对误差来表示。绝对误差有时不能比较出测 准确度通常用相对误差来表示。绝对误差有时不能比较出 定结果准确度的高低。 测定结果准确度的高低。 真值 测得值 绝对误差 物质甲：0.6381g 0.6380g E = 0.6380 - 0.6381 = - 0.0001g 物质乙：6.3812g 6.3811g E = 6.3811 – 6.3812 = - 0.0001g
§2-3 有效数字及其运算规则（自学） 一、有效数字——表达一定物理量的数字，或实际能够测量到的数字。
有效数字既给出了数值的大小，又反映出仪器的精度及 数据的可靠程度。有效数字中最后一位是可疑数字。如： 1.2537g，25.25ml； 有效数字位数多少与测量误差的大小有关，在仪器精度 所允许的范围内，有效数字的位数越多，结果准确度越高。 但超过仪器的精度范围，过多的有效数字位数是无意义的。
s ——标准偏差 n ——测定次数 t ——一定置信度下的几率系数
P 例3
四、可疑数据的取舍——Q值检验法
（1）排列数据：x1，x2‥ ‥ ‥xn-1，xn （2）求出极差： xn—x1 xn xn 1 x2 x1 （3）求出舍弃商——Q值 Q x x 或Q x x n 1 n 1 （4）根据测定次数和指定的置信度，查表得Q值(如Q0.90或Q0.95) （5）Q>Q表，弃去可疑值 P 例4 P 例5
( xi x) 2 s n 1
有限次测定时的样本标准偏差：
相对标准偏差（变异系数CV）
s CV 100% x
例2（p例1）
三、置信度与平均值的置信区间
μ±σ ：68.3％
μ±2σ：95.5％
μ±3σ：99.7％ 对于有限次测定真值μ与平均值之间有：
ts μ x n
P 例2
2.绝对偏差与相对偏差 绝对偏差-------各单次测定结果与多次测定结果的算术平均值之 间的差值称为该测定值的绝对偏差，用d表示； 类似地，绝对偏差与相对偏差也有正负之分；相对 相对偏差-------偏差在算术平均值中所占的百分率。用Rd表示。 偏差更能表示精密度的高低。
0.0001 0.016％ × 100％ = 物质甲：Er 100% 0.016% 0.6381 -0.0001 0.6381 物质乙：RE = × 100％ = - 0.0016％ 6.3811 0.0001 物质乙：Er 100% 0.0016% 6.3811
§2-2 分析结果的数据处理
一、平均偏差 平均偏差：
| x d
i
x|
n
相对平均偏差：Rd
d | dr | 100% n x
例1
二、标准偏差
总体标准偏差：
( —总体平均值
lim x μ n
即在校正系统误差的情况下，μ即为真值
二、有效数字运算规则
1.加减运算
几个有效数字相加或相减时，和或差的有效数字位数应以 各数中小数点后位数最少（绝对误差最大）的为准。如： 0.1235 + 15.34 + 2.455 + 11.37589 = 0.12 + 15.34 + 2.46 + 11.38= 9.30
2.乘除运算
几个有效数字相乘除时，积或商的有效数字位数应以各数中有效数字位 数最少（相对误差最大）的为准。
0.0001 0.5180g 100% 0.02% 0.5180 0.001 0.518g 100% 0.2% 0.5180
0既可是有效数字，又可不是有效数字。在其它数字之间或之后 的为0是有效数字；在其它数字之前起定位作用的0不是 1.0002g 0.6000g 20.93% 23.10ml 0.0403g (40.3mg) 1.75 ×10-5（科学计数法）
2.偶然误差（随机误差、不定误差） 偶然误差（随机误差、不定误差） ——分析过程中由某些随机的偶然原因所造成的误差。
偶然误差的特点：大小不定、方向不定、多次重复测定，其分 布符合正态分布规律。
在消除了系统误差后， 适当增加平行测定次数，求 各测定值的算术平均值，可 抵消偶然误差。
3.过失误差——由分析人员的粗心大意，或不遵守操作规程 所造成的差错。
0.0325 5.103 60.06 0.0325 5.10 60.1 0.0713 139.8 140
三、有效数字的修约规则
（1）按“四舍六入五成双”规则进行修约； （2）所舍去的数字并非单独一个数字时，不得对该数进行连续修约。
取舍有效数字位数时，应注意以下几点：
（1）一些分数如化学计量数之比等为自然数字，可视为无穷
物质甲：RE = -0.0001
（三）准确度与精密度的关系
二、误差产生的原因及减免的方法
（一）误差的分类
1.系统误差（可测误差）
——分析过程中某些固定的原因所造成的误差。其大小、 正负可以测定。
系统误差的特点：单向性和重现性
（1）方法误差——所使用的分析方法本身不完善所引起。
（2）仪器和试剂误差——由使用的仪器不准或使用的试剂不纯 所引起。 （3）个人误差（操作误差）——由分析人员的主观因素所引起。
有效；
（2）第一位有效数字大于或等于8时，有效数字的位数可多 算一位；
（3）pH、lgK、pKa等对数值的有效数字位数等于小数点后的 位数。pH=12.68 ；
（4）计算相对误差、相对偏差时，取1位有效数字，最多取2 位有效数字。
§2-5 标准曲线的回归分析（自学）
例1
绝对误差与相对误差有正负之分，即有正误差和负误差。 准确度通常用相对误差来表示。绝对误差有时不能比较出测 准确度通常用相对误差来表示。绝对误差有时不能比较出 定结果准确度的高低。 测定结果准确度的高低。 真值 测得值 绝对误差 物质甲：0.6381g 0.6380g E = 0.6380 - 0.6381 = - 0.0001g 物质乙：6.3812g 6.3811g E = 6.3811 – 6.3812 = - 0.0001g
§2-3 有效数字及其运算规则（自学） 一、有效数字——表达一定物理量的数字，或实际能够测量到的数字。
有效数字既给出了数值的大小，又反映出仪器的精度及 数据的可靠程度。有效数字中最后一位是可疑数字。如： 1.2537g，25.25ml； 有效数字位数多少与测量误差的大小有关，在仪器精度 所允许的范围内，有效数字的位数越多，结果准确度越高。 但超过仪器的精度范围，过多的有效数字位数是无意义的。
s ——标准偏差 n ——测定次数 t ——一定置信度下的几率系数
P 例3
四、可疑数据的取舍——Q值检验法
（1）排列数据：x1，x2‥ ‥ ‥xn-1，xn （2）求出极差： xn—x1 xn xn 1 x2 x1 （3）求出舍弃商——Q值 Q x x 或Q x x n 1 n 1 （4）根据测定次数和指定的置信度，查表得Q值(如Q0.90或Q0.95) （5）Q>Q表，弃去可疑值 P 例4 P 例5
( xi x) 2 s n 1
有限次测定时的样本标准偏差：
相对标准偏差（变异系数CV）
s CV 100% x
例2（p例1）
三、置信度与平均值的置信区间
μ±σ ：68.3％
μ±2σ：95.5％
μ±3σ：99.7％ 对于有限次测定真值μ与平均值之间有：
ts μ x n
P 例2
2.绝对偏差与相对偏差 绝对偏差-------各单次测定结果与多次测定结果的算术平均值之 间的差值称为该测定值的绝对偏差，用d表示； 类似地，绝对偏差与相对偏差也有正负之分；相对 相对偏差-------偏差在算术平均值中所占的百分率。用Rd表示。 偏差更能表示精密度的高低。
0.0001 0.016％ × 100％ = 物质甲：Er 100% 0.016% 0.6381 -0.0001 0.6381 物质乙：RE = × 100％ = - 0.0016％ 6.3811 0.0001 物质乙：Er 100% 0.0016% 6.3811
§2-2 分析结果的数据处理
一、平均偏差 平均偏差：
| x d
i
x|
n
相对平均偏差：Rd
d | dr | 100% n x
例1
二、标准偏差
总体标准偏差：
( —总体平均值
lim x μ n
即在校正系统误差的情况下，μ即为真值
二、有效数字运算规则
1.加减运算
几个有效数字相加或相减时，和或差的有效数字位数应以 各数中小数点后位数最少（绝对误差最大）的为准。如： 0.1235 + 15.34 + 2.455 + 11.37589 = 0.12 + 15.34 + 2.46 + 11.38= 9.30
2.乘除运算
几个有效数字相乘除时，积或商的有效数字位数应以各数中有效数字位 数最少（相对误差最大）的为准。
0.0001 0.5180g 100% 0.02% 0.5180 0.001 0.518g 100% 0.2% 0.5180
0既可是有效数字，又可不是有效数字。在其它数字之间或之后 的为0是有效数字；在其它数字之前起定位作用的0不是 1.0002g 0.6000g 20.93% 23.10ml 0.0403g (40.3mg) 1.75 ×10-5（科学计数法）
2.偶然误差（随机误差、不定误差） 偶然误差（随机误差、不定误差） ——分析过程中由某些随机的偶然原因所造成的误差。
偶然误差的特点：大小不定、方向不定、多次重复测定，其分 布符合正态分布规律。
在消除了系统误差后， 适当增加平行测定次数，求 各测定值的算术平均值，可 抵消偶然误差。
3.过失误差——由分析人员的粗心大意，或不遵守操作规程 所造成的差错。
0.0325 5.103 60.06 0.0325 5.10 60.1 0.0713 139.8 140
三、有效数字的修约规则
（1）按“四舍六入五成双”规则进行修约； （2）所舍去的数字并非单独一个数字时，不得对该数进行连续修约。
取舍有效数字位数时，应注意以下几点：
（1）一些分数如化学计量数之比等为自然数字，可视为无穷
物质甲：RE = -0.0001
（三）准确度与精密度的关系
二、误差产生的原因及减免的方法
（一）误差的分类
1.系统误差（可测误差）
——分析过程中某些固定的原因所造成的误差。其大小、 正负可以测定。
系统误差的特点：单向性和重现性
（1）方法误差——所使用的分析方法本身不完善所引起。
（2）仪器和试剂误差——由使用的仪器不准或使用的试剂不纯 所引起。 （3）个人误差（操作误差）——由分析人员的主观因素所引起。
有效；
（2）第一位有效数字大于或等于8时，有效数字的位数可多 算一位；
（3）pH、lgK、pKa等对数值的有效数字位数等于小数点后的 位数。pH=12.68 ；
（4）计算相对误差、相对偏差时，取1位有效数字，最多取2 位有效数字。
§2-5 标准曲线的回归分析（自学）
例1