最新人教版高中数学必修4第一章《基本初等函数》测评)
人教版高中数学必修4第一章 基本初等函数第一章 1.3.2(一)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)一、基础过关1． 若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2． 函数y ＝2－cos x的单调递增区间是( )A ．[2k π＋π，2k π＋2π] (k ∈Z )B ．[k π＋π，k π＋2π] (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2 (k ∈Z ) D ．[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )3． 下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)4． 在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π45． 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位6． 函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________． 7． 方程x 2＝cos x 的实数解有________个． 8． 判断下列函数的奇偶性并求最小正周期．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx －π2； (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π. 二、能力提升9． 设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)等于________．11．已知函数f (x )＝lg cos 2x .(1)求它的定义域、值域； (2)讨论它的奇偶性； (3)讨论它的周期性； (4)讨论它的单调性． 二、能力提升12．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．三、探究与拓展13．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？答案1．C 2.D 3.A 4.A 5.A6． ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 7.2 8． 解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＝sin πx ，∴f (－x )＝sin(－πx )＝－sin πx ＝－f (x )．f (x )是奇函数．最小正周期T ＝2ππ＝2.(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π ＝－cos 23x .∴f (－x )＝f (x )．f (x )是偶函数．最小正周期T ＝2π23＝3π.9．⎣⎡⎦⎤π4，5π4 10.2311．解 (1)要使函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即－π2＋2k π<2x <π2＋2k π，k ∈Z ，－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z .由于在定义域内0<cos 2x ≤1， ∴lg cos 2x ≤0，∴函数的值域为(－∞，0]． (2)∵f (－x )＝lg cos[2·(－x )] ＝lg cos 2x ＝f (x )， ∴该函数是偶函数．(3)∵cos 2x 的周期为π，即cos 2(x ＋π)＝cos 2x .∴f (x ＋π)＝lg cos 2(x ＋π)＝lg cos 2x ＝f (x )． ∴该函数的周期为π. (4)y ＝lg u 是增函数．当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4＋k π，k π (k ∈Z )时，u ＝cos 2x 是增函数； 当x ∈⎣⎡⎭⎫k π，π4＋k π (k ∈Z )时， u ＝cos 2x 是减函数．因此，函数y ＝lg cos 2x 在⎝⎛⎦⎤－π4＋k π，k π (k ∈Z )上是增函数；在⎣⎡⎭⎫k π，π4＋k π (k ∈Z )上是减函数．12．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤285π，223π上是减函数，∴a 的最大值是223π. 13．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1>1，∴cos π6t>0，∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，k∈Z，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。
高中数学(必修4)第一章 基本初等函数
第一章 基本初等函数(Ⅱ)测试一 任意角的概念与弧度制Ⅰ 学习目标1．了解弧度制，并能进行弧度与度的换算． 2．会用集合表示终边相同的角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．下列命题中正确的是( ) (A )第一象限角必是锐角 (B )终边相同的角必相等 (C )相等的角终边位置必定相同 (D )不相等的角终边位置必定不相同 2．α 是任意角，则α 与－α 的终边( ) (A )关于坐标原点对称 (B )关于x 轴对称 (C )关于y 轴对称 (D )关于直线y ＝x 对称 3．若α 是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( ) (A )90°－α (B )90°＋α (C )360°－α (D )180°＋α 4．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为( )(A )32π-(B )32π (C )3π- (D )3π 5．设集合},2π)1(π|{Z ∈-+==⋅k k x x A k ,},2ππ2|{(Z ∈+==k k x x B ，则集合A 与B 之间的关系为( ) (A )AB(B )A B(C )A ＝B(D )A ∩B ＝∅二、填空题6．若0°≤α ＜360°，且α 与－1050°的终边相同，则α ＝______．7．一个半径为R 的扇形中，弦长为R 的扇形的圆心角的弧度数是______． 8．将下列各角写成α ＋2k π),π20(Z ∈<≤k α的形式： (1)649π-＝______；(2)537π______． 9．若α 为锐角，k ·180°＋α)(Z ∈k 所在的象限是____________．10．若角α ＝30°，钝角β 与α 的终边关于y 轴对称，则α ＋β ＝______；若任意角α ，β 的终边关于y 轴对称，则α ，β 的关系是____________． 三、解答题11．圆的半径是2cm ，则30°的圆心角与其所对的圆弧围成的扇形面积是多少?12．自行车大轮有48个齿，小轮有20个齿，当大轮转一周时，小轮转过的角度是多少?等于多少弧度．Ⅲ拓展性训练13．一个不大于180°的正角α ，它的7倍角的终边与角α 的终边相同，求角α 的大小．14．如果一个扇形的周长为20cm，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大．测试二 三角函数的定义Ⅰ 学习目标1．借助单位圆理解三角函数的定义，会用三角函数线比较三角函数值的大小． 2．掌握各函数在各象限的符号．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．角α 的终边过点P (a ，a )(a ＜0)，则sin α 的值为( )(A )22(B )22-(C )22±(D )12．已知sin α cos α ＜0，则角α 在( ) (A )一、二象限 (B )二、三象限 (C )三、四象限(D )二、四象限3．设2π4π<<α，角α 的正弦、余弦的值分别为a ，b ，则( ) (A )a ＜b (B )b ＜a (C )a ＝b (D )a ，b 大小关系不定4．设α ＝10，下列函数值中为负值的是( ) (A )cos (－2α )(B )cos α(C )2cosα(D ))2sin(α-5．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]内α 的取值范围是( )(A ))4π3,2π(∪)45π,π( (B ))2π,4π(∪)4π5,π((C ))4π3,2π(∪)2π3,4π5((D ))2π,4π(∪)π,4π3(二、填空题6．已知角α 的终边经过点Q (3-，1)，则cos α ＝______，sin α ＝______，tan α ＝______． 7．若角480°终边上有一点(－4，α )，则α 的值为______． 8．若cos α=23-，且α 的终边过点P (x ，2)，则α 是第______象限角，x ＝______． 9．α 为第二象限角，给出下列命题： ①α 的正弦值与正切值同号； ②sin α cos α tan α ＞0； ③αtan 1+总有意义； ④1－cos α ＞1．其中正确命题的序号为______． 10．若tan α ＞sin α ＞cos α(2π2π<<-α )，则角α 的范围是______． 三、解答题11．已知角α 终边上一点P (3-，y ) (y ≠0)，且sin α=42y ． 求cos α 和tan α 的值．12．角α 的顶点为坐标原点，终边在直线y ＝3x 上，且sin α ＜0；P (m ，n )是α 终边上的一点，且OP ＝10，求m －n 的值．Ⅲ 拓展性训练13．在单位圆中利用三角函数线求出满足21sin <α的角α 的范围．14．若0＜α ＜π，试利用三角函数线讨论sin α ＋cos α 值的变化规律．测试三 同角三角函数的基本关系与诱导公式Ⅰ 学习目标初步掌握同角三角函数的基本关系和诱导公式；利用公式进行化简求值．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．sin210°的值是( ) (A )21 (B )21-(C )23 (D )23-2．若31)πsin(-=+A ，则sin (6π－A )的值为( ) (A )31 (B )31-(C )322-(D )322 3．已知)2π3,π(,31)2πsin(∈-=+αα，则sin (3π－α )的值为( ) (A )31 (B )31-(C )322-(D )322 4．设tan α ＝2，且sin α ＜0，则cos α 的值等于( ) (A )55 (B )51-(C )55-(D )515．化简)2πcos()2πsin(21--+的结果是( ) (A )sin2－cos2 (B )cos2－sin2 (C )±(sin2－cos2)(D )sin2二、填空题6．)22πcos()2πsin(++-的值为__________. 7．)210cos()210tan(︒--︒-＝__________. 8．设2cos sin =+αα，则sin α cos α 的值为______．9．π23π,31tan <<=αα，则sin α ·cos α 的值为______． 10．)1050sin(315sin 120cos )570cos(︒--的值是______．三、解答题 11．计算：π655tan π637cos )π346sin()π635tan(⋅⋅---．12．设)cos()180(cos 221)90sin(2)360(sin cos 2)(223x x x x x x f -++︒++++--= ，求)3π(f 的值．Ⅲ 拓展性训练13．已知sin θ ＋sin 2θ ＝1，求3cos 2θ ＋cos 4θ －2sin θ ＋1的值．14．化简：)π414cos()π414sin(αα-++--n n ,Z ∈n ．测试四 正弦函数的图象与性质Ⅰ 学习目标掌握正弦函数的图象与性质；会解决正弦型函数中关于周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值或值域、图象变换等相关问题．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．函数，sin x y =]3π2,6π[∈x ，则y 的取值范围是( ) (A )[－1，1](B )]1，21[(C )]23，21[ (D )]1，23[2．下列直线中，是函数)2π53sin(+=x y 的对称轴的是( ) (A )6π=x (B )6π-=x (C )3π=x (D )2π=x3．在下列各区间中，是函数)4πsin(+=x y 的单调递增区间的是( )(A )]π,2π[ (B )]4π,0[ (C )[－π，0] (D )]2π,4π[4．函数y ＝sin x －|sin x ｜的值域是( ) (A )[－2，0] (B )[－2，2] (C )[－1，1](D )[－1，0]5．函数)3π2sin(-=x y 在区间]π,2π[-的简图是( )二、填空题6．函数)3πsin(3-=x y ω的最小正周期为4π，则ω ＝______．7．函数xy sin 213+=的定义域是____________．8．已知函数)3π4sin(--=x b a y (b ＞0)的最大值是5，最小值是1，则a ＝______，b ＝______．9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x －1，且f (2)＝6，则f (－2)＝______． 10．函数y ＝2sin 2x －2sin x ＋1的值域是______． 三、解答题11．函数)3π2sin(-=x y 的图象是由y ＝sin x 的图象如何得到的?12．已知)sin()(ϕω+=x A x f (其中A ＞0，ω ＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如下图所示．(1)试确定A ，ω ，ϕ的值． (2)求3=y 与函数f (x )的交点坐标．13．用五点法作出函数)3π2sin(2+=x y 在一个周期内的图象，并指出函数的单调区间．Ⅲ 拓展性训练14．已知函数0，0(，)sin()(>>+=ωϕωA x A x f ，)2π||<ϕ的图象与y 轴的交点为(0，1)，且在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)，(x 0＋3π，－2)． (1)求函数f (x )的解析式及x 0的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)叙述由y ＝sin x 的图象如何变换为f (x )的图象．测试五 余弦函数、正切函数的图象与性质Ⅰ 学习目标掌握余弦函数、正切函数的图象与性质．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．函数y ＝cos x 和y ＝sin x 都是增函数的区间是( ) (A )]π,2π[(B )]2π,0[(C )]0,2π[-(D )]2π,π[--2．下列不等式成立的是( )(A )6πsin 5πsin<(B )6πcos 5πcos> (C ))6πsin()5πsin(->-(D ))6πcos()5πcos(-<-3．若tan x ≤0，则( ) (A )Z ∈<<-k k x k π,22ππ2 (B )Z ∈+<<+k k x k ,π)12(2ππ2 (C )Z ∈≤<-k k x k ,π2ππ (D )Z ∈≤≤-k k x k ,π2ππ4．函数|)6πcos(|+=x y 的最小正周期为( )(A )2π(B )π(C )2π (D )6π5 5．若函数)5π2πcos()(+=x x f 对于任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则 ｜x 1－x 2｜的最小值为( ) (A )1 (B )2 (C )π(D )4二、填空题6．函数y ＝tan πx 的最小正周期是______． 7．已知tan α=33(0＜α ＜2π)，那么α 所有可能的值是______． 8．函数)(cos log 21x y =的定义域是______．9．给出下列命题：①存在实数x ，使sin x cos x ＝1； ②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝3； ③)22π5sin(x y -=是偶函数； ④(0,2π)是y ＝tan x 的对称中心 其中正确的是______．10．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y ＝f (x )的图象恰好经过k 个格点，则称该函数f (x )为k 阶格点函数．下列函数中是一阶格点函数的是____________． ①y ＝sin x ；②)6πcos(+=x y ； ③y ＝cos x －1； ④y ＝x 2三、解答题11．已知)3π2cos(+=x y ，写出这个函数的周期、最大值、对称轴，并说明其图象是由函数y ＝cos x 怎样变换得到的．12．已知f (x )是奇函数，又是周期为6的周期函数，且f (－1)＝1，求f (－5)的值．Ⅲ 拓展性训练13．已知4πcos)(n n f =，求f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值．14．已知a ，b 为常数，f (x )＝(a －3)sin x ＋b ，g (x )＝a ＋b cos x ，且f (x )为偶函数．(1)求a 的值；(2)若g (x )的最小值为－1，且sin b ＞0，求b ．测试六 三角函数全章综合练习一、选择题1．函数)6π52cos(3-=x y 的最小正周期是( ) (A )π52 (B )π25 (C )2π (D )5π2．若sin α cos α ＞0，则角α 的终边在( )象限 (A )第一 (B )第四 (C )第二或第三 (D )第一或第三3．函数xy sin 213-=的定义域为( )(A )},6ππ2|{Z ∈+=/k k x x(B )｝,6ππ2|｛Z ∈-=/k k x x (C )R(D )},6π5π2,6ππ2|{Z ∈+=/+=/k k x k x x 且 4．已知函数)2ππsin()(-=x x f ，那么下列命题正确的是( )(A )f (x )是周期为1的奇函数 (B )f (x )是周期为2的偶函数 (C )f (x )是周期为1的非奇非偶函数 (D )f (x )是周期为2的非奇非偶函数 5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )(A )y ＝)6πsin(+x (B )y ＝)6π2sin(-x(C )y ＝)3π4cos(-x(D )y ＝)6π2cos(-x二、填空题 6．计算)3π17sin(-＝______． 7．已知552sin =α，π2π≤≤α，an α ＝______． 8．函数)6πsin(+=x y 图象的一个对称中心为____________． 9．函数f (x )＝A sin (ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的部分图象如图所示， 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝______．10．如图所示，一个半径为3米的圆形水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟绕圆心O逆时针旋转3圈．若点P从如图位置开始旋转(OP平行于水面)，那么5秒钟后点P到水面的距离为______米，试进一步写出点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足的函数关系式________．三、解答题11．已知，02π<<-α，求)cos()πcos(cos)2πcos(αααα--+的值．12．已知21tan=α，求ααααcossincos3sin+-的值．13．已知函数)3πsin(2)(+=xxfω)0(>ω的最小正周期为π．(1)求ω 的值；(2)求f(x)在]4π,4π[-上的取值范围．14．已知函数)(1(0)，)π0，()sin()(xff＞xxf，=≤≤+=ϕωϕω的图象关于点)0,4π3(M对称，且在区间]2π,0[上是单调函数，求ω ，ϕ的值．参考答案第一章 基本初等函数(Ⅱ)测试一 任意角的概念与弧度制一、选择题1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 提示：5．对于集合A ，当k ＝2n 时，Z ∈+=-+=n n n x n,2ππ22π)1(π22； 此时x 表示终边在y 轴正半轴上的任意角． 当k ＝2n ＋1时，Z ∈+=-+=-++=+n n n n x n ,2ππ22πππ22π)1(π)12(12， 此时x 仍表示终边在y 轴正半轴上的任意角．综上，A ＝B ． 二、填空题 6．30° 7．3π 8．(1)611π10π+-， (2)57π6π+ 9．第一、三象限 10．180°，α ＋β ＝(2k ＋1)·180°，k ∈Z ．提示：10．由已知，做出30°角终边，依终边对称性可得β ＝150°，所以α ＋β ＝180°；由上述分析，换一个角度看，可以得出一般性结论：β 与π－α 终边相同，所以β ＝(180°－α )＋k ·360°，即α ＋β ＝(2k ＋1)·180°，k ∈Z ． 三、解答题 11．2cm 3π． 12．解：依题意，大轮转过一周48齿，小轮也转过48齿．则小轮转过4.22048=周，所以，小轮转过的角度为360°×2.4＝864°； 864°=π524180π864=⨯弧度．13．解：由已知，7α ＝k ·360°＋α ，k ∈Z ，所以α ＝k ·60°，又0°＜α ≤180°，所以，α ＝60°，120°或180°． 14．解：设扇形中心角为θ ，半径为r ．则2r ＋θ r ＝20，即0220>-=rrθ． 因为r ＞0，所以0＜r ＜10．22102121r r r lr S -===θ． 所以，当r ＝5cm ，θ ＝2时扇形面积最大，最大面积为25cm 2．测试二 三角函数的定义一、选择题1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 提示：4．α ≈570°，与210°终边相同；︒≈2852α；－2α ≈－1140°与60°终边相同．5．由题意sin α －cos α ＞0且tan α ＞0，所以作出三角函数线，得到角的范围． 二、填空题 6．33,21,23--7．34 8．二，32-=x 9．②④ 10．)2π,4π(. 提示：8．由定义，232cos 22-=+=x x α，解得.32-=x 三、解答题 11．略解．由已知y y y4232=+，解得5±=y ，则46cos -=α，315tan ±=α.12．略解．由已知n ＝3m ，并且m ＜0，n ＜0．又m 2＋n 2＝10，∴m ＝－1，n ＝－3，m －n＝2．13．答：)613ππ2,65ππ2(++k k 14．答：当2π0<<α时，2π;1cos sin =+ααα＞时，sin α ＋cos α ＝1；当4π32π<<α时，4π3;1cos sin 0=+ααα＜＜时，sin α ＋cos α ＝0； 当π4π3<<α时，－1＜sin α ＋cos α ＜0．测试三 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 提示：1．21120sin 30sin )30180sin(210sin -=︒-=︒-=︒+︒=︒． 5．=--+)2πcos()2πsin(212cos 2cos 2sin 22sin 2cos 2sin 2122+-=-2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2-=-=-=，(因为sin2＞cos2)． 二、填空题 6．0 7．638．21 9．103 10．46-提示：7．因为－210°＝－360°＋150°，所以原式632333150cos 150tan =+-=︒-︒= 8．(sin α ＋cos α )2＝sin 2α ＋cos 2α ＋2sin α ·cos α ＝1＋2sin α ·cos α ＝2．所以sin α ·cos α=⋅21 当需要找sin α ±cos α 与sin α ·cos α 的关系时，一般通过(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α 来沟通． 三、解答题 11．0 12．21．化简得f (x )＝cos x ，所以，21)3π(=f . 13．2提示：由已知，sin θ ＝1－sin 2θ ＝cos 2θ ，故原式＝3sin θ ＋sin 2θ －2sin θ ＋1＝sin 2θ ＋sin θ ＋1＝2． 14．0提示：当n ＝2k 时，原式)4πcos()4πsin()4ππ2cos()4ππ2sin(αααα-+--=-++--=k k 0)4πsin()4πsin(=+++-=αα；当n ＝2k ＋1时， 原式)45πcos()43πsin()45ππ2cos()43ππ2sin(ααα-+-=-++-+=k a k 0)4πsin()4πsin()4πcos()4πsin(=+-+=--+=a a a a ．测试四 正弦函数的图象与性质一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 提示：4．⎩⎨⎧<≥=-=,0sin ,sin 2,0sin ,0|sin |sin x x x x x y 据此画出函数的示意图，结合图形，可得函数的值域． 二、填空题 6．21±7．Z ∈+=/+=/k k x k x ,6π11π26π7π2且 8．3，2 9．－8 10．]5,21[ 提示：9．f (x )＝ax ＋b sin x －1，f (2)＝6，得f (2)＝2a ＋b sin2－1＝6，………① 而所求f (－2)＝－2a ＋b sin (－2)－1＝－2a －b sin2－1， 由①知，2a ＋b sin2＝7，所以，－2a －b sin2＝－7， 所以，f (－2)＝－8． 三、解答题11．答：先把y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得)3π2sin(-=x y 的图象．12．答：(1)A ＝2，4π,21==ϕω． (2)令,3)4π21sin(2=+x得3ππ24π21+=+k x 或Z ∈+=+k k x ,3π2π24π21 即6ππ4+=k x 或,,6π5π4Z ∈+=k k x所以，交点坐标为)3,6ππ4(+k 或)3,6π5π4(+k ，Z ∈k ．13．答：函数周期为π，结合图象知函数的递减区间为]12π7π,12ππ[++k k (k ∈Z )，递增区间为]12ππ,125ππ[+-k k ．14．解：(1))6π31sin(2)(+=x x f ，π0=x ；(2)单调递增区间为[6k π－2π，6k π＋π](k ∈Z ) (3)首先左移6π，然后将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍；最后将图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍。
人教版高中数学-必修4(R-B版)过关测试 第一章 基本初等函数(II)
第一章过关测试卷（100分，60分钟）一、选择题（每题5分，共45分） 1.若sin α=15,α∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则α可以表示成（ ） A.2π +arcsin 15 B. 2π-arcsin 15C.π-arcsin 15D.π+arcsin 152.sin α·cos α=18，且4π＜α＜2π,则cos α-sin α的值为（ ）3 B.- 3 C.34 D.- 343.〈山东泰安月考〉函数y=-3cos(2x+3π)的图象可由y=-3cos(-2x)的图象（ ） A.向右平移π3个单位长度得到 B.向右平移π6个单位长度得到 C.向左平移π6个单位长度得到 D.向左平移π3个单位长度得到 4.〈潍坊模拟〉已知sin θ=-13,θ∈(-2π,2π) ,则sin(θ-5π)sin(32π-θ)的值 是（ ） 22 B.- 22 C.-19 D. 195.设点P 是函数f(x)=sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f(x)的最小正周期是（ ） A.2π B.π C.2π D.4π6.函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为（ ）A.2B.0C.14D.6 7.若sin cos sin cos θθθθ+- =2,则sin θcos θ的值为（ ）A.-310B. 310C.±310D.348.函数y=f(x)的图象如图1所示，则y=f(x)的解析式为（ ）图1A.y=sin2x-2B.y=2cos3x-1C.y=sin(2x-5π) -1 D.y=1-sin(2x-5π) 9.已知函数y=cos(sinx),则下列结论中正确的是（ ） A.是奇函数 B.不是周期函数 C.定义域为［-1，1］ D.值域是［cos1,1］ 二、填空题（每题5分，共25分）10.若f(x)=sin()(2011)24(4)(x 2011x x f x ππ⎧+≤⎪⎨⎪-⎩＞），则f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+ f(2 013)=___________-11.已知f(x)=ax 3+bsinx+1且f(1)=5,则f(-1)=__________. 12.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域为______________. 13.sin （x+4π） -k=0，在0≤x ≤π上有两解，则k 的取值范围 是_________.14.设函数y=sin(ωx+φ)（ω＞0,φ∈（-2π,2π））的最小正周期为π，且其图象关于直线x=12π对称，则在下面四个结论中：①图象关于点（4π,0）对称；②图象关于点（3π,0）对称；③在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数.所有正确结论的编号为__________. 三、解答题（每题10分，共30分）15.已知tan(π-α)=2,计算：()()()()2222322?12sin cos sin cos sin cos παπαπαπααα+--+-+++16.〈吉林四平统考〉函数f 1(x)=Asin(ωx+φ)（A ＞0,ω＞0,｜φ｜＜2π）的一段图象过点（0，1），如图2所示. （1）求函数f 1(x)的表达式； （2）将函数y=4π个单位，得函数y=f 2（x ）的图象，求y=f 2(x)的最大值，并求出此时自变量x 的集合.图2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若方程mcosx-1=cosx+m有解，求参数m的取值范围.17.已知x∈,63第一章过关测试卷一、1.C 点拨：∵α∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴π-α∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴sin(π-α)=sin α=15,π-α=arcsin 15,α=π-arcsin 15.2.B 点拨：∵（cos α-sin α）2=1-2sin αcos α=34,又4π＜α＜2π,∴sin α＞cos α.则cos α-sinα＜0.∴cos α-sin α3.C 点拨：y=-3cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭=-3cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭,y=-3cos(-2x)=-3cos2x, ∴y=-3cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象可以由y=-3cos(-2x)的图象向左平移6π个单位长度得到.4.B 点拨：由sin θ=-13,θ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 知cos θ,sin(θ-5π)sin 32πθ⎛⎫-⎪⎝⎭=(-sinθ)·（-cos θ）=sin θcos θ.5.B 点拨：易知4T =4π.故选B.6.B 点拨：∵y=cos 2x-3cosx+2=32cosx ⎛⎫-⎪⎝⎭ 2-14,显然当cosx=1时， ymin=312⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2-14=0.7.B 点拨：由sin cos sin cos θθθθ+-=2得11tan tan θθ+-=2，所以tan θ=3,∴sin θcos θ=22sin cos sin cos θθθθ+=21tan tan θθ+ =310.8.D 点拨：由图象过点,110⎛⎫ ⎪⎝⎭π, 7,020π⎛⎫⎪⎝⎭代入验证知只有D 成立.9.D 点拨：∵-1≤sinx ≤1且y=cosx 在［0,π］上是减函数，在［-π,0］上为增函数，∴值域为［cos1,1］.故选D.二、10.0 点拨：f(2 010)=sin 2 01024ππ+⎛⎫⎪⎝⎭=sin 1 0054ππ+⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin 4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ =-sin 4π=-2，f(2 011)=sin 2 01124ππ⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 1 00524πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=sin 324ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos 4π =-2，f(2 012)=f(2 008)=sin 1 0044ππ⎛⎫+⎪⎝⎭=sin4π =f(2 013)=f(2 009)=sin 1 00424πππ⎛⎫++⎪⎝⎭=sin 24ππ⎛⎫+⎪⎝⎭=cos 4π =2，∴f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=0.11.-3 点拨：∵f(1)=a+bsin1+1=5,∴a+bsin1=4,∴f(-1)=-a-bsin1+1=-4+1=-3.12.322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫⎨⎬∈⎩-+⎭｜＜＜点拨：由cosx-sinx ＞0得cosx ＞sinx,利用三角函数线可得2k π- 34π＜x ＜2k π+4π,k ∈Z.13.［1，2）点拨：令y 1=sin 4x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+,y 2=k,当0≤x ≤π时，4π≤x+4π≤54π,令t=x+4π ,则π4≤t ≤54π.即y 1sint 544t ππ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.因为y 2=k 与y 1sint 有两个解，即直线y 2=k和y 1sint 图象交于两个点，则画出图象得1≤k .则k 的取值范围是［1，2）.14.②④ 点拨：由2πω=π得ω=2.由2×12π+φ=k π+2π,得φ=13k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π.又φ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则得k=0,φ=3π,∴y=sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,可判断②④正确.三、15.解：∵tan(π-α)=2,∴-tan α=2,tan α=-2.原式=22223232sin cos sin cos sin cos αααααα-++ =223232tan tan tan ααα-++=47.16.解：（1）由图知，T=π,于是ω=2Tπ=2. 将y=Asin2x 的图象向左平移12π个单位, 得y=Asin(2x+φ)的图象， 于是φ=2·12π=6π. 将（0，1）代入y=Asin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭,得A=2. 故f 1(x)=2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭.(2)依题意，f 2(x)=2sin 246x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-2cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 当2x+6π=2k π+π,即x=k π+512π (k ∈Z)时，f 2(x)max =2.x 的取值集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩｜.17.解：由mcosx-1=cosx+m 得cosx=11m m +-, 因为x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,所以cosx ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 所以11m m +-∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即12≤11m m +-≤1, 解得m ≤-3.。
数学人教b版高一必修4：第一章基本初等函数ⅱ综合检测含解析
综合检测(一)第一章 基本初等函数(Ⅱ)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分，请把答案填在题中的横线上) 1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④【解析】 ∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°， ∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角． 【答案】 C2．点P 从(1,0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A ．(12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12)【解析】 设∠POQ ＝θ，则θ＝π3.又设Q (x ，y )，则x ＝cos π3＝12，y ＝sin π3＝32. 【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a ，－4a )(a <0)，则sin α＋cos α等于( ) A.15 B.75 C ．－15 D ．－75【解析】 r ＝(3a )2＋(－4a )2＝－5a .∴sin α＝－4a－5a ＝45，cos α＝3a －5a＝－35，∴sin α＋cos α＝45－35＝15. 【答案】 A4．(2013·郑州高一检测)对于函数y ＝sin(132π－x )，下列说法中正确的是( ) A ．函数是最小正周期为π的奇函数 B ．函数是最小正周期为π的偶函数 C ．函数是最小正周期为2π的奇函数 D ．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】 y ＝sin(132π－x )＝sin(π2－x )＝cos x ，故D 项正确． 【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，但是若f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A 6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图可知T ＝4(712π－π3)＝π. 又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)， 代入点(π3，1)，得sin(23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6.【答案】 D7．函数y ＝2cos(2x －π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( ) A ．[1－3，1＋3] B ．[1－3，3] C ．[－1,3]D ．[－1,1＋3]【解析】 ∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6， ∴－32≤cos(2x －π3)≤1，∴1－3≤2cos(2x －π3)＋1≤3，故选B. 【答案】 B8．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24D.24【解析】 由sin(α＋π2)＝13， 得cos α＝13，又α∈(－π2，0)． ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223.故tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】 A9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin x C ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错． y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数． ∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D10．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6【解析】 ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32在f (x )的图象上，∴f (0)＝sin θ＝32. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3.∵g (0)＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32.验证，φ＝56π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－53π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝32成立． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π12．sin(－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______. 【解析】 原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为________．【解析】 由sin θcos θ＝－18＜0知π2＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sinθcos θ＝1－2×(－18)＝54.又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝52. 【答案】 5214．设f (x )＝2sin ωx ，(0<ω<1)在闭区间[0，π3]上的最大值为2，则ω的值为__________． 【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2. ∴f (x )＝2sin ωx 在[0，π3]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (π3)＝2sin π3ω＝ 2. ∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 34三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin(π－x )－sin(π2＋x )的值； (2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋(3)2＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－45，且α为第三象限角，求sin α的值；(2)已知tan α＝3，计算4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值．【解】 (1)∵cos 2α＋sin 2α＝1，α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－45)2＝－35.(2)显然cos α≠0，∴4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin α－2cos αcos α5cos α＋3sin αcos α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57. 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)变换情况如下：18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．【解】 (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)在图象上得 2sin(2×2π3＋φ)＝－2， 即sin(4π3＋φ)＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)∵x ∈[π12，π2]， ∴2x ＋π6∈[π3，7π6]，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故f (x )的值域为[－1,2]．。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评2 Word版含答案
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.－25π6的角是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是() A.4 cm2 B.2 cm2C.4π cm2D.2π cm2【解析】r＝l|α|＝42＝2(cm)，S＝12lr＝12×4×2＝4(cm2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A.π2cm 2 B.3π2cm2C.π cm2D.3π cm2【解析】15°＝π12，则S＝12|α|r2＝12×π12×62＝3π2(cm2).【答案】 B4.下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关. 【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C 二、填空题6.把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________. 【解析】 法一：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad＝－196πrad ， ∴－196π＝－4π＋56π.法二：－570°＝－2×360°＋150°， ∴－570°＝－4π＋56π. 【答案】 －4π＋56π7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】 由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)rr ＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2). 【答案】 π－2 2(π－2) 三、解答题 8.已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π). 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9. 9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎨⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r ＝2(rad).故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100， 故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍【解析】 设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为lr ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍. 【答案】 D2.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评8 Word版含答案
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y ＝sin|x |的图象是( )【解析】 ∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x .故应选B.【答案】 B2.(2016·济南高一检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.(0，π)【解析】 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.【答案】 C3.在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( )A.(0，π)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3. 【答案】 C4.(2016·兰州高一检测)设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】 因为0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，1sin x ≥1，所以函数f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋a sin x 有最小值而无最大值，故选B.【答案】 B5.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A.0B.π4C.π2D.π【解析】 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数，故选C.【答案】 C二、填空题6.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的周期是23π，则ω＝________. 【解析】 根据题意有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴2π3ω＝2π，∴ω＝3.【答案】 37.函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________.【解析】 据题意知sin x ＞0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z ).【答案】 (2k π，2k π＋π)(k ∈Z )8.(2016·杭州高一检测)若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________.【解析】 由三角形内角和为π知，若x 为三角形中的最小角，则0＜x ≤π3，由y ＝sin x 图象知y ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤0，32 三、解答题9.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 【解】 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 10.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.【解】 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，最大值为2a ＋b ＝1，最小值为－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，最大值为－3a ＋b ＝1，最小值为2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.[能力提升]1.函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )【解析】 因为y ＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象可看作是由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于x 轴对称得到的.故选B.【答案】 B2.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.【解析】 ∵sin α∈[－1,1]，∴－sin α∈[－1,1]，∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 3.已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，试探求以下问题.(1)当a 为何值时，直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象只有一个交点？(2)当a 为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a 为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a 为何值时，直线与函数图象无交点？【解】 作出直线y ＝a ，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.(1)当a ＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点.(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点.(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点.(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点.。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评3 Word版含答案
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列三角函数判断错误的是( ) A.sin 165°>0 B.cos 280°>0 C.tan 170°>0D.tan 310°<0【解析】 ∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0； 又270°<280°<360°，∴cos 280°>0； 又90°<170°<180°，∴tan 170°<0； 又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C. 【答案】 C2.已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 坐标为( ) A.P (sin α，cos α) B.P (cos α，sin α) C.P (r sin α，r cos α)D.P (r cos α，r sin α)【解析】 设P (x ，y )，则sin α＝y r ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r ，x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.【答案】 D3.角α的终边上有一点(－a,2a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.－55 B.25 5 C.55D.－25 5【解析】 因为a <0，所以sin α＝2a(－a )2＋(2a )2＝2a－5a ＝－255. 【答案】 D4.若θ是第二象限角，则( )A.sin θ2>0B.cos θ2<0C.tan θ2>0D.以上均不对【解析】 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2，∴θ2是第一或第三象限角，∴tan θ2>0.【答案】 C5.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角【解析】 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.【答案】 A 二、填空题6.设α为第二象限角，则点P (cos α，sin α)在第________象限. 【解析】 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0. 【答案】 二7.(2016·镇江高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ cos α≤0，sin α＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3. 【答案】 －2＜a ≤38.若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则cos α＝________. 【解析】 ∵过点P (－3，y )，∴sin α＝y3＋y 2＝34y .又y ≠0，∴13＋y 2＝34， ∴|OP |＝3＋y 2＝43＝433＝r ， ∴cos α＝x r ＝－3433＝－34.【答案】 －34 三、解答题9.已知角α的终边经过点P (1，3)， (1)求sin α＋cos α的值； (2)写出角α的集合S .【解】 (1)由点P 的坐标知，r ＝|OP |＝2，x ＝1，y ＝3， ∴sin α＝32，cos α＝12， ∴sin α＋cos α＝3＋12.(2)由(1)知，在0～2π内满足条件的角α＝π3， ∴角α的集合S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z . 10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.【解】 ①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P (－4，3)，OP ＝5， sin α＝35，cos α＝－45＝－45，tan α＝3－4＝－34，所以sin α－3cos α＋tan α＝35＋125－34＝94.②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P (4，－3)，OP ＝5，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34＝－34， 所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.[能力提升]1.(2016·承德一中高一测试)若θ是第三象限角，且cos θ2<0，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角【解析】 由θ为第三象限角，知2k π＋π<θ<2k π＋32π，∴k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )，∴θ2为二、四象限的角.又cos θ2<0，∴θ2为第二象限角.【答案】 B2.如果α的终点过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π6，－2cos π6，则sin α的值等于( ) A.12 B.－12 C.－32D.－33【解析】 ∵2sin π6＝1，－2cos π6＝－3， ∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32.【答案】 C3.函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是________. 【解析】 由题意知x 不是终边在坐标轴上角，则有： x 为第一象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x ＝3； x 为第二象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x－cos x＋－tan x tan x ＝－1；x 为第三象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan xtan x ＝－1；x 为第四象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1； 综上知此函数值域为{－1,3}. 【答案】 {－1,3} 4.判断下列各式的符号： (1)sin 340°cos 265°； (2)sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π；(3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角).【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4， ∴－23π4是第一象限角. ∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0.(3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0， ∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0.。
高中人教B版数学必修四 第一章 基本初等函数(Ⅱ)检测(A) 含解析
第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若α=-6,则角α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:α=-6≈-(6×57.30)°=-343.8°,故角α的终边在第一象限.答案:A2.若β∈[0,2π],且=sin β-cos β,则β的取值范围是()A.B.C.D.解析:∵=|sin β|+|cos β|=sin β-cos β,∴sin β≥0,cosβ≤0,又β∈[0,2π],∴β∈.答案:B3.已知角α的终边经过点P(,-1),则()A.cos α=-B.sin α+cos α=2C.tan α+cot α=1D.cos α+tan α=解析:因为x=,y=-1,r=2,所以sin α=-,cos α=,tan α=-,从而cos α+tan α=.答案:D4.记cos(-80°)=k,则tan 100°等于()A. B.-C. D.-解析:由cos(-80°)=k,得cos 80°=k,所以sin 80°=,于是tan 100°=-tan 80°=-=-.答案:B5.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于()A.0B.1C.-1D.±1解析:由f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,得f(0)=0,可得|a|=0,即a=0.答案:A6.已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=()A.-B.-C.D.解析:由图象可知所求函数的周期为,故ω=3.将代入解析式得+φ=+2kπ(k∈Z), 所以φ=-+2kπ(k∈Z).令φ=-,代入解析式得f(x)=A cos.因为f=-A sin=-,所以f(0)=A cos=A cos.故选C.答案:C7.函数y=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该函数表达式为()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin解析:易知A=2,函数周期为T=2(5-1)=8,即=8,所以ω=,这时y=2sin.又函数图象过点(1,2),代入得φ=,故所求函数解析式为y=2sin.答案:C8.函数y=sin 3x的图象可以由函数y=cos 3x的图象()A.向右平移个单位长度得到B.向左平移个单位长度得到C.向右平移个单位长度得到D.向左平移个单位长度得到解析:由于y=cos 3x=sin=sin,因此应将函数y=cos 3x图象向右平移个单位长度才能得到函数y=sin 3x的图象.答案:A9.给出下列三个条件:①在区间上是增函数;②最小正周期是π;③是偶函数.同时满足以上三个条件的函数是()A.y=sin xB.y=2-cos xC.y=sin|x|D.y=|sin x|答案:D10.函数f(x)=lg sin的一个单调递增区间为()A.B.C.D.解析:由sin>0,得sin<0,故π+2kπ<2x-<2π+2kπ(k∈Z).又f(x)=lg sin的单调递增区间即为sin在定义域内的单调递增区间,即sin在定义域内的单调递减区间,故π+2kπ<2x-+2kπ(k∈Z),化简得+kπ<x<+kπ(k∈Z),当k=0时,<x<.故选C.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.函数y=tan的最小正周期是.解析:最小正周期是T==2.答案:212.计算:arcsin 0+arcsin+arcsin+arcsin+arcsin 1=.解析:原式=0+.答案:13.若f(x)=3cos是奇函数,则φ的最小正值为.解析:依题意有φ-=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z),因此当k=0时,φ取最小正值.答案:14.函数y=sin2x+sin x-1的值域为.解析:y=sin2x+sin x-1=,因为sin x∈[-1,1],所以y∈,即值域为.答案:15.若不等式tan x>a在x∈时恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由于函数y=tan x在上单调递增,因此tan x>-1,故要使不等式恒成立,应有a≤-1.答案:a≤-1三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知cos=a(|a|≤1),求cos和sin的值.解:cos=cos=-cos=-a;sin=sin=cos=a.17.(8分)若f(x)=-cos2x+cos x+m的最小值为5,求其最大值.解:因为f(x)=-cos2x+cos x+m=-+m,而-1≤cos x≤1,所以当cos x=-1时,f(x)取最小值-2+m,即-2+m=5,所以m=7.因此,当cos x=时,f(x)取最大值+7=.18.(9分)已知f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求φ;(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.解:(1)∵x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,∴sin=±1,∴+φ=kπ+,k∈Z.∵-π<φ<0,∴φ=-.(2)由(1)得f(x)=sin.列表如下:x0 πy--1 0 1 0 -故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图所示.19.(10分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ),x∈R的周期为π,且图象上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈时,求f(x)的最值.解:(1)由最低点为M,得A=2.由T=π,得ω==2.由点M在图象上,得2sin=-2,即sin=-1,∴+φ=2kπ-,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z.又φ∈,∴φ=.∴f(x)=2sin.(2)∵x∈,∴2x+.∴当2x+,即x=0时,f(x)取得最小值1;当2x+,即x=时,f(x)取得最大值.20.(10分)已知函数f(x)=3sin(ω∈Z,ω>0)的最小正周期为T,且满足T∈(1,3).(1)求ω的所有取值;(2)当ω取最小值时,求函数f(x)的单调区间.解:(1)依题意,得T=,所以1<<3,即<ω<2π.因为ω∈Z,且ω>0,所以ω的所有取值为3,4,5,6.(2)当ω=3时,f(x)=3sin.令2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).令2kπ+≤3x+≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z).。
(完整版)高中数学必修四第一章测试(可编辑修改word版)
3 2 22 2232 第一章 基本初等函数(Ⅱ)的测试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1．(2016·陕西延川县期中)半径为 π cm ，中心角为 120°的弧长为 ( ) π A.3π2cm B. 32π cm C. 3 12π2 cm D. 3cm 3π2．(2016·桂林全州学段考)如果 sin(π＋A )＝－2，那么 cos ( 2－A )等于( )1 A ．－2 1 B.2C. D．－ 3．若点 P (sin2，cos2)是角 α 终边上一点，则角 α 的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4右．图是函数 f (x )＝A sin ωx (A >0ω，>0)一个周期的图象则，f (1)＋f (2)＋f (3) ＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于()A. B.C ．2＋D ．27πsin 10cosπ 5．给出下列各函数值：①sin100°；②cos(－100°)；③tan(－100°)；④ 17π .其中符号为负的是()A ．①B ．②C ．③D ．④ tan 9 π16．把函数 y ＝sin (x ＋6)图象上各点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象π向右平移3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )π A. x ＝－2 π B. x ＝－4 π C. x ＝8 1 πD. x ＝47．(2016·山西大同一中测试)若 0<α<2π，且 sin α< ，cos α> ，利用三角函数线得到角 α2 的取值范围是()π ππ5π π5πA.(－3，3)B.(0，3)2sin αcos α－cos αC.( 3 ，2π)D.(0，3)∪( 3 ，2π)8．化简 ＋ 2 － － 2 等于( )1 sin α sin α cos α11 A ．tan α B.C ．－tan αD ．－tan αtan α32 2π ππ 5π 2π 2π9. 设 a ＝sin 7 ，b ＝cos 7 ，c ＝tan 7 ，则()A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cπ10．(2016·上海高考)设 a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数 x ，都有 sin (3x －3)＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为() A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A ＞0，ω＞0)的最大值是 4，最小值是 0，该函数的π π图象与直线 y ＝2 的两个相邻交点之间的距离为4，对任意的 x ∈R ，满足 f (x )≤|A sin (12ω＋φ)|＋m ，且 f (π)＜f (4)，则下列符合条件的函数的解析式是() π7πA ．f (x )＝2sin (4x ＋6)＋2B ．f (x )＝2sin (2x ＋ 6 )＋2π7πC ．f (x )＝2sin (4x ＋3)＋2D ．f (x )＝2sin (4x ＋ 6)＋212．(2016·山西榆社中学期中)函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ 是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：π①最小正周期为 π；②将 f (x )的图象向左平移6个单位，所得到的函数是偶函数；12π 14π 5π ③f (0)＝1； ④f ( 11 )<f ( 13)； ⑤f (x )＝－f( 3－x ).其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．②③⑤二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．sin(－120°)cos1 290°＋ cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝.14．(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数 f (x )＝3sin (ωx －6)(ω>0)和 g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相同，若 x ∈[0，2]，则 f (x )的取值范围是．221＋2sin(3π－α)cos(α－3π)sin(α－2 )－1－sin2(2 ＋α)3π5π32ππ2π15．(2016·河南洛阳八中月考)函数y＝f(cos x)的定义域为[2kπ－6，2kπ＋3 ](k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为．sin x＋cos x＋|sin x－cos x|16.已知函数f(x)＝2，则下列结论正确的是．π①f(x)是奇函数；②f(x)的值域是[－，1]；③f(x)是周期函数；④f(x)在[0，2]上递增．三、解答题(本大题共6 小题，共70 分)17．(10 分)化简，其中角α 的终边在第二象限．18．(12 分)已知函数y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示(ω>0)，试求它的表达式．1 19．(12 分)(2016·山西大同一中期中)已知α 是一个三角形的内角，且sinα＋cosα＝.5(1)求tanα 的值；1(2)用tanα 表示2 －并求其值．2sin αcos αx π20．(12 分)(2016·银川九中期中)已知函数f(x)＝3sin(2＋6)＋3.(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象；(必须列表)(2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；(3)说明此函数图象可由y＝sin x 在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到．21．(12 分)设函数f(x)＝sin(2ωx＋3)＋＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y 轴右[ ]ππ3 66．A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是 y ＝sin [2(x －π)＋π]＝sin 7π侧的第一个最低点的横坐标为 6.(1) 求 ω 的值；π 5π(2) 如果 f (x )在区间 － ， 上的最小值为3，求 a 的值．22．(12 分)已知函数 f (x )＝log a cos (2x －3)(其中 a >0，且 a ≠1)．(1) 求它的定义域；(2) 求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．2π 2π2详解答案1．D 120°＝ 3 ，∴弧长为 3，故选 D.1 1 3π12．A sin(π＋A )＝－2，∴sin A ＝2，cos ( 2 －A )＝－sin A ＝－2，故选 A. 3．D ∵2 弧度是第二象限角∴sin2＞0，cos2＜0. ∴点 P 在第四象限，∴角 α 的终边在第四象限，故选 D.2π π πx4．A 易知 A ＝2，由ω ＝8，得 ω＝4，∴f (x )＝2sin 4，又由对称性知，原式＝f (1)＝ π ＝ 2，故选 A.2sin 45．B ①sin100°>0；②cos(－100°)＝cos100°<0；③tan(－100°)＝－tan100°>0；④∵sin7π7π 17π sin 10cosπ 10>0，cosπ＝－1，tan 9<0，∴ 17π >0.其中符号为负的是②，故选 B. tan 93 6(2x －2)＝π－cos2x ，注意到当 x ＝－2时，y ＝－cos(－π)＝1，此时 y ＝－cos2x 取得最大值，因此π直线 x ＝－2是该图象的一条对称轴，故选 A .32 3 4π ( )( 33 3 π 2π7．D 如图示，满足 sin α< 的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，满足1 π 5π cos α>2的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，所以符π 5π合条件的角 α 为(0，3)∪( 3 ，2π)，故选 D.8．B 原式＝ cos α(2sin α－1) 1－cos 2α＋sin 2α－sin αcos α(2sin α－1) cos α(2sin α－1) ＝ ＝2sin 2α－sin α 1＝ .故选 B. tan αsin α(2sin α－1) 5π 2π 2π9．D a ＝sin 7 ＝sin 7 ＜tan 7＝c .2π π 2π 3π cos 7 ＝sin (2－ 7 )＝sin 14， 3π 2π 3π 2π∵14＜ 7 ，∴sin 14＜sin 7.故 b ＜a ＜c . π π10．B sin (3x －3)＝sin (3x －3＋2π)＝5π 5π ππ 4π sin (3x ＋ 3 )，(a ，b )＝(3， 3 )，又 sin (3x －3)＝sin [π－(3x －3)]＝sin (－3x ＋ 3 )，(a ，b )＝ (－3， 3 )，因为 b ∈[0,2π]，所以只有这两组．故选 B.π 2π π 11．D 由题意得Error!解得Error!由题可知周期 T ＝2，由T ＝ ω ＝2得 ω＝4，于是函π π π数 f (x )＝2sin(4x ＋φ)＋2.又由题可知 x ＝ 是函数的对称轴，故 4× ＋φ＝k π＋ ， 则 φ＝k π＋12 12 2π π 6(k ∈Z )，又因为 f (π)＜f(4)，验证选项 A 、D ，可得选项 D 正确．7π π 7π7π 3π12．C 由图象可知，A ＝2，T ＝(12－3)×4＝π，∴ω＝2，当 x ＝12时，2×12＋φ＝ 2，∴φ＝ π π π，∴f (x )＝2sin 2x ＋ 故①正确；f (0)＝2sin ＝ 3，故③不正确，故选 C.13.1解析：原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝ 3 1 1 － 2× － )＋ × ＝1.2 2 2331 23π π 3π 3 2π π解析：由题可知，f (x )与 g (x )的周期相同，∴T ＝ 2 ＝π，∴ω＝2，则 f (x )＝3sin (2x －6)， 当 0≤x ππ π 5π≤2x － 3 f (x )≤3. ≤2时，－6 6≤ 6 ，∴－ ≤ 15.[－2，1]π 2π 1 1解析：∵2k π－6≤x ≤2k π＋ 3 ，k ∈Z .∴－2≤cos x ≤1.∴f (x )的定义域为[－2，1].16．②③解析：f (x )＝Error!∴f (x )的图象如图所示．依据图象可知②③正确．17. 解 ： 原 式 ＝ 1＋2sin[2π＋(π－α)]cos[(α－π)－2π] －sin( 2 －α)－ 1－sin 2[2π＋(2＋α)]1＋2sin (π－α)cos (α－π) (cos α－sin α)2 ＝ ＝ .cos α－ 1－cos 2α∵α 是第二象限角，∴sin α>0，cos α－sin α<0. sin α－cos αcos α－|sin α| 于是，原式＝ － ＝－1.cos α sin αT 5π π π 2π18．解：∵2＝ 6 － ＝ ，ω>0，∴T ＝π，ω＝ T ＝2.3 2 π π 2π ∵图象过点(3，0)，∴f (3)＝A sin ( 3 ＋φ)＝0， 2π∴ 3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， π令 k ＝0，得 φ＝3.又图象过点(0， )，由 A sin (2 × 0＋ )＝ 得，A ＝ 3. 2 3 2π∴所求表达式为 y ＝ sin (2x ＋3).19．解：(1)已知 α 是一个三角形的内角，∴0<α<π，sin α>0.3 24 2 － 2 22 2－ 4 7 2 －2 π2 π1 1 24由sin α＋cos α＝ ，得 1＋2sin αcos α＝ ，∴2sin αcos α＝－ ，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－5 25 2549 7 4 32sin αcos α＝ ，∴sin α－cos α＝ .∴sin α＝ ，cos α＝－ ，25 5 5 54∴tan α＝－ . 31 sin 2α＋cos 2αtan 2α＋1(－3)2＋1 251 25 (2) ＝ ＝ ＝ sin α cos α sin α cos α tan α 120．解：(1)列表(－3)2－1 ＝ .∴ ＝ .sin α cos α 7x π － 3 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 x π＋ 2 6 0 π 2π 3π 2 2π y3633π x π π 2π (2) 周期 T ＝4π，振幅 A ＝3，初相 φ＝6，由 ＋ ＝k π＋ ，得 x ＝2k π＋ (k ∈Z )即为对称轴方程；2 6 23π π(3) ①由 y ＝sin x 的图象上各点向左平移 φ＝6个长度单位，得 y ＝sin (x ＋6)的图象；②由 y ＝sin (x ＋6)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 y ＝sinx π(2＋6)的图象；x π③由 y ＝sin (2＋6)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变)，得 y ＝3sinx π(2＋6)的图象；x πx π④由 y ＝3sin (2＋6)的图象上各点向上平移 3 个长度单位，得 y ＝3sin (2＋6)＋3 的图象．7π π 3π 121．解：(1)依题意知，2× 6 ω＋3＝ 2 ⇒ω＝ .(2)由(1)知 f (x )＝sin (x ＋3)＋ ＋a ，32 3＋1 π π π 5π π 7π又当 x ∈[－3， 6 ]时，x ＋3∈[0， 6 ]，1 π故－2≤sin (x ＋3)≤1，π 5π 1 从而 f (x )在[－3， 6 ]上取最小值－2＋＋a . 1 3 因此－ ＋ ＋a ＝ 3，解得 a ＝ .222πππππ22．解：(1)由题意知 cos (2x －3)>0，∴2k π－2<2x －3<2k π＋2(k ∈Z )．即 k π－12<x <k π＋5ππ5π 12(k ∈Z )．故定义域为(k π－12，k π＋12)(k ∈Z )．π π2π π(2)由 2k π≤2x －3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，得 k π＋6≤x ≤k π＋ 3 (k ∈Z )．即 cos (2x －3)的单调π 2π 减区间为[k π＋6，k π＋ 3]ππ π π(k ∈Z )．由 2k π－π≤2x －3≤2k π(k ∈Z )，得 k π－3≤x ≤k π＋6(k ∈Z )．即 cos (2x －3)的单π π调增区间为[k π－3，k π＋6](k ∈Z )．π πππ5π∴函数 u ＝cos (2x －3)在(k π－12，k π＋6](k ∈Z )上是增函数，在[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )上 是减函数． ∴当 a >1 时，f (x )的单调增区间为 π π(k π－12，k π＋6](k ∈Z )． π 5π单调减区间为[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )．当 0<a <1 时，f (x )的单调增区间为π 5π[k π＋6，k π＋12)(k ∈Z )，单调减区间为π π(k π－12，k π＋6](k ∈Z )．(3)∵f (x )的定义域不关于原点对称， ∴函数 f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(4)∵f (x ＋π)＝log a cos [2(x ＋π)－3]＝log a cos (2x －3)＝f (x )．∴函数 f (x )的周期为 T ＝π.。
高中数学必修四(人教B版)练习：第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.2.3 Word版含解析
第一章 1.2 1.2.3一、选择题1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512[答案] B[解析] ∵α是第四象限角，cos α＝1213，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513.2．下列说法中，可能成立的一个为( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α为第四象限角，tan α＝－sin αcos α[答案] B[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴选项A 一定不成立，选项B 可能成立．选项C 中，tan α＝1，∴sin α＝cos α，∴cos α≠－1.选项D 中，应有tan α＝sin αcos α，故tan α＝－sin αcos α不成立．3．(2015·福建文，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512[答案] D[解析] 由sin α＝－513，且α为第四象限角，则cos α＝1－sin 2 α＝1213，则tan α＝sin αcos α＝－512，故选D ．4．若2sin α＝3cos α，则4sin α＋cos α5sin α－2cos α的值等于( )A ．1411B ．2C ．－109D ．1411或1019[答案] A[解析] ∵2sin α＝3cos α， ∴tan α＝32.∴4sin α＋cos α5sin α－2cos α＝4tan α＋15tan α－2＝4×32＋15×32－2＝1411. 5．(2015·河北行唐启明中学高一月考)若π2<α<π，化简1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α的结果是( )A ．－2tan αB ．2tan αC ．－2cot αD ．2cot α[答案] A[解析] ∵π2<α<π，∴cos α<0.∴1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α. 6．设sin α＋cos α＝－2，则tan α＋cot α的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2[答案] B[解析] (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，tan α＋cot α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.二、填空题7．化简：1－cos 24＝________. [答案] －sin4[解析] ∵4＝4×(180π)°≈229°12′，∴sin4<0， ∴1－cos 24＝sin 24＝－sin4.8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案]223[解析] ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.三、解答题9．已知3sin α－2cos α＝0，求下列各式的值． (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)sin 2α－2sinαcos α＋4cos 2α.[解析] (1)显然cos α≠0，∴tan α＝23，cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10.(2015·潍坊一中高一检测)已知sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，求sin x 、cos x 、tan x 的值．[解析] 将sin x ＋cos x ＝15两边平方得，1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425<0，又∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x －cos x >0. ∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝75，得⎩⎨⎧sin x ＝45cos x ＝－35.∴tan x ＝sin x cos x ＝－43.故sin x ＝45，cos x ＝－35，tan x ＝－43.一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C ．22D ．1[答案] A[解析] 由sin α－cos α＝2两边平方，得1－2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝－12.∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－12， ∴tan 2α＋2tan α＋1＝0， ∴(tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－1.2．已知α为第四象限角，则cos α·csc α·sec 2α－1的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 原式＝cos α·1sin α·|tan α|＝cot α·(－tan α)＝－1.3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A ．[0，π2)B ．[π2，π]C ．(π2，π)D ．[π，3π2][答案] B [解析] ∵1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α＝sin α－cos α， ∴sin α≥0，cos α≤0， 又∵α∈[0,2π)，∴α∈[π2，π]．4．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13[答案] A[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵是第三象限角，∴sin θcos θ＝23. 二、填空题5．已知sin αcos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________.[答案] －32[解析] ∵π4<α<π2，∴sin α>cos α，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－1－2×18＝－32.6．若sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5，π2<α<π，则m ＝________.[答案] 8[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3m ＋5>04－2mm ＋5<0(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝8，∴m ＝8. 三、解答题7．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2cos α－2sin α2cos α＋2sin α； (2)3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2α. [解析] ∵tan α＝2，∴cos α≠0.(1)原式＝2－2tan α2＋2tan α＝2－222＋22＝22－3.(2)原式＝3sin 2α－4sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α－4tan α＋1tan 2α＋1＝3×22－4×2＋122＋1＝1.8. 已知sin x ＋sin y ＝13，求u ＝sin y －cos 2x 的最值．[解析] ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .∴u ＝sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x＝13－sin x －1＋sin 2x ＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，u min ＝－1112，当sin x ＝－1时，u max ＝43.。
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本章测评(时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)172°等于( )A ．72 B.π10 C.3π10 D.2π52圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A.扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 3已知α＝π，则sin 2α＋cos 2α等于( ) A.π B ．0 C ．1 D ．无法确定4函数f (x )＝2sin(12x ＋π4)的周期、振幅、初相分别是( )A ．π、2、π4B ．4π、－2、－π4C ．4π、2、π4D ．2π、2、π85下列各式为正号的是( ) A ．cos2－sin2 B ．cos2·sin2 C ．tan2·sec2 D ．sin2·tan26(2009陕西高考卷，文2)若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.547(2009天津高考卷，理7)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度8方程x 2＝cos x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39如图所示，与函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象相对应的解析式是…… ( )A ．y ＝2sin(x 2－2π3)B ．y ＝2sin(x 2＋4π3)C ．y ＝2sin(x 2＋2π3)D ．y ＝2sin(x 2－π3)10函数y ＝|tan x |，y ＝tan x ，y ＝tan(－x )，y ＝tan|x |在(－3π2，3π2)上的大致图象依次是下图中的…( )A ．①②③④B ．②①③④C ．①②④③D ．②①④③二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11函数f (x )＝2sin(πx ＋14)的最小正周期是________．12函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是________．13(2009辽宁高考卷，文8改编)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________. 14arcsin0＋arcsin 12＋arcsin 22＋arcsin 32＋arcsin1＝________.15一束光线与玻璃成45°角，穿过折射率为1.5，厚度为1 cm 的一块玻璃，那么光线在玻璃内的行程是________cm.(折射率＝sin αsin β，其中α为入射角，β为折射角)三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)，求cos(5π6＋θ)和sin(2π3－θ)的值．17(10分)试求y ＝2sin(－3x ＋π4)的单调递减区间．18(10分)(2009福建高考卷，理18)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？19(11分)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(π8，2)，则此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(3π8，0)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)在如图所示的坐标系中，用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．参考答案1答案：D2解析：根据|α|＝l r ，知扇形的圆心角不变，由扇形面积S ＝12l ·r ，知S ′＝4S ，面积变为原来的4倍，故选B.答案：B 3答案：C4解析：由解析式f (x )＝2sin(12x ＋π4)，可知A ＝2，T ＝2π12＝4π，初相为π4，故选C.答案：C5解析：∵π2＜2＜3π4，∴sin2＞0，cos2＜0，sec2＜0，tan2＜0.∴cos2－sin2＜0，cos2·sin2＜0，tan2·sec2＞0，sin2·tan2＜0.答案：C6解析：2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.故选B. 答案：B7解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期是π，∴T ＝2πω＝πω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋π4)，g (x )＝cos2x ＝sin(π2＋2x )＝sin(2x ＋π4＋π4)＝sin[2(x ＋π8)＋π4]．∴要得到g (x )＝cos ωx 的图象，需将f (x )向左平移π8个单位．答案：A8解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与函数y ＝x 2的图象，可知有两个交点． 答案：C9解析：由题中图象可知A ＝2，T ＝8π3－(－4π3)＝4π，∴ω＝12，且x ＝0时y ＞0，故选C. 答案：C10解析：y ＝|tan x |对应的图象为①，y ＝tan x 对应的图象为②，y ＝tan(－x )对应的图象为④，y ＝tan|x |对应的图象为③.答案：C11解析：T ＝2ππ＝2.答案：212解析：由题意有φ＝π2＋k π(k ∈Z )，∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.答案：π213解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：4514解析： arcsin0＝0，arcsin 12＝π6，arcsin 22＝π4，arcsin 32＝π3，arcsin1＝π2，相加即得结果．答案：5π415解析：如图所示，α＝45°，∴1.5＝sin45°sin β.∴sin β＝23. 则cos β＝1－sin 2β＝73. 在△ABD 中，AD ＝1， 则cos β＝AD AB ＝1AB，∴AB ＝1cos β＝173＝377(cm)，即光线在玻璃中的行程为377 cm.答案：377 16分析：通过诱导公式建立已知角和未知角的联系，进而由已知求值．解：cos(5π6＋θ)＝cos[π－(π6－θ)]＝－cos(π6－θ)＝－a ；sin(2π3－θ)＝sin[π2＋(π6－θ)]＝cos(π6－θ)＝a .17分析：先由诱导公式转化为y ＝－2sin(3x －π4)，然后求y ＝－2sin(3x －π4)的递减区间即可．解：∵y ＝－2sin(3x －π4)，而y ＝－2sin(3x －π4)的单调递减区间即y ＝2sin(3x －π4)的单调递增区间．由2k π－π2≤3x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π3－π12≤x ≤2k π3＋π4(k ∈Z )． ∴y ＝2sin(－3x ＋π4)的单调递减区间为[2k π3－π12，2k π3＋π4](k ∈Z )．18解：(1)依题意，有A ＝23，T4＝3，T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4,3)．又P (8,0)， ∴MP ＝42＋32＝5.(2)如图，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.由余弦定理，得MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos ∠MNP ＝MP 2， 即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤(MN ＋NP 2)2，从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033.当且仅当MN ＝NP 时等号成立，亦即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．19分析：(1)最高点的纵坐标为A 的值，点(π8，2)与点(3π8，0)的横坐标的差是周期的四分之一，由此可确定ω，φ的值；(2)五点法的步骤是列表、描点和连线．解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×(3π8－π8)＝π，∵T ＝2π|ω|＝π，ω＞0，∴ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又曲线上的最高点为(π8，2)，∴sin(2·π8＋φ)＝1.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin(2x ＋π4)．(2)列出x 、y 的对应值表如下：作图如下：。