北师大版八年级下册数学-第六章综合达标测试卷
第六章综合达标测试卷(满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知，□ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠B的度数是(B)A．100°B．120°C．80°D．60°2．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若AE＝4，AF＝6，□ABCD 的周长为40，则□ABCD的面积为(D)A．24B．36C．40D．483．如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是(A)A．1<m<11B．2<m<22C．10<m<12D．5<m<64．如图所示，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(D)A．AO＝CO，BO＝DO B．AB＝CD，BC＝ADC．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD D．AD＝CB，∠1＝∠25．在周长为12 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，∠DOA>∠AOB，过点O作OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为(B)A．3 cm B．6 cmC．4.8 cm D．12 cm6．若一个多边形的每个内角都为135°，则它的边数为(A)A．8B．9C．10D．127．连接三角形三边中点所围成三角形的面积是原三角形面积的(B)A ．12B ．14C ．2倍D ．4倍8．某地需要开辟一条笔直隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100 m ，则隧道AB 的长度为( B )A ．3300 mB ．2200 mC ．1100 mD ．550 m9．一个六边形的六个内角都是120°(如图)，连续四条边的长依次为1,3,3,2，则这个六边形的周长是( C )A ．13B ．14C ．15D ．1610．如图，在□ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是( B )①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③S △BEC ＜2S △CEF ；④∠DFE ＝4∠AEF . A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．①②④二、填空题(每小题3分，共18分)11．在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，BE ＝3，若□ABCD 的周长是16，则EC ＝ 2 .12．如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则△ACE 的面积为 8 .13．在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC ＝4，BD ＝8，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，则EF ＝ 25 .14．如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB ＝AE ，若AE 平分∠DAB ，∠EAC ＝25°，则∠AED 的度数是 85 度．15．如图，□ABCD 的周长是103＋62，AB 的长是 53，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥CB 交CB 的延长线于点F ，DE 的长是3，则∠C ＝ 45° ，DF ＝ 526 .16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF ＝6 cm ，BF ＝12 cm ，∠FBM ＝∠CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1 cm/s 的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2 cm/s 的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动 3或5 秒时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ．∵∠FBM ＝∠CBM ，∴∠FBD ＝∠FDB ，∴FB ＝FD ＝12 cm.∵AF ＝6 cm ，∴AD ＝18 cm.∵点E是BC 的中点，∴CE ＝12BC ＝12AD ＝9 cm.要使以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，则PF ＝EQ 即可．设当点P 运动t 秒时， 以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．根据题意，得6－t ＝9－2t 或6－t ＝2t －9，解得t ＝3或t ＝5.三、解答题(共72分)17．(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，BD 的延长线交AC 于点F ，E 为BC 的中点，求DE 的长．解：∵AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，∴AB ＝AF ＝6 cm ，BD ＝DF ，∴CF ＝AC －AF ＝4 cm.∵BD ＝DF ，E 为BC 的中点，∴DE 为△BCF 的中位线，∴DE ＝12CF ＝2 cm.18．(6分)如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAE ＝∠DCF .求证：BE ＝DF .证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF .在△ABE 和CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ ∠BAE ＝∠DCF ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF (ASA)，∴BE ＝DF .19．(6分)如图，在平面直角坐标系中，A (0,20)，B 在原点，C (26,0)，D (24,20)，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 以3 cm/s 的速度向点B 运动，P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？并分别写出P 、Q 两点的坐标．解：由题意可知，运动时间为t s ，则AP ＝t ，PD ＝24－t ，CQ ＝3t .∵四边形PQCD 为平行四边形，∴PD ＝CQ ，∴24－t ＝3t ，解得t ＝6.即当t ＝6时，四边形PQCD 为平行四边形，此时AP ＝6，∴点P 的坐标为(6,20)，CQ ＝3t ＝18，∴点Q 的坐标为(8,0)．20.(8分)如图，小明从点O 出发，前进5 m 后向右转15°，再前进5 m 后又向右转15°，…，这样一直走下去，直到他第一次回到出发点O 为止，他所走的路径构成了一个多边形．(1)小明一共走了多少米？(2)这个多边形的内角和是多少度？解：(1)∵所经过的路线正好构成一个外角是15°的正多边形，∴360÷15＝24,24×5＝120(m)，故小明一共走了120 m ． (2)(24－2)×180°＝3960°，即这个多边形的内角和是3960度．21．(8分)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥CB ，且AD >BC ，BC ＝6 cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以1 cm/s 的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2 cm/s 的速度由点C 向点B 运动，几秒后四边形ABQP 为平行四边形？解：设点P 由点A 向点D 运动t 秒，则AP ＝t cm ，CQ ＝2t cm.∵BC ＝6 cm ，∴BQ ＝(6－2t ) cm.若四边形ABQP 为平行四边形，则AP 綊BQ ，∴6－2t ＝t ，解得t ＝2.即2秒后四边形ABQP 为平行四边形．22．(8分)如图，在□ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE .(1)求证：四边形AEBD 是平行四边形；(2)若BD ＝BC ＝5，CD ＝6，求□AEBD 的面积．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ∥BE ，∴∠ADF＝∠BEF .∵点F 是AB 的中点，∴AF ＝BF .在△ADF 和△BEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ ∠ADF ＝∠BEF ，∠AFD ＝∠BFE ，AF ＝BF ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD ＝BE .又∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形． (2)解：作DG⊥BC 于点G ，BH ⊥CD 于点H .∵BD ＝BC ＝5，CD ＝6，∴CH ＝DH ＝12CD ＝3，∴BH ＝BC 2－CH 2＝52－32＝4.∵S △BCD ＝12BC ×DG ＝12CD ×BH ，∴DG ＝CD ×BH BC ＝6×45＝245.∵四边形AEBD 是平行四边形，∴BE ＝AD ，∴BE ＝BC ＝5，∴S □AEBD ＝BE ×DG ＝5×245＝24. 23．(8分)如图，以BC 为底边的等腰△ABC ，点D 、E 、G 分别在BC 、AB 、AC 上，且EG ∥BC ，DE ∥AC ，延长GE 至点F ，使得BE ＝BF . (1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；(2)当∠C ＝45°，BD ＝2时，求D 、F 两点间的距离．(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC ＝∠C ．∵EG ∥BC ，DE ∥AC ，∴∠AEG ＝∠ABC ＝∠C ，四边形CDEG 是平行四边形，∴∠DEG ＝∠C ．∵BE ＝BF ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝∠AEG ＝∠ABC ，∴∠F ＝∠DEG ，∴BF ∥DE ，∴四边形BDEF 为平行四边形．(2)解：∵∠C ＝45°，∴∠ABC ＝∠BFE ＝∠BEF ＝45°，∴△BDE 、△BEF 是等腰直角三角形，∴BF ＝BE ＝22BD ＝ 2.作FM ⊥BD 于点M ，连接DF ，如图所示．则△BFM 是等腰直角三角形，∴FM ＝BM ＝22BF ＝1，∴DM ＝3.在Rt △DFM 中，由勾股定理，得DF ＝12＋32＝10，即D 、F 两点间的距离为10.24．(10分)(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接FE 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N .求证：∠BME ＝∠CNE ；(2)解：如图2，在△ABC 中，F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线FE 交BA 的延长线于点G ，若AB ＝DC ＝2，∠FEC ＝45°，求FE 的长度．图1图2(1)证明：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH 、FH .∵E 、H 分别是AD 、BD 的中点，∴EH ∥AB ，EH ＝12AB ，∴∠BME ＝∠HEF .∵F 、H 分别是BC 、BD 的中点，∴FH ∥CD ，FH ＝12CD ，∴∠CNE ＝∠HFE .∵AB ＝CD ，∴HE ＝FH ，∴∠HEF ＝∠HFE .∴∠BME ＝∠CNE . (2)解：连接BD ，取DB 的中点H ，连接EH 、FH .∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴EH＝12AB ，FH ＝12CD ，FH ∥AC ，∴∠HFE ＝∠FEC ＝45°.∵AB ＝CD ＝2，∴HF ＝HE ＝1，∴∠HEF ＝∠HFE ＝45°，∴∠EHF ＝180°－∠HFE －∠HEF ＝90°，∴EF ＝HE 2＋HF 2＝12＋12＝ 2.25．(12分)已知Rt △ABC ，分别以它的直角边AC 和斜边AB 向外作等边△ACD 和等边△ABE ，且∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为点F ，连接DF .(1)如图1，求证：四边形AEFD 是平行四边形；(2)如图2，连接EC 和BD 相交于点G ，请直接写出图中与∠EGD 相等的所有角(∠EGD 除外)．图1图2(1)证明：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°.∵△ACD 、△ABE 是等边三角形，∴∠DAC ＝∠BAE ＝∠F AE ＝60°，AB ＝AE ，AC ＝AD ．∵EF ⊥AB ，即∠AFE ＝90°，∴△AEF 是直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △EAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠CBA ＝∠F AE ，∠BCA ＝∠AFE ＝90°，BA ＝AE ，∴Rt △ABC≌Rt △EAF (AAS)，∴EF ＝AC ＝AD ．∵∠DAB ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°＋30°＝90°，∴∠DAB ＝∠AFE ，∴AD ∥EF ，∴四边形ADFE 是平行四边形．(2)解：∠EGD ＝∠BGC ＝∠EBC ＝∠BFD ．理由：∵∠EGD ＝∠BGC (对顶角相等)，四边形AEFD 是平行四边形，∠AEF ＝30°.∴∠ADF ＝∠AEF ＝30°.∵△ADC 是等边三角形，∴∠DAC ＝60°.∵∠CAB ＝30°，∴∠DAF ＝60°＋30°＝90°，∴∠BFD ＝∠DAF ＋∠ADF ＝120°.∵△ABE 是等边三角形，∴∠ABE ＝60°.∵∠ABC ＝180°－90°－30°＝60°，∴∠EBC ＝60°＋60°＝120°，∴∠EBC ＝∠BFD ．∵四边形AEFD 是平行四边形，△ABE 和△ADC 是等边三角形，∴AE ＝BE ＝DF .∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ．∵AF ＝BF ＝12AB ，∴BF ＝BC ．在△EBC 和△DFB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ BE ＝FD ，∠EBC ＝∠DFB ，BC ＝FB ，∴△EBC ≌△DFB (SAS)，∴∠BEC＝∠BDF ，∴∠EGD ＝360°－∠EAD －∠ADF －∠BDF －∠AEF －∠CEF ＝360°－∠EAD －∠ADF－∠BEC－∠AEF－∠CEF＝360°－∠EAD－∠ADF－∠AEF－∠BEF＝360°－(60°＋30°＋60°)－30°－30°－30°＝120°，∴∠EGD＝∠BGC＝∠EBC＝∠BFD．。
2020-2021学年北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练(五)
北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练（五）1．如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．2．如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．3．数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD ＝AC+CD，那么AB＝AC吗？悦悦的思考：①如图，延长DB至点E，使BE＝BA，延长DC至点F，使CF＝CA，连接AE、AF．②由AD是EF的垂直平分线，易证∠E＝∠F．③由∠E＝∠F，易证∠ABC＝∠ACB．④得到AB＝AC．如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．求证：四边形ABCD是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E，F，G分别是线段AB，OD，OC的中点，若AD＝2，CD＝．（1）求△AOD的面积；（2）求证：EF∥BG．6．图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．（1）求证：AC、EF互相平分；（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．7．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＝45°，求证：AF+FO＝EG．8．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．9．如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F 为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝15cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，求CH的长．10．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，E为AC中点，CH平分∠ACB，连接BE交CH于G，过点A做AD⊥AB交BE的延长线于点D．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，直接写出图中与AG相等的线段．参考答案1．（1）证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA＝∠FEC＝90°，∵∠FAC＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，在Rt△AEB和Rt△FEC中，，∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），∴BE＝CE，∴∠CBE＝∠BCE＝45°，∵AD⊥AF，∴∠FAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：与∠ABE相等的角有：∠CHB、∠BCH、∠BAD、∠FCA、∠CFA；理由如下：由（1）得：Rt△AEB≌Rt△FEC，四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠CFE，∠BCH＝∠BAD，AB∥CD，∴∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，∵AB平分∠FAC，∴∠BAC＝∠BAF，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF（AAS），∴BC＝BF，AC＝AF，∴∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，∵∠ABE＝∠AFE+∠BAF，∴∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠BAE．2．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理：△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EFGH是菱形．3．如图①，解：AB＝AC，理由如下：延长DB至点E，使BE＝BA，延长DC至点F，使CF＝CA，连接AE、AF．则∠BAE＝∠E，∠CAF＝∠F，∵AB+BD＝AC+CD，∴BE+BD＝CF+CD，即DE＝DF，∴AD是EF的垂直平分线，∴AE＝AF，∴∠E＝∠F，∴∠E＝∠F＝∠BAE＝∠CAF，∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∠ACB＝∠F+∠CAF，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．如图②，证明：在DA的延长线上取点M，使AM＝AB，在BC的延长线上取点N，使CN＝CD，连接BM、DN，则∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN，∵AB+AD＝CD+CB，且AM＝AB，CN＝CD，∴AM+AD＝CN+CB，即DM＝BN，又∵AD∥BC，∴四边形MBND是平行四边形，∴MB＝ND，∠M＝∠N，∴∠ABM＝∠CDN，在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM＝CN，∵DM＝BN，∴DM﹣AM＝BN﹣CN，即AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．4．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠AFD，∵AD＝DF，∴∠DAE＝∠AFD，∴∠BAE＝∠DAE，即AE平分∠BAD；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DF，AB＝DC，AD＝BC，∵点E为BC中点，∴BE＝EC＝＝2，∵AD＝DF＝4，∴CD＝AB＝2，∵∠B＝60°，∴BC边的高是，∴▱ABCD的面积＝4．5．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝，OB＝OD，∵AD⊥BD，∴BD＝＝＝3，∴OD＝BD＝，∴△AOD的面积＝AD×OD＝×2×＝；（2）证明：连接GF，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点E，F，G分别是线段AB，OD，OC的中点，∴BE＝AB，GF是△OCD的中位线，∴GF∥CD，GF＝CD，∴GF∥BE，GF＝BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG．6．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．又∵BE＝DF，∴AB+BE＝DC+DF，即AE＝CF．∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AC、EF互相平分．（2）四边形AECF是菱形．证明：∵AB∥DC，∴∠AEO＝∠CFO．∵EF平分∠AEC，∴∠AEO＝∠CEO．∴∠CEO＝∠CFO．∴CE＝CF．∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．7．解：（1）连接BD，∵平行四边形ABCD，∴BD过点O，＝BC•OE＝×5×3＝∴S△OBC∴平行四边形ABCD的面积＝4S＝30；△OBC（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，∵OE⊥BC，∴∠OEG+∠GEC＝∠GEC+∠CEH＝90°，∴∠OEG＝∠CEH，∵∠ACB＝45°，∴∠COE＝45°，∴OE＝CE，∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，又FG⊥AB，∴FG⊥CD，∴∠EOG+∠ECG＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵∠ECH+∠ECG＝180°，∴∠EOG＝∠ECH，∴△OEG≌△CEH（ASA），∴OG＝CH，EG＝EH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAF＝∠OCG，∵∠AOF＝∠COG，∴△OAF≌△OCG（ASA），∴AF＝CG，OF＝OG，∵CG+CH＝GH，∴AF+OF＝GH，∵∠GEH＝90°，EG＝EH，∴GH＝，∴AF+OF＝EG．8．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）证明：连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．9．（1）证明：如图，连接AC交BD于点O∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AO＝CO，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴EO＝FO，∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝16，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴BD＝16+9＝25，＝2××25×12＝AB×CH＝20CH，∴S▱ABCD＝2S△ABD∴CH＝15．10．（1）证明：∵AC＝BC，CH平分∠ACB，∴CH⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CH，∴∠ADE＝∠CGE，∵E为AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE＝GE，又∵AE＝CE，∴四边形AGCD为平行四边形；（2）解：与AG相等的线段有：AD、CD、CG、BG，理由如下：∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵E为AC中点，∴BE⊥AC，由（1）得：四边形AGCD为平行四边形，∴四边形AGCD为菱形，∴AD＝CD＝CG＝AG，∵CH平分∠ACB，∴CH⊥AB，CH平分AB，∴BG＝AG，∴AD＝CD＝CG＝AG＝BG．。
北师大版八年级数学下册第六章学情评估 附答案 (3)
北师大版八年级数学下册第六章学情评估一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分)1．正十九边形的外角和为( )A．180°B．360°C．720°D．1 260°2．关于平行四边形，下列说法正确的是( )A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是轴对称图形，但不是中心对称图形C．不是轴对称图形，但是中心对称图形D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．在▱ABCD中，下列结论一定正确的是( )A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C4．如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－1，3)，C(－2，－1)，找一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是以下( )A．(2，4) B．(－4，2)C．(0，－4) D．(－3，2)(第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 5．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD的周长为( )A．5 B．7C．10 D．146．如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，∠ABD＝30°，AC与BD交于点O，AO＝1，则BC 的长为( )A.7B. 5 C．3 D．2 27．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE等于( )A．60°B．81°C．78°D．80°8．如图，在边长为12的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝12CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF，DF，M，N分别为EF，DF 的中点，连接MN，则MN的长为( )A. 3 B．2C．2 3 D．4(第8题) (第9题) (第10题)二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)9．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，AB与CD的大小关系为________．10．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝________ cm.11．一个正多边形的外角为72°，则过该正多边形一个顶点的对角线有________条．12．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE 的度数为 ________．(第12题) (第13题)13．一机器人以0.5 m/s的速度在平地上按如图所示的要求行走，则该机器人从开始到停止所需时间为________s.三、解答题(共13小题，计81分)14．(5分)一个多边形的外角和是它的内角和的29，求这个多边形的边数和内角和．15．(5分)如图，已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE ＝DF.求证：四边形AECF为平行四边形．(第15题)16．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：AE＝CF.(第16题)17．(5分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC上的点，连接BE，DE，∠ADE＝∠AED，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．求证：FG＝FH.(第17题)18．(5分)如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，且DC∥AB，DC＝AB，DE＝FB.求证：∠ECF＝∠FAE.(第18题)19．(5分)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，连接BD，E是BC延长线上一点，连接DE，且BD＝DE，∠E＝∠ADB，求证：∠A＝∠BCD.(第19题)20．(5分)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，连接AF，BD.(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)求证：四边形ABDF是平行四边形．(第20题)21．(6分)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD 上，满足∠EAO＝∠DCO.(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．(第21题) 22．(7分)如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.(1)求证：AB＝AE；(2)若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．(第22题)23．(7分)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD 及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)求证：AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．(第23题)24．(8分)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为多少？(第24题)25．(8分)如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．(第25题)26．(10分)在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC 交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E.(1)[问题证明]当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC.(2)[类比探究]当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．(3)[解决问题]若AC＝6，DE＝4，则DF＝________．(第26题)答案一、1.B 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A 7.B8．A 提示：∵BC＝12，BD＝12 CD，∴BD＝4.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝12BD＝2，由勾股定理得DE＝BD2－BE2＝42－22＝2 3. ∵M，N分别为EF，DF的中点，∴MN＝12DE＝ 3.二、9.AB＝CD10.73 11.2 12.25°13.144三、14.解：设这个多边形是n边形，由题意得29×180°(n－2)＝360°，解得n＝11.(11－2)×180°＝1 620°.∴这个多边形的边数是11，其内角和为1 620°. 15．证明：连接对角线AC交对角线BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BCF .∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠BFC ＝90°，在△DEA 与△BFC 中，⎩⎨⎧∠DEA ＝∠BFC ，∠DAE ＝∠BCF ，AD ＝CB ，∴△DEA ≌△BFC (AAS)，∴AE ＝CF .17．证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE .∵AB ＝AC ，∴AB －AD ＝AC －AE ，即BD ＝CE .∵F ，G ，H 分别为BE ，DE ，BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG ＝12BD ，FH ＝12CE ， ∴FG ＝FH .18．证明：连接AC 交BD 于O ，如图所示．∵DC ∥AB ，DC ＝AB ，(第18题)∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵DE ＝FB ，又∵OA ＝OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴∠ECF ＝∠FAE .19．解：∵BD ＝DE ，∴∠E ＝∠DBE .∵∠E ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴AD ∥BC .又∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠BCD .20．证明：(1)∵BE ＝FC ，∴BE ＋EC ＝FC ＋EC ，∴BC ＝FE .在△ABC 和△DFE 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，BC ＝FE ，AC ＝DE ，∴△ABC ≌△DFE (SSS)．(2)由(1)得，△ABC ≌△DFE ，∴∠ABC ＝∠DFE ，∴AB ∥DF .又∵AB ＝DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形．21．(1)证明：在△AOE 和△COD 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠DCO ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COD ，∴△AOE ≌△COD (ASA)，又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．(2)解：∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC.∴∠COD＝90°.∵AC＝8，∴CO＝12AC＝4.在Rt△COD中，由勾股定理，得OD＝CD2－CO2＝52－42＝3，∴DE＝2OD＝6，∴S四边形AECD＝12AC×DE＝12×8×6＝24.22．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD, AB∥CD，∴∠E＝∠DCF.∵F是AD的中点，∴AF＝DF.∵∠EFA＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC，∴AE＝CD，∴AB＝AE.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵F是AD的中点，∴AF＝DF＝12AD，∴AF＝12BC.∵BC＝2AE，∴AE＝AF.∵∠E＝31°，∴∠AFE ＝∠E ＝31°，∴∠DAB ＝∠AFE ＋∠E ＝62°.23．证明：(1)∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB ＝2AF .∴AF ＝BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，⎩⎨⎧AF ＝BC ，AE ＝BA ，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA (HL)，∴AC ＝EF .(2)∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°.又∵EF ⊥AB ，∴∠EFA ＝90°.∴EF ∥AD .∵AC ＝EF ，AC ＝AD ，∴EF ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．24．解：连接EF ，设AE 与BF 交于点O ，∵AB ＝AF ，AO 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，AO ⊥BF ，BO ＝FO ＝12BF ＝3. ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AF ∥BE ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB ＝EB ，而BO ⊥AE ，∴AO ＝OE ，在Rt △AOB 中，AO ＝AB 2－OB 2＝52－32＝4， ∴AE ＝2AO ＝8.25．(1)证明：∵BD 垂直平分AC ，∴AB ＝BC ，AD ＝DC .在△ADB 与△CDB 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，AD ＝DC ，DB ＝DB ，∴△ADB ≌△CDB (SSS)，∴∠BCD ＝∠BAD .∵∠BCD ＝∠ADF ，∴∠BAD ＝∠ADF ，∴AB ∥FD .∵BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABDF 是平行四边形，AF ＝DF ＝5， ∴AB ＝BD ＝5.设BE ＝x ，则DE ＝5－x ，∵BD ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠AED ＝90°，∴AB 2－BE 2＝AD 2－DE 2，即52－x 2＝62－(5－x )2，解得x ＝75， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝245， ∴AC ＝2AE ＝485. 26．(1)证明：∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF＝DE.∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝BF，∴DE＋DF＝AB＝AC.(2)解：图②中：AC＋DE＝DF.图③中：AC＋DF＝DE.(3)解：2或10。
北师大版数学八年级下册：第六章 平行四边形 阶段测试(6.1-6.2)(附答案)
第六章平行四边形阶段测试（6.1-6.2）（时间：40分钟满分：100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．对边相等2．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点．若∠1＝55°，则∠D的度数为（）A．125°B．120°C．115°D．110°3．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为（）A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，添加下列条件不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（）A．AD＝BCB．OA＝OCC．∠ABC＋∠BCD＝180°D．AB＝CD第4题图第5题图5．如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°6．如图，在▱ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有平行四边形（）A．4个B．5个C．8个D．9个第6题图第7题图7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°8．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）A．12 B．15 C．18 D．21第8题图第9题图9．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE 的长为（）A.32 B.32 C.217 D.221710．如图，已知▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°.则下列结论：①四边形ABFE 为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③▱ABCD与▱DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（每小题4分，共20分）11．在▱ABCD中，已知∠A－∠B＝60°，则∠C＝．12．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为14.第12题图第13题图13．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是．14．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF 的周长是．第14题图第15题图15．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出种平行四边形．三、解答题（共50分）16．（10分）如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．17．（12分）如图，将▱ABCD的对角线AC分别向两个方向延长至点E，F，且AE＝CF，连接BE，DF.求证：BE＝DF.18．（14分）提出命题：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．小明提供了如下证明过程：证明：连接BD.∵∠1＋∠3＝180°－∠A，∠2＋∠4＝180°－∠C，∠A＝∠C，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3.∴AB∥CD，AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．反思交流：（1）请问小明的解法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请写出正确的证明过程；（2）用语言叙述上述命题．运用探究：下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶3∶1∶3C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶3∶2D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶1∶3∶319．（14分）如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC＝60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE 上一点，EF＝EB，G为BD延长线上一点，BG＝AB，连接GE.（1）若▱ABCD的面积为93，求AB的长；（2）求证：AF＝GE.参考答案：一、选择题（每小题4分，共40分）1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（A）A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．对边相等2．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点．若∠1＝55°，则∠D的度数为（A）A．125°B．120°C．115°D．110°3．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为（B）A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，添加下列条件不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（D）A．AD＝BCB．OA＝OCC．∠ABC＋∠BCD＝180°D．AB＝CD第4题图第5题图5．如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于（D）A．100°B．80°C．60°D．40°6．如图，在▱ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有平行四边形（D）A．4个B．5个C．8个D．9个第6题图第7题图7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A等于（C）A．80°B．90°C．100°D．110°8．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（C）A．12 B．15 C．18 D．21第8题图第9题图9．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE 的长为（D）A.32 B.32 C.217 D.221710．如图，已知▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°.则下列结论：①四边形ABFE 为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③▱ABCD与▱DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的有（B）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（每小题4分，共20分）11．在▱ABCD中，已知∠A－∠B＝60°，则∠C＝120°．12．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为14.第12题图第13题图13．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是AF＝CE（答案不唯一）．14．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF 的周长是8_cm．第14题图第15题图15．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出3种平行四边形．三、解答题（共50分）16．（10分）如图，已知在四边形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，AE ＝CF ，BF ＝DE ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°. 在△AED 和△CFB 中，⎩⎨⎧DE ＝BF ，∠AED ＝∠CFB ，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB （SAS ）． ∴AD ＝BC ，∠ADE ＝∠CBF. ∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形．17．（12分）如图，将▱ABCD 的对角线AC 分别向两个方向延长至点E ，F ，且AE ＝CF ，连接BE ，DF.求证：BE ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∴∠BCE ＝∠DAF. ∵AE ＝CF ，∴CA ＋AE ＝AC ＋CF ，即CE ＝AF.在△BCE 和△DAF 中，⎩⎨⎧BC ＝DA ，∠BCE ＝∠DAF ，CE ＝AF ，∴△BCE ≌△DAF （SAS ）． ∴BE ＝DF.18．（14分）提出命题：如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，∠ABC ＝∠ADC ，求证：四边形ABCD 是平行四边形． 小明提供了如下证明过程：证明：连接BD.∵∠1＋∠3＝180°－∠A，∠2＋∠4＝180°－∠C，∠A＝∠C，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3.∴AB∥CD，AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．反思交流：（1）请问小明的解法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请写出正确的证明过程；（2）用语言叙述上述命题．运用探究：下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（B）A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶3∶1∶3C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶3∶2D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶1∶3∶3解：（1）正确．理由如下：∵∠1＋∠3＝180°－∠A，∠2＋∠4＝180°－∠C，∠A＝∠C，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.①∵∠ABC＝∠ADC，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4，②由①②相加、相减，得∠1＝∠4，∠2＝∠3.∴AB∥CD，AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．19．（14分）如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC＝60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE 上一点，EF＝EB，G为BD延长线上一点，BG＝AB，连接GE.（1）若▱ABCD的面积为93，求AB的长；（2）求证：AF＝GE.解：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD. ∵∠BDC ＝60°， ∴∠ABD ＝60°.∵BD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ＝90°. ∴∠DAB ＝30°.∴在Rt △ADB 中，BD ＝12AB ，AD ＝AB 2－BD 2＝32AB.∵S ▱ABCD ＝AD·BD ＝34AB 2＝93，∴AB ＝6. （2）证明：连接BF.∵AE ，BE 分别平分∠BAD ，∠DBC ，∴∠BAE ＝12∠BAD ＝15°，∠DBE ＝12∠DBC ＝45°.∵∠ABE ＋∠BAE ＋∠AEB ＝180°，∠ABE ＝∠ABD ＋∠DBE ＝105°， ∴∠AEB ＝60°.∵EF ＝BE ，∴△BFE 为等边三角形． ∴BE ＝BF ，∠FBE ＝60°.∴∠ABD ＝∠FBE ＝60°.∴∠ABF ＝∠GBE.在△ABF 和△GBE 中，⎩⎨⎧AB ＝GB ，∠ABF ＝∠GBE ，BF ＝BE ，∴△ABF ≌△GBE （SAS ）． ∴AF ＝GE.。
初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形3.三角形的中位线-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，选B．2.【答题】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD 的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】D【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE AD，同理，PF BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°，选D．3.【答题】如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CE CD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵DE是△ABC的中位线，BF＝20，∴DE BF＝10，∵CE CD，∴CD DE＝8，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝16，选D.4.【答题】如图，△ABC中，N是BC边上的中点，AM平分∠BAC，BM⊥AM于点M，若AB＝8，MN＝2．则AC的长为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】延长BM交AC于D，如图所示：∵BM⊥AM于点M，∴∠AMB＝∠AMD＝90°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠DAM，在△BAM和△DAM中，，∴△BAM≌△DAM（ASA）．∴AD＝AB＝8，BM＝MD，∵N是BC边上的中点，∴MN为△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+DC＝8+4＝12．选C．5.【答题】如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（）A. 2B. 5C. 4D. 10【答案】A【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】如图，过A作AH⊥BC于H.∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF＝HF，∴DF AH，∵△DFE的面积为1，∴DE•DF＝1，∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，∴AB•AC＝8，∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE AC，∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），∴AC＝4，∴BC．选A．6.【答题】如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A'B于点F，连接A'E．当△A'EF为直角三角形时，AB的长为______．【答案】或2【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图，∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A'EF，∴∠ACB＝∠A'EC，∴∠A'CB＝∠A'EC，∴A'C＝A'E＝2，在Rt△A'CB中，E是斜边BC的中点，∴BC＝2AE'＝4，由勾股定理可得AB2＝BC2﹣AC2，∴AB；②当∠A'FE＝90°时，如图，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2．综上，AB的长为或2．故答案为或2．7.【答题】如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为______．【答案】2【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．故答案为2．8.【答题】如图，△ABC的周长为16，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，M，N，P分别为DE，EF，DF的中点，则△MNP的周长为______．如果△ABC，△DEF，△MNP分别为第1个，第2个，第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是______．【答案】4；【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵△ABC的周长为16，D、F、E分别为AB、AC、BC的中点，∴EF、DF、DE为三角形中位线，∴EF AB，DE AC，DF BC，∴EF+DE+DF（AB+AC+BC），即△DEF的周长是△ABC周长的一半，同理，△MNP的周长是△DEF的周长的一半，即△MNP的周长＝△ABC的周长的16＝4，以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的16＝，故答案为4；．9.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．【答案】（1）见解答；（2）当∠A＝90°时，FG⊥FH．理由见解答. 【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】（1）证明：∵AB＝AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴DB＝EC，∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG BD，FH CE，∴FG＝FH；（2）解：如图，延长FG交AC于N，∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FH∥AC，FN∥AB，∵FG⊥FH，∴∠A＝90°，∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．10.【题文】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）；（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．【答案】（1）见解答；（2）2.【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】（1）证明：在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA），∴BE＝ED，AD＝AB，∵BE＝ED，BF＝FC，∴EF CD（AC﹣AD）（AC﹣AB）；（2）解：如图，分别延长BE、AC交于点H，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AED（ASA），∴BE＝EH，AH＝AB＝9，∵BE＝EH，BF＝FC，∴EF CH（AH﹣AC）＝2．11.【答题】如图，在中，，分别是，的中点，，是上一点，连接，，．若，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出FE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】，，，；，分别是，的中点，为的中位线，，选B．12.【答题】如图，的周长为，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为32，及BC=12，可得DE=8，利用中位线定理可求出PQ．【解答】平分，，.，，，，同理，点是的中点，点是中点（三线合一），是的中位线，，，．选C．13.【答题】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A. 50°B. 25°C. 15°D. 20°【答案】B【分析】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．【解答】在四边形ABCD中，∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM AB，PN DC，PM∥AB，PN∥DC．∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=∠PNM．∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN25°．选B．14.【答题】已知，四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A. 1＜MN＜5B. 1＜MN≤5C. ＜MN＜D. ＜MN≤【答案】D【分析】本题考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解．当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．【解答】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，∴＜MN＜，当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是＜MN≤．选D．15.【答题】如图，点、、分别是的边、、的中点，连接、、得，如果的周长是，那么的周长是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．由于D、E分别是AB、BC中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．【解答】、分别是的边、的中点，，同理，，．选B．16.【答题】如图，中，是的中点，平分，于点，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．延长BD交AC于H，证明△ADB≌△ADH，根据全等三角形的性质得到AH=AB=12，BD=DH，求出HC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】延长交于，平分，，，，，是中点，，，选C．17.【答题】如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可.【解答】，，，分别是，，中点，是的中位线，是的中位线，，，，．又，，，，，，．选A．18.【答题】已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为1：22，以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，∵周长为1，∴第2012个三角形的周长为1：22011．选C．19.【答题】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm【答案】B【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC；又∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴AB=2OE=2×3=6（cm），选B．20.【答题】如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为______．【答案】18【分析】本题考查是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到DF=8，根据EF=1，得到DE=9，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】，点是的中点，，，，、分别是，的中点，，故答案为．。
(北师大版)上海市八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB=6，BC=10，则EF 长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.52．如图，在ABCD 中，4CD =，60B ︒∠=，:2:1BE EC =，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．122C ．123D ．1253．正多边形的每个外角为60度，则多边形为（ ）边形． A ．4 B ．6C ．8D ．104．如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE =4，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．25．如图，设M 是ABCD 边AB 上任意一点，设AMD ∆的面积为1S ，BMC ∆的面积为2S ，CDM ∆的面积为S ，则（ ）A ．12S S S =+B ．12S S S >+C ．12S S S <+D ．不能确定6．如图，平行四边形ABCD 的周长是56cm ，ABC ∆的周长是36m ，则AC 的长为( )A ．6cmB ．12cmC ．4cmD ．8cm7．已知在四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN的取值范围是（ ）A ．14MN <<B ．14MN <≤C ．28MN <<D ．28MN <≤8．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35° 9．若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1610．有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②345③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形．正确的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 11．已知长方形的长和宽分别为a 和b ，其周长为4，则222a ab b ++的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1612．如图，若ABCD 的顶点O ,A ,B 的坐标分别为()0,0，()4,0-，()5,3-，则顶点C 的坐标为（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()4,1--D ．()5,1-二、填空题13．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．14．如图，ABC 的中线AD 与高CE 交于点F ，AE EF =，2FD =，24ACF S =△，则AB 的长为__________．15．如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝4，BC ＝10，则EF 的长为_____．16．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，点F 分别是BM ，CM 中点，若EF ＝6，则AM 的长为_____．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13 cm ，BC ＝12 cm ，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为E ，点F 是BC 的中点，则EF ＝______cm ．18．现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有___________（填序号）．19．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，已知∠DAB＝60°，A（﹣2，0），点P 在AD上，连接PO，当OP⊥AD时，点P到y轴的距离为_____．20．如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=6，AB=12，则AE的长为_______.三、解答题21．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点求证：2AM＝BE22．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE ＝6，CE＝8，AE＝10．（1）求AB的长；（2）求平行四边形ABCD的面积；．23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AB、CD边上，且AE CF求证：四边形BFDE是平行四边形．24．已知，在四边形ABCD 中，160A C ︒∠+∠=，BE ，DF 分别为四边形ABCD 的外角CBN ∠，MDC ∠的平分线．（1）如图1，若//BE DF ，求C ∠的度数；（2）如图2，若BE ，DF 交于点G ，且//BE AD ，//DF AB ，求C ∠的度数． 25．如图，已知：AB ∥CD ，BE ⊥AD ，垂足为点E ，CF ⊥AD ，垂足为点F ，并且AE=DF ． 求证：四边形BECF 是平行四边形．26．如图，E F 、是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE CF =.（1）证明：四边形BFDE 是平行四边形；（2）延长BF 交CD 于G ，若AE EF FC ==，证明：点G 是CD 的中点.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC ∠=∠，由角平分线可得ABF FBC ∠=∠，所以AFB ABF ∠=∠，所以6AF AB ==，同理可得6DE CD ==，则根据EF AF DF AD =+-即可求解． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，10AD BC ==，6DC AB ==， ∴AFB FBC ∠=∠， ∴BF 平分ABC ∠， ∴ABF FBC ∠=∠， ∴AFB ABF ∠=∠， ∴6AF AB ==， 同理可得6DE DC ==，∴66102EF AF DE AD =+-=+-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．2．C解析：C 【分析】由作图痕迹可得EF 为AB 的中垂线，结合60B ∠=︒判断出△ABE 为等边三角形，从而结合边长求出ABCD 在BC 边上的高为BC 的长度，最终计算面积即可． 【详解】设尺规作图所得直线与AB 交于F 点，根据题意可得EF 为AB 的中垂线， ∴AE=BE ， 又∵60B ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形，边长AB=CD=4，∴BF=2，BE=4，EF ==∴ABCD 在BC 边上的高为又∵:2:1BE EC =，BE=4， ∴EC=2，BC=2+4=6， ∴ABCDS=故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键．3．B解析：B【分析】利用多边形的外角和360除以外角60得到多边形的边数．【详解】=6，多边形的边数为36060故选：B．【点睛】此题考查多边形的外角和定理，正多边形的性质，利用外角和除以外角的度数求正多边形的边数是最简单的题型．4．A解析：A【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，AD//BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD//BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC=AB，∵AD=2AB=2CD，CD=DE，∴AD=2DE，∴AE=DE=4，∴DC=AB=DE=4，故选A．本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定的应用，关键是求出DE=AE=DC ．5．A解析：A 【分析】如图（见解析），过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ，先根据平行四边形的判定可得四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得． 【详解】如图，过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ， 四边形ABCD 是平行四边形，//,//AB CD AD BC ∴，////AD BC MN ∴，∴四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，12,DMNCMN SS SS ∴==， 12DMNCMNS S SS S ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．6．D解析：D 【分析】ABC ∆的周长=AB+BC+AC ，而AB+BC 为平行四边形ABCD 的周长的一半，代入数值求解即可． 【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ，AD=BC ，∵▱ABCD 的周长是56cm ， ∴AB+BC=28cm ，∵△ABC 的周长是36cm ， ∴AB+BC+AC=36cm ， ∴AC=36cm−28cm=8cm. 故选D ．本题考查了平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．7．B解析：B 【分析】利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN 的取值范围． 【详解】连接BD ，过M 作MG ∥AB ，连接NG ． ∵M 是边AD 的中点，AB=3，MG ∥AB ， ∴MG 是△ABD 的中位线，BG=GD ，1322MG AB ==； ∵N 是BC 的中点，BG=GD ，CD=5， ∴NG 是△BCD 的中位线，1522NG CD ==， 在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG-MG ＜MN ＜MG+NG ，即53532222MN -<<+， ∴14MN <<，当MN=MG+NG ，即MN=4时，四边形ABCD 是梯形， 故线段MN 长的取值范围是1＜MN≤4． 故选B ． 【点睛】解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．8．A解析：A 【分析】由▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，可得到AD ＝DE 即△ADE 是等腰三角形，再由且∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，即可求出∠DAE 的度数． 【详解】∵▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且CD ＝CD ， ∴AD ＝DE ， ∵∠DAE ＝∠DEA ， ∵∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，∴∠ADC ＝120°，∠CDE ═∠F ＝100°， ∴∠ADE ＝360°﹣120°﹣100°＝140°， ∴∠DAE ＝（180°﹣140°）÷2＝20°， 故选A ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．9．C解析：C 【解析】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解：∵一个正多边形的每个内角都为156°， ∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°， ∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15， 故选C ．考点：多边形内角与外角．10．B解析：B 【分析】根据各图形的性质和判定可以选出正确答案． 【详解】解：①为等边三角形的判定定理，正确；对于②，2227575+==≠，，所以错误；∵线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等，所以三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，③正确；矩形的对角线相等，一般的平行四边形对角线不一定相等，④错误；顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形各组对边分别与某一条对角线平行，所以新四边形是平行四边形，⑤正确， 故选B ． 【点睛】本题考查三角形与四边形的性质与判定，灵活应用有关定理求证是解题关键 ．11．B解析：B 【分析】由题意可以得到a+b 的值，再利用完全平方公式可以得到答案． 【详解】解：由题意可得：2(a+b)=4,∴a+b=2，∴()2222224a ab b a b ++=+==, 故选B ．【点睛】本题考查长方形周长与完全平方公式的综合应用，灵活应用有关知识求解是解题关键 ． 12．A解析：A【分析】利用平行四边形的性质其对边相等，进而得出C 点的横纵坐标．【详解】解：∵▱OABC 的顶点O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（-4，0），（-5，3）， ∴AO=BC=4，C 点纵坐标为：3，B 点横坐标为：-5，∴C 点横坐标为：-1，则点C 的坐标为：（-1，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．二、填空题13．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．14．【分析】延长AD 作交于点H 过点D 作根据题意可证明是等腰直角三角形结合中位线的性质证明继而证明是等腰直角三角形由勾股定理解得再根据三角形面积公式解得CH 的值设EF=x 由线段和差关系得到从而解出x 的值即解析：62【分析】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，根据题意可证明AEF 是等腰直角三角形，结合中位线的性质，证明//DQ BE ，继而证明FDQ 是等腰直角三角形，由勾股定理解得2FQ DQ ==，再根据三角形面积公式解得CH 的值，设EF=x ，由线段和差关系得到EF FQ FC FQ +=-，从而解出x 的值即可．【详解】延长AD ，作AH CH ⊥交于点H ，过点D 作DQ CF ⊥，CE AB ⊥且AE=AF ，AEF ∴是等腰直角三角形，45EAF EFA ∴∠=∠=︒又90DQC BEC ∠=∠=︒，D 为BC 中点，//DQ BE ∴，且Q 为CE 中点EQ CQ ∴= 即：EF+FQ=FC-FQ45AEF ∠=︒ 45QFD ∴∠=︒FDQ ∴是等腰直角三角形，又2FD =2FQ DQ ∴==设EF=x ，在等腰直角三角形AEF 中，AE=EF=x ，2AF x =1242ACF S AF CH ∴=⋅⋅= 242CH x ∴=在等腰直角三角形FHC 中，48CF x∴=EF FQ FC FQ +=-48x x∴=2248480x x ∴=∴+-=x ∴=x =-（舍去）EF AE ∴==1//,2QE BE QE BE =BE ∴=AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、中位线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．15．3【分析】先根据三角形中位线定理求得DE 然后再根据直角三角形的性质求出DF 最后运用线段的和差计算即可【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线∴DE ＝BC ＝5∵∠AFB ＝90°D 是AB 的中点∴DF ＝AB ＝解析：3【分析】先根据三角形中位线定理求得DE ，然后再根据直角三角形的性质求出DF ，最后运用线段的和差计算即可．【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝5， ∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DF ＝12AB ＝2， ∴EF ＝DE ﹣DF ＝3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．16．8【分析】利用三角形中位线的性质得到再根据平行四边形的性质求解即可；【详解】∵点E 点F 分别是BMCM 中点∴EF 是△BCM 的中位线∴∵四边形ABCD 是平行四边形∴又∵∴故答案是8【点睛】本题主要考查了 解析：8【分析】利用三角形中位线的性质得到22612BC EF ==⨯=，再根据平行四边形的性质求解即可；【详解】∵点E ，点F 分别是BM ，CM 中点，∴EF 是△BCM 的中位线，∴22612BC EF ==⨯=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12AD BC ==，又∵2AM MD =， ∴2212833AM AD ==⨯=． 故答案是8．【点睛】 本题主要考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，准确判定计算是解题的关键． 17．4【分析】根据勾股定理求出AC 得到BD 的长根据等腰三角形的性质得到CE ＝DE 根据三角形中位线定理解答即可【详解】在△ABC 中∠ACB ＝90°∴AC ＝＝＝5∴AD ＝AC ＝5∴BD ＝AB−AD ＝13−5解析：4【分析】根据勾股定理求出AC ，得到BD 的长，根据等腰三角形的性质得到CE ＝DE ，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴AC5，∴AD ＝AC ＝5，∴BD ＝AB−AD ＝13−5＝8，∵AC ＝AD ，AE ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∵CE ＝DE ，CF ＝BF ，∴EF 是△CBD 的中位线，∴EF ＝12BD ＝4， 故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．18．③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可【详解】∵正三角形的每个内角都是60度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度能将360度整除故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角解析：③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可.【详解】∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角都是108度，不能将360度整除，故不可以用其镶嵌地面，故答案为：③.【点睛】此题考查正多边形的性质，镶嵌地面问题，正确计算正多边形的每个内角的度数与360度的整除关系是解题的关键.19．【分析】首先根据点A的坐标求得OA的长然后求得PO的长从而求得点P 到y轴的距离即可【详解】解：∵A（﹣20）∴OA＝2∵∠DAB＝60°OP⊥AD∴∠AOP=30°∴AP=1∴OP＝作PE⊥y轴∵∠解析：3 2【分析】首先根据点A的坐标求得OA的长，然后求得PO的长，从而求得点P到y轴的距离即可．【详解】解：∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵∠DAB＝60°，OP⊥AD，∴∠AOP=30°，∴AP=1，∴OP＝3，作PE⊥y轴，∵∠POA＝30°，∴∠OPE＝30°，∴3∴PE＝32，∴点P到y轴的距离为32，故答案为32．【点睛】考查了平行四边形的性质，能够将点的坐标转化为线段的长是解答本题的关键，难度不大．20．4【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G设AE=x由于▱ABCD沿EF对折可得出AE=CE=x再求出∠BCG=30°BG=BC=3由勾股定理得到则EG=EB+BG=12-x+3=15-x在△CEG解析：4.【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，设AE=x，由于▱ABCD沿EF对折可得出AE=CE=x, 再求出∠BCG=30°，BG=12BC=3, 由勾股定理得到33CG=，则EG=EB+BG=12-x+3=15-x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．【详解】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，∵▱ABCD沿EF对折，∴AE=CE设AE=x，则CE=x，EB=12-x，∵AD=6，∠A=60°，∴BC=6, ∠CBG=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=12BC=3，在△BCG中，由勾股定理可得：33CG=∴EG=EB+BG=12-x+3=15-x在△CEG中，由勾股定理可得：222153x x-+=（）（3），解得：8.4x=故答案为8.4【点睛】本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．三、解答题21．详见解析【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=90︒证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．【详解】如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，∵AM∥CN，点M是CD的中点，∴AM是△DCN的中位线，∴CN=2AM，AD=AN，∴AE=AN，∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠BAC=∠DAE=90︒∴∠EAN=90︒，∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，∴∠CAN=∠BAE，∵AB=AC，AE=AN，∴△BAE≌△CAN，∴BE=CN，∴2AM=BE．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．22．（1）10；（2）128．【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB=AE，进而再利用题中数据即可求解结论；（2）易证△CED为直角三角形，则CE⊥AD，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=10；（2）∵四边形ABCD是平行四边形．∴CD=AB=10，在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8，∴ED2+CE2=CD2，∴∠CED=90°．∴CE⊥AD，∴平行四边形ABCD的面积=AD•CE=（10+6）×8=128．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用及角平分线的性质等问题，解题的关键是熟练掌握有关性质．23．证明见解析．【分析】欲证明四边形BFDE 是平行四边形，只要证明BE=DF ，BE ∥DF 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB = CD ，∵AE=CF ，∴AB-AE= CD-CF ，即BE=DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 24．（1）80C ∠=︒；（2）120C ∠=︒．【分析】（1）如图1，过点C 作CH ∥DF ，根据四边形的内角和为360°，求出∠MDC+∠CBN=160°，利用角平分线的定义可得：∠FDC+∠CBE=80°，最后根据平行线的性质可得结论；（2）如图2，连接GC 并延长，同理得：∠MDC+∠CBN=160°，∠FDC+∠CBE=80°，求出∠DGB=40°，可得结论．【详解】（1）如图1，过点C 作CH ∥DF ，∵BE ∥DF ，∴BE ∥DF ∥CH ，∴∠FDC=∠DCH ，∠BCH=∠EBC ，∴∠DCB=∠DCH+∠BCH=∠FDC+∠EBC ，∵BE ，DF 分别为四边形ABCD 的外角∠CBN ，∠MDC 的平分线，∴∠FDC=12∠CDM ，∠EBC=12∠CBN ， ∵∠A+∠BCD=160°，∴∠ADC+∠ABC=360°-160°=200°，∴∠MDC+∠CBN=160°，∴∠FDC+∠CBE=80°，∴∠DCB=80°；（2）如图2，连接GC 并延长，同理得∠MDC+∠CBN=160°，∠MDF+∠NBG=80°，∵BE ∥AD ，DF ∥AB ，∴∠A=∠MDF=∠DGB=∠NBG=40°，∵∠A+∠BCD=160°，∴∠BCD=160°-40°=120°．【点睛】本题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用多边形的内角和公式和平行线的性质是解题关键．25．证明见详解.【分析】通过全等三角形（△AEB ≌△DFC ）的对应边相等证得BE=CF ，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE ∥CF ．则四边形BECF 是平行四边形．【详解】证明：∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB ∥CD ，∴∠A=∠D ，在△AEB 与△DFC 中，AEB DFC AE DFA D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△DFC （ASA ），∴BE=CF ．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CF ．∴四边形BECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．26．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；【分析】（1）由题意连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，证出EO=FO，即可得出四边形BFDE为平行四边形；（2）根据题意由平行四边形的性质得DE∥BF，即DE∥FG，证出FG是△CDE的中位线，得CG=DG即可．【详解】解：（1）连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，又∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BFDE为平行四边形；（2）由（1）知，四边形BFDE为平行四边形，∴DE//BF，即DE//FG，而AE＝EF＝FC，所以F为EC的中点，∴FG是△CDE的中位线，∴CG＝DG，即G为CD的中点．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．。
2021北师大版八年级数学下第六章《平行四边形》常考综合题专练含答案
北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练（一）1．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．2．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．3．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．4．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．6．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，连接AN、CM．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）连接MN，过点C作CE⊥MN于点E，连接DN，交OM于点O交CE于点P，若∠AND＝90°，PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长．8．已知：在▱ABCD中，点E是边AD上一点，点F是线段AE的中点，连接BF并延长BF至点G，使FG＝BF，连接DG、EG．（1）如图1，求证：四边形CDGE是平行四边形；（2）如图2，当DA平分∠CDG时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与AB相等的线段（AB除外）．9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF（填“是”或“不是”）平行四边形．10．如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：BM＝DN；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，又∵ED平分∠AEC，∴∠ADE＝∠CED＝45°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴AE＝BC；（2）△ABF是等腰直角三角形，证明：∵CF⊥DE，∴∠CFE＝90°，又∵∠CEF＝45°，∴∠ECF＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，∴EF＝CF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（SAS），∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，即∠AFB＝∠EFC＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形．2．（1）证明：∵AB∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．∵F是AC中点，∴AF＝CF．在△AFD与△CFE中，．∴△AFD≌△CFE（AAS），∴AD＝CE，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．∵CD＝BD，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°，∴∠CDA＝60°．在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，∴．在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，∴GD＝1，∴．3．（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DFA．∴∠DAF＝∠DFA．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG＝．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．4．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM＝BC，同理，PN＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM∥BC，∴∠PMN＝∠F，同理，∠PNM＝∠AEN，∵∠PMN＝∠PNM，∴∠AEN＝∠F；（2）解：∵PN∥AD，∴∠PNB＝∠A，∵∠DPN是△PNB的一个外角，∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，∵PM∥BC，∴∠MPD＝∠DBC，∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，∴∠F＝∠PMN＝29°，故答案为：29°．5．（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝2，∴BD＝＝＝2．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN＝DM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，∴MN＝MD＝AD，∴∠1＝∠MND，∵AD∥BC，∴∠1＝∠CND，∵∠1＝∠2，∴∠MND＝∠CND＝∠2，∴PN＝PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN＝90°，∴∠2＝∠PNE＝30°，∵PE＝1，∴PN＝2PE＝2，∴CE＝PC+PE＝3，∴CN＝＝，∵N是BC的中点，∴AD＝BC＝CN＝，∴AN＝AD×sin∠1＝4＝．8．解：（1）∵点F是线段AE的中点，∴AF＝EF，在△ABF和△EGF中，，∴△ABF≌△EGF（SAS），∴AB＝GE，∠ABF＝∠FGE，∴AB∥GE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴GE＝CD，GE∥DC，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．理由：∵DA平分∠CDG，∴∠CDE＝∠GDE，由（1）可得，GE∥CD，∴∠CDE＝∠GED，∴∠GDE＝∠GED，∴GE＝GD，又∵四边形CDGE是平行四边形，∴四边形CDGE是菱形，∴CD＝DG＝GE＝CE，又∵AB＝CD，∴图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．10．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴CM＝AN，∴BC﹣CM＝AD﹣AN，即BM＝DN；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠EMB＝∠FND＝90°，在△BME和△DNF中，，∴△BME≌△DBF（ASA），∴EM＝DF，∵四边形AMCN为平行四边形，∴AM＝CN，AM∥CN，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．。
初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形4.多边形的内角和与外角和-章节测试习题(11)
章节测试题1.【答题】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A. 5B. 5或6C. 5或7D. 5或6或7【答案】D【分析】【解答】2.【答题】（济宁中考）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP 分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P=（）A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°【答案】C【分析】【解答】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°.又∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，∴∠PDC十∠PCD=120°∴在△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°.选C．3.【答题】如图，在△ABC中，∠C=60°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2=______．【答案】240°【分析】【解答】4.【答题】如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α=______度．【答案】72【分析】【解答】5.【答题】如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______°．【答案】540【分析】【解答】6.【答题】（聊城中考）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是______．【答案】540°或360°或180°【分析】【解答】剪掉一个多边形的一个角后，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个．7.【答题】（陕西中考）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为______．【答案】72°【分析】【解答】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA=36°同理∠ABE=36°.∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°.故答案为72°8.【答题】将一条宽相等的足够长的纸条打一个结，如图1，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=______．【答案】36°【分析】【解答】易求得正五边形的内角为108°∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA∴9.【题文】一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，试计算这个多边形对角线的条数．【答案】解：∴这个多边形的边数是8+2+1=11∴这个十一边形的对角线的条数为（条）．【分析】【解答】10.【题文】小明同学在做老师布置的作业时遇到下面一道题：有一张多边形的纸片，若剪掉一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和为2700°，试问原来的纸片是几边形?对于这道题，小明是这样解答的：设纸片剪掉一个角后的多边形的边数为n，则根据题意，得（n-2）·180°=2700°．解得n=17．∴原来的纸片是十七边形．第二天，老师看了小明的作业后说：“小明，你做错了．”你能说出小明错误的地方吗?请帮他改正过来．【答案】解：小明的错误在于一个多边形剪掉一个角（不过顶点）后，多边形的边数增加了一条，而不是不变．设原多边形边数为n，则依据题意可得（n+1-2）×180°=2700°解得n=16.故原多边形边数为16【分析】【解答】11.【题文】如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，∠F，∠G的度数和．【答案】解：如图，连接FC．∵∠D+∠E+∠DIE=∠ICF+∠IFC+∠FIC=180°又∵∠DIE=∠FIC，∴∠D+∠E=∠ICF+∠IFC．∵∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G=540°【分析】【解答】12.【题文】（河北中考）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是______；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是______．【答案】解：图2中的图案外轮廓周长是8-2+2+8-2=14．设∠BPC=2x.∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为，以∠APB为内角的正多边形的边数为．∴图案外轮廓周长是．根据题意可知2x的值为正多边形的内角的度数，且x的取值使为正整数．由此可得2x的值只能为60°，90°，120°，144°．当x越小时，周长越大∴当x=30°时，周长最大，此时图案定为会标．则会标的外轮廓周长是．故分别填14；21.．【分析】【解答】13.【答题】正十边形的每个外角等于（）A. 18°B. 36°C. 45°D. 60°【答案】B【分析】【解答】14.【答题】（铜仁中考）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【分析】【解答】多边形的外角和是360°.根据题意，得180°·（n-2）=3×360°.解得n=8.选A．15.【答题】如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【分析】【解答】16.【答题】若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【分析】【解答】17.【答题】如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么这个多边形的一个外角是（）A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°【答案】A【分析】【解答】18.【答题】若多边形的每一个内角均为150°，则这个多边形的边数为______．【答案】12【分析】【解答】19.【答题】（山西中考）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度．【答案】360【分析】【解答】由多边形的外角和等于360°，可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°20.【题文】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．【答案】解：设这个多边形有n条边．由题意，得（n-2）×180°=360°×4解得n=10故这个多边形的边数是10．【分析】【解答】。
2022年北师大版八年级数学下册第六章平行四边形综合练习试题(含答案解析)
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF ＝130°，则∠PEF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．50°2、如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（）A．100m B．90m C．54m D．60m3、若一个多边形的外角和是它内角和的23，那么这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4、如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（）A．5 B．C．D．5、如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（）A．12 B．15 C．18 D．246、一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（）A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，57、一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（）A．7 B．8 C．9 D．108、如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．109、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝18，BC ＝14，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，BE ，点M 在CB 的延长线上，连接DM ，若∠MDB ＝∠A ，则四边形DMBE 的周长为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．4010、如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．10D ．12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A 、B 、C 、D 四点共线，E 为公共顶点．则∠FEG ＝_____．2、如图，平行四边形ABCD ，AD ＝5，AB ＝8，点A 的坐标为（－3，0）点C 的坐标为______．3、如图，直线MN 过ABCD 的中心点O ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，己知4ABCD S ，则S 阴影=______．4、如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点B、C的坐标分别为（2，0），（6，0），点N从A点出发沿AC向C点运动，连接ON交AB于点M．当边AB恰平分线段ON时，则ANAM=___．5、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°．现将△ADE沿DE折叠点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图．在ABC中，AB BC=．（1）按要求画图．尺规作图作出ABC∠的角平分线（射线）BD．交AC于点E；（2）在（1）的结果下．画图并计算：点F 为BC 的中点．连接EF ，若2BE AC ==，求CEF △的周长．2、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长少6cm ，AB 与AC 的和为18cm ，求AC 的长3、如图，△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一点，将线段AD 以点A 为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE ，连接BE ，点D 关于直线BE 的对称点为F ，BE 与DF 交于点G ，连接DE ，EF ．（1）求证：∠BDF ＝30°（2）若∠EFD ＝45°，AC ，求BD 的长；（3）如图2，在（2）条件下，以点D 为顶点作等腰直角△DMN ，其中DN ＝MN FM ，点O 为FM 的中点，当△DMN 绕点D 旋转时，求证：EO 的最大值等于BC ．4、一个多边形的每个外角为60°，求这个多边形的内角和．5、（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.2．角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．小强证明该定理的步骤如下：已知：如图1，点P 在OC 上，PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ，且PD PE =．求证：OC 是AOB ∠的平分线．证明：通过测量可得23AOC ∠=︒，23BOC ∠=︒．∴AOC BOC ∠=∠．∴OC 是AOB ∠的平分线．（1）关于定理的证明，下面说法正确的是（ ）A ．小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理．B ．只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理．C ．不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整．D ．小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．（2）利用小强的已知和求证，请你证明该定理；（3）如图2，在五边形ABCDE 中，BC CD DE ==，80ABC ∠=︒，110BAE ∠=︒，100AED ∠=︒，在五边形ABCDE 内有一点F ，使得BCF CDF DEF S S S ==．直接写出CFD ∠的度数．-参考答案-一、单选题1、A【分析】 根据三角形的中位线定理，可得11,22PE AD PF BC == ，从而PE =PF ，则有∠PEF =∠PFE ，再根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】解：∵点P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴11,22PE AD PF BC == ， ∵AD ＝BC ，∴PE =PF ，∴∠PEF =∠PFE ，∵∠EPF ＝130°， ∴()1180252PEF EPF ∠=︒-∠=︒ ． 故选：A【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．2、C【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，360°÷20°＝18，所以它是一个正18边形，因此所走的路程为18×3＝54（m），故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和=360°．3、C【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是360°列出方程，解方程即可．【详解】解：设这个多边形边数是n，则（n−2）×180°×23＝360°，解得n＝5．故选：C．【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握n边形的内角和为（n−2）•180°、外角和是360°是解题的关键．4、D【分析】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，先证∠DHC =90º，再证四边形ADEF 是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =3，∠ADC =60º，∴CD =AB =3，∠DCH =∠ABC =∠ADC =60º，∵DH ⊥BC ，∴∠DHC =90º，∴∠ADC +∠CDH =90°，∴∠CDH =30°，在Rt △DCH 中，CH =12CD =32，DH ，∴222223(2)192BD BH DH =+=++=， ∵四边形BCEF 是平行四边形，∴AD =BC =EF ，AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥DE ，AF =DE =1，∵AF ⊥BE ，∴DE ⊥BE ，∴22219118BE BD DE =-=-=，∴BE =故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．5、B【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝12BC，所以易求△DOE的周长．【详解】解：∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，∴OD＝OB＝12BD＝6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE＝12CD，∴OE＝12BC，∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝12BD＋12（BC＋CD）＝6＋9＝15，故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．6、A【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是45°，求出这个多边形的边数，再根据一个多边形有()32n n-条对角线，即可算出有多少条对角线．【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于45°，∴360÷45=8，∴这个正多边形是正8边形，∴()8832⨯-=20（条），∴这个正多边形的对角线是20条．故选：A．【点睛】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是360°，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何多边形的对角线条数为()32n n-条．7、D【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】解：∵360°÷36°=10，∴这个多边形的边数是10．故选D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，外角和的大小与多边形的边数无关，熟练掌握多边形内角与外角是解题关键．8、C【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键.9、C【分析】BC，根据平行线的性由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=12质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴AE =CE ，AD =BD ，DE 为△ABC 的中位线，∴DE //BC ，DE =12BC ，∵∠ABC ＝90°，∴∠ADE =∠ABC =90°，在△MBD 和△EDA 中，90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△MBD ≌△EDA ，∴MD =AE ，DE =MB ，∵DE //MB ，∴四边形DMBE 是平行四边形，∴MD =BE ，∵AC ＝18，BC ＝14，∴四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．10、C【分析】根据多边形的内角求出多边形的一个外角，然后根据多边形外角和等于360︒，计算即可．【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是144°，∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，∴这个多边形的边数360°÷36°＝10．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟知多边形外角和等于360︒是解本题的关键．二、填空题1、30°【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE=∠BEF=135°，∠DCE=∠CEG=120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG=360°-∠BEF-∠CEG-∠BEC即可．【详解】解：由多边形的内角和可得，∠ABE=∠BEF=()821808-⨯︒＝135°，∴∠EBC=180°-∠ABE=180°-135°=45°，∵∠DCE=∠CEG=()621806-⨯︒＝120°，∴∠BCE=180°-∠DCE=60°，由三角形的内角和得：∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-45°-60°=75°，∴∠FEG=360°-∠BEF-∠CEG-∠BEC=360°-135°-120°-75°=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．2、（8，4）【分析】先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．【详解】解：∵点A的坐标为（－3，0），在Rt△ADO中，AD＝5，AO=3，90＝，∠︒AOD∴OD4，∴D(0，4)，∵平行四边形ABCD，∴AB=CD=8，AB∥CD，∵AB在x轴上，∴CD∥x轴，∴C、D两点的纵坐标相同，∴C(8，4) ．故答案为（8，4）．【点睛】本题考查平行四边形性质，勾股定理，平行x轴两点坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．3、1【分析】证明△MOD≌△NOB，得到S △MOD=S△NOB，利用平行四边形的性质得到S阴影=14ABCDS，由此求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠MDO=∠NBO，∵∠MOD=∠NOB，∴△MOD≌△NOB，∴S△MOD=S△NOB，∴S 阴影=114AOM BON AOD ABCDS S S S+===，故答案为：1．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定是解题的关键．4、2 3【分析】过点N作NE AB∥交BC于点E，可得BM为ONE的中位线，NE为ABC的中位线，利用三角形中位线定理和等边三角形的性质得到：14BM AB=，1AN AB2=，即可求解．【详解】解：过点N作NE AB∥交BC于点E，如下图：∵B 、C 的坐标分别为（2，0），（6，0）∴2OB =，4BC =∵边AB 恰平分线段ON∴点M 是ON 的中点∴2OB BE ==，12BM EN = ∴12BE BC =∴EN 是ABC 的中位线 ∴12EN AB =，12AN AC = 又∵ABC 为等边三角形∴AB AC = ∴34AM AB =，1AN AB 2= ∴122334AB AN AM AB == 故答案为23【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造出三角形的中位线．5、80°【分析】由翻折的性质得∠ADE＝∠A1DE，由中位线的性质得DE//BC，由平行线的性质得∠ADE＝∠B＝50°，即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠ADE＝∠A1DE；∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE//BC，∴∠ADE＝∠B＝∠A1DE＝50°，∴∠A1DA＝100°，∴∠BDA1＝180°−100°＝80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还考查了三角形的中位线定理等几何知识点．熟练掌握各性质是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）1【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方式进行解答即可；（2）根据等腰三角形三线合一以及三角形中位线的知识进行解答即可．【详解】解：（1）如图即为所作：；（2）∵AB BC =，BE 平分ABC ∠，∴,BE AC AE CE ⊥=， ∴112EC AC ==， 在Rt BEC △中，BC∵E 是AC 的中点，F 为BC 的中点，∴EF 为CAB △的中位线，∴1122EF AB BC ==，12FC BC =∴CEF △的周长＝11CE EF CF ++= 【点睛】本题考查了尺规作图－角平分线，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形中位线的性质，熟练掌握以上性质是解本题的关键．2、6AC =【分析】根据中线的定义知CD BD =，结合三角形周长公式知6AB AC -=；因为AB 与AC 的和为18cm ，则可求出AC 的长度．【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线，∴D 是BC 的中点，CD BD =，∵△ADC 的周长比△ABD 的周长少6cm ，即：()6AB BD AD AC AD DC ++-++=cm ，∴6AB AC -=①，∵AB 与AC 的和为18cm ，即：18AB AC +=②，②－①得：6AC =cm ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形中线．3、（1）见解析；（2）2；（3）见解析【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，可得∠ABC =60°，由D 、F 关于直线BE 对称，得到BF =BD ，则∠BFD =∠BDF ，由三角形外角的性质得到∠BFD +∠BDF =∠ABD ，则∠BDF =∠BFD =30°；（2）设BG x =，由D 、F 关于直线BE 对称，得到∠BGD =∠BGF =90°，EF =ED ，EG =DG ，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得2BD x =，DG =，证明△EAB ≌△DAC 得到CD BE EG BG GD BG x ==-=-=-，再由1BC AC ==，得到21BD CD x x +=+-=，由此求解即可；（3）连接OG ，先求出2MD =，证明OG 是三角形DMF 的中位线，得到112OG DM ==，再根据两点之间线段最短可知1OE EG OG ≤+=OE 的最大值等于BC ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵D、F关于直线BE对称，∴BF=BD，∴∠BFD=∠BDF，∵∠BFD+∠BDF=∠ABD，∴∠BDF=∠BFD=30°；=，（2）设BG x∵D、F关于直线BE对称，∴∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，∴∠EDG=EFG=45°，∴EG=DG，∵∠BDG=30°，∴22==，BD BG x∴DG=，由旋转的性质可得AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAB=∠DAC，又∵AB=AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴CD BE EG BG GD BG x==-=-=-，∵1==，BC AC∴21+=-=，BD CD x x∴22BD x ==；（3）如图所示，连接OG ，∵在等腰直角三角形DMN 中，DN MN ==∴2MD ==，∵D 、F 关于直线BE 对称，∴G 为DF 的中点，又∵O 为FM 的中点，∴OG 是三角形DMF 的中位线， ∴112OG DM ==，由（2）可得EG =根据两点之间线段最短可知1OE EG OG ≤+=∴OE 的最大值等于BC ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形中位线定理，两点之间线段最短等等，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质．【分析】先根据外角和为360°求得多边形的边数，进而根据外角和内角互补即可求得每一个内角的度数，进而求得内角和．【详解】一个多边形的每个外角为60°，∴这个多边形的边数为360606︒÷︒=，这个多边形的每一个内角为18060=︒-︒120︒∴这个多边形的内角和为6120720⨯︒=︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角和，求得多边形的边数是解题的关键．5、（1）D ；（2）证明见详解；（3）55CFD ∠=︒．【分析】（1）根据题意可得：小强通过测量角度大小证明出角平分线，证明方程不严谨，即可得出选项；（2）根据直角三角形全等的特殊方法（直角边，斜边）得出Rt POD Rt POE ∆≅∆，然后由全等三角形的性质得出AOC BOC ∠=∠，即可证明角平分线；（3）过点F 分别作FG BC ⊥，FH CD ⊥，FK DE ⊥，根据题意可得FG FH FK ==，运用角平分线的逆定理可得FC 平分BCD ∠，FD 平分CDE ∠，再由五边形内角和及题中已知条件可得250BCD CDE ∠+∠=︒，运用各角之间的数量关系可得125FCD FDC ∠+∠=︒，再由三角形内角和定理即可得出结果．【详解】解：（1）根据题意可得：小强通过测量角度大小证明出角平分线，证明方程不严谨，故选：D ；（2）在Rt POD ∆与Rt POE ∆中，PD PE OP OP=⎧⎨=⎩， ∴Rt POD Rt POE ∆≅∆，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的平分线；（3）如图所示，过点F 分别作FG BC ⊥，FH CD ⊥，FK DE ⊥，∵BC CD DE ==，且FBC FCD FDE S S S ∆∆∆==，∴FG FH FK ==，∴FC 平分BCD ∠，FD 平分CDE ∠， ∴12BCF FCD BCD ∠=∠=∠，12FDC FDE CDE ∠=∠=∠ ∵80ABC ∠=︒，110BAE ∠=︒，100AED ∠=︒，五边形内角和为：()52180540-⨯︒=︒，∴250BCD CDE ∠+∠=︒， ∴()111125222FCD FDC BCD CDE BCD CDE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴()18055CFD FCD FDC ∠=︒-∠+∠=︒，故55CFD ∠=︒．【点睛】题目主要考查角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，多边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．。
(北师大版)武汉市八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．如图，在ABCD 中，AB AD ≠，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，若ABE △的周长为12cm ，则ABCD 的周长是（ ）A ．24cmB ．40cmC ．48cmD ．无法确定 2．下列关于多边形的说法不正确的是（ ）A ．内角和外角和相等的多边形是四边形B ．十边形的内角和为1440°C ．多边形的内角中最多有四个直角D ．十边形共有40条对角线3．如图，在平行四边形ABCD 中，AB≠BC ，点F 是BC 上一点，AE 平分∠FAD ，且点E 是CD 的中点，有如下结论：①AE ⊥EF ；②AF=CF+CD ；③AF=CF+AD ；④AB ＝BF ，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①③④ 4．把边长相等的正五边形ABCDE 和正方形ABFG ，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD ，则∠DAG ＝（ ）A ．18°B ．20°C ．28°D ．30°5．如图，设M 是ABCD 边AB 上任意一点，设AMD ∆的面积为1S ，BMC ∆的面积为2S ，CDM ∆的面积为S ，则（ ）A ．12S S S =+B ．12S S S >+C ．12S S S <+D ．不能确定 6．如图，将四边形ABCD 去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF ，则∠1与∠2的和为( )A ．60°B ．108°C ．120°D ．240°7．在四边形ABCD 中，若∠A 与∠C 之和等于四边形外角和的一半，∠B 比∠D 大15°，则∠B 的度数等于（ ）A ．150°B ．97.5°C ．82.5°D ．67.5°8．如图，□ABCD 中，AB =3，BC =5，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，则CE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．一个多边形每个外角都等于30°，则这个多边形是几边形( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．1210．若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 11．如图，若ABCD 的顶点O ,A ,B 的坐标分别为()0,0，()4,0-，()5,3-，则顶点C 的坐标为（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()4,1--D ．()5,1- 12．如图，在周长为12cm 的▱ABCD 中，AB ＜AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm二、填空题13．科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了______米．14．正五边形每个内角的度数是_______．15．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．16．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，点F 分别是BM ，CM 中点，若EF ＝6，则AM 的长为_____．17．如图1，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ADC ∠=︒，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按A B C D →→→的顺序在边上匀速运动．设点P 的运动时间为()t s ，PAD ∆的面积为S ，S 关于t 的函数图象如图2所示．当点P 运动到BC 的中点时，PAD ∆的面积为___________．18．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边的中点，若DE =2，则BC 边的长为____．19．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，点D 在线段BC 上一动点，以AC 为对角线的平行四边形ADCE 中，则DE 的最小值是______．20．一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．三、解答题21．如图，O 为ABC 内部一点，P 、R 分别为点O 关于直线AB 、BC 对称的点．（1）若60ABC ∠=︒，求∠POR 的度数；（2）试猜想当PR 的值最大时，A ∠与C ∠需要满足什么数量关系，并说明理由． 22．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F ．试判断四边形ABFC 的形状，并证明你的结论．23．如图，将平行四边形ABCD 的边AD 边延长至点E ，使DE =12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若AB =4，AD =6，∠A =60°，求CE 的长．24．如图，将平行四边形ABCO 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，若点A 的坐标是()6,0，点C 的坐标是()1,4．（1）点B 的坐标为_______；（2）求直线AC 的表达式；（3）若点C 关于x 轴的对称点为点E ，设过点E 的直线y kx b =+，与四边形ABCO 有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．25．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴、y 轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C 在线段OA 上(不 与 )O 、A 重合 )，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转 90° 得到CD ，当点D 恰好落在直线AB 时，过 点D 作DE ⊥x 轴于点E ．（1）求证：BOC CED ∆≅∆；（2）求经过A 、B 两点的一次函数表达式，如图2,将BCD ∆沿x 轴正方向平移得B C D '''∆，当直线B′C′经过点D 时，求点D 的坐标、B C D '''∆的面积；（3）若点P 在y 轴上，点Q 在直线AB 上，是否存在以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，通过画图说明理由，并指出点Q 的个数．26．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜BC ．（1）利用尺规作图，在BC 边上确定点E ，使点E 到边AB ，AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC =8，CD =5，则CE = ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，及OE BD ⊥交AD 于E 可以证明OE 是线段BD 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到BE DE =，再利用线段间的关系可以证明ABCD 的周长为ABE △周长的两倍.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，BO DO =；∵OE BD ⊥交AD 于E ；∴OE 是线段BD 的垂直平分线，∴BE DE =；∴AE ED AE BE +=+；∴ABE △的周长为12AE BE +=∴ABCD 的周长为2()21224AB AD +=⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型. 2．D解析：D【分析】根据多边形的内角和、外角和，多边形的内角线，即可解答．【详解】A 、内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；B 、十边形的内角和为()102180-⨯︒=1440°，正确；C 、多边形的内角中最多有四个直角，正确；D、十边形共有()101032⨯-=35条对角线，故错误；故选：D ．【点睛】 本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记多边形的有关性质．3．A解析：A【分析】首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM=EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ．【详解】延长AD ，交FE 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠EFC ，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，在△DEM 和△CEF 中，M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEM ≌△CEF （AAS ），∴EM=EF ，∵AE 平分∠FAD ，∴AM=AF ，AE ⊥EF ．即AF=AD+DM=CF+AD ；故①，③正确，②错误．∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，∴AB 不一定等于BF ，故④错误．故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．A【分析】利用多边形内角和公式求得∠E 的度数，在等腰三角形AED 中可求得∠EAD 的度数，进而求得∠BAD 的度数，再利用正方形的内角得出∠BAG ＝90°，进而得出∠DAG 的度数．【详解】解：∵正五边形ABCDE 的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠E ＝∠BAE ＝15×540°＝108°， 又∵EA ＝ED ，∴∠EAD ＝12×（180°﹣108°）＝36°， ∴∠BAD ＝∠BAE ﹣∠EAD ＝72°，∵正方形GABF 的内角∠BAG ＝90°，∴∠DAG ＝90°﹣72°＝18°，故选：A ．【点睛】本题考查正多边形的内角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键．5．A解析：A【分析】如图（见解析），过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ，先根据平行四边形的判定可得四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．【详解】如图，过点M 作//MN BC ，交CD 于点N ，四边形ABCD 是平行四边形，//,//AB CD AD BC ∴，////AD BC MN ∴，∴四边形AMND 和四边形BMNC 都是平行四边形，12,DMN CMN S S SS ∴==， 12DMN CMN S S SS S ∴=+=+， 故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键． 6．D【分析】利用四边形的内角和得到∠B＋∠C＋∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B＋∠C＋∠D的度数即为所求的度数．【详解】∵四边形的内角和为（4−2）×180°＝360°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°−60°＝300°，∵五边形的内角和为（5−2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＝540°−300°＝240°，故选D．【点睛】本题考查多边形的内角和知识，求得∠B＋∠C＋∠D的度数是解决本题的突破点．7．B解析：B【分析】根据∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，得到∠A+∠C=180°，根据四边形的内角和为360°∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°①，根据∠B 比∠D大15°，得到∠B-∠D=15°②，所以①+②得：2∠B=195°，所以∠B=97.5°．【详解】解：∵∠A与∠C之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，∴∠A+∠C＝180°，∴∠B+∠D＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°①，∵∠B比∠D大15°，∴∠B﹣∠D＝15°②，①+②得：2∠B＝195°，∴∠B＝97.5°．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记四边形的内角和与外角和．8．B解析：B【分析】利用平行四边形性质得∠DAE=∠BEA，再利用角平分线性质证明△BAE是等腰三角形,得到BE=AB即可解题.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BC-BE=5-3=2，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,属于简单题,熟悉平行线加角平分线得到等腰三角形这一常用解题模型是解题关键.9．D解析：D【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可．【详解】∵一个多边形的每个外角都等于30°，外角和为360°，∴n=360°÷30°=12，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形外角和、利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明10．C解析：C【解析】试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，故选C．考点：多边形内角与外角．11．A解析：A【分析】利用平行四边形的性质其对边相等，进而得出C点的横纵坐标．【详解】解：∵▱OABC的顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（-4，0），（-5，3），∴AO=BC=4，C点纵坐标为：3，B点横坐标为：-5，∴C点横坐标为：-1，则点C的坐标为：（-1，3）．故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．12．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的垂直平分线，∴BE＝ED，∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键是根据平行四边形的性质得出OB=OD，再结合线段垂直平分线的定义解答．二、填空题13．8【分析】结合题意根据正多边形外角和的性质计算即可得到多边形的边数经计算即可得到答案【详解】根据题意得：机器人行走的多边形外角为∴多边形的边数为：∴多边形的周长为：米故答案为：8【点睛】本题考查了正解析：8【分析】结合题意，根据正多边形外角和的性质计算，即可得到多边形的边数，经计算即可得到答案．【详解】根据题意得：机器人行走的多边形外角为45︒∴多边形的边数为：360=8 45︒︒∴多边形的周长为：188⨯=米故答案为：8．【点睛】本题考查了正多边形的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．14．【分析】先求出正n 边形的内角和再根据正五边形的每个内角都相等进而求出其中一个内角的度数【详解】解：∵正多边形的内角和为∴正五边形的内角和是则每个内角的度数是故答案为：【点睛】此题主要考查了多边形内角 解析：108︒【分析】先求出正n 边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为2180()n -⨯︒，∴正五边形的内角和是5218540(0)-⨯︒=︒，则每个内角的度数是5405108︒÷=︒．故答案为：108︒【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．15．35°【分析】连接OB 同理得AO=OB=OC 由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO ∠C=∠CBO 进而得到∠A+∠C=∠ABC 由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD ∠BOE=∠COE 由平角的定义得∠DO解析：35°【分析】连接OB ，同理得AO=OB=OC ，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO ，∠C=∠CBO ，进而得到∠A+∠C=∠ABC ，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD ，∠BOE=∠COE ，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．【详解】解：连接OB ，∵线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ，∴AO=OB=OC ，∴∠AOD=∠BOD ，∠BOE=∠COE ，∠A=∠ABO ，∠C=∠CBO ，∴∠A+∠C=∠ABC ，∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，∴∠DOE=145°，∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；故答案为：35°【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．8【分析】利用三角形中位线的性质得到再根据平行四边形的性质求解即可；【详解】∵点E 点F 分别是BMCM 中点∴EF 是△BCM 的中位线∴∵四边形ABCD 是平行四边形∴又∵∴故答案是8【点睛】本题主要考查了解析：8【分析】利用三角形中位线的性质得到22612BC EF ==⨯=，再根据平行四边形的性质求解即可；【详解】∵点E ，点F 分别是BM ，CM 中点，∴EF 是△BCM 的中位线，∴22612BC EF ==⨯=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12AD BC ==，又∵2AM MD =， ∴2212833AM AD ==⨯=． 故答案是8．【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，准确判定计算是解题的关键． 17．5【分析】由函数图象上的点的实际意义可知的长及的最大面积从而求得的长再根据点运动到点时得从而求得的长最后根据等腰三角形的中位线定理可求得当运动到中点时的面积【详解】解：由图象可知根据题意可知当点运动 解析：5【分析】由函数图象上的点(6,8)、(10,0)的实际意义可知AB BC +、AB BC CD ++的长及PAD ∆的最大面积，从而求得AD 、CD 的长，再根据点P 运动到点B 时得2ABD S ∆=，从而求得AB 的长，最后根据等腰三角形的中位线定理可求得当P 运动到BC 中点时，PAD ∆的面积．【详解】解：由图象可知，6AB BC +=，10AB BC CD ++=，4CD ∴=，根据题意可知，当P 点运动到C 点时，PAD ∆的面积最大，182PAD S AD DC ∆=⨯⨯=，4 AD∴=，又122ABDS AB AD∆=⨯⨯=，1AB∴=，当P点运动到BC中点时，BP PC=，如图，作PQ AD⊥于点Q，////AB PQ CD∴，PQ∴为梯形ABCD的中位线，则1()2PQ AB CD=+，PAD∴∆的面积11()5 22AB CD AD=⨯+⨯=，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据函数图象中三角形的面积的变化情况判断出AB、CD、AD的长是解题的关键．18．【分析】根据三角形中位线定理解答即可【详解】解：∵DE分别为ABAC 边的中点∴DE是△ABC的中位线∴BC=2DE=4故答案为：4【点睛】本题考查的是三角形中位线定理掌握三角形的中位线平行于第三边且解析：【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．19．6【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O当OD⊥BC时OD最小即DE最小根据三角形中位线定理即可求解【详解】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O当OD⊥BC时OD最小即解析：6平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，当OD ⊥BC 时，OD 最小，即DE 最小，根据三角形中位线定理即可求解．【详解】解：平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，当OD ⊥BC 时，OD 最小，即DE 最小．∵OD ⊥BC ，BC ⊥AB ，∴OD ∥AB ，又∵OC=OA ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD=12AB=3， ∴DE=2OD=6．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE 最小的条件是关键．20．720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°根据公式即可得出多边形的边数然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和n 边形内角和等于(n-2)×180°【详解】解：∵任何多边形解析：720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n 边形内角和等于(n -2) ×180°．【详解】解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∴n=360°÷60°=6，∴此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n -2) ×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n 边形内角和等于(n -2) ×180°”是解题的关键．三、解答题21．（1）120︒；（2）90A C ∠+∠=︒，理由见解析．（1）连接OP 、OR 、PR ，分别交AB 、BC 与点E 、F ，根据对称性可得出90,90OEB OFB ∠=︒∠=︒再根据四边形的内角和即可得出答案；（2）画出图形易知当P 、B 、R 三点共线时，PR 有最大值，根据等边对等角及三角形内角和得出90P R ∠+∠=︒，从而得出90POR ∠=︒；再根据四边形内角和即可得出=90ABC ∠︒，即可得出A ∠与C ∠的关系．【详解】（1）如图，连接OP 、OR 、PR ，分别交AB 、BC 与点E 、F ，P 、R 分别为点O 关于直线AB 、BC 对称的点，,OE AB BC OR ∴⊥⊥，90,90OEB OFB ∴∠=︒∠=︒，60ABC ∠=︒，360909060120POR ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒；（2）如图1，连接PB 、BR 、PR ，易知PR PB BR ≤+，如图2，当P 、B 、R 三点共线时，PR 有最大值=PB+BR ，P 、B 、R 三点共线，∴P 、O 、R 构成三角形，P 、R 分别为点O 关于直线AB 、BC 对称的点，∴OB=BP ，OB=BR ，90OEB OFB ∠=∠=︒，P POB ∴∠=∠，R BOR ∠=∠，180P R POR ∠+∠+∠=︒，180P R POB BOR ∴∠+∠+∠+∠=︒，90P R ∴∠+∠=︒，90POR ∴∠=︒，36090909090ABC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，1809090A C ∴∠+∠=︒-︒=︒，∴当PR 的值最大时，A ∠与C ∠需要满足90A C ∠+∠=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形及四边形的内角和定理、轴对称的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．22．四边形ABFC 是平行四边形；证明见解析.【分析】易证△ABE ≌△FCE （AAS ），然后利用一组对边平行且相等可判断四边形ABFC 是平行四边形.【详解】四边形ABFC 是平行四边形；理由如下：∵AB ∥CD ，∴∠BAE=∠CFE ，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE ，在△ABE 和△FCE 中， BAE CFE AEB FEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△FCE （AAS ）；∴AB=CF ，又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．考点：1平行四边形的判定；2全等三角形.23．（1）见解析；（2【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，进而利用已知得出DE=FC ，DE ∥FC ，进而得出答案；（2）首先过点D 作DN ⊥BC 于点N ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF 的长，进而得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∵DE =12AD ，F 是BC 边的中点， ∴DE =FC ，DE ∥FC ，∴四边形CEDF 是平行四边形； （2）解：过点D 作DN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A =60°，∴∠BCD =∠A =60°，CD=AB ，BC=AD ，∵AB =4，AD =6，∴FC =3，NC =12DC =2，DN 3， ∴FN = FC - NC =1， 则DF =EC ()2222231DN FN +=+13 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．24．（1）（7，4）；（2）y =-42455x +；（3）k ≤-4或k ≥45． 【分析】（1）根据平行四边形的性质及A 点和C 的坐标求出点B 的坐标即可；（2）设直线AC 的表达式为：y=kx+b ，把点A 的坐标是（6，0），点C 的坐标是（1，4）代入，解方程组即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到E （1，-4），分别求得直线OE ，AE ，BE 的解析式，于是得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCO 是平行四边形，O 为坐标原点，点A 的坐标是（6，0），点C 的坐标是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴点B 的坐标是（7，4），故答案为：（7，4）；（2）设直线AC 的表达式为：y =kx +b ，∵点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），∴604k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：4 5 24 5kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AC的表达式为：y=42455x-+；（3）∵点C关于x轴的对称点为点E，点C的坐标是（1，4），∴E（1，-4），把O（0，0）和E（1，-4）代入y=kx+b得y=-4x；把A（6，0）和E（1，-4）代入y=kx+b得y=42455x-；把B（7，4）和E（1，-4）代入y=kx+b得y=41633x-；∴k的取值范围为：k≤-4或k≥45【点睛】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与系数的关系等，求得对应点的坐标是解题的关键．25．（1）见解析；（2）D（3，1），B C D'''∆的面积为52；（3）存在，满足条件点Q 存在三个点，如图所示见解析．【分析】（1）根据同角的余角相等得到BCO CDE∠=∠，通过AAS即可得到结论；（2）通过待定系数法求出直线 AB 的一次函数式，设 OC= ED =m，从而得到点D的坐标，进而即可求出B C D'''∆的面积；（3）分别以CD为平行四边形的边和对角线，画出图形，即可得到结论．【详解】（1）证明：如图 1 中，90BOC BCD CED︒∠=∠=∠=90OCB DCE ︒∴∠+∠=,90DCE CDE ︒∠+∠= BCO CDE ∴∠=∠BC CD =BOC CED ∴∆≅∆（2）设直线 AB 的一次函数式为：y kx b =+ ∵直线 AB 与 x 轴， y 轴交于 A(6,0) , B(0,2)两点，∴062k b b =+⎧⎨=⎩，解得：132kb ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴可求得直线 AB 的一次函数式为：123y x =-+ BOC CED ∆≅∆∵BO=CE=2，设 OC= ED =m ，则 D( m+2,m ), 把D(m+2,m) 代入得到123y x =-+,得m=1, ∴D(3,1)∴等腰直角 △BCD 腰长：5CB CD ==, ∵B C D '''∆与△BCD 的全等,∴B C D '''∆的面积=△BCD 的面积=52；(3)满足条件点 Q 存在三个点，如图所示【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质、三角形全等的判定和性质定理以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的性质，以及分类讨论思想是解题的关键．26．（1）见解析；（2）3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可；根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．【详解】（1）如图所示：E点即为所求．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠A 的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=BA=5，∴CE=BC﹣BE=3．考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质。
2020年北师大版八年级数学第二学期 第6章 平行四边形 单元测试卷 (解析版)
八年级（下）数学第6章平行四边形单元测试卷一．选择题（共10小题）1．平行四边形一定具有的性质是()A．邻边相等B．邻角相等C．对角相等D．对角线相等2．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620︒，则原来多边形的边数是()A．10B．11C．12D．以上都有可能3．从五边形的一个顶点出发可以连接的对角线条数为()A．1B．2C．3D．44．平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF一定为平行四边形的是()A．BE DF=B．//AF CE C．AE CF=D．BAE DCF∠=∠5．如图，在平行四边形ABCD中，AB AC⊥，若8AB=，12AC=，则BD的长是()A．22B．16C．18D．206．如图所示，点D，E，F分别是()ABC AB AC∆>各边的中点，下列说法错误()A．12AD BC=B．12EF BC=C．EF与AD互相平分D．DEF∆的面积是ABC∆面积的1 47．如图，ABCDY的周长为32，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，14BD=，则DOE∆的周长为()A ．14B ．15C ．18D ．218．如图，设M 是ABCD Y 一边上任意一点，设AMD ∆的面积为1S ，BMC ∆的面积为2S ，CDM ∆的面积为S ，则( )A ．12S S S =+B ．12S S S >+C ．12S S S <+D ．不能确定9．如图，在平面直角坐标系中，ABCO Y 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为(4,6)．若直线3y kx k =+将ABCO Y 分割成面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．35B ．53C ．35-D ．53-10．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，5AD BC ==，7DC =，13AB =，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC ⇒向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为( )A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s二．填空题（共6小题） 11．八边形内角和度数为 ．12．如果n 边形的每一个内角都相等，并且是它外角的3倍，那么n =13．从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是 ．14．如图，在ABCD Y 中，120D ∠=︒，DAB ∠的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE ．若AE AB =，则EBC ∠的度数为 ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，213AB =，4AD =，AC BC ⊥．则BD = ．16．如图，OABC Y 的顶点O 、A 、C 的坐标分别是(0,0)，(4,0)，(2,3)，则点B 的坐标为 ．三．解答题（共8小题）17．一个多边形的内角和与外角和的和恰好是十二边形的内角和，求这个多边形的边数． 18．已知：如图，在四边形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，BF AC ⊥于F ，DE BF =，ADB CBD ∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．19．如图，已知ABC ∆是等边三角形，E 为AC 上一点，连接BE ．将AC 绕点E 旋转，使点C 落在BC 上的点D 处，点A 落在BC 上方的点F 处，连接AF ． 求证：四边形ABDF 是平行四边形．20．如图，DE 是ABC ∆的中位线，延长DE 至R ，使EF DE =，连接BF ． （1）求证：四边形ABFD 是平行四边形； （2）求证：BF DC =．21．如图，在ABCD Y 中，点E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =． （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形．（2）若22EF AE ==，45ACB ∠=︒，且BE AC ⊥，求ABCD Y 的面积．22．（1）如图①②，试研究其中1∠、2∠与3∠、4∠之间的数量关系；（2）如果我们把1∠、2∠称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE 、DE 分别是四边形ABCD 的外角NAD ∠、MDA ∠的平分线，240B C ∠+∠=︒，求E ∠的度数．23．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）若2AC=，4CE=，求四边形ACEB的周长．24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(3,0)-，(0,6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造PCODY．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE AO=．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？参考答案一．选择题（共10小题）1．平行四边形一定具有的性质是( ) A ．邻边相等B ．邻角相等C ．对角相等D ．对角线相等【解答】解：A 、平行四边形的邻边不相等，故此选项错误； B 、平行四边形邻角互补，故此选项错误； C 、平行四边形的对角相等，故此选项正确；D 、平行四边形的对角线不相等，故此选项错误；故选：C ．2．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620︒，则原来多边形的边数是( ) A ．10B ．11C ．12D ．以上都有可能【解答】解：Q 内角和是1620︒的多边形是1620211180+=边形， 又Q 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原多边形为12边形；另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边形． 综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形， 故选：D ．3．从五边形的一个顶点出发可以连接的对角线条数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：n Q 边形(3)n >从一个顶点出发可以引(3)n -条对角线， ∴从五边形的一个顶点出发可以画出532-=（条)对角线．故选：B ．4．平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF 一定为平行四边形的是( ) A ．BE DF =B ．//AF CEC ．AE CF =D ．BAE DCF ∠=∠【解答】解：如图，连接AC 与BD 相交于O ， 在ABCD Y 中，OA OC =，OB OD =，要使四边形AECF 为平行四边形，只需证明得到OE OF =即可；A 、若BE DF =，则OB BE OD DF -=-，即OE OF =，故本选项不符合题意；B 、//AF CE 能够利用“角角边”证明AOF ∆和COE ∆全等，从而得到OE OF =，故本选项不符合题意；C 、若AE CF =，则无法判断OE OE =，故本选项符合题意；D 、BAE DCF ∠=∠能够利用“角角边”证明ABE ∆和CDF ∆全等，从而得到DF BE =，然后同A ，故本选项不符合题意； 故选：C ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，若8AB =，12AC =，则BD 的长是( )A ．22B ．16C ．18D ．20【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，12AC =， 162OA AC ∴==，2BD OB =， AB AC ⊥Q ，8AB =，228610OB ∴=+=，220BD OB ∴==．故选：D ．6．如图所示，点D ，E ，F 分别是()ABC AB AC ∆>各边的中点，下列说法错误( )A ．12AD BC =B ．12EF BC =C ．EF 与AD 互相平分 D ．DEF ∆的面积是ABC ∆面积的14【解答】解：A 、由于点D 是BC 的中点，所以12BD BC =，只有当BD AD CD ==时，结论12AD BC =成立，故本选项符合题意． B 、根据中位线定理，12EF BC =．故本选项不符合题意； C 、根据中位线定理，//AF ED ，//AE FD ，四边形AEDF 为平行四边形，对角线EF 与AD 互相平分．故正确；D 、因为DFE ∆和ABC ∆的各边对应成比例，为1:2，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，是位似图形． 故选：A ．7．如图，ABCD Y 的周长为32，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，14BD =，则DOE ∆的周长为( )A ．14B ．15C ．18D ．21【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，AD BC =，172OB OD BD ===， ABCD Q Y 的周长为32， 16CD BC ∴+=，Q 点E 是CD 的中点，12DE CD ∴=，OE 是BCD ∆的中位线，12OE BC ∴=， 1()82DE OE CD BC ∴+=+=， DOE ∴∆的周长7815OD DE OE =++=+=；故选：B ．8．如图，设M 是ABCD Y 一边上任意一点，设AMD ∆的面积为1S ，BMC ∆的面积为2S ，CDM ∆的面积为S ，则( )A ．12S S S =+B ．12S S S >+C ．12S S S <+D ．不能确定【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB DC ∴=，CMB ∆Q 的面积为12S DC =g 高，ADM ∆的面积为112S MA =g 高，CBM ∆的面积为212S BM =g 高， 而它们的高都是等于平行四边形的高， 1212S S AD ∴+=g 高12BM +g 高1()2MA BM =+g 高12AB =g 高12CD =g 高S =， 则S ，1S ，2S 的大小关系是12S S S =+． 故选：A ．9．如图，在平面直角坐标系中，ABCO Y 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为(4,6)．若直线3y kx k =+将ABCO Y 分割成面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．35B ．53C ．35-D ．53-【解答】解：连接OB 和AC 交于点M ，过点M 作ME x ⊥轴于点E ，过点B 作CB x ⊥轴于点F ，如下图所示：Q 四边形ABCD 为平行四边形，132ME BF ∴==，122OE OF ==， ∴点M 的坐标为(2,3)，Q 直线3y kx k =+将ABCO Y 分割成面积相等的两部分， ∴该直线过点M ，323k k ∴=+，35k ∴=． 故选：A ．10．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，5AD BC ==，7DC =，13AB =，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC ⇒向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为( )A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【解答】解：设运动时间为xs ，则753CP x =+-，BQ x =， Q 四边形PQBC 为平行四边形， CP BQ ∴=， 123x x ∴-=， 124x ∴=， 3x ∴=，故选：A ．二．填空题（共6小题）11．八边形内角和度数为 1080︒ ． 【解答】解：(82)180********-︒=⨯︒=︒g ． 故答案为：1080︒．12．如果n 边形的每一个内角都相等，并且是它外角的3倍，那么n = 8 【解答】解：Q 每个内角都相等，并且是它外角的3倍， 设外角为x ，可得：3180x x +=︒，解得：45x =︒，∴边数360458=︒÷︒=．故答案为：8．13．从多边形的一个顶点可以作出6条多边形的对角线，则该多边形的边数是 9 ．【解答】解：设这个多边形是n 边形．依题意，得36n -=，解得9n =．故该多边形的边数是9．故答案为：9．14．如图，在ABCD Y 中，120D ∠=︒，DAB ∠的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE ．若AE AB =，则EBC ∠的度数为 45︒ ．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，120ABC D ∴∠=∠=︒，//AB CD ，18060BAD D ∴∠=︒-∠=︒，AE Q 平分DAB ∠，60230BAE ∴∠=︒÷=︒，AE AB =Q ，(18030)275ABE ∴∠=︒-︒÷=︒，45EBC ABC ABE ∴∠=∠-∠=︒；故答案为：45︒．15．如图，在平行四边形ABCD 中，13AB =，4AD =，AC BC ⊥．则BD = 10 ．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，4BC AD ∴==，OB OD =，OA OC =，AC BC ⊥Q ，∴由勾股定理得：2222(213)46AC AB BC =-=-=，132OC AC ∴==， Q 在Rt BCO ∆中，90BCO ∠=︒，2222345OB OC BC ∴=+=+=，210BD OB ∴==，故答案为：10．16．如图，OABC Y 的顶点O 、A 、C 的坐标分别是(0,0)，(4,0)，(2,3)，则点B 的坐标为 (6,3) ．【解答】解：(4,0)A Q ，4OA ∴=，Q 四边形OABC 是平行四边形，4OA BC ∴==，(2,3)C Q ，(6,3)B ∴，故答案为(6,3)．三．解答题（共8小题）17．一个多边形的内角和与外角和的和恰好是十二边形的内角和，求这个多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数为n ，则(2)180360(122)180n -⨯︒+︒=-⨯︒，解得：10n =，答：这个多边形的边数为10．18．已知：如图，在四边形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，BF AC ⊥于F ，DE BF =，ADB CBD ∠=∠．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【解答】证明：ADB CBD ∠=∠Q ，//AD BC ∴，DAE BCF ∴∠=∠，在ADE ∆和CBF ∆中DAE BCF AED CFB DE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBF AAS ∴∆≅∆，AD BC ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形．19．如图，已知ABC ∆是等边三角形，E 为AC 上一点，连接BE ．将AC 绕点E 旋转，使点C 落在BC 上的点D 处，点A 落在BC 上方的点F 处，连接AF ． 求证：四边形ABDF 是平行四边形．【解答】证明：ABC ∆Q 是等边三角形，AC BC AB ∴==，60ACB ∠=︒；Q 将AC 绕点E 旋转ED CE ∴=，EF AE =EDC ∴∆是等边三角形，DE CD CE ∴==，60DCE EDC ∠=∠=︒，FD AC BC ∴==，ABC ∴∆、AEF ∆、DCE ∆均为等边三角形，60CDE ABC EFA ∴∠=∠=∠=︒，//AB FD ∴，//BD AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形．20．如图，DE 是ABC ∆的中位线，延长DE 至R ，使EF DE =，连接BF ．（1）求证：四边形ABFD 是平行四边形；（2）求证：BF DC =．【解答】证明：（1）DE Q 是ABC ∆的中位线，//DE AB ∴，2AB DE =，AD CD =EF DE =Q2DF DE ∴=AB DF ∴=，且//AB DF∴四边形ABFD 是平行四边形；（2）Q 四边形ABFD 是平行四边形AD BF ∴=，且AD CD =BF DC ∴=21．如图，在ABCD Y 中，点E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形．（2）若22EF AE ==，45ACB ∠=︒，且BE AC ⊥，求ABCD Y 的面积．【解答】（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，如图所示：Q 四边形ABCD 是平行四边形，OB OD ∴=，OA OC =，AE CF =Q ，OA AE OC CF ∴-=-，OE OF ∴=，∴四边形BFDE 是平行四边形；（2）解：AE CF =Q ，OE OF =，22EF AE ==，1AE CF OE OF ∴====，4AC =，3CE =，45ACB ∠=︒Q ，BE AC ⊥，BCE ∴∆是等腰直角三角形，3BE CE ∴==，Q 四边形ABCD 是平行四边形，ABCD ∴Y 的面积2ABC =∆的面积1243122AC BE =⨯⨯⨯=⨯=．22．（1）如图①②，试研究其中1∠、2∠与3∠、4∠之间的数量关系；（2）如果我们把1∠、2∠称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE 、DE 分别是四边形ABCD 的外角NAD ∠、MDA ∠的平分线，240B C ∠+∠=︒，求E ∠的度数．【解答】（1）解：3∠Q 、4∠、5∠、6∠是四边形的四个内角， 3456360∴∠+∠+∠+∠=︒，34360(56)∴∠+∠=︒-∠+∠，15180∠+∠=︒Q ，26180∠+∠=︒，12360(56)∴∠+∠=︒-∠+∠，1234∴∠+∠=∠+∠；（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；（3）解：240B C ∠+∠=︒Q ，240MDA NAD ∴∠+∠=︒，AE Q 、DE 分别是NAD ∠、MDA ∠的平分线， 12ADE MDA ∴∠=∠，12DAE NAD ∠=∠， 11()24012022ADE DAE MDA NAD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 180()18012060E ADE DAE ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．23．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）若2AC =，4CE =，求四边形ACEB 的周长．【解答】解：（1）证明：90ACB ∠=︒Q ，DE BC ⊥，//AC DE ∴又//CE AD Q∴四边形ACED 是平行四边形．（2）Q 四边形ACED 是平行四边形． 2DE AC ∴==．在Rt CDE ∆中，由勾股定理得2223CD CE DE =-=． D Q 是BC 的中点，243BC CD ∴==．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，由勾股定理得22213AB AC BC =+=． D Q 是BC 的中点，DE BC ⊥，4EB EC ∴==．∴四边形ACEB 的周长10213AC CE EB BA =+++=+．24．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(3,0)-，(0,6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造PCOD Y ．在线段OP 延长线上一动点E ，且满足PE AO =．（1）当点C 在线段OB 上运动时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；（2）当点P 运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC 的周长是多少？【解答】（1）证明：连接CD 交AE 于F ， Q 四边形PCOD 是平行四边形，CF DF ∴=，OF PF =，PE AO =Q ，AF EF ∴=，又CF DF =，∴四边形ADEC 为平行四边形；（2）解：当点P 运动的时间为32秒时，32OP =，3OC =， 则92OE =， 由勾股定理得，2232AC OA OC =+=， 223132CE OC OE =+=，Q 四边形ADEC 为平行四边形， ∴周长为3(3213)2623132+⨯=+．。