2020届临川二中、上高二中、丰城中学高三第一次模拟考试理科数学试卷(详解版)

2020 届临川二中、上高二中、丰城中学高三第一 次模拟考试理数参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 C B D C D C D A D A B C
1．解析：由于 (x + 2i)i = y + i ，则 x = 1且 y = −2 ， z = x + yi 的虚部为 −2 ，故选 C．
根据余弦定理得 cos ADC = − 1 ，即 ADC = 2 ， BAC = ，则 OB ' = OD = 1．
2
3
3
由于 B ' D =1，则 OB ' D 为等边三角形，
由（1）得面 B 'OD ⊥ 面 ACD，则 B ' F ⊥ 面 ACD
…………………………9 分
由于VB'− ACD
2 ab 2
ab
11．解析：由于 (3 + 2 2)2020 +(3 − 2 2)2020 2 32020 2（mod 4），则[(3 + 2 2)2020 ] 1（mod 4），故选 C．
12．解析：建立坐标系，求得直线
A1D
及直线
AC1 的夹角为
3
，则过点
B
可作
3
条直线与直线
A1D 及直线
10
16．解析：由于 c = 3，则 a(1− 2 cos C) = 6 cos A = 2c cos A ，即 a = 2b ，本题转化为阿波罗尼奥斯圆问题，
可通过余弦定理求最值、建立坐标系、调和点列等方法求解，故 max SABC = 3 ．
三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分．
17．解：（1）由于
)4
n−3
，则数列{cn
}
是以
1 2
为首项， 1 16
为公比的等比数列，
则 c1 + c2 +
+ cn
=
1
1
−
(1 16
)n
2 1− 1
= 8 [1− ( 1 )n ] 8 ． 15 16 15
16
18．解：（1）取 AC 的中点 O，连接 B 'O 和 DO，
………………9 分 …………………12 分
7．解析：本题分类讨论即可，若丁说的话是对的，则甲和乙的话也是对的，舍去；则丁说的话是错的．若丙说
的话是对的，符合条件；若丙说的话是错的，则甲的话也是错的，舍去；故选 D．
8．解析：由于双曲线 C ： y2 a2
− x2 b2
= 1的两条渐近线方程为 y = a b
x ，圆 M
的半径 R = 2 ，切点弦长为 2，则
2Sn+1
=
2Sn
+
an
，则
an+1
=
1 2
an
，数列
an
为等比数列，则 an
=
(1)n 2
；……………3
分
由于在等差数列bn 中，T9
= 153 ，则 b5
=
T9 9
= 17 ，即 d
=
b5
− b2 3
=
4，
故 bn = 4n − 3 ．
…………………………6 分
（2）由于 cn
=
abn
பைடு நூலகம்
=
(
1 2
根据余弦定理得 cos ADC = − 1 ，即 ADC = 2 ， BAC = ，则 OB ' = OD = 1．
14．解析：该几何体为长方体挖去半个球，故该模具的表面积为16 − + 1 4 = 16 + ． 2
15．解析：由于 f '(x) = 2 −1 ，则 tan = f '(1) = − 1 ，故 cos2 + sin 2 = cos2 + 2sin cos = 3 ．
2x +1
3
sin2 + cos2
=
2
3−3 ，则阴影部分的面积为 4
6
3 − 9 ，故概率 P = 6
3−9
，选 D．
4
4
10．解析：根据可行域可知 z = ax + by 在点 (3,5) 处取得最大，即 3a + 5b = 2 ，则 1 + 2 = 1 ( 1 + 2)(3a + 5b) a b 2a b
= 1 (13 + 5b + 6a ) 1 (13 + 2 30) ，当且仅当 5b = 6a 时取“=”，故选 A．
则直线 l1 与直线 l2 平行等价于 n1 n2 且直线 l1 与直线 l2 不重合，当 a = − 2 时，两直线重合，故选 C．
5．解析：乙的方差最小，故选 D．
6．解析：选项 A 中 k = −1，选项 B 中 k = 1，选项 D 中 k = 0 ， f (x) 和 f (−x) 不可能同时为负，故选 C．
则 B 'O ⊥ AC 且 DO ⊥ AC ，
故 AC ⊥ 面 B 'OD ，即 AC ⊥ B ' D ．
…………………………6 分
（2）法一：设点 C 到面 AB ' D 的距离为 d，取 OD 的中点 F， CE 与平面 AB ' D 的夹角为 ，
由于菱形 ABCD 的边长为 2， AC = 2 3 ，
=
1 3
B'F
SACD
= VC− AB'D
=
1d 3
SAB'D
， SACD
=
3
，
SAB
'
D
=
1 2
1
15 = 2
15
，
4
则 d = 2 15 ，又由于 CE = 15 ，
5
2
因此 sin = d = 4 ． CE 5
…………………12 分
2
法二：由于菱形 ABCD 的边长为 2， AC = 2 3 ，取 OD 的中点 F，
AC1
所成的角均为 ，故选 C． 3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． (− 1 , 2]； 3
14．16 + π ； 15． 3 ； 16． 3 ． 10
1
13．解析：由于 4 − x2 0 且 3x +1 0 ，则 f (x) 的定义域为 (− 1 , 2]． 3
一条渐近线的倾斜角为 ，故选 A． 3
9．解析：由图可知 ABO = 105o, AOB = 60o, BAO = 15o, 设圆的半径 R = OA = 1 ，则圆的面积为 ，
SABO
=
1 (2r)2 sin ABO sin AOB sin BAO 2
=
1 2
sin 60o sin15o sin105o
2．解析：根据正态分布的概率密度函数的对称性可知 = 5 ，则 P(2 5) = 0.5 − 0.15 = 0.35 ，故选 B．
3．解析： a
=
log 2020
1 (−1, 0) ， b π
=
1
2020
π
(0,1) ， c
=
1
2020π
1，故选
D．
4．解析：直线 l1 : x + 2ay −1 = 0 与直线 l2 : ax + 4 y + 2 = 0 的方向向量分别为 n1 = (2a, −1) 和 n2 = (4, −a) ，