高一数学模型的建立

• [例2] 向高为H的水瓶中注水，注满为 止．如果注水量V与水深h的函数关系的图 象如图所示，那么水瓶的形状是 • ( )
[解析]
H 如右图，取水深h＝ 时，注水量 2
V0 V＝V′> 2 ，即水深至一半时，实际注水量大 V0 于水瓶总水量之半．A中V′< ，C、D中V′ 2 V0 ＝ 2 ，故排除A、C、D，选B.
∴－5＜m≤－4
• [例5] 用二分法求方程x＝3－lgx在区间(2,3) 内的近似解，要求精确到0.1，则至少要计 3－2 算________ 次． [解析] 设计算n次中点的函数值，则 n ＜0.1，
2 ∴2n＞10，∴n的最小值为4，因此填4.
• 二、熟练掌握各种常见函数模型的图象与 性质，明确其增长率的变化特征，才能在 解决实际问题时，恰当地选取函数模型， 使所学函数知识服务于生活、生产、科 研． • 1．增长率与函数图象． • [例1] 某林区的森林蓄积量每年平均比上 一年增长10.4%，若经过x年可以增长到原 来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致是 • ( )
• [ 例 2] 函数 f(x) ＝ x3 － 3x2 － 4x ＋ 12 的零点 个数为( ) • A． 0 B． 1 C．2 D． 3 • [解析] f(x)＝x2(x－3)－4(x－3)＝(x－3)(x －2)(x＋2) • ∴f(x)＝0有三个零点3，－2,2.故选D.
[例 3]
9 函数 y＝lgx－ 的零点所在的大致区间是 x ( )
• [例1] 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有 一解，则a的取值范围是 ( ) • A．a<－1 B．a>1 • C．－1<a<1 D．0≤a<1 • [ 解析 ] 令 f(x) ＝ 2ax2 － x － 1 ，方程在 (0,1) 内恰 有一个解，即函数 f(x) 在 (0,1) 内恰有 一个零点， • ∵f(0)＝－1＜ 0，故必有 f(1)＝2a－2＞0， ∴a＞1.故选B.
A．(6,7) C．(8,9)
[解析]
B．(7,8) D．(9,10)
9 ∵f(9)· f(10)＝(lg9－1)· (1－ )＜0.∴选D. 10
• [ 例 4] 方程 x2 ＋ (m － 2)x ＋ 5 － m ＝ 0 的两根 都大于2，则m的取值范围为 ________ . [解析] 解法1：令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m要使 • [答案] (－5，－4]
1 (2)设直线y＝ 100 x与y＝f(x)的图象交于点(x0， y0)，x0>0，解释(x0，y0)的实际意义．
[解析]
(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙
公司要规避失败的风险，至少要投入f(0)万元的宣传 费，g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回 避失败的风险，至少要投西北某羊皮手套公司准备投入适当 的广告费对生产的羊皮手套进行促销．在 一年内，据测算销售量 S( 万双 ) 与广告费 x(万元)之间的函数关系为S＝3－ (x>0)， 已知生产羊皮手套的年固定投入为 3 万元， 每生产 1 万双手套仍需再投入 16 万元．年 销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费 的50%.
• 总结评述：本题考查函数的对应关系．要 求由水瓶的形状识别函数原型，是典型的 数形结合问题，“只想不算”有利于克服 死记硬背，更突出了对思维能力的考查．
• 2．函数模型的选取 • [例3] 今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满 足的规律，其中最接近的一个是 A．v＝log2t t 2 －1 C．v＝ 2 1 B．v＝log2t D．v＝2t－2 ( )
• [ 解析 ] 从表中数据观察到， v 是 t 的增函 数，故B不正确． • 又 把 t 的 值 看 作 均 匀 增 长 的 ， 如 3.0 － 1.99≈1,4.0 － 3.0≈1,5.1 － 4.0≈1 ， 而 函 数 值 的变化越来越大，如 4.04 － 1.5≈2.5,7.5 － 4.04≈3.5,12－7.5≈4.5. • ∴函数图象应是向下凹的曲线，故选C.
1 (2)设直线y＝ x与y＝f(x)的图象交于点(x0，y0)， 100 1 y0＝ x0 100 则 y0＝f(x0) 1 ∴f(x0)＝ 100 x0，这表明当甲公司投入x0万元作宣传 费时，乙公司要投入甲公司宣传费的百分之一，就无 风险．
8 x (2)令u(x)＝ x＋2，设0<x1<x2， 8 x1 8 x2 则u(x1)－u(x2)＝( ＋ )－( ＋ ) x1 2 x2 2 8(x2－x1) x1－x2 8 1 ＝ x x ＋ 2 ＝(x2－x1)(x x －2) 1 2 1 2 16－x1x2 ＝(x2－x1)· ， 2x1x2 ∴当0<x1<x2≤4时，u(x1)>u(x2)， 当4≤x1<x2时，u(x1)<u(x2)．
f(x)＝0两根都大于2，
2 Δ ＝ ( m － 2) －4(5－m)≥0 f(2)＞0 则 2－m ＞2 2
∴－5＜m≤－4
Δ≥0 解法2：由题意x1＋x2＞4 (x －2)(x －2)＞0 1 2 (m－2)2－4(5－m)≥0 ∴2－m＞4 (5－m)－2(2－m)＋4＞0
8 x ∴u(x)＝ x ＋ 2 在(0,4]上单减，在[4，＋∞)上单 增，∴当x＝4时，取最小值u(4)＝4，此时年利润L取 最大值21.5. ∴当年广告费投入4万元时，此公司的年利润最 大为21.5万元．
• [例5] 甲、乙两公司生产同一种新产品， 经测算，对于函数f(x)，g(x)及任意x≥0， 当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司 投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有 失败的风险，否则无风险；当乙公司投入 x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费 小于g(x)万元，则甲公司有失败的风险， (1)请解释f(0)，g(0)的实际意义． 否则无风险．
• [解析] 设某林区的森林蓄积量原有1个单 位，则经过 1 年的森林蓄积量为 1 ＋ 10.4% ； • 经过2年的森林蓄积量为(1＋10.4%)2； •„ • 经过x年的森林蓄积量为(1＋10.4%)x • (x≥0)，即y＝(110.4%)x(x≥0)； • ∵ 底数 110.4% 大于 1 ，根据指数函数的图 象，故应选D.
• (1)试将羊皮手套的年利润 L( 万元) 表示为年 广告费x(万元)的函数． • (2) 当年广告费投入多少万元时，此公司的 年利润最大，最大利润为多少？ ( 年利润＝ 年销售收入－年生产成本－年广告费．)
[解析]
(1)广告费为x万元时，年销量
1 S＝3－x万双， 16 ∴年生产成本为3＋16S＝51－ 万元， x 故年销售收入为 16 153 24 x (51－ x )×150%＋x· 50%＝ 2 － x ＋2， 153 24 x 16 年利润L＝( － ＋ )－(51－ )－x 2 x 2 x 51 8 x ＝ 2 － x＋2 (x>0)，
章末归纳总结
• 一、深刻领会函数与方程的关系，才能有 效的解决函数与方程的问题，而函数的零 点与方程的根的关系，二分法求方程的近 似解是基础． • 1 ．方程的根与函数的零点：方程 f(x) ＝ 0 有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数y＝f(x)有零点． • 2．零点判断法： • 如果函数 y ＝ f(x) 在区 间 [a ， b] 上的 图 象是 连续 不断的一条曲 线 ，并且有 f(a)·f(b)<0 ， 那么，函数 y ＝ f(x) 在区 间 (a ， b) 内有零点， 即存在 c∈(a ， b) ，使得 f(c) ＝ 0 ， 这 个 c 也
• 3．二分法的定义： • 对 于 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 不 断 、 且 f(a)·f(b)<0 的函数 y ＝ f(x) ，通过不断地把函 数 f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点 近似值的方法叫做二分法．
• 4．用二分法求零点的近似值的步骤： • 第 1 步：确定区间 [a ， b] ，验证 f(a)·f(b)<0 ， 给定精确度ε； • 第2步：求区间(a，b)的中点x1； • 第3步：计算f(x1)． • (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； • (2) 若 f(a)·f(x1)<0 ， 则 令 b ＝ x1( 此 时 零 点 x0∈(a，x1))； • (3) 若 f(x1)·f(b)<0 ， 则 令 a ＝ x1( 此 时 零 点 x0∈(x1，b))． • 第 4 步：判断是否达到精确度 ε ：即若 |a －