arma模型估计功率谱

ARMA 功率谱估计
1 背景：
若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程
)()()()(1
1
j n e n e i n x n x q
j j p i i b a -+=-+∑∑== （1）
式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。

系数a1,a2……ap,和b1,b2……bq,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。

式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为
)
()()
()()(22
e e P jw
jw
z x B B e
z A z B w jw
δδ
===
（2）
ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。

在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。

2 算法：
AR 阶数p 的确定用奇异值分解（SVD ）,AR 参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD —TLS ）算法来完成ARMA 谱估计。

SVD —TLS 算法：
步骤1 计算增广矩阵B 的SVD ，并储存奇异值和矩阵V; 步骤2 确定增广矩阵B 的有效秩p ； 步骤3 计算矩阵S;
步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。

3 Matlab仿真
假定仿真的观测数据数据由
π（3）(n
w
20
+
=π
sin(
x+
n
)
213
)
2
)
.0
(
)2.0
2
2
sin(
产生，其中w(n)是一高斯白噪声，其均值为0，方差为1，并取n=1,…..,128，这里分别用一般的最小二乘法和SVD—TLS方法估计观测数据的ARMA模型参数。

图1是用周期图法仿真得到的此信号的功率谱图：
（1）用最小二乘法（LS）进行谱估计
用最小二乘法进行谱估计时需要预先设置ARMA模型的阶数P，这里分别设置P=4，P=100，编写程序得出仿真波形如图2，图3：
图2 AR阶数P=4
图3 AR阶数P=100
（1）用SVD—TLS算法进行谱估计
按照上面介绍的步骤，编写程序对观测信号x(n)进行仿真，可以设置不同的M，qe，pe的值，以便分析对比。

图4和图5是设置了不同的M,qe,pe后得出的x(n)的功率谱图形：
图4 Qe=50M=30Pe=20 x(n)的功率谱图形
图5 M=100,qe=80,pe=50 x(n)的功率谱图形
4 功率谱分析
以上分别用了周期图法，ARMA模型的参数化估计（LS算法和SVD—TLS）算法对同一观测信号
π进行了功率(n
w
)
=π
sin(
+
x+
n
20
213
)
2
)
.0
(
)2.0
2
2
sin(
谱的估计，通过仿真结果对比，可以得出以下有用的结论：
1）周期图法的分辨率低，不能适应高分辨率功率谱估计的需要，与之相比，参数化谱估计可以提供比周期图高得多的频率分辨率。

可以
看出，图1所示的功率谱波形勉强可以看到在f=0,213处有一个很小
的尖峰，分辨率不好，而运行良好的参数化谱估计，如图5，则可
以明显的分辨出f1=0.2和f2=0.213两处的功率谱，分辨率高。

2）LS算法和SVD—TLS算法比较，仿真波形的误差较大，这是由于LS算法的ARMA的阶数P是任意设定的，并没有遵循严格的理论
依据；而且，在Ax=b中，LS算法只是考虑了b的误差和扰动，而
SVD—TLS算法则是综合考虑了A和b的误差与扰动。

所以，LS
算法存在较大误差，而SVD—TLS算法则有较好的结果。

3）无论是TL算法还是SVD—TLS算法，阶数P（M，pe，qe）的设置不同，会导致得出不同效果的仿真波形。

在TL算法中，P的设置过
大时会导致功率谱波形波动大，图形不稳定；在SVD—TLS算法中，
M，pe，qe的设置应尽量大一些，这样才能得到良好的功率谱波形，
如图5。